И умножение или сложение: Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи

Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи

• Сложение вероятностей несовместных событий
• Сложение вероятностей взаимно совместных событий
• Умножение вероятностей
• Умножение вероятностей зависимых случайных событий

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A — попадание в утку с первого выстрела, событие B — попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B — попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B. Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B, или одновременно A и B.

Больше о сути логической суммы можно узнать в соответствующем месте статьи «Булева алгебра (алгебра логики)».

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

---

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

       (3)

---

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Можно рассчитать как классические, так и статистические вероятности.

---

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие — «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А:

и события В:

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q. В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

и .

---

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

 

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В

– выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

---

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

           

---

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ.  Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

         (5)

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий:  или АВ. Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Поэтому

                              (6)

Аналогично:

Поэтому

                             (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

             (8)

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

• взаимно независимыми;
• взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P(AB) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

---

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

• вероятность того, что победят обе автомашины;
• вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

 

Решение.

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность  того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A — выпадение герба на первой монете. Событие B — выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Логическим произведением двух событий А и В, обозначаемым А ∩ В, называют событие, которое понимают как одновременное наступление событий А и В. Больше о сути логического произведения можно узнать в соответствующем месте статьи «Булева алгебра (алгебра логики)».

---

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

                   (4)

---

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово «конец».

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Посмотреть правильное решение и ответ.

---

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

---

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Решение. Найдём вероятности противоположных событий – того, что груз не будет доставлен одним из видов транспорта:

Теперь у нас есть всё, чтобы найти требуемую в условии задачи вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта:

Решить задачу на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 11. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Событие А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая. Событие B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная. Найти вероятность события C = A + B.

Посмотреть правильное решение и ответ.

---

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми.

Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило.

---

Теорема умножения вероятностей взаимно зависимых событий. Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого, то есть вычисляется по формуле:

или

---

Пример 12. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что первый билет будет с выигрышем, вероятность того, что второй билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике и вероятность того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем.

Решение. Найдём вероятность того, что первый взятый билет будет с выигрышем:

Найдём вероятность того, что второй взятый билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике:

Найдём теперь вероятность того, что оба взятые подряд билеты будут с выигрышем, т. е. вероятность общего наступления двух зависимых событий, которая является произведением вероятности первого события и условной вероятности второго события:

  

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей».

---

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Назад

Листать

Вперёд>>>

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Примеры решения задач



Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

• Главная
• Примеры
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
• Видео-уроки
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование. Методы оптимизации
• Готовые работы
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
  • Другое
• Контакты

Полезные материалы:

• Учебники
• Справочники
• Онлайн калькуляторы

• Помощь в решении
• Онлайн занятия в Zoom

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В — несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р_A(B),
где Р_A(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность  Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные. Решение. Пусть событие  — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта.
По условию задачи ; ;  События — независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.



Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru



4.3: Правила сложения и умножения вероятностей

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

10893

• OpenStax
• OpenStax

При расчете вероятности необходимо учитывать два правила при определении того, являются ли два события независимыми или зависимыми, а также являются ли они взаимоисключающими или нет.

Если A и B — два события, определенные в пространстве выборок, то:

\[P(A \text{ AND } B) = P(B)P(A|B) \label{eq1}\]

Это правило также может быть записано как:

\[P(A|B) = \dfrac{P(A \text{ AND } B)}{P(B)} \nonumber\]

(Вероятность \(A\) при заданном \(B\) равно вероятности \(A\) и \(B\), деленной на вероятность \(B\). )

Если \(A\) и \(B\) независимы , то

\[P(A|B) = P(A). \nonumber\]

и уравнение \ref{eq1} становится

\[P(A \text{ AND } B) = P(A)P(B). \nonumber\]

Если A и B определены на выборочном пространстве, то:

\[P(A \text{ ИЛИ } B) = P(A) + P(B) — P(A \text{ AND } B) \label{eq5}\]

Если A и B являются взаимоисключающими , то

\[P(A \text{ AND } B) = 0. \nonumber\]

и уравнение \ ref{eq5} становится

\[P(A \text{ ИЛИ } B) = P(A) + P(B). \nonumber\]

Пример \(\PageIndex{1}\)

Клаус пытается выбрать, куда поехать в отпуск. У него есть два варианта: \(\text{A} = \text{Новая Зеландия}\) и \(\text{B} = \text{Аляска}\).

• Клаус может позволить себе только один отпуск. Вероятность того, что он выберет \(\text{A}\), равна \(P(\text{A}) = 0,6\), а вероятность того, что он выберет \(\text{B}\), равна \(P(\ текст{B}) = 0,35\).
• \(P(\text{A AND B}) = 0\), потому что Клаус может позволить себе только один отпуск
• Следовательно, вероятность того, что он выберет Новую Зеландию или Аляску, равна \(P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) = 0,6 + 0,35 = 0,95. \). Обратите внимание, что вероятность того, что он никуда не поедет в отпуск, должна быть равна 0,05.

Карлос играет в американский футбол. Он забивает гол в 65% случаев, когда бросает. Карлос собирается забить два гола подряд в следующем матче. \(\text{A} =\) событие Карлос успешно с первой попытки. \(P(\text{A}) = 0,65\). \(\text{B} =\) событие Карлосу удалось со второй попытки. \(P(\text{B}) = 0,65\). Карлос часто стреляет сериями. Вероятность того, что он забьет второй гол ДАННО что он забил первый гол 0,90.

1. Какова вероятность того, что он забьет оба гола?
2. Какова вероятность того, что Карлос забьет первый или второй гол?
3. Являются ли \(\text{A}\) и \(\text{B}\) независимыми?
4. Являются ли \(\text{A}\) и \(\text{B}\) взаимоисключающими?

Растворы

а. Проблема заключается в том, чтобы найти \(P(\text{A AND B}) = P(\text{B AND A})\). Поскольку \(P(\text{B|A}) = 0,90: P(\text{B AND A}) = P(\text{B|A}) P(\text{A}) = (0,90)(0,65) = 0,585\)

Карлос делает первое и второе голы с вероятностью 0,585.

б. Проблема заключается в том, чтобы найти \(P(\text{A OR B})\).

\[P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) — P(\text{A AND B}) = 0,65 + 0,65 — 0,585 = 0,715\]

Карлос забьет либо первый, либо второй гол с вероятностью 0,715.

в. Нет, это не так, потому что \(P(\text{B AND A}) = 0,585\).

\[P(\text{B})P(\text{A}) = (0,65)(0,65) = 0,423\]

\[0,423 \neq 0,585 = P(\text{B AND A})\ ]

Итак, \(P(\text{B AND A})\) равно , а не равно \(P(\text{B})P(\text{A})\).

д. Нет, не потому, что \(P(\text{A и B}) = 0,585\).

Чтобы быть взаимоисключающими, \(P(\text{A AND B})\) должно равняться нулю.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Хелен играет в баскетбол. При штрафных бросках она бьет в 75% случаев. Теперь Хелен должна выполнить два штрафных броска. \(\text{C} =\) событие, когда Хелен делает первый выстрел. \(P(\text{C}) = 0,75\). \(\text{D} =\) событие, когда Хелен делает второй выстрел. \(P(\text{D}) = 0,75\). Вероятность того, что Елена сделает второй штрафной бросок при условии, что она сделала первый, равна 0,85. Какова вероятность того, что Хелен выполнит оба штрафных броска?

Ответ

\[P(\text{D|C}) = 0,85\]

\[P(\text{C AND D}) = P(\text{D AND C})\]

\[P(\text{D AND C}) = P(\text{D|C})P(\text{C}) = (0,85)(0,75) = 0,6375\]

Хелен делает первый и второй штрафной бросок с вероятностью 0,6375.

Пример \(\PageIndex{2}\)

В общественной команде по плаванию 150 членов. Семьдесят пять членов являются опытными пловцами. Сорок семь участников являются пловцами среднего уровня. Остальные — начинающие пловцы. Сорок продвинутых пловцов тренируются четыре раза в неделю. Тридцать пловцов среднего уровня тренируются четыре раза в неделю. Десять начинающих пловцов тренируются четыре раза в неделю. Предположим, случайным образом выбран один член команды по плаванию.

1. Какова вероятность того, что участник является начинающим пловцом?
2. Какова вероятность того, что участник занимается четыре раза в неделю?
3. Какова вероятность того, что участник хорошо плавает и занимается четыре раза в неделю?
4. Какова вероятность того, что участник является продвинутым пловцом и пловцом среднего уровня? Являются ли продвинутый пловец и пловец среднего уровня взаимоисключающими? Почему или почему нет?
5. Вы начинающий пловец и тренируетесь четыре раза в неделю в независимых видах спорта? Почему или почему нет?

Ответ

1. \(\dfrac{28}{150}\)
2. \(\dfrac{80}{150}\)
3. \(\dfrac{40}{150}\)
4. \(P(\text{продвинутый И промежуточный}) = 0\), поэтому это взаимоисключающие события. Пловец не может одновременно быть продвинутым пловцом и пловцом среднего уровня.
5. Нет, это не независимые события. \[P(\text{новичок И занимается четыре раза в неделю}) = 0,0667\]\[P(\text{новичок})P(\text{занимается четыре раза в неделю}) = 0,0996\] \[0,0667 \ нэкв 0,0996\]

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

В школе учатся 200 старшеклассников, 140 из которых в следующем году пойдут в колледж. Сорок пойдет прямо на работу. Остальные берут год перерыва. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих прямо на работу, занимаются спортом. Пятеро старшеклассников, взявших академический отпуск, занимаются спортом. Какова вероятность того, что старшеклассник берет академический отпуск?

Ответ

\[P = \dfrac{200-140-40}{200} = \dfrac{20}{200} = 0,1\]

Пример \(\PageIndex{3}\)

Фелисити посещает Modesto JC в Модесто, Калифорния. Вероятность того, что Фелисити запишется на урок математики, равна 0,2, а вероятность того, что она запишется на урок речи, равна 0,65. Вероятность того, что она запишется на урок математики, ПРИ УСЛОВИИ, что она запишется на урок речи, равна 0,25.

Пусть: \(\text{M} =\) урок математики, \(\text{S} =\) урок речи, \(\text{M|S} =\) математика, данная речь

1. Какова вероятность того, что Фелисити запишется на математику и речь?
   Найдите \(P(\text{M AND S}) = P(\text{M|S})P(\text{S})\).
2. Какова вероятность того, что Фелисити запишется на уроки математики или речи?
   Найдите \(P(\text{M ИЛИ S}) = P(\text{M}) + P(\text{S}) — P(\text{M AND S})\).
3. Являются ли \(\text{M}\) и \(\text{S}\) независимыми? \(P(\text{M|S}) = P(\text{M})\)?
4. Являются ли \(\text{M}\) и \(\text{S}\) взаимоисключающими? \(P(\text{M AND S}) = 0\)?

Ответить

а. 0,1625, б. 0,6875, с. Кивок. №

Упражнение \(\PageIndex{3}\)

Учащийся идет в библиотеку. Пусть события \(\text{B} =\) учащийся извлекает книгу и \(\text{D} =\) учащийся извлекает DVD. Предположим, что \(P(\text{B}) = 0,40, P(\text{D}) = 0,30\) и \(P(\text{D|B}) = 0,5\).

1. Найти \(P(\text{B AND D})\).
2. Найти \(P(\text{B ИЛИ D})\).

Ответить

1. \(P(\text{B И D}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = (0,5)(0,4) = 0,20\).
2. \(P(\text{B OR D}) = P(\text{B}) + P(\text{D}) — P(\text{B AND D}) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50 \)

Пример \(\PageIndex{4}\)

Исследования показывают, что примерно у одной женщины из семи (приблизительно 14,3%), доживших до 90 лет, развивается рак молочной железы. Предположим, что у тех женщин, у которых развивается рак молочной железы, тест отрицательный в 2% случаев. Также предположим, что в общей популяции женщин тест на рак молочной железы дает отрицательный результат примерно в 85% случаев. Пусть у \(\text{B} =\) женщины развился рак молочной железы, и пусть \(\text{N} =\) дал отрицательный результат. Предположим, что наугад выбрана одна женщина.

1. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы? Какова вероятность того, что тест женщины будет отрицательным?
2. Учитывая, что у женщины рак молочной железы, какова вероятность того, что ее анализ будет отрицательным?
3. Какова вероятность того, что у женщины рак молочной железы И тест отрицательный?
4. Какова вероятность того, что у женщины рак груди или отрицательный результат?
5. Имеются ли у вас рак груди и отрицательные независимые события?
6. Являются ли наличие рака молочной железы и отрицательный результат теста взаимоисключающими?

Ответы

1. \(P(\text{B}) = 0,143; P(\text{N}) = 0,85\)
2. \(P(\text{N|B}) = 0,02\)
3. \(P(\text{B И N}) = P(\text{B})P(\text{N|B}) = (0,143)(0,02) = 0,0029\)
4. \(P(\text{B ИЛИ N}) = P(\text{B}) + P(\text{N}) — P(\text{B И N}) = 0,143 + 0,85 — 0,0029 = 0,9901 \)
5. Нет. \(P(\text{N}) = 0,85; P(\text{N|B}) = 0,02\). Итак, \(P(\text{N|B})\) не равно \(P(\text{N})\).
6. № \(P(\text{B AND N}) = 0,0029\). Чтобы \(\text{B}\) и \(\text{N}\) были взаимоисключающими, \(P(\text{B AND N})\) должно быть равно нулю

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

В школе учатся 200 старшеклассников, 140 из которых в следующем году пойдут в колледж. Сорок пойдет прямо на работу. Остальные берут год перерыва. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих прямо на работу, занимаются спортом. Пятеро старшеклассников, взявших академический отпуск, занимаются спортом. Какова вероятность того, что старший учится в колледже и занимается спортом?

Ответ

Пусть \(\text{A} =\) студент учится в колледже.

Пусть \(\text{B} =\) студент занимается спортом.

\(P(\text{B}) = \dfrac{140}{200}\)

\(P(\text{B|A}) = \dfrac{50}{140}\)

\(P(\text{A AND B}) = P(\text{B|A})P(\text{A})\)

\(P(\text{A AND B}) = (\ dfrac{140}{200}\))(\(\dfrac{50}{140}) = \dfrac{1}{4}\)

Пример \(\PageIndex{5}\)

См. информация в примере \(\PageIndex{4}\). \(\text{P} =\) положительный результат.

1. Учитывая, что у женщины развился рак молочной железы, какова вероятность того, что ее тест окажется положительным. Найдите \(P(\text{P|B}) = 1 — P(\text{N|B})\).
2. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы и положительный результат теста? Найдите \(P(\text{B AND P}) = P(\text{P|B})P(\text{B})\).
3. Какова вероятность того, что у женщины не разовьется рак молочной железы. Найдите \(P(\text{B′}) = 1 — P(\text{B})\).
4. Какова вероятность того, что у женщины положительный результат теста на рак молочной железы. Найдите \(P(\text{P}) = 1 — P(\text{N})\).

Ответить

а. 0,98; б. 0,1401; в. 0,857; д. 0.15

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Учащийся идет в библиотеку. Пусть события \(\text{B} =\) учащийся извлекает книгу и \(\text{D} =\) учащийся извлекает DVD. Предположим, что \(P(\text{B}) = 0,40, P(\text{D}) = 0,30\) и \(P(\text{D|B}) = 0,5\).

1. Найти \(P(\text{B′})\).
2. Найти \(P(\text{D AND B})\).
3. Найти \(P(\text{B|D})\).
4. Найти \(P(\text{D AND B′})\).
5. Найти \(P(\text{D|B′})\).

Ответ

1. \(P(\text{B′}) = 0,60\)
2. \(P(\text{D И B}) = P(\text{D|B})P(\text{B}) = 0,20\)
3. \(P(\text{B|D}) = \dfrac{P(\text{B AND D})}{P(\text{D})} = \dfrac{(0,20)}{(0,30) } = 0,66\)
4. \(P(\text{D И B′}) = P(\text{D}) — P(\text{D AND B}) = 0,30 — 0,20 = 0,10\)
5. \(P(\text{D|B′}) = P(\text{D AND B′})P(\text{B′}) = (P(\text{D}) — P(\text {D И B}))(0,60) = (0,10)(0,60) = 0,06\)

1. ДиКамилло, Марк, Мервин Филд. «Файловый опрос». Корпорация полевых исследований. Доступно на сайте www.field.com/fieldpollonline…rs/Rls2443.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
2. Райдер, Дэвид, «По данным опроса, поддержка Ford резко падает», The Star, 14 сентября 2011 г. Доступно на сайте www.thestar.com/news/gta/2011…_suggests.html (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
3. «Одобрение мэра отключено». Пресс-релиз от Forum Research Inc. Доступен в Интернете по адресу www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29%2820130320%29.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
4. «Рулетка». Википедия. Доступно на сайте http://en.Wikipedia.org/wiki/Roulette (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
5. Шин, Хён Б., Роберт А. Комински. «Использование языка в Соединенных Штатах: 2007». Бюро переписи населения США. Доступно на сайте www.census.gov/hhes/socdemo/l…acs/ACS-12.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
6. Данные из Baseball-Almanac, 2013. Доступно на сайте www.baseball-almanac.com (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
7. Данные Бюро переписи населения США.
8. Данные Wall Street Journal.
9. Данные из The Roper Center: Архив общественного мнения Университета Коннектикута. Доступно на сайте www.ropercenter.uconn.edu/ (по состоянию на 2 мая 2013 г.).
10. Данные корпорации полевых исследований. Доступно на сайте www.field.com/fieldpollonline (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Правило умножения и правило сложения используются для вычисления вероятности \(\text{A}\) и \(\text{B}\), а также вероятности \(\text{A}\ ) или \(\text{B}\) для двух заданных событий \(\text{A}\), \(\text{B}\), определенных в образце пространства. При выборке с заменой каждый член совокупности заменяется после того, как он выбран, так что этот член имеет возможность быть выбранным более одного раза, а события считаются независимыми. При выборке без замены каждый член совокупности может быть выбран только один раз, и события считаются не независимыми. События \(\text{A}\) и \(\text{B}\) являются взаимоисключающими событиями, если они не имеют общих исходов.

Правило умножения: \(P(\text{A AND B}) = P(\text{A|B})P(\text{B})\)

Правило сложения: \ (P(\text{A OR B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) — P(\text{A AND B})\)

Используйте следующую информацию для ответьте на следующие десять упражнений. Сорок восемь процентов всех зарегистрированных избирателей в Калифорнии предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени. Среди латиноамериканцев, зарегистрированных в Калифорнии, 55% предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени. 37,6% всех калифорнийцев — латиноамериканцы.

В этой задаче пусть:

• \(\text{C} =\) Калифорнийцы (зарегистрированные избиратели) предпочитают жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.
• \(\text{L} =\) латиноамериканцы калифорнийцы

Предположим, случайным образом выбран один калифорнийец.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Найдите \(P(\text{C})\).

Упражнение \(\PageIndex{6}\)

Найдите \(P(\text{L})\).

Ответ

0,376

Упражнение \(\PageIndex{7}\)

Найдите \(P(\text{C|L})\).

Упражнение \(\PageIndex{8}\)

Что такое \(\text{C|L}\) словами?

Ответ

\(\text{C|L}\) означает, что если выбранное лицо является латиноамериканцем из Калифорнии, это лицо является зарегистрированным избирателем, который предпочитает пожизненное заключение без права досрочного освобождения для лица, осужденного за убийство первой степени. .

Упражнение \(\PageIndex{9}\)

Найти \(P(\text{L AND C})\)

Упражнение \(\PageIndex{10}\)

Что такое \(\text{L AND C}\) словами?

Ответ

\(\text{L AND C}\) — это случай, когда выбранное лицо является латиноамериканцем, зарегистрированным избирателем Калифорнии, который предпочитает жизнь без права досрочного освобождения смертной казни для лица, осужденного за убийство первой степени.

Упражнение \(\PageIndex{11}\)

Являются ли \(\text{L}\) и \(\text{C}\) независимыми событиями? Покажите, почему или почему нет.

Упражнение \(\PageIndex{12}\)

Найти \(P(\text{L OR C})\).

Ответ

0,6492

Упражнение \(\PageIndex{13}\)

Что такое \(\text{L OR C}\) словами?

Упражнение \(\PageIndex{14}\)

Являются ли события \(\text{L}\) и \(\text{C}\) взаимоисключающими? Покажите, почему или почему нет.

Ответ

Нет, потому что \(P(\text{L AND C})\) не равно 0.

Независимые события

Возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события. События \(\text{A}\) и \(\text{B}\) независимы, если выполняется одно из следующих условий:

1. \(P(\text{A|B}) = P(\text{A})\)
2. \(P(\text{B|A}) = P(\text{B})\)
3. \(P(\text{A И B}) = P(\text{A})P(\text{B})\)

Взаимоисключающий

Два события являются взаимоисключающими, если вероятность того, что они происходят одновременно, равна нулю. Если события \(\text{A}\) и \(\text{B}\) взаимоисключающие, то \(P(\text{A AND B}) = 0\).

---

Эта страница под названием 4.3: Правила сложения и умножения вероятности распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   ОпенСтакс

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   ОпенСтакс

   Показать оглавление

   нет

   Включено

   да

2. Теги

   1. Сложение вероятностей
   2. Независимые события
   3. Умножение вероятностей
   4. взаимоисключающие
   5. источник@https://openstax. org/details/books/introductory-statistics
   6. источник[1]-stats-733

Идентификационные числа для сложения и умножения — Криста Кинг Математика

Что такое идентификационные номера?

Идентификационные номера — это числа, которые не изменяют «идентификацию» исходного значения.

Идентификатор для дополнения ???0???.

Идентичность для умножения на ???1???.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Причина в том, что

Вы можете добавить ???0??? на любое число, и это не меняет исходное значение.

Вы можете умножить любое число на ???1??? и это не меняет исходное значение.

Как идентификационные номера оставляют личность неизменной

Пройти курс

Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого.

🙂

Учить больше

Идентификационные числа для сложения и умножения

Пример

Что такое ???17+0????

Даже не думая об этом с точки зрения идентификационных номеров, мы уже должны знать, что ???17+0=17???, потому что если у вас есть ???17??? и вы ничего не добавляете к нему, у вас все еще есть ???17???.

Если мы подумаем об этом более технически с точки зрения идентификационных номеров, мы знаем, что ???0??? является идентификационным номером для добавления. Так как мы добавляем ???0???, и потому что ???0??? это идентификационный номер для добавления, мы знаем, что добавление ???0??? до ???17??? не изменит личность ???17???, поэтому ???17+0??? будет просто ???17???.

Давайте рассмотрим пример с идентификационным номером для умножения.

Идентификационные номера — это числа, которые не изменяют «идентификацию» исходного значения.

Пример

Что такое ???4\times1????

В этой задаче мы умножаем ???4??? по ???1???.