Как отнять дробь от единицы: Как из единицы вычесть дробь

§ Вычитание дробей. Вычитание дробей с разными знаменателями

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями от числителя уменьшаемого (первой дроби) отнимают числитель вычитаемого (второй дроби), а знаменатель оставляют прежним.

Пример.

Запомните!

Прежде чем записать конечный ответ, проверьте, нельзя ли сократить полученную дробь.

В буквенном виде правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями записывают так:

Вычитание правильной дроби из единицы

Когда нужно вычесть из единицы правильную дробь, единицу представляют в виде неправильной дроби, знаменатель которой, равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7, значит, единицу представляют как неправильную дробь

и вычитают по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание правильной дроби из целого числа

Чтобы из целого числа вычесть правильную дробь нужно представить это натуральное число в виде смешанного числа.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Пример.

В примере единицу мы заменили неправильной дробью

и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.

Вычитание смешанных чисел

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

При подобных расчётах могут встретиться разные случаи.

Первый случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из чего вычитаем) больше или равен числителю дробной части вычитаемого (что вычитаем).

Пример.

Второй случай вычитания смешанных чисел

У дробных частей разные знаменатели.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Пример.

Третий случай вычитания смешанных чисел

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Пример.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

Числитель дробной части уменьшаемого меньше числителя дробной части вычитаемого.

3 < 14

Поэтому, вспомнив вычитание правильной дроби из целого числа, займём единицу из целой части и представим эту единицу в виде неправильной дроби с одинаковым знаменателем и числителем равным 18.

Сложим полученную неправильную дробь

и дробную часть уменьшаемого и получим:

Все рассмотренные случаи можно описать с помощью правил вычитания смешанных чисел.

• Привести дробные части уменьшаемого и вычитаемого к наименьшему общему знаменателю.
• Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то занимаем у целой части уменьшаемого единицу. Эту единицу превращаем в неправильную дробь с одинаковым числителем и знаменателем равными наименьшему общему знаменателю.
• Прибавляем полученную неправильную дробь к дробной части уменьшаемого.
• Вычитаем из целой части целую, а из дробной — дробную.
• Проверяем, нельзя ли сократить и выделить целую часть в конечной дроби.

Дроби. Числитель и знаменатель Сокращение дробей Сравнение дробей Смешанные числа. Выделить целую часть Сложение дробей. Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби

общий знаменатель, алгоритм, решение примеров

Математика

12. 11.21

14 мин.

Пожалуй, одной из самых популярных арифметических операций в алгебре является вычитание дробей с разными знаменателями. Алгоритм выполнения этого действия несложен и ничем не отличается, по сути, от сложения.

Оглавление:

• Общие сведения
• Нахождение общего знаменателя
• Алгоритм вычитания
• Решение примеров

Базируется он на основном свойстве отношений, позволяющем домножить числитель и знаменатель на одно и то же число. Следует отметить, что знание операции позволяет в дальнейшем приводить сложные выражения к простому виду, упрощая вычисления.

Общие сведения

Для того чтобы успешно научиться вычитать дроби, нужно понимать суть термина. В математике под ним понимают число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. Простыми словами, это отношение чего-то к целому. Например, пусть имеется арбуз. Его можно разрезать на равные части, то есть как бы подробить. По факту количество ягоды не изменится. Но если съесть один кусочек, то на тарелке останется три. Количественно в математике это действие можно описать дробью. Для рассматриваемого примера запись будет иметь вид: ¾.

В верхней части цифра обозначает долю от целого, а в нижней — на сколько равных кусков было разделено целое.

Делимое, то есть число, которое изменяется, называют числителем, а делитель — знаменателем. Дробь всегда будет меньше целой части.

В зависимости от соотношения частей, дробные выражения принято разделять на следующие типы:

1. Правильные. Рациональные числа, в которых делимое количественно меньше делителя.
2. Неправильные. Простые выражения, у которых значение знаменателя меньше величины числителя или совпадает с ним по численности.
3. Смешанные. Отношения, состоящие из натурального числа и правильной дроби. Практически они представляют собой их сумму.

Кроме этого, существует ещё отдельный класс выражений, называемый десятичным. К нему относят отношения, в которых знаменатель — это число десять в степени с любым натуральным числом.

Записывают десятичные выражения, используя в качестве разделителя запятую. Например, 1/10 = 0,1.

С дробями, так как по факту это числа, разрешено выполнять любые математические действия. Самые простые из них — это умножение и деление, немного сложнее сложение и вычитание. Чтобы вычитать обыкновенные дроби, нужно знать их основное свойство. Сформулировать его можно следующим образом: если делитель и делимое умножить или разделить на одну и ту же величину, то результат отношения не изменится. Причём такую операцию можно выполнять сколько угодно раз.

Естественно, это не должен быть ноль, иначе выражение потеряет смысл. Например, ¾ = (3 * n)/(4 * n). Это свойство позволяет не только преобразовывать выражение, делая вычисления проще и удобнее, но и выполнять вычитание.

Всё дело в том, что при выполнении действия находят так называемые дополнительные множители, которые можно определить, опираясь на основное свойство.

Нахождение общего знаменателя

Основная сложность, которая может возникнуть при нахождении разности дробей, — это правильное определение общего знаменателя.

В качестве него выступает положительное число, делящееся на делители вычитаемых выражений без остатка. Искомый параметр можно находить как для двух дробей, так и сразу для нескольких.

В простейшем понимании такое число можно получить простым перемножением знаменателей.

Но такой подход будет нерациональным, хотя назвать его в корне неправильным нельзя.

Общее правило для вычисления наименьшего общего знаменателя (НОЗ):

1. Из чисел, стоящих в делимых, выбрать наибольшее и исследовать его на возможность деления с оставшимися. Если такое действие возможно, то выбранное значение и будет НОЗ. В ином случае переходят ко второму пункту.
2. Наибольший знаменатель умножают на два и проверяют делимость полученного числа на все остальные.
3. На этом шаге наибольший знаменатель умножают на три и повторяют проверку.
4. Если НОЗ не найден, делители раскладывают на простые множители. В результате повторяющиеся числа убирают, а оставшиеся перемножают. Получившееся произведение и будет НОЗ.

Таким образом, чтобы найти нужный знаменатель, необходимо уметь раскладывать простые числа на множители. Эта операция является тождественным преобразованием. Выполняется она в несколько этапов.

Сначала ищется наименьшее число, на которое можно разделить исходное без остатка. Затем выполняют деление и повторяют действие, но уже для полученного значения. Операцию повторяют до тех пор, пока в ответе не получится единица.

Понять процедуру проще на примере. Пусть нужно выполнить вычитание двух дробей, у которых в знаменателях стоит 15 и 40. Следуя алгоритму, нужно наибольшее из этих чисел умножить на два и попробовать выполнить деление. В ответе получится число 80, которое на 15 разделить без остатка невозможно. Поэтому можно попробовать выполнить умножение на три: 40 * 3 = 120. Полученное произведение можно разделить на 15, в ответе будет восемь. Значит, 120 и будет искомым общим знаменателем.

Это значение можно было найти и пойдя путём разложения. Так, 15 можно представить как 5 * 3, а 40 в виде произведения 2 * 2 * 2 * 5. При сравнении записей видно, что и в первой, и во второй стоит цифра пять. Поэтому в одной из них её нужно убрать, а оставшиеся члены перемножить: 3 * 2 * 2 * 2 * 5 = 120. Ответ идентичен.

Алгоритм вычитания

Следует отметить, что сложение и вычитание дробей выполняется по одинаковому алгоритму. Единственное отличие в арифметическом знаке действия. Если нужно из одного дробного выражения вычесть другое, рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

• если в многочлене стоит смешанная дробь, то преобразовать её в неправильную;
• исследовать вычитаемое и уменьшаемое на возможность упрощения;
• найти наименьшее общее кратное среди знаменателей;
• вычислить дополнительные множители;
• домножить числители на найденные для них значения;
• записать в знаменатель НОЗ, а в числитель разницу произведений делимых;
• при возможности сократить дробь;
• привести ответ к виду смешанного числа в случае получения неправильной дроби.

Как можно заметить, алгоритм простой. Но может возникнуть вопрос по нахождению дополнительных множителей, несмотря на то что действие относят к простым операциям. После того как найден общий знаменатель, нужно делитель вычитаемого и уменьшаемого разделить на это число. Полученные значения и будут являться искомыми аргументами, предназначенными для домножения.

Кроме этого, необходимо обратить внимание на вычитание дробей разного типа. Чтобы правильно их вычесть, желательно вначале выполнить преобразование. Смешанное выражение можно довольно просто представить в виде неправильного числа. Для этого следует умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению добавить делимое. Затем результат сложения записать в числитель, а знаменатель оставить неизменным.

Существует и другой путь, обратный, то есть неправильную дробь превратить в смешанное число. Для этого числитель нужно разделить на знаменатель. По результату операции остаток записывают в делимое, а делитель оставляют без изменения. Целую же часть прибавляют к дробной. После того как два числа будут смешанными, алгоритм вычитания немного изменяется. Так, целые части вычитают отдельно от дробных чисел, а затем результаты просто складывают.

Какой алгоритм использовать для того, чтобы отнять дроби друг от друга, не принципиально. Всё дело в привычке и навыках решающего.

Но, пожалуй, способ, заключающийся в переводе смешанного числа в неправильное выражение, проще. Другой же метод лучше использовать, когда надо вычесть из целого числа дробное или же наоборот.

Решение примеров

Чтобы научиться правильно вычитать дроби с разными знаменателями, нужно самостоятельно решить несколько задач. Обычно хватает проработать порядка пяти примеров, чтобы получить необходимый опыт. Вот некоторые наиболее интересные задания:

1. Вычислить разницу: (4 / 7) — (2 / 21). Придерживаясь алгоритма, вначале нужно найти общий знаменатель. Число в вычитаемом можно разделить на делитель уменьшаемого без остатка. Поэтому оно и будет искомым выражением. Далее, для первого члена дополнительным множителем будет 21: 7 = 3, а для второго 21: 21 = 1. Значит, решение примет следующий вид: (4 / 7) — (2 / 21) = ((3 * 4) — 2) / 21 = 10 / 21.
2. Определить результат действия: 4 (1 / 3) — 1 / 7. Перед началом выполнения вычитания нужно смешанную дробь привести к неправильному виду, а уже после действовать по алгоритму. Итак, 4 (1 / 3) = ((4 * 3) + 1) / 3 = 13 / 3. Отсюда (13 / 3) — 1 / 7 = ((7 * 13) — (3 * 1)) / 21 = (91 — 3) / 21 = 88 / 21. Полученный ответ нужно представить в виде смешанного выражения: 88 / 21 = (4 + 4 * 21) / 21 = 4 (4 / 21).
3. Сравнить два выражения по модулю: 4 / 5 — 12 / 4 — 4 (5 / 6) и 11 — 3 (1 / 3) + 8 / 7. Чтобы определить, какое из них больше, необходимо выполнить действия. Первый многочлен будет равен: 4 / 5 — 25 / 4 — 4 (5/6) = 4 / 5 — 12/ 4 — (4 * 6 + 5) / 6 = 4 / 5 — 25 / 4 — 29 / 6 = ((12*4) — (15 * 25) — (29 * 10)) / 60 = (48 — 375 — 290) / 60 = — 617 / 60 = -(17 + 10 * 60) / 60 = -10 (17 / 60). Второе выражение можно вычислить так: 11 — 3 (1 / 3) — 8 / 7 = 11 — 3 + 1 / 3 — 8 / 7 = 8 + 1 /3 — 8 / 7 = 8 + ((1*7) — (8 * 3)) / 21 = 8 + (7 — 24) / 21 = 8 — 17 / 21 = (8 / 1) — (17 / 21) = (168 — 17) / 21 = 151 / 21 = 74 / 21. Полученные ответы нужно сравнить без учёта знака. Поэтому можно утверждать, что первое выражение будет больше второго.

Таким образом, отнимать дроби с разными знаменателями не так уж и сложно. Нужно просто найти общий знаменатель, дополнительные множители и выполнить вычитание. При этом следует упомянуть так называемые онлайн-калькуляторы. Это веб-сервисы, которые в автоматическом режиме выполняют вычитание.

Их довольно удобно использовать не только для проверки самостоятельно решённых примеров, но и на стадии обучения.

Всё дело в том, что, кроме быстрого решения, эти сайты могут предоставить пользователям подробные решения того или иного примера.

Как из целого числа вычесть дробь?

Дробь — это числовая цифра, представляющая часть целого. Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Здесь дробь делится на две части, верхняя часть дроби представляет собой числитель, а знаменатель — нижнюю часть дроби. Например, 5/8 — это дробь. В этом случае числитель равен 5, а знаменатель — 8. Натуральные числа — это набор счетных чисел, начинающихся с 1. С другой стороны, натуральные числа с нулем (0) образуют набор, известный как целые числа. Ноль, с другой стороны, является неопределенной идентичностью, которая представляет нулевой набор или вообще отсутствие результата. Целые числа — это в основном числа, которые не содержат дробей, десятичных знаков или даже отрицательных целых чисел. Целые числа — это множество положительных чисел и нулей. Альтернативно, целые числа представляют собой набор неотрицательных целых чисел. Набор целых чисел в математике задается как {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, что обозначается символом W.

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …}

Как из целого числа вычесть дробь?

Решение: 

Чтобы вычесть дробь из целого числа. Мы должны выполнить несколько шагов,

• Шаг 1: Сделайте знаменатель 1, чтобы преобразовать целое число в дробь.
• Шаг 2: Сравните знаменатели и возьмите lcm, чтобы сделать их похожими на дроби.
• Шаг 3: В последнем вычтите числители дроби

Пример: научимся вычитать х – у/z,

Решение: фракция. Поэтому здесь выше преобразуйте x в дробь; мы можем записать это как x/1 в дроби.

Шаг 2: Сравните знаменатели и возьмите lcm, чтобы сделать их похожими на дроби. Теперь это x/1 – y/z, мы возьмем lcm знаменателей z и 1, lcm равно z, так что дроби будут = (xz – y)/z

Шаг 3: В последнем вычтите числители дроби, так что дробь будет

= (xz – y)/z

Примеры вопросов

Вопрос 5: Вычесть целое число от 3/4?

Решение: 

Выполните описанные выше шаги,

Шаг 1. Сделайте знаменатель равным 1, чтобы преобразовать целое число в дробь. Поэтому здесь выше целое число равно 5, мы можем записать его как 5/1 дробью.

Шаг 2: Сравните знаменатели и возьмите lcm, чтобы сделать их похожими на дроби. Теперь это 3/4 — 5/1, мы возьмем lcm знаменателей 4 и 1, lcm равно 4, поэтому дроби будут = (3 — 20) / 4

Шаг 3: В конце вычтите числители дроби

Сейчас = (3 – 20)/4

= -17/4

Вопрос 2: Вычесть 3/2 из 8?

Решение:  

Мы можем записать целое число 8 как 8/1 в дроби, а другое число у нас есть 3/2, теперь вычтем 3/2 из 8/1.

= 8/1 – 3/2 

Взяв lcm из 1 и 2, мы получим 2,

= {(8 × 2) – (3 × 1)}/2

= (16 – 3) /2

= 13/2

Вопрос 3: Вычесть 25 из 10/8?

Решение:  

Мы можем записать целое число 25 как 25/1 в дроби, а другое число у нас есть 10/8, теперь вычтем 25 из 10/8.

= 25/1 – 10/8

Взяв lcm из 1 и 8, мы получим 8,

= {(25 × 8) – (10 × 1)}/8

= (200 – 10)/8

= 190/8

= 95/4

Вопрос 4: Вычесть 1/5 из 4?

Решение:  

Мы можем записать целое число 4 как 4/1 в дроби, а другое число у нас есть 1/5, теперь вычтем 1/5 из 4/1.

= 4/1 – 1/5 

Взяв lcm из 5 и 1, мы получим 5,

= {(4 × 5) – (1 × 5)}/5

= (20 – 5) /5

= 15/5

= 3

Вопрос 5: Вычесть 100 из 10/8?

Решение:  

Мы можем записать целое число 100 как 100/1 в дроби, а другое число у нас есть 10/8, теперь вычтем 100 из 10/8.

= 10/8 – 100/1

Взяв lcm из 8 и 1, мы получим 8,

= {(10 × 1) – (100 × 8)}/8

= (10 – 800) /8

= -790/8

= -395/4

Вопрос 6: Вычесть 5/3 из 55?

Решение:  

Мы можем записать целое число 55 как 55/1 в дроби, а другое число у нас получится 5/3, теперь из 55/1 вычтем 5/3.

= 55/1 – 5/3

Взяв lcm из 1 и 3, мы получим 3,

= {(55 × 3) – (1 × 3)}/3

= (165 – 3) /3

= 162/3

= 54

Как вычитать дроби с разными знаменателями0005 Если вы хотите вычитать дроби с разными знаменателями, у вас есть выбор методов: простой способ, быстрый прием и традиционный способ.

Простой способ всегда работает, и вы должны использовать этот метод для большинства ваших потребностей в вычитании дробей. Быстрый трюк отлично экономит время, поэтому используйте его, когда можете. А что касается традиционного способа — ну, ваш учитель и другие сторонники чистоты математики, вероятно, предпочитают, чтобы вы использовали его таким образом.

Вычитание дробей простым методом

Этот способ вычитания дробей работает во всех случаях, и он прост. Вот простой способ вычитания дробей с разными знаменателями:

1. Перемножьте две дроби и вычтите второе число из первого, чтобы получить числитель ответа.

   Например, предположим, что вы хотите вычесть 6/7 – 2/5. Чтобы получить числитель, перемножьте две дроби, а затем вычтите второе число из первого числа:

   .

   (6 5) – (2 7) = 30 – 14 = 16

   После перекрестного умножения обязательно выполняйте вычитание в правильном порядке. (Первое число равно произведению числителя первой дроби на знаменатель второй.)

2. Умножьте два знаменателя, чтобы получить знаменатель ответа.

   7 5 = 35

3. Поставив числитель над знаменателем, вы получите ответ.

Вот еще один пример для работы:

Этот пример объединяет все шаги:

При такой постановке задачи вам просто нужно упростить результат:

В этом случае вы можете уменьшить дробь:

Вычитание дробей методом быстрого трюка

Простой способ лучше всего работает, когда числители и знаменатели малы. Когда они больше, вы можете срезать путь.

Прежде чем вычитать дроби с разными знаменателями, проверьте знаменатели, чтобы увидеть, кратен ли один из них другому. Если это так, вы можете использовать быстрый трюк:

1. Увеличьте члены дроби с меньшим знаменателем, чтобы она имела больший знаменатель.

   Например, предположим, что вы хотите найти 17/20 – 31/80. Если вы перемножите эти дроби, ваши результаты будут намного больше, чем вы хотите работать. Но, к счастью, 80 кратно 20, так что можно воспользоваться быстрым способом.

   Сначала увеличьте члены 17/20 так, чтобы знаменатель был равен 80:

   ? = 80 ÷ 20 17 = 68

2. Перепишите задачу, подставив эту увеличенную версию дроби, и вычтите.

   Вот задача на вычитание дробей с одинаковым знаменателем, которую решить гораздо проще:

   В этом случае не нужно приводить к самым низким условиям, хотя в других задачах, возможно, придется.

Вычитание дробей традиционным методом

Вы должны использовать традиционный способ только в крайнем случае, когда числитель и знаменатель слишком велики, чтобы использовать простой способ, и когда вы не можете использовать быстрый прием.