Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.
Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.
Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.
Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с.
Определение
Иррациональным уравнением называют уравнение, если в нем переменная содержится под знаком квадратного корня.
Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.
В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]
Определение
иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.
Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная.
Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.
Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем. А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.
Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение.
Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .
Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным. В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.
Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.
п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.
Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида.
В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]
Определение
Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.
Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x
Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи. Уйти от подобных спорных моментов относительно терминологии позволяет все тот же прием: назвать уравнение просто уравнением безо всяких видовых уточнений.
Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:
Определение
Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.
Согласно этому определению в иррациональном уравнении под знаком радикала может находиться только выражение, в котором над переменной не совершается иных действий, кроме сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень (натуральную) и извлечения корня.
Это определение исключает нахождения переменной в иррациональном уравнении под знаками логарифмов, тригонометрических функций, в показателе степени и др.
Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.
Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .
Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной.
Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов. Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .
В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.
В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.
Иррациональные уравнения — что это, определение и ответ
Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу.
{2}\)
Пример №1:
Решим уравнение:
\(\sqrt{3x} = 6\)
1. Возведем обе части уравнения в квадрат, при условии, что они неотрицательные.
\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ 6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)
2. Определить знак числа справа можно сразу, 6 – положительное число, а значит больше нуля. В первом неравенстве выразим «х», получим:
\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \)
3. Система имеет решение при \(x = 12\). Запишем ответ.
Ответ: 12.
Если a < 0, то решений нет
Например, решим уравнение:
\(\sqrt{3x} = \ –6\)
1. Составим систему:
\(\left\{ \begin{matrix} 3x \geq 0 \\ –6 \geq 0 \\ 3x = 36 \\ \end{matrix} \right.\ \)
2. Второе неравенство не имеет смысла, поэтому вся система не имеет решений.
Ответ: \(\mathbf{\varnothing}\)
То, что мы с вами сейчас сделали будет верно для любого корня четной степени.
{n}\)
Пример №2:
Решим уравнение:
\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)
1. Видим корень нечетной степени – сразу возводим в эту степень обе части:
\(\sqrt[3]{3x} = \ –6\)
\(3x = \ –216\)
\(x = \ –72\)
2. Записываем ответ. Уравнение не имеет никаких ограничений.
Ответ: –72.
ВТОРОЙ ТИП ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ «КОРЕНЬ=КОРЕНЬ»:
\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)
Решение:
Если и слева и справа будет стоять корень алгоритм остается тот же: записываем ОДЗ и возводим обе части в квадрат.
\(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \\ \end{matrix} \right.\ \)
Пример №3:
Решим уравнение:
\(\sqrt{–2x + 6} = \sqrt{15 + x}\)
1. Составим систему:
\(\left\{ \begin{matrix} –2x + 6 \geq 0 \\ 15 + x \geq 0 \\ –2x + 6 = 15 + x \\ \end{matrix} \right.\ \)
2.
{2}\ –\ 20x + 36 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \)
5. Решим квадратное уравнение через теорему Виета:
\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 18}{x_{2} = 2} \right.\ \)
Только \(x = 2\) является уравнением системы. Это значение переменной и запишем в ответ.
Ответ: 2.
ПЯТЫЙ ВИД ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ «КОРЕНЬ – КОРЕНЬ = ЧИСЛО»:
\(\sqrt{f(x)}\ –\ \sqrt{g(x)} = a\)
Решение:
\(\sqrt{f(x)} = a + \sqrt{g(x)}\)
И решаем такое уравнение как четвертый вид «корень + корень = число».
Психология, стоящая за иррациональными решениями, во многом связана с тем, как вы управляете эмоциями
Мы ходим по магазинам и видим что-то, что нам не нужно, но оно продается со скидкой, поэтому мы покупаем это. Хотя нам нравится думать, что решения, которые мы принимаем в жизни, обусловлены разумом, иногда наш выбор более иррационален. Мы с большей вероятностью примем решения, основанные на предыдущем опыте и интуиции, а не на тщательном анализе.
В последнем видео TED-Ed «Психология иррациональных решений» ведущая Сара Гарофало объясняет, что мы принимаем решения, которые не являются «рациональными» с чисто экономической точки зрения, то есть они не обязательно приводят к наилучшему результату.
Так почему же мы все еще принимаем иррациональные решения?
Неприятие потерь — это то, что экономисты-бихевиористы называют тенденцией решительно предпочитать избегать потерь получению прибыли. Гарофало объясняет в видео, что такой подход к решениям может привести к умственным упрощениям, которые могут привести к иррациональным решениям. Ситуации, связанные с вероятностью, общеизвестно плохи для применения эвристики, любого типа решения проблем, которое считается не идеальным, но достаточным для достижения непосредственных целей.
Между тем, из-за ошибки соединения наш мозг обманывает нас, заставляя выбирать более подробные варианты, чем общие. Например, в одном исследовании исследователи попросили участников рассмотреть обычный шестигранный кубик с четырьмя зелеными и двумя красными гранями, где кубик будет брошен 20 раз, а последовательность зеленых (G) и красных (R) будет быть записаны.
Их просили выбрать одну последовательность из трех, и они получали вознаграждение в размере 25 долларов, если выбранная ими последовательность появляется при последовательных бросках игральной кости (RGRRR, GRGRRR. GRRRRR). Более половины участников выбрали вторую последовательность, хотя в ней содержится первый вариант, который короче остальных вариантов.
Эффект привязки также может влиять на принятие нами решений, поскольку он часто используется в маркетинге и переговорах. Другими словами, предприятия могут поднять цены, которые люди готовы платить. Итак, хотя нам не нужна эта рубашка, тот факт, что она «продается со скидкой», побуждает нас совершить покупку.
Другие теории предполагают, что иррациональное поведение проистекает из неспособности подавить автоматические эмоциональные реакции или позволить нашим чувствам и переживаниям взять верх над нами. Люди действуют иррационально из-за предвзятых влияний, и на них сильно и постоянно влияет то, как представлен вопрос.
Исследование Университетского колледжа Лондона показало, что даже когда оба варианта приводят к одному и тому же результату, участники с большей вероятностью будут рисковать угрозой потери 30 фунтов стерлингов, чем возможностью сохранить 20 фунтов стерлингов. В том же исследовании визуализация мозга показала, что миндалевидное тело, область, которая контролирует эмоции и опосредует реакцию «бей или беги», поддерживает эту предвзятость в процессе принятия решений.
Более того, у людей с более рациональным поведением была выше активность префронтальной коры головного мозга — области, которая, как известно, участвует в исполнительных процессах более высокого порядка — что свидетельствует о том, что их мозг лучше приспособлен для того, чтобы справляться с эмоциями в более сбалансированном процессе рассуждений.
Несмотря на когнитивную основу, мы можем преодолеть эвристики нашего мозга, научившись осознавать их. Когда мы сталкиваемся с ситуацией, связанной с числами, вероятностью или многочисленными деталями, давайте остановимся на секунду и подумаем, что интуитивный ответ может оказаться не тем, что лучше всего.
Опубликовано Medicaldaily.com
Иррациональные решения, обусловленные эмоциями — ScienceDaily
Иррациональное поведение возникает как следствие эмоциональных реакций, возникающих при столкновении с трудными решениями, согласно новому исследованию UCL (Университетский колледж Лондона), финансируемому Велком Траст. Исследование UCL предполагает, что рациональное поведение может быть связано со способностью подавлять автоматические эмоциональные реакции, а не с отсутствием эмоций как таковых.
В классических экономических теориях долгое время предполагалось, что люди действуют совершенно рационально, принимая решения. Однако все чаще признается, что люди часто действуют иррационально из-за предвзятого влияния. Например, на людей сильно и постоянно влияет способ подачи вопроса. Операция с 40-процентной вероятностью успеха кажется более привлекательной, чем операция с 60-процентной вероятностью неудачи.
В исследовании, опубликованном в журнале Science, исследователи Калифорнийского университета Лондона использовали эксперимент с азартными играми, чтобы установить когнитивную основу для рационального принятия решений.
Цель задания состояла в том, чтобы накопить как можно больше денег с поощрением выплаты реальными деньгами пропорционально деньгам, выигранным в ходе эксперимента. Участникам давали стартовую сумму денег (50 фунтов стерлингов) в начале каждого испытания. Затем их попросили выбрать между верным вариантом или игрой (где у них был бы определенный шанс выиграть всю сумму, но также и потерять все). Испытуемым предлагались эти варианты выбора в рамках двух разных фреймов (т. 30 фунтов стерлингов»). Два варианта, хотя и сформулированные по-разному, приведут к точно такому же результату, то есть к тому, что у участника останется 20 фунтов стерлингов.
Исследование Университетского колледжа Лондона показало, что участники с большей вероятностью будут играть при угрозе проиграть 30 фунтов стерлингов, чем при предложении оставить 20 фунтов стерлингов. В среднем, когда им предлагался вариант «сохранить», участники предпочитали играть в 43 процентах случаев по сравнению с 62 процентами в случае варианта «проиграть».
Кроме того, между участниками наблюдалась заметная разница в поведении. Некоторые люди применяли более рациональный подход и играли более одинаково и последовательно в обоих фреймах, в то время как другие демонстрировали реальное отвращение к риску в фрейме «держать», в то же время проявляя высокое стремление к риску в фрейме «проигрыш».
Снимки мозга показали, что миндалевидное тело, область, которая, как считается, контролирует наши эмоции и опосредует реакцию «бей или беги», лежит в основе этой предвзятости в процессе принятия решений. Кроме того, исследование UCL показало, что люди с более рациональным поведением имели более высокую мозговую активность в префронтальной коре, области, которая, как известно, участвует в исполнительных процессах более высокого порядка, предполагая, что их мозг лучше способен включать свои эмоции в более сбалансированные рассуждения. процесс.
Г-н Бенедетто де Мартино из Института неврологии Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе говорит: «Хорошо известно, что выбор человека зависит от того, как сформулирован вопрос.