|
Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
⇐ ПредыдущаяСтр 31 из 39Следующая ⇒ Цель работы на данном этапе — опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Работа ведется в такой последовательности: 1. Рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т. е. слева направо). 2. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 85-(46-14),60: (30-20), 90: (2*5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. 3. Наиболее трудным является правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Вывод: порядок действий принят по договоренности: сначала выполняется умножение, деление, затем сложение, вычитание слева на право. 4. Упражнения на вычисления значения выражений, когда ученику приходится применять все изученные правила. Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения — это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число и, произведение и др. Ознакомление с буквенными выражениями. Уже в I классе возникает необходимость введения символа, обозначающего неизвестное число. В учебной и методической литературе с этой целью для учащихся предлагались самые разнообразные знаки: многоточие, обведенная пустая клетка, звездочки, вопросительный знак и т. п. Но так как все эти знаки полагается использовать в другом назначении, то для записи неизвестного числа следует использовать общепринятый для этих целей знак — букву. В дальнейшем буква как математический символ используется в начальном обучении математике также для записи обобщенных чисел, то есть когда имеются в виду не одно какое-либо целое неотрицательное число, а любое число. В I классе учащиеся применяют букву с целью — обозначения неизвестного искомого числа. Учащиеся знакомятся с написанием и чтением некоторых латинских букв, применяя их сразу для записи примеров с неизвестным числом (простейшие уравнения). Учащимся показывается, как перевести на язык математических символов задание, выраженное словесно: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6. Найти неизвестное число». Учитель объясняет, как записать эту задачу: обозначить неизвестное число буквой х, затем показать при помощи знака +. что к неизвестному числу прибавили 2 и получили число, равное 6, что и записать, используя знак равенства: х + 2 = 6. Теперь надо выполнять действие вычитания, чтобы по сумме двух слагаемых и одному из них найти другое слагаемое. Основная работа с использованием буквы как математического символа выполняется в последующих классах. При введении буквенных выражений важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. а + Ъ (а плюс Ъ) также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами: каждая из букв обозначает любые числа. Придавая буквам различные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. В работе над такими выражениями раскрывается понятие постоянной. Использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах. Равенства, неравенства. В практике обучения в начальных классах числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальных классах вместо этих терминов употребляют слова «верные» и «неверные». Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах заключаются в том, чтобы научить учащихся практически оперировать равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству. Понятия о равенствах, неравенствах раскрываются во взаимосвязи. При изучении, арифметического материала. Знаками «>», «<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Далее при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай — поставь знак — объясни — проверь вычислением). Сравнить два выражения — значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10,х-3=10 + 5,х*(17-10) = 70,х:2-г10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т.е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) — значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 4) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: х+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18— 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 — В) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. ⇐ Предыдущая26272829303132333435Следующая ⇒ Читайте также: Где возникла философия и почему? Относительная высота сжатой зоны бетона Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии Тарифы на перевозку пассажиров |
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-26; просмотров: 2275; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. |
Все правила по сольфеджио
Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках.
Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения.
Обратная связь — 38.242.236.216 (0.003 с.)какой правильный и сможете ли вы решить примеры без ошибокы
- Главная
войти в систему
Добро пожаловат!Войдите в свой аккаунт
Ваше имя пользователя
Ваш пароль
Вы забыли свой пароль?
восстановление пароля
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
04.03.2022, 14:45
Оказавшись перед этими простыми примерами, оплошали даже некоторые признанные в сети знатоки. Хотя стоит лишь вспомнить порядок действий в математике. А вы сможете решить их без ошибки? Для того, чтобы без труда справляться с подобными примерами стоит вспомнить порядок действий в математике со скобками, умножением и делением. Разберемся с выражениями без скобок. Так, действия выполняются по порядку слева направо, при этом сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.
Возникает вопрос: какое действие совершить раньше, умножение или деление? Опять же, действует порядок слева направо.
Рассмотрим такой пример, который поможет нам закрепить правила порядка действий в математике: 17−5·6:3−2+4:2. Что у вас получилось?
Следуем порядку действия в примерах. Выходит, что в первую очередь нужно выполнить умножение и деление. Так, пять умножаем на шесть, получаем 30. Это число делим на три, получаем 10. Следом выполняем деление. Четыре делим на два и получаем два. Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10, а вместо 4:2 — значение 2. Получается следующее выражение: 17−10−2+2. С умножением и делением мы уже справились, значит, выполняем действия по порядку слева направо. Ответ на этот пример: семь.
Прежде чем приступить к следующему примеру, вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками. Итак, сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Теперь, когда мы освежили в памяти порядок действий в математике со скобками, попробуем решить этот пример: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)). Какой ответ получился у вас?
Выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Не путаемся в порядке выполнения действий в примерах. Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них: 2 + 3 = 5. Затем подставим полученное значение: 5 + 1 + 4×5. В этом выражении сначала выполняем умножение, только после — сложение: 5 + 1 + 4×5 = 5 + 1 + 20 = 26. После подстановки получаем следующее: 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение. Ответ: 35.
Предыдущая статьяКак санкции и кризис скажутся на животных России: от кошки до медведя
Следующая статьяВ следующем месяце Farming Simulator 22 получит бесплатное DLC Precision Farming с новыми возможностями
Неявное умножение? – The Math Doctors
Я хочу завершить эту серию темой, которая постоянно возникает как в классах, так и в социальных сетях: как вы оцениваете выражение типа \(a\div bc\) или \(8\div 4( 3-1)\), где умножение указано без специального символа? Есть несколько причин, по которым можно интерпретировать это иначе, чем правило, которое мы обсуждали, согласно которому умножение и деление выполняются слева направо.
Сначала мы рассмотрим это с точки зрения студентов и преподавателей, а затем (в следующий раз) исследуем некоторые исторические вопросы, чтобы завершить серию.
Два способа оценки ax÷by
Давайте сначала рассмотрим один из предыдущих вопросов, которые у нас были по этой проблеме, в 1999 году, чтобы подготовить почву:
Порядок действий Проблема была представлена так: а = 1,56 б = 1,2 х = 7,2 у = 0,2 топор / по = ? Вот два способа, которыми я это решил: 1) Сначала я переписал задачу как [1.56(7.2)/1.2](0.2). Во-вторых, а умножается на х. Продукт был 11,232. Затем, поскольку скобок не было, я следовал порядку операций и разделил 11,232 на b, что равнялось 1,2. Частное было 9.36. Затем я умножил 9,36 на y, что составило 0,2. Окончательный ответ был 1,872. 2) С другой стороны, первое, что я сделал, это умножил а на х. Продукт, который был 11,232, пока отложили. Затем b умножили на y, что дало произведение 0,24. Теперь проблема была решена путем деления 11,232 (или ax) на 0,24 (или на), чтобы получить окончательный ответ 46,8.Скажите, пожалуйста, какой ответ правильный и почему?
Скажите, пожалуйста, какой ответ правильный и почему? (Обратите внимание, что в то время единственным способом ввести деление в нашей электронной почте было использование косой черты \(a/b\), которая, как я обычно полагаю, представляет собой выражение, на самом деле написанное как \(a\div b\) , Я буду время от времени вставлять обелус, ÷, где мы сделали грубые попытки смоделировать его.)
Первый способ буквально следует за PEMDAS, как обычно учат и как я представил его здесь, вычисляя слева направо как \(a\cdot x\div b\cdot y = ((a\cdot x)\div б)\cdot у\).
Второй видит это как \(ax\div by = (ax)\div (by)\). Это не объясняется тем, что следует какому-то обученному правилу, а просто делает то, что выглядит правильно, либо потому, что деление читается, как если бы это была дробная черта, либо просто потому, что « на » выглядит как единое целое. Мы увидим несколько причин, по которым учащиеся сделали это.
Хотя я был с Спросите доктора Математики меньше года, это был уже знакомый вопрос, на который я хотел подробно ответить ради архива:
Вы не одиноки, задаваясь этим вопросом.
У нас было несколько других вопросов о выражениях, подобных вашему, от сбитых с толку учителей и учеников, которые обнаружили, что разные книги или учителя дают разные ответы, и даже калькуляторы расходятся во мнениях. Обратите внимание, что не только ученики делают то, что им кажется правильным, но и некоторые учебники и калькуляторы следуют второму методу.
Новое правило или то, что кажется правильным?
Я подробно остановился на двух методах, приняв версию PEMDAS за правильную (хотя у меня есть некоторые сомнения по этому поводу):
Как написано, ваше выражение
топор / по
должно оцениваться слева направо : a умножить на x, разделить на b, умножить на y. Умножение не выполняется перед делением, но оба выполняются в том порядке, в котором они появляются. Ваше первое решение верное.
Некоторые тексты составляют правило , как и во втором решении, что умножение без символа («подразумеваемое умножение») должно выполняться перед любыми другими операциями в выражении [кроме возведения в степень], включая «явное умножение» с использованием символа. Следуя этому правилу, вы должны умножить a на x, затем умножить b и y, а затем разделить одно на другое. В некоторых (вероятно, в большинстве) текстах такое правило не упоминается, но некоторые из них могут использовать его, не говоря об этом, что гораздо хуже . 
Следуя этому правилу, вы должны умножить a на x, затем умножить b и y, а затем разделить одно на другое. В некоторых (вероятно, в большинстве) текстах такое правило не упоминается, но некоторые из них могут использовать его, не говоря об этом, что гораздо хуже . Кажется, я придумал термин « подразумевающий или неявный умножение », когда я ответил на свой первый вопрос по этой теме за несколько месяцев до этого, чтобы сослаться на умножение, обозначенное простым помещением двух чисел, переменных или выражений в скобках друг рядом с другом — « сопоставление », как это называют другие — например \( ab\) или \( 2b\) или \( a(b+c)\), в отличие от явного написания \( a\times b\) или \( a\cdot b\).
Мы видели несколько вопросов от студентов, чьи учебники учили только обычному PEMDAS, но оценивали второй способ в примерах или решениях без комментариев. Возможно, это произошло из-за того, что ответы в конце были написаны кем-то другим, а не автором, но это непростительное несоответствие.
Зачем автору вводить это дополнительное правило? В разное время у меня были разные мнения о том, является ли это правило хорошей идеей, но я всегда признавал, что это не то, чему обычно учат:
Я не знаю общего правила среди математиков, согласно которому умножение следует выполнять до явное умножение. Насколько я понимаю, все умножения помещаются в одно и то же место в порядке операций. Однако это не является необоснованным правилом , так как кажется, что подразумеваемое умножение более тесно связывает операнды вместе, хотя бы визуально ; но идея Порядка Операций (или приоритета, как это называется в компьютерном мире) должна гарантировать, что все будут одинаково интерпретировать двусмысленное выражение — так что , если некоторые тексты изменят правила, или если люди делай то, что кажется естественным, цель потеряна .
Правило, которое не является правилом, бесполезно, каким бы разумным оно ни было. Да, «новое правило» — это естественный способ чтения \(ax\div by\), потому что \(by\) выглядит как единое целое; но пока этому не научат все, мы не можем этого делать и ожидать, что нас поймут все читатели.
В частности, многие студенты предполагают, что оно представляет собой горизонтальную версию \(\displaystyle\frac{ax}{by}\):
Проблема здесь в том, что выражение выглядит так, как будто оно должно быть
топор
----
по
В часто задаваемых вопросах доктора математики о написании математики в электронной почте одна из наших рекомендаций состоит в том, чтобы использовать круглые скобки везде, где это возможно, чтобы избежать двусмысленности , даже там, где правила должны прояснять это, потому что в некоторых ситуациях их можно легко забыть. .
Поэтому в электронной почте мы бы написали это так:
ax/(by) или (ax/b)*y
в зависимости от того, что задумано. Используя круглые скобки, мы можем избежать написания чего-то, что люди, которых учили другим правилам или которые игнорируют правила, которым их учили, могли бы воспринять иначе, чем мы предполагали.
Проблемы с калькулятором
В моем исследовании для другого «пациента» доктора математики я обнаружил, что некоторые калькуляторы экспериментировали с этим правилом.
Калькуляторы имеют несколько иные потребности, чем математики, поскольку они должны вводить данные линейно, один символ за другим, поэтому они вынуждены принимать решение об этом. На веб-сайте TI я узнал, что они преднамеренно добавили эту «функция» в TI 82, а затем убрали ее из TI 83, вероятно, потому, что решили, что это не стандартное правило и оно будет путать людей. Связь там давно вышла из строя; но когда в 2008 году возник конкретный вопрос о калькуляторе, я процитировал слова TI из их базы знаний:
Подразумеваемое умножение и калькуляторы TI. ... Решение 11773. Подразумеваемое умножение по сравнению с явным умножением в графических калькуляторах TI. Имеют ли подразумеваемое умножение и явное умножение одинаковый приоритет в графических калькуляторах TI? Неявное умножение имеет более высокий приоритет, чем явное умножение , чтобы пользователи могли вводить выражения таким же образом, как они были бы написаны. Например, TI-80, TI-81, TI-82 и TI-85 оценивают 1/2X как 1/(2*X), в то время как другие продукты могут оценивать то же выражение как 1/2*X слева направо.
Правильно. Без этой функции было бы необходимо группировать 2X в круглых скобках, что обычно не делается при написании выражения на бумаге.
Этот порядок приоритета был изменен для семейства TI-83, семейства TI-84 Plus, семейства TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200 и портативного устройства TI-Nspire™ в режиме TI-84 Plus. Неявное и явное умножение имеют одинаковый приоритет. Это ясно показывает, что разработчики калькуляторов должны устанавливать свои собственные правила, которые не обязательно должны совпадать с правилами письма на бумаге; но педагоги, кажется, убедили их оставить все как можно более одинаковым ради учеников.
В заключение (назад к ответу 1999 года):
Итак, отвечая на ваш вопрос, я думаю оба ответа можно считать правильными - значит, конечно, что сам вопрос неверен . Я предпочитаю стандартный способ (ваш первый ответ) в общении со студентами, , если их собственный текст не содержит правила «сначала неявное умножение» ; но на практике, если бы я встретил это выражение, я, вероятно, сначала проверил бы, откуда оно взялось, чтобы увидеть, могу ли я сказать, что имелось в виду.
Главный урок, который нужно усвоить, заключается не в том, какому правилу следовать, а в том, как избежать двусмысленности в том, что вы пишете сами. Не доставляй другим людям таких хлопот. Впоследствии у нас было еще много вопросов по этому поводу; Я просто процитирую несколько уникальных фрагментов из некоторых из этих ответов.
Старомодная математика?
Вот типичный пример школьного конфликта, начиная с 2000 года:
Порядок Операции Спор Задача гласит: N ÷ ml, где n=12, m=6 и l=3. Я считаю, что правильный ответ должен быть 0,6666, так как 12 разделить на 18 равно этому. Муж со мной согласен. Мой сын пришел домой очень расстроенный из школы, с запиской от учителя, что ответ был неправильным. Она указала, что я должен был разделить 6 (m) на 12 (n), прежде чем разделить 3 (l) на уравнение. Ее ответ был 6. Мой сын очень расстроен мной; его учитель сказал ему, что я занимаюсь "старомодной математикой". Мне нужно вернуться в школу?
Проблема в \(N\div ml\), и родители сначала выполняют умножение.
Я частично ответил:
Я могу сообщить вам хорошие и плохие новости. Во-первых, плохие новости: в соответствии с обычным порядком выполнения правил, которые сейчас изучаются, ваш ответ неверен. ...
Я объяснил стандартные правила и добавил:
НО... Вы не одиноки в своем мнении. Эта часть правила — совместное выполнение умножения и деления — вероятно, является последним правилом, которое стабилизировалось; Я знаю, что в 1920-х, по крайней мере, договоренности не было. Кажется, соглашение сложилось, но сейчас оно рушится, как я слышал от многих студентов, чьи тексты отвечают на подобные вопросы так же, как и вы. Похоже, что они добавляют неустановленное правило, которое кажется вполне разумным в данном контексте , что подразумеваемое умножение (обозначаемое простым помещением двух переменных или выражений вместе, как в «ml») должно быть выполнено первым. Конечно, выглядит так, как будто это . Проблема в том, что, хотя я слышал, что это правило равно часто следовал за , я почти никогда не слышал, чтобы обучал , поэтому эти тексты не следуют их собственным установленным правилам.
В следующий раз я расскажу больше об истории.
Так как этот тип выражения настолько двусмыслен, люди расходятся во мнениях по поводу правил, а правила легко упустить из виду, я считаю, что ни ваш ответ, ни ответ учителя неверны: вопрос неверен . Ни один ответственный математик не стал бы писать такое выражение; мы бы просто сказали
н
---
м л
так что не было бы вопроса о его значении. В конце концов, цель правил — позволить нам ясно общаться, а не помогать нам обманывать учеников и устраивать ссоры между семьями.
Так что на самом деле вы можете быть «старомодным»; или вы можете быть на переднем крае. В любом случае, боюсь, вам просто нужно узнать, как они это делают в классе, и следовать за ними. Не должно быть больше таких проблем, о которых нужно беспокоиться. В последнее время драки, как правило, происходят в социальных сетях!
Неправильное использование свойства дистрибутива
Я закончу последним архивным обсуждением.
Этот вопрос от 2017 года:
Еще больше о порядке операций Мне любопытно узнать, какой ответ на это: 8/4(3 - 1) Строго следуя PEMDAS, ответ равен 4: 8/4(2) 2*2 4 Однако, если вы будете следовать дистрибутивному свойству, вы получите 1: 8/((4*3) - (4*1)) 8/(12 - 4) 8/8 1 Какой из них будет правильным и почему? Оба варианта действительны, поэтому я не уверен, какой ответ будет правильным. Это должно быть правильно или неправильно, а не два разных ответа.
Я ответил набором своих стандартных ответов на вопросы такого рода; даже мой первый заархивированный ответ на эту тему в 1999 году был в значительной степени стандартным ответом, который я давал другим раньше. Здесь я просто рассмотрю несколько сделанных мною замечаний, которые не были полностью освещены выше.
Сначала я подытожил происходящее:
Проблема не в конфликте между PEMDAS и дистрибутивом; дело в том, что строгая интерпретация PEMDAS противоречит естественному впечатлению человека значения выражения, так что вы неосознанно применяете альтернативную интерпретацию, когда думаете, что просто применяете распределительное свойство.
Если вы вспомните более ранние заявления о том, что PEMDAS (а) находится в гармонии со свойствами операций и (б) соответствует визуальному впечатлению от наших обозначений, то некоторые тревожные звоночки уже должны звучать!
Когда вы распространяли, вы ПРЕДПОЛАГАЛИ, что это 4, а не 8/4 умножает (3 - 1). При этом вы нарушали правила и всего делал то, что считал нужным . Если бы вы следовали правилам И распространяли, вы бы получили это: (((8/4)*3) - ((8/4)*1)) ((2*3) - (2*1)) 6 - 2 4
На самом деле не свойство распределения привело к «неправильному» результату, а тот факт, что при распределении 4 рассматривалось как множитель.
Те, кто говорят, что вы должны распространять сначала , ставят телегу впереди лошади: вы не можете применять трюки для оценки выражения, прежде чем вы сначала не узнаете, что оно ОЗНАЧАЕТ, но они думают, что свойство распределения влияет на значение. (На самом деле свойство дистрибутивности здесь — пустая трата времени, потому что оно заставляет вас делать два умножения там, где нужно только одно!) Смысл определяется порядком действий.На самом деле есть несколько разных причин, которые люди приводят (это очень популярный вопрос), некоторые из которых лучше, чем другие. Как утверждает ваш друг, правила, как обычно учат, говорят нам выполнять все умножения и деления слева направо (в пределах любого их кластера) и не делать исключений, из-за которых 4b будет оцениваться первым. Многие из нас здесь согласятся с этим и покончат с этим. Некоторые люди сначала оценили бы 4b из-за неправильного понимания PEMDAS, думая, что это означает, что умножение должно быть выполнено до деления . Я думаю, вы знаете, что они ошибаются. Другая неверная причина, примененная к несколько иному виду выражения, — это неправильное понимание скобок : правило, согласно которому скобки «предшествуют» всему остальному, приводит их к мысли, что в выражении вроде 12/4(4-1) умножение 4 (4-1) должно быть сделано первым. Но правило о скобках на самом деле говорит только о том, что то, что находится ВНУТРИ скобок, должно быть оценено в первую очередь; результат обрабатывается как любое другое число.Пример «липких скобок» см. в разделе
Связана ли цифра 2 с числами в скобках?Пример отображения знака деления в виде дробной черты (и долгое обсуждение того, как не поддаваться влиянию внешнего вида) см. в разделе 9.0003
Порядок операций и дробейНазад к ответу 2017 года…
Избегание — лучшая политика не оставляет двусмысленности. В результате математическому сообществу никогда не приходилось делать выбор в этой ситуации!
По сути, он остался неопределенным , и именно авторы учебников придумали явные «правила» для описания того, что на самом деле является просто языком, который развивался органически, основано не на тщательно сформулированных правилах, а на молчаливом соглашении . Так что «правильный» способ прочтения такого выражения зависит от того, какие правила действуют в конкретном сообществе (математический класс, журнал и т. д.) — и что имел в виду автор.
Умножение должно производиться до или после деления? 92\div 4b + c\): 
(Я иногда называю это " липкие скобки "вид.)
Другая причина, связанная с этим вторым типом выражений, заключается в том, что дистрибутивное свойство вынуждает вас сначала выполнять умножение, потому что сначала вычисляется 4(4-1) = 4*4-4*1 = 12, а затем разделять; но это вызывает вопрос, потому что единственная причина, по которой они взяли 4, а не 12/4, в качестве множителя слева, заключается в том, что им это показалось именно так. И, конечно же, свойство дистрибутивности — это всего лишь способ, которым вы можете, если хотите, переписать выражение так, чтобы оно давало то же самое значение; это вне вопроса о том, что само по себе ЗНАЧИТ это выражение.
В конце концов, большинство людей, вероятно, делают это всего лишь , потому что это кажется правильным : 4b выглядит ближе друг к другу, поэтому мы, естественно, хотим сделать это в первую очередь. Но они не могут указать ни на одно правило, оправдывающее это; и поскольку математика — это доказательство и то, что вы ЗНАЕТЕ правильно, а не только то, что кажется правильным, это нехорошо.
Я закрыл призывом к миру:
В результате в таких задачах ошибаются в первую очередь не те, кто дает "неправильные" ответы, а те, кто ставит задачу в первую очередь ( или передать дальше).
Любой, кто действительно хочет правильно заниматься математикой, захочет четко об этом сообщить и будет избегать двусмысленности или неопределенности. Они должны либо полностью заключаться в круглые скобки, либо использовать горизонтальную дробную черту, которая проясняет порядок:
6 6
-------- или ---(2 + 1)
2(2 + 1) 2 Споры о подобных вещах в социальных сетях — пустая трата времени. Но размышление о наших соглашениях может быть очень поучительным. В следующий раз я завершу все рассмотрением истории и некоторыми вескими причинами считать, что «новое правило» на самом деле правильное.
Некоторые недоразумения относительно порядка операций
В этой статье я опишу некоторые недоразумения относительно порядка операций и предложу лучший способ осмысления этой темы. Пожалуйста, добавляйте свои идеи в комментарии.
Порядок операций — это набор правил, которые мы используем для вычисления математических выражений. Правила следующие:
- Выполнять все операции внутри круглых скобок.
- Применить показатели.
- Выполнить все операции умножения и деления слева направо.
- Выполните все операции сложения и вычитания слева направо.
Мне нравится начинать тему, показывая своим ученикам два способа расчета и спрашивая их, какой из них правильный. Я также показываю им, что разные калькуляторы дадут разные ответы на одну и ту же задачу в зависимости от типа логики, которую они используют. Калькулятор с четырьмя функциями дает ответ 35, а научный калькулятор дает 23. На самом деле, калькулятор Windows дает оба ответа, в зависимости от режима (стандартный или научный).
Многие ученики и некоторые учителя неправильно понимают эти правила. Есть некоторые тонкости правил, которые опускаются во многих книгах, и эти упущения приводят к путанице. Вот некоторые из этих недоразумений.
1. Порядок операций указан в скобках.
Некоторые учащиеся знают, что сначала они должны упрощать в скобках, но они не понимают, что порядок операций также применяется при работе внутри скобок.
Например, в выражении
ученик может не знать, что сначала нужно выполнить умножение.
2. Упрощение внутри круглых скобок не означает устранение круглых скобок.
Некоторые учителя описывают первый шаг как избавление от круглых скобок. Это вызывает путаницу, когда студентов просят упростить такие выражения, как или . В этих случаях выражения внутри круглых скобок уже были упрощены, но круглые скобки по-прежнему служат полезной цели.
3. Группировка иногда обозначается не скобками.
Круглые скобки часто используются для группировки, но мы также используем квадратные скобки [ ] или фигурные скобки { }. Столетие назад также было распространено использование vinculum, представляющего собой вертикальную черту, написанную над частью выражения. Винкулум сегодня редко используется, но он сохраняется в обозначении квадратных корней.
Иногда подразумевается группировка. Когда выражение записывается в виде вертикальной дроби, подразумевается, что члены в числителе сгруппированы вместе, как и члены в знаменателе.
Например,
Выражения в показателе степени также содержат круглые скобки. Эти скобки необходимо вводить явно при использовании калькулятора.
4. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет и должны выполняться слева направо. То же самое верно для сложения и вычитания.
Этот момент обсуждается в отличном блоге Дэвида Гинзбурга, поэтому я не буду обсуждать его в этом посте. Пожалуйста, прочитайте его пост!
5. Порядок операций является чрезмерным упрощением.
Если мы задумаемся над тем, как мы на самом деле упрощаем выражения, то поймем, что не всегда строго следуем порядку операций. Иногда мы выполняем вычисления параллельно и можем даже сначала выполнить операцию с более низким приоритетом. Например:
Это нарушение правил операций, так как мы сначала выполнили сложение. И все же мы знаем, что это нарушение безобидно; ответ по-прежнему правильный. Есть ли хороший способ сформулировать правила порядка операций, чтобы обеспечить эту гибкость?
6.
Математические выражения рекурсивны.
Рекурсия — сложная тема, но она имеет решающее значение для понимания математических выражений. Наша нотация вынуждает нас записывать математические выражения в линейном порядке, но истинная структура лучше отражается деревом. Например, вот древовидная структура для .
Дерево выражений для 1 + 2 − 3 × 4.
Важно, чтобы учащиеся научились видеть эту рекурсивную структуру. Структуру можно показать и другими способами, например, обведя кружком 1+2 и 3×4.
7. Последняя операция является самой важной.
В начальной алгебре каждое выражение представляет собой либо одно число, либо сумму, либо разность, либо произведение, либо частное, либо степень. Тип выражения определяется последней выполняемой операцией. Эта операция находится в корневом узле дерева выражений.
Мы используем последнюю операцию, когда решаем линейное уравнение. Чтобы решить уравнение
, мы сначала вычтем 3 из обеих частей, потому что мы должны отменить последнюю операцию, которая заключалась в добавлении 3.