Порядок выполнения действий | Математика | 5 класс
На уроке вы узнаете о роли скобок в выражениях и о правилах, по которым выполняются действия. А также решите несколько интересных примеров.
Введение
В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны.
Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1).
Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой
В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет.
В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.
Пример 1
Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: .
Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .
Роль скобок. Порядок операций
В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать.
Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.
Сложение и вычитание равноправны
В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.
Умножение и деление тоже равноправны
Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:
Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание
Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.
Действия в скобках раньше всего
Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок.
Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение.
Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым.
Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.
Пример 2
Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:
Порядок выполнения действий
- действия в скобках
- умножение и деление
- сложение и вычитание
Пример 3
Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.
Пример 4
Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.
Пример 5
Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.
Расставим последовательность действий.
Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:
Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.
За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.
Заканчиваем решение:
Запись получилась короче.
Заключение
Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.
Список рекомендованной литературы
- Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270 с.
- Математика. 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. 24-е изд., испр. — М.: 2008. — 280 с.
- Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. 2-е изд., перераб. — М.: 2011; Ч. 1 — 176 с, Ч. 2 — 240 с.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
- Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
- Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник)
Домашнее задание
Решите примеры:
Что сначала — сложение или умножение: правила, порядок выполнения действия и рекомендации
С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр.
Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.
Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала — сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».
Сложение и вычитание
Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.
Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.
Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.
Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.
Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.
Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.
Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.
Сложение столбиком − это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.
Умножение
Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.
Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».
Что сначала — умножение или сложение?
Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:
- 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
- 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.
Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.
Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:
- 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
- 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
- 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).
Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;
Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.
Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.
И одна кучка 70 помидоров.
5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?
И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.
2500 + 100 + 70 = 2 670
При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.
Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.
Деление
Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.
Скобки
Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).
Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.
Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках.
И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.
((25-5) : 5 + 2) : 3 =?
- Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!
- Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.
- Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.
(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2
Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.
Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче.
Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала — умножение или сложение.
«Вишенка на торте»
И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:
5 – 8 + 4 = 1;
Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».
«Совсем вишня»
В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала — умножение или сложение.
Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.
От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.
6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9
Теперь точно все!
Умножение и деление в порядке операций
У вас есть вопрос, который вы хотели бы задать профессору Головоломке? Нажмите здесь, чтобы задать свой вопрос!
Семиклассник омарион из Джорджии спрашивает: «Почему «М» и «Д» можно поменять местами, не меняя порядок действий?»
Привет, Омарион! Вы наткнулись на одну из вещей, которая больше всего сбивает с толку в порядке операций. Это не должно сбивать с толку, но я думаю, что иногда учителя либо неправильно учат Порядок действий, либо учат правильно, но неясно или не полностью.
Вероятно, вас учили системе PEMDAS, что означает скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание.
И вам, возможно, сказали, что вы можете запомнить PEMDAS, вспомнив глупую фразу «Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли», в которой первая буква каждого слова соответствует первой букве каждого слова в списке PEMDAS.
Если это то, чему вас учили, то это не так… совершенно… но это еще не все.
Итак, позвольте мне сказать вам это по-другому.
- Символы группировки (например, скобки) наиболее важны.
- Экспоненты — следующая по важности операция.
- Умножение и деление одинаково важны, и они следуют за показателями степени.
- Сложение и вычитание одинаково важны, и они идут после умножения и деления.
- Если у вас есть одинаково важные операции, вы выполняете их в том порядке, в котором читали выражение (слева направо!)
Умножение и деление одинаково важны, поэтому их нужно выполнять слева направо. Точно так же вы выполняете сложение и вычитание слева направо. Итак, давайте попробуем пример задачи.
3 · (3 + 5) — 2 ÷ (3 3 — 5 2 ) + 3 · 2
Чтобы помочь вам понять, как мы это делаем, мы будем упрощать пошагово. . Готовый?
Порядок действий гласит, что сначала мы делаем скобки. Но есть два набора скобок, верно? Какой из них имеет более высокий приоритет? Вот где наше последнее правило вступает в игру. Первым идет тот, что слева. Итак, сначала мы оцениваем первый набор скобок:
3 · 8 — 2 ÷ (3 3 — 5 2 ) + 3 · 2
Затем мы оцениваем единственный другой набор скобок. Но ждать! второй набор скобок имеет несколько операций! Два показателя и одно деление! Итак, мы решаем это в следующем порядке: первый показатель, второй показатель, затем вычитание. Вот он:
3 · 8 — 2 ÷ (27 — 5 2 ) + 3 · 2
3 · 8 — 2 ÷ (27 — 25) + 3 · 2
3 · 8 — 2 ÷ 2 + 3 · 2
Что дальше? Умножение и деление. Что важнее? Ни один! Они одинаково важны. Таким образом, мы делаем их слева направо.
24 — 2 ÷ 2 + 3 · 2
24 — 1 + 3 · 2
24 — 1 + 6
Теперь у нас есть только сложение и вычитание. Что важнее? Ни один! Итак идем слева направо, а значит делаем вычитание, а потом сложение:
23 + 6
29
Итак, отвечая на ваш вопрос, почему мы можем поменять местами «M» и «D» в PEMDAS? Это потому, что ни М, ни D не важнее другого. Точно так же ни А, ни S не являются более важными, чем другие. Так что на самом деле, если бы я хотел, вместо того, чтобы говорить о PEMDAS, я полагаю, я мог бы говорить о…
PEDMSA!
Что, конечно же, означает…
Профессиональные преподаватели радуют многих изучающих алгебру!
Теперь, когда вы прошли через все это, вот несколько забавных игр, которые позволяют вам использовать порядок операций:
Express This — напишите алгебраическое выражение, чтобы получить число
Operations Game — напишите алгебраическое выражение, используя каждую данную цифру ровно один раз
One to Ten — напишите все числа от одного до десяти
факты деления?
Вопрос задан: Ания Шнайдер
Оценка: 5/5 (67 голосов)
При умножении умножаемые числа называются множителями; результат умножения называется произведением.
В дивизионе 9Делимое число 0094 — делимое , число, на которое оно делится, — делитель, а результат деления — частное.
Что такое факт умножения и факт деления?
Определение. Семейство фактов: это набор из четырех связанных фактов умножения и деления, в которых используются одни и те же три числа . Например: семейство фактов для 3, 8 и 24 представляет собой набор из четырех фактов умножения и деления. Два факта умножения, а два других факта деления.
Как связаны факты умножения и деления?
Умножение и деление тесно связаны между собой, учитывая, что деление является операцией, обратной умножению . … Это потому, что когда мы умножаем два числа (которые мы называем факторами), мы получаем результат, который мы называем произведением. Если мы разделим этот продукт на один из множителей, то в результате получим другой множитель.
Сколько фактов деления существует для факта умножения?
На каждый факт умножения приходится два факта деления .
Какое правило умножения и деления?
Поскольку деление является обратным умножению, правила деления такие же, как и правила умножения . Поэтому при умножении и делении положительных и отрицательных чисел помните следующее: если знаки одинаковые, ответ положительный, если знаки разные, ответ отрицательный.
Взаимоотношения умножения и деления — Веселые математические видео для детей 3-й класс
42 связанных вопроса найдено
Что идет первым умножение или деление?
Порядок операций говорит вам сначала выполнить умножение и деление , работая слева направо, прежде чем выполнять сложение и вычитание.
Каков правильный порядок операций в математике?
Порядок операций — это правило, указывающее правильную последовательность шагов для вычисления математического выражения. Мы можем запомнить порядок, используя PEMDAS: Скобки, экспоненты, умножение и деление (слева направо), сложение и вычитание (слева направо) . Создано Салом Ханом.
Сколько существует основных фактов деления?
Там есть бесконечное число фактов деления , потому что числа продолжаются бесконечно! Большинство учащихся узнают основные факты деления от 0 до 12. Эти основные факты, часто представленные в таблице делений, изучаются до того, как учащиеся переходят к задачам на деление в длину с остатками.
Какие факты деления на 3?
Когда учителя говорят о фактах деления, они имеют в виду числовых предложений деления, связанных с таблицами умножения . Следовательно: 30 ÷ 3 = 10, 27 ÷ 3 = 9 и 24 ÷ 3 = 8 — все это факты деления для таблицы трех умножений.
Какие два факта умножения?
При умножении умножаемое число называется множимым, а число, на которое оно умножается, называется множителем. Ответ умножения называется товар .
Чем отношение сложения и вычитания похоже на отношение умножения и деления?
Чем отношение сложения и вычитания похоже на отношение умножения и деления? Возможный ответ: Оба отношения создают тождества.
С чем связаны факты разделения?
Факты деления — это число предложений деления, связанных со знанием таблицы умножения . Например, 50 ÷ 5 = 10, 25 ÷ 5 = 5 и 10 ÷ 5 = 2 — все это факты деления таблицы умножения на пять.
Какая связь между умножением и сложением?
Сложение — это процесс объединения ряда отдельных элементов для формирования нового итога. Умножение, однако, представляет собой процесс повторного сложения и объединения общего количества элементов, составляющих группы одинакового размера .
Что такое факт умножения?
Факт умножения является ответом на вычисление умножения .
Например, в сумме 3 х 3 = 9, факт умножения равен 9.
Как называется умножение и деление?
В математике мы называем группу из четырех операций сложения, вычитания, умножения и деления «арифметикой ».
Каковы четыре основных факта разделения?
Каждая часть, участвующая в уравнении деления, имеет специальное имя. Дивиденд : Дивиденд — это число, которое делится в процессе деления. Делитель:Число, на которое делится делимое, называется делителем. Частное: Частное — это результат, полученный в процессе деления.
Из каких частей состоит деление?
Задача на деление состоит из трех основных частей: делимое, делитель и частное . Делимое – это число, которое будет разделено. Делитель — это количество «людей», между которыми делится число. Частное — это ответ.
Что правильно: Бедмас или Пемдас?
Расшифровывается как Скобки, Экспоненты, Умножение/Деление, Сложение/Вычитание. В школах PEMDAS часто расширяется до мнемоники «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли».