Формула умножение дробей: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Как умножить обыкновенную дробь: на число, другую дробь

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Умножение обыкновенных дробей

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно обыкновенную (простую) дробь умножить на число или другую дробь, и как найти произведение смешанных дробей. Также разберем примеры решения задач для лучшего понимания и закрепления теоретического материала.

• Умножение дроби
  • На число
  • На другую дробь
• Произведение смешанных дробей
• Примеры задач

Умножение дроби

На число

Умножение обыкновенной дроби на число n равно сумме, слагаемыми которой является данная дробь n-ое количество раз.

Другими словами, числитель дроби умножается на данное число n, а знаменатель остается тем же.

Примечание: дробь, полученную в результате умножения, следует проверить на предмет того, можно ли ее сократить.

На другую дробь

В результате умножения одной дроби на другую получается новая дробь, числитель которой равняется произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению знаменателей.

a/b

⋅

c/d

=

a⋅b/c⋅d

Произведение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанные дроби, необходимо их сперва представить в виде неправильных дробей, и только после этого выполнить умножение.

X

a/b

 ⋅ Y

c/d

 = 

X ⋅ b + a/b

 ⋅ 

Y ⋅ d + c/d

Примеры задач

Задание 1

Умножьте дробь 

3/15

 на число 5.

 
Решение

3/15

⋅ 5 =

3⋅5/15

=

15/15

=1

 
Задание 2

Найдите произведение дробей 

9/17

 и 

4/7

.

 
Решение

9/17

⋅

4/7

=

9⋅4/17⋅7

=

36/119

 
Задание 3

Найдите произведение дробей 3

3/8

 и 7

1/9

.

Решение

Т.к. мы имеем дело со смешанными дробями, сперва представим их в виде неправильных, затем выполним умножение.

3

3/8

⋅ 7

1/9

=

3⋅8+3/8

⋅

7⋅9+1/9

=

27/8

⋅

64/9

=

27⋅64/8⋅9

=

1728/72

=24

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Умножение и деление алгебраических дробей.

Примеры и решение

• Умножение дробей
• Возведение алгебраических дробей в степень
• Деление дробей

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

a	·	c	=	ac	,
b		d		bd

где  b≠0  и  d≠0.

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2	·	a + b	.
a2 — b2		a

Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2	·	a + b	=	2a2	·	a + b	=
a2 — b2		a		(a + b)(a — b)		a

=	2a2(a + b)	.
	(a + b)(a — b)a

Теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b)	=	2a	.
(a + b)(a — b)a		a — b

Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) ·	x — 2	.
	x + 3

Решение:

(2x + 6) ·	x — 2	=	(2x + 6)(x — 2)	.
	x + 3		x + 3

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x — 2)	=	2(x + 3)(x — 2)	=
x + 3		x + 3

= 2(x — 2) = 2x — 4.

Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a ·	b	=	ab	или	b	· a	=	ab	,
	c		c		c			c

где c≠0.

Возведение алгебраических дробей в степень

Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.

Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:

(	a	)n =	an	.
	b		bn

Пример. Выполнить возведение в степень:

а) (	a2	)3 ;          б) (-	2x3	)2	.
	b		y2

Решение:

а) (	a2	)3 =	(a2)3	=	a6	;
	b		(b)3		b3

б) (-	2x3	)2 =	(2x3)2	=	4x6	.
	y2		(y2)2		y4

Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.

Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:

a	:	c	=	a	·	d	=	ad	.
b		d		b		c		bc

Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.

Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:

ab + ac	:	ab — ac	.
bc		bc

Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:

ab + ac	:	ab — ac	=	ab + ac	·	bc	=
bc		bc		bc		ab — ac

=	(ab + ac)bc	.
	bc(ab — ac)

Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:

(ab + ac)bc	=	ab + ac	=
bc(ab — ac)		ab — ac

=	a(b + c)	=	b + c	.
	a(b — c)		b — c

Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.

Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:

a :	b	= a ·	c	=	ac	.
	c		b		b

Пример. Выполнить деление:

6xy2 :	x	.
	y

Решение:

6xy2 :	x	= 6xy2 ·	y	= 6y3.
	y		x

Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.

Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:

a	: c =	a	:	c	=	a	·	1	=	a	.
b		b		1		b		c		bc

Пример. Выполнить деление:

2xy	: 6y.
3

Решение:

2xy	: 6y =	2xy	:	6y	=	2xy	·	1	=
3		3		1		3		6y

=	2xy	=	x	.
	18y		9

Умножение и деление дробей с помощью Mental Math – World Mental Calculation

Умножение и деление простых дробей более просто, чем сложение и вычитание дробей. Однако при выполнении этих расчетов в уме возникают некоторые проблемы!

Дробь состоит из числа — числителя — деленного на другое число — называемое знаменателем . Обычно оба эти числа должны быть положительными  целых чисел  (целые числа).

Например, в \(\frac{4}{15}\) числитель равен 4, а знаменатель равен 15.

Основное умножение на дробь

Умножение на дробь a}{b}\), означает умножение на \(a\) и деление на \(b\). Обычно результат представляет собой дробь:

.

\(7 \times \frac{2}{15} = \frac{14}{15}\)

Базовое умножение дробей

При умножении двух или более дробей числители умножаются вместе, а знаменатели умножаются вместе:

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f} = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times е}\)

\(\frac{8}{9}\times \frac{5}{7} = \frac{8 \times 5}{9 \times 7} = \frac{40}{63}\)

Упрощенные дроби

Дробь является упрощенной , если нет простых чисел, которые делят на как числитель, так и знаменатель . Например, \(\frac{40}{60}\) — это , а не упрощенно, потому что \(2\) делится на \(40\) и \(60\). На самом деле, то же самое относится и к \(5\), и даже к некоторым большим непростым числам, таким как \(20\). Если вы разделите верх и низ дроби на \(20\), дробь станет \(\frac{2}{3}\), что является упрощенной формой.

На этой странице я предполагаю, что вам нужно умножать или делить уже упрощенные дроби, что обычно для соревнований по ментальной арифметике. В противном случае обычно проще всего сначала упростить их.

Смешанные дроби

Дробь неправильная , если числитель больше знаменателя. Например, \(\frac{14}{3}\) — неправильная дробь. Неправильные дроби можно записать как смешанные дроби — с целой частью и правильной дробной частью. Например, \(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, обычно гораздо проще сначала преобразовать их в неправильные дроби .

Для этого можно использовать формулу:

\(n \frac{a}{b} = \frac{b \times n + a}{b}\)

Например:

\(2 \frac{3}{4} = \frac{4 \times 2 + 3}{4} = \frac{11}{4}\)

Это верно, потому что если мы разделим целую часть — \(n\) — на \(b\) равных частей, то будет \(n \x b\) этих частей. Добавьте это к \(a\) кусочкам, которые уже были представлены дробью, и всего будет \(n \times b + a\).

В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в смешанной форме. Неправильные дроби отмечены как неправильные! Поэтому вы также должны знать, как преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь .

Для этого разделите числитель на знаменатель и получите остаток. Например:

\(14 \дел 3 = 4\) остат. \(2\)

Целая часть — это результат деления — \(4\) — а остаток — \(2\) — это числитель смешанной дроби.

\(\frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Полный пример:

\(2 \frac{3}{4} \times 5 \frac{6}{7} = \frac{11}{4} \times \frac{41}{7}\)

\(= \frac{11 \times 41}{4 \times 7}\)

\(= \frac{541}{28} = 16 \frac{3}{28}\)

Упрощение финальной части

В соревнованиях по устному счету вы должны давать все ответы в упрощенной форме. Неупрощенные дроби отмечены неправильно! Даже вне формальных соревнований дроби лучше представлять в упрощенном виде.

При умножении и делении дробей всегда нужно проверять, можно ли упростить результат. В примерах, которые мы уже видели, упрощение недоступно, поэтому давайте рассмотрим пример с упрощением. Вы можете выбрать два метода:

Способ 1: Упростить в конце

\(1 \frac{1}{15} \times 4 \frac{3}{8}\)

\(= \frac{16}{15} \times \frac{35}{8}\)

\(= \frac{16 \times 35}{15 \times 8}\)

\(= \frac{560}{120}\)

Числитель и знаменатель имеют разные делители, включая 10, 8 и т. д. Самый большой общий делитель равен 40, поэтому разделите обе половины дроби на 40:

\(\frac{560}{120} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Метод 2: Отмена множителей из неправильных дробей

Этот метод лучше, когда у вас есть большие числа — больше, чем 560 и 120, указанные выше, — и помогает избежать арифметических операций с этими большими числами. Однако следовать этому методу сложнее.

Начните так же, как и раньше:

\(1 \frac{1}{15} \times 4 \frac{3}{8}\)

\(= \frac{16}{15} \times \frac{35}{8}\)

Затем обратите внимание, что при их перемножении дробь будет иметь множитель 8 внизу (от второго знаменателя, 8), а также вверху дроби (от первого числителя, 16 = 8 × 2). Разделите соответствующие числа на 8:

\(= \frac{2}{15} \times \frac{35}{1}\)

Можем ли мы сделать то же самое с любыми другими числами? Фактически, в этом случае мы можем сделать то же самое снова с 5, так как 5 является множителем числителя (35) и знаменателя (15). Итак, разделите обе половины на 5, проверьте, что упрощение невозможно, и завершите:

.

\(= \frac{2}{3} \times \frac{7}{1} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}\)

Обратите внимание: если вы определите все факторы для упрощения до конца, вам гарантированно не придется упрощать окончательную дробь.

Но если вы что-то пропустите, например, 5, или если вы разделили на 4, а не на 8, вам придется упростить окончательную дробь.

Также обратите внимание, что часто нет доступного упрощения. В этом случае методы 1 и 2 одинаковы, без шагов упрощения. Во время расчета вы можете столкнуться с большими числами, избежать которых невозможно.

Окончательный итог для устных вычислений (умножение)

При умножении дробей:

• Преобразуйте любые смешанные дроби в неправильные дроби.
• На этом этапе (метод 2) можно дополнительно выполнить некоторое упрощение, найдя числа, являющиеся множителями числителя и знаменателя.
• Умножьте все числители, чтобы получить новый числитель. Перемножьте все знаменатели, чтобы получить новый знаменатель.
• Если возможно, упростите ответ.
• Преобразовать в смешанную дробь.
• Помните, что не следует записывать промежуточные этапы подготовки к соревнованиям!

Деление дробей

Деление на неправильную дробь \(\frac{a}{b}\) противоположно умножению на нее. Следовательно, это означает деления на \(a\) и умножив на \(b\).

Следовательно, \(\div \frac{a}{b}\) можно заменить на \(\times \frac{b}{a}\)

Просто переверните дробь «вверх ногами», затем продолжите, используя Что вы знаете об умножении дробей.

Пример: (с использованием метода 2 для упрощения)

\(4 \frac{5}{6} \div 1 \frac{2}{3}\)

\(= \frac{29}{6} \div \frac{5}{3}\)

\(= \frac{29}{6} \times\frac{3}{5}\)

\(= \фракция{29{2} \times\frac{1}{5}\)

\(= \фракция{29}{10}\)

\(= 2 \фрак{9}{10}\)

Помните, конечно, что если вы тренируетесь для умственного счета, вы должны быть в состоянии выполнить все эти шаги, не записывая ничего, кроме окончательного ответа!

Дополнительная литература

Вам может быть интересно:

• Информация о международных соревнованиях по устному счету.
• Более продвинутые методы вычисления в уме.
• Как складывать и вычитать дроби в уме.

Умножение дробей – Математика для торговли: Том 1

Дроби

Следующее уравнение является примером умножения дробей. На первый взгляд это может показаться сложнее, чем сложение или вычитание дробей, но на самом деле это намного проще. Что может быть сложнее понять, так это ответ, который вы получаете, когда перемножаете дроби.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2}=?[/latex]

Мы посмотрим на это визуально, используя для этого круг, разрезанный на части. Для начала разделим круг на 4 равные части. Одна из этих частей будет равна одной четверти круга.

Если бы мы умножили эту ¼ на ½, то математически мы бы взяли ½ части ¼ или, по сути, разделили бы эту ¼ на две равные части. В конечном итоге это будет представлять ⅛ круга.

Математически это делается так:

Перемножить числители вместе

[латекс]1\times1=1[/латекс]

И

Перемножить знаменатели вместе

[латекс]2\times4=8[/латекс]

В итоге получаем следующее:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}[/latex]

Вернемся к Эбигейл, Ханне и Наоми. Сейчас они прошли еще один уровень обучения и подходят к концу своего ученичества. Все трое работают над одним проектом — трехэтажным деревянным каркасным зданием, и каждый отвечает за черновую отделку 30 апартаментов. Каждую неделю они должны подключать ⅙ этих апартаментов. Однажды Ханне пришлось пропустить два дня. Таким образом, она работала только 3 из 5 дней, или ⅗ времени. Какую часть люксов она смогла бы примерить на той неделе, принимая во внимание ее отсутствие?

Начните с записи дробей, с которыми мы будем работать в этой ситуации.

[латекс]\dfrac{1}{6}\text{ Количество комплектов, которое необходимо выполнить в течение 5-дневной рабочей недели.}[/latex]

[latex]\dfrac{3}{5}\text{ Доля времени, отработанного в течение недели, 3 из 5 дней.}[/latex]

Затем умножьте две дроби вместе, придерживаясь нашей формулы умножение числителей вместе, а затем умножение знаменателей вместе.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\текст{числители }1\times3=3[/латекс]

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ\текст{знаменатели }6\times5=30[/латекс]

Таким образом, ответ:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{30}[/latex]

Который затем можно привести к наименьшим условиям:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{3}{30}\стрелка вправо\dfrac{1}{10}[/латекс]

Вот еще один пример. Давайте пройдемся по шагам в этом.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{4}=?[/latex]

Шаг 1 : Перемножьте числители.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ5\times3=15[/латекс]

Шаг 2 : Перемножьте знаменатели.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ8\times4=32[/латекс]

Шаг 3 : Поместите каждый из ответов в соответствующее место дроби.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{8}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{32}[/latex]

Шаг 4 : Поместите ответ в самый нижний термины, если необходимо, и изменить на смешанное число, если необходимо. В этом вопросе мы хороши с обеих сторон.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{Окончательный ответ}=\dfrac{15}{32}[/латекс]

До сих пор вы, возможно, думали, что получили это и это легко, но теперь давайте немного повысим уровень сложности.

[latex]\LARGE4\dfrac{2}{5}\times2\dfrac{1}{4}=?[/latex]

Прежде чем начать, вы видите проблему? Проблема в том, что вы сейчас пытаетесь перемножить два смешанных числа. Как это работает? Можете ли вы просто пойти дальше и попытаться умножить их такими, какие они есть? Ответ НЕТ, но решение проблемы не так сложно: вам просто нужно сделать один дополнительный шаг, прежде чем пройти через процесс.

Первое, что вам нужно сделать, это превратить каждое из смешанных чисел в неправильную дробь. С этого момента процесс такой же.

Шаг 1 : Превратите каждое из смешанных чисел в неправильную дробь. Это единственный способ ответить на этот вопрос. Вы не можете умножать числа в том состоянии, в котором они находятся.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ4\dfrac{2}{5}=\dfrac{22}{5}[/latex]

(5 × 4 + 2 = 22 )

[латекс]\БОЛЬШОЙ2\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}[/латекс]

(4 × 2 + 1 = 9)

Шаг 2 : Перемножьте числители.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ22\times9=198[/латекс]

Шаг 3 : Перемножьте знаменатели.

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ5\times4=20[/латекс]

Шаг 4 : Поместите каждый из ответов в соответствующее место дроби.