Что в начале деление или умножение: Что выполняется вперед, деление или умножение?

Содержание

Действия какой ступени выполняются в первую очередь?

Меню раздела

: Математика

Пожалуйста, оцените Оценка 1Оценка 2Оценка 3Оценка 4Оценка 5

Ответьте на вопрос: —

Какой порядок действий при решении длинного выражения?

Порядок выполнения действий при решении выражения.

В математике последовательность выполнения действий разделена на две ступени:
к первой ступени относятся действия — сложение и вычитание, ко второй ступени — умножение и деление.
При нахождении значения выражения в первую очередь выполняются действия заключённые в скобки (если имеются), далее выполняются действия второй ступени и в последнюю очередь действия первой ступени.
Порядок действий обозначается слева направо.

Пример:

1. Слева направо обозначим действия в скобках.

2. Вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия второй ступени.
Действия второй ступени — умножение и деление.

3. Вновь вернёмся к началу примера и снова продолжим слева направо обозначать теперь действия первой ступени.
Действия первой ступени — сложение и вычитание.

Всего 10 действий. Выполняем их по проставленному порядку.

Выполним действия в скобках:

18 + 8 : (27 — 25) — 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8

27 — 25 = 2
6 + 4 = 10
После выполнения действий в скобках выражение стало выглядеть так:

18 + 8 : 2 — 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8
Теперь выполним все действия второй ступени — умножение и деление:
18 + 8 : 2 — 2 · 8 + 4 · 10 + 16 : 8
8 : 2 = 4
2 · 8 = 16
4 · 10 = 40
16 : 8 = 2
После выполнения действий второй ступени выражение стало выглядеть так:
18 + 4 — 16 + 40 + 2
Теперь выполним все действия первой ступени — сложение и вычитание:
18 + 4 — 16 + 40 + 2
18 + 4 = 22
22 — 16 = 6
6 + 40 = 46
46 + 2 = 48
18 + 8 : (27 — 25) — 2 · 8 + 4 · (6 + 4) + 16 : 8 = 48

Коротко:

Известные и великие математики

ученые средневековья и современности, и их вклад в мировую науку

Пафнутий Чебышёв

Русский математик и механик
Дата рождения: 16 мая 1821
Место рождения: Акатово, Боровский уезд, Калужская губерния, Российская империя
Дата смерти: 8 декабря 1894 (73 года)

Биография

Первоначальное воспитание и образование получил дома: грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна. Арифметике, французскому языку и музыке обучала двоюродная сестра Авдотья Квинтилиановна Сухарёва. Одним из детских увлечений будущего учёного было изучение механизмов игрушек и автоматов, которые сам придумывал и изготовлял их.

В 1832 году семья переехала в Москву. В Москве с Пафнутием математикой и физикой занимался П. Н. Погорельский — один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился, в пансионе Вейденгаммера, и И. С. Тургенев. Латынь Пафнутию Чебышёву преподавал в то время студент-медик, а в будущем главный врач Шереметевской больницы А. Т. Тарасенков.

Летом 1837 года Чебышёв поступил в Императорский Московский университет на вторе физико- математическе отделение философского факультета и начал изучение математики . Существенное влияние на формирование круга научных интересов молодого Чебышёва оказал его учитель — профессор прикладной математики и механики Московского университета Николай Дмитриевич Брашман.

В 1841 году Пафнутий Чебышёв его окончил.

В 1846 году он успешно защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В 1847 году Чебышёв был утверждён в звании адъюнкт-профессора Петербургского университета. Чтобы получить право чтения лекций в университете, он защитил ещё одну диссертацию — на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов», после чего читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, геометрии, теории эллиптических функций и практической механике.

В 1849 году Чебышёв защитил в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», после чего в 1850 году он стал профессором Петербургского университета; данную должность он занимал до 1882 года. Работая в Петербургском университете, Чебышёв близко сошёлся с профессором прикладной математики О. И. Сомовым, который тоже был учеником Н. Д. Брашмана, и эти отношения переросли в глубокую дружбу. В семейном плане Чебышёв был одинок, и это обстоятельство также способствовало его сближению с большой семьёй Сомова.

Интерес к механизмам сохранялся у Чебышёва и в зрелые годы. В 1852 году Чебышёв совершил научную командировку в Великобританию, Францию и Бельгию, в ходе которой он ознакомился с практикой зарубежного машиностроения, с музейными коллекциями машин и механизмов, с работой заводов и фабрик, а также встречался с крупнейшими математиками и механиками: О. Коши, Ж. Лиувиллем, Ж. -А. Серре, Л. Фуко, Ш. Эрмитом, Дж. Сильвестром, А. Кэли, Т. Грегори. После этого он некоторое время преподавал практическую механику в Петербургском университете и Александровском лицее.

В 1853 году академики П. Н. Фусс, В. Я. Струве, Б. С. Якоби, В. Я. Буняковский представили Чебышёва к избранию в адъюнкты Петербургской академии наук, особо отметив важность его работ в области практической механики. В том же году он был избран в адъюнкты, а в 1856 году стал экстраординарным академиком.

В 1858 году в связи с его работами по теории шарнирных параллелограммов и теории приближения функций академики В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский, Э. Х. Ленц, Б. С. Якоби, А. Я. Купфер, О. В. Струве подписали представление к избранию Чебышёва ординарным академиком. И 1859 году Чебышёв избран ординарным академиком. Стал почётным членом Московского университета.

С 22 февраля 1860 года — ординарный профессор.

С 10 июля 1863 года — член Учёного комитета Министерства народного просвещения.

С 30 августа 1863 года — действительный статский советник.

Чем знаменит:

В 1840/1841 учебном году, участвуя в студенческом конкурсе Императорского Московского университета, Пафнутий Чебышёв получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-й степени которую написал ещё в 1838 году и сделаную на основе алгоритма Ньютона
Работы по теории вероятностей — изъяв из неё расплывчатые формулировки и неправомерные утверждения и превратив её в строгую математическую дисциплину
Работы по теории чисел
Работы по математическому анализу
Работы по прикладной математике и механике
Работы по «стопоходящей машины»
Создатель автоматического арифмометра
оздатель модели инвалидной коляски
оздатель
Работы по

Назад
Вперед

Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter

Рейтинг: ( 0 Рейтинг )

Подростку оторвало три пальца У подростка взорвалась бомба Восьмиклассник подорвался на кофемолке Не рой себе яму, тебе будут угрожать! Алло, Майя! Взорвалась прямо во рту Продырявили «Северный поток-2» Прекращение торгов долларом Застрелил дочь из ружья Изрезал ножом собственную дочь В составе России В школе № 26 отравились дети Кадыров заявил о перевыполнении плана призыва в Чечне на 254% Мальчика наградили орденом Мужества Избили, задушили и положили в ванну Все наши прежние действия покажутся детскими шалостями

Запомнить меня

Регистрация

Таблица деления | Таблица умножения

Деление в математике – это действие, противоположное умножению.

Смысл слова «деление» в русском языке намного шире, более того иногда оно применяется с разными оттенками и смыслами, а порой возможны и совсем необычные повороты, как, например, во фразе «клетка размножается путем деления», но на этой странице речь пойдет именно о делении в математике в общепринятом на сегодня смысле. Во многих случаях речь будет идти о ситуации, когда происходит преобразование единого целого или совокупности множества составных частей в самостоятельные или отдельно рассматриваемые части. Также в математике часто можно встретить термин «операция деления». Какой же практический смысл этого действия? Представим, что в корзинке есть 12 яблок. Если разделить яблоки поровну между Васей, Петей и Колей, то по сколько яблок достанется каждому? Итак по условию задачи 12 яблок мы будем делить между тремя мальчиками, тогда в результате каждому из них достанется по 4 яблока. В письменном виде это можно записать как 12 : 3 = 4. В качестве знака деления также используют и другие символы, например /, ÷ .

То же самое выражение можно записать дробью, где над чертой будет 12, а под чертой 3. При любой из этих записей справедливо следующее: в операции деления все числа представлены в виде делимого, делителя и частного.

На первом месте (или в верхней части дроби) будет всегда находиться делимое. На втором месте (в этом примере под чертой) – делитель. После знака равно всегда находится результат деления (частное). Следует отметить, что делителей может быть несколько. Например, 10 : 2 : 5=1. Здесь только одно делимое, одно частое, но два делителя (2 и 5). Для лучшего понимания необходимо хорошо разобраться, где находится делимое, где делитель, а где частное. Для быстрого счета в уме таблицу деления часто запоминают наизусть также, как и таблицу умножения. Как правило, если таблица умножения «отскакивает от зубов», проблем с таблицей деления не возникает. Но стоит отметить, что есть и другие способы быстрого деления в уме (способы счета описаны в специальном разделе). Самый простой вариант записи таблицы деления – с помощью равенств.

Также деление может быть представлено в виде квадратной таблицы. В зависимости от того, что на что мы будем делить, результат может быть получен различный. Ниже представлен пример записи результатов в такой таблице.

В данной таблице в строке указано делимое, в столбце делитель, в ячейках на пересечении – частное. Так как не всегда в результате получаются целое число и при этом не все люди, изучающие деление, уже умеют использовать десятичные дроби, запись в ячейках сделана с помощью знака /. Существует и другой способ записи, когда в столбцах указано делимое, в строке — делитель. Частное по-прежнему находится в ячейках на пересечении.

Как видим, таблица уже приняла совсем другой вид. Поэтому, с такой таблицей нужно быть внимательным, желательно в начале её использования произвести проверку умножением. К примеру, мы выполняли действие 10 : 5 = 2. С помощью умножения можно проверить, правильно ли мы записали ответ: 2 х 5 = 10. Следовательно, все было выполнено верно.

Также, для поиска ответа можно воспользоваться обыкновенной таблицей Пифагора. Сразу стоит отметить, что в таблице в примере ниже высота всех строк и ширина всех столбцов одинаковая. Это важно, и поможет при соотнесении умножением с площадью прямоугольника. Рассмотрим пример деления 45 на 9 (45 : 9).

Находим ячейку со значением 45. Поднимаемся или идем мысленно в бок до цифры 9. Дорисовываем (опять же мысленно или с помощью карандаша) до прямоугольника и находим оставшееся значение, равное 5. Как видим, операция деления довольно проста, особенно, если до этого была хорошо изучена тема умножения или под рукой имеется соответствующая табличка.

Откройте для себя происхождение деления и умножения

В сегодняшней статье мы объясним происхождение математических символов деления и умножения.

Символ деления:

Существует множество способов обозначения деления, и мы собираемся объяснить происхождение некоторых наиболее часто используемых и известных всем символов.

Горизонтальная черта дробей, введенная арабами, была впервые использована в Европе математиком Фибоначчи в тринадцатом веке, хотя ее использование не получило распространения до шестнадцатого века.

Наклонная черта, вариант горизонтальной, была введена Де Морганом в 1845 году. Это был типографский ресурс в печатных книгах, позволяющий писать дробь одной строкой. Символ, который сегодня широко используется для обозначения деления:
Другим одним из знаков была скобка, хотя в настоящее время она используется мало. Чтобы выразить 21, разделенное на 3, мы напишем 21) 3 и поместим результат деления справа после еще одной скобки: 21) 3 (7,
9).0005 Этот знак встречается в произведении Arithmetica integra (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля.

Этот же математик также использовал заглавные буквы M и D для обозначения умножения и деления в своей работе Deutsche Arithmetica (1545). Другие авторы также использовали D, в том числе использование в качестве перевернутой D, например, французы, Ж. Э. Галлимар (1685-1771), и другие авторы, упавшие d, такие как португальцы, Ж. А. да Кухна (1744-1787).

Один из до сих пор используемых символов деления — полоса с точками вверху и внизу. Он был введен швейцарским математиком Иоганном Генрихом Раном в его работе 9.0016 Немецкая алгебра (1659). Этот знак деления очень нагляден, вплоть до того, что черта дроби является общей нормой.

Этот символ не имел большого успеха ни в Швейцарии, ни в Европе. Впрочем, так было и в Великобритании, и в США. В частности, этот символ до сих пор используется в калькуляторах для деления.

Немецкий математик Готфрид В. Лейбниц ввел две точки ( : ), и в настоящее время это наиболее широко используемый символ. Согласно Лейбницу, одно из преимуществ использования этого символа состоит в том, что деление может вестись вдоль той же линии и сохраняет связь деления с умножением, для чего Лейбниц использовал точку.

Что касается гномона или угла, который мы используем для разделения факторов деления (делимое, делитель и частное), информации немного.

Но Бойер в своей History of Mathematics , стр. 282, говорит: «Арабы, а через них позже и европейцы, переняли большую часть своих арифметических ухищрений от индусов, и поэтому весьма вероятно, что метод «длинное деление», известное как «метод галеры» по своему сходству с кораблем с развернутыми парусами, также происходит из Индии». Судя по всему, в «методе галеры» использовался угол, аналогичный используемому в настоящее время.

Символ умножения:

Во времена вавилонян использовали идеограмму: «а-ду». В манускрипте Бахшиили , старейшем манускрипте по индийской математике, они помещают рядом один фактор и ничего больше. Индийский математик Бхаскара Ачария (1114–1185) использовал слово «бхавита» или «бха» сразу после факторов.

Другие математики использовали букву М для умножения и букву D для деления, как мы уже говорили ранее.
В старые времена арифметики многие алгоритмы использовали крест Сан-Андрес для решения продуктов деления и умножения и пропорций. Возможно, по этой причине в 1631 году Утред выбрал этот крест как символ умножения.

Он получил широкое признание, за исключением математиков Готфрида В. Лейбница и Исаака Ньютона, которые не чувствовали себя полностью комфортно с этим символом. Лейбниц в 1698 году в одном из своих писем к математику Иоганну Бернулли пишет: «Мне не нравится символ × как символ умножения, так как его можно принять за х; … Я часто просто связываю две величины точкой, а умножение обозначаю RS · PQ».

По этой причине Лейбниц ввел точку как символ умножения.

Были и другие символы для умножения. Например, швейцарский математик Иоганн Ран (1622–1676) использовал звездочку * в своей работе Teutsche Algebra (1659). А также Лейбниц, который ранее использовал упавшую C открытой стороной вниз в своей Dissertatio комбинаторного искусства (1666).

Я надеюсь, что этот пост о делении и умножении и символах, которые мы используем для их выражения, был интересен.

Если вы хотите узнать больше о делении и умножении, зарегистрируйтесь в Smartick и попробуйте его бесплатно.

Подробнее:

Автор
Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

Как познакомить с умножением и делением на начальных уровнях

Умножение и деление — это следующий шаг после сложения и вычитания, и его следует преподавать по ступенчатой спирали в течение всех лет начальной школы. Оба понятия можно и нужно вводить вместе, уже во втором классе.

Прежде чем овладеть таблицей умножения, учащиеся должны сначала понять понятия умножения и деления. С этой целью мы требуем, чтобы учащиеся овладели четырьмя понятиями, выраженными в следующих утверждениях «Я могу»:

Я могу использовать сложение, чтобы найти общее количество объектов, расположенных в прямоугольных массивах до 5 строк и до 5 столбцов; напишите уравнение, выражающее сумму в виде суммы равных слагаемых.
Я могу разделить заданное количество конкретных предметов, объяснить, можно ли это сделать одинаково, и найти количество в каждой группе. Например. Найдите количество яблок в каждой группе, если 12 яблок разделить на 3 группы.
Я могу найти количество групп, зная количество конкретных объектов и число в каждой группе. Например. Найдите количество групп, если 12 яблок разделить на группы по 3.
Я могу определить, состоит ли группа объектов (до 20) из четного или нечетного числа членов, например, путем объединения объектов в пары или подсчета их по 2; Напишите уравнение, выражающее четное число в виде суммы двух равных слагаемых.

Давайте рассмотрим эти задачи более подробно:

Во-первых, мы хотим, чтобы учащиеся привыкли к графическим обозначениям того, что мы пытаемся выполнить, т. е. распределяем предметы по группам для облегчения подсчета. Будьте последовательны в соглашении, например. «3 группы по 4» выражается как 3×4, а 3×4 изображается как 3 ряда по 4.

Как только мы сможем «интерпретировать», что означает произведение 3 и 4, мы введем простейшую стратегию для нахождения общего числа, то есть общее число для 3 групп по 4 равно 4 + 4 + 4 (равные слагаемые) .

Для учащихся не критично знать окончательный ответ (т.е. 12), получение концепции — это то, чего мы хотим достичь.

После того, как учащиеся поймут, как группировать предметы для их подсчета, следующим логическим шагом будет изучение дополнительной задачи деления – здесь у нас есть сумма, и мы хотим разбить ее на группы. Одно и то же уравнение деления может иметь две разные интерпретации.

1 – Количество элементов в каждой группе

2 – Количество групп

Мы видим, что одно и то же уравнение 12 ÷3 означает две разные вещи. На этом этапе важно понимать разницу между этими двумя сценариями, так как это повторится позже, когда они будут изучать дроби.

Как и в случае с умножением, более важно увидеть, как работает расположение объектов для обоих сценариев, чем получить правильный ответ «4» в данный момент.

Здесь мы хотим ввести родственную концепцию — видя, что группа объектов является четной, если объекты могут быть организованы в две равные группы.

Старайтесь избегать таких правил, как «числа, оканчивающиеся на четное число или нуль, четны». Вместо этого сосредоточьтесь на понимании того, что если в группе четное количество элементов, ее можно поровну разделить на две группы.

После того, как объекты разделены на две группы, мы можем легко увидеть, что сумма состоит из суммы двух равных чисел, в данном случае 12 = 6 + 6,

Видео объяснение и план урока (ресурс участника)

https://teachablemath.com/lesson-plans/grade-2-lesson-plans/grade-2-semester-1-week-10-11/

Common Core Standards

C3 Определить, состоит ли группа объектов (до 20) из четного или нечетного числа членов, например, путем объединения объектов в пары или подсчета их по 2; Напишите уравнение, выражающее четное число в виде суммы двух равных слагаемых.