Б) Умножение на числа, оканчивающиеся нулями — Мегаобучалка
Следует отметить, что при изучении умножения, многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями, вычисления обязательно опираются на случаи умножения и деления на числа 10, 100,1000. Эти случаи умножения и деления уже рассматривались с детьми при изучении еще нумерации многозначных чисел. Теперь к этим случаям умножения и деления обязательно следует вернуться. Причем их не целесообразно разделять, как это предлагают авторы учебников.
Теоретической основой вычислительного приема, используемого при умножении на числа, оканчивающиеся нулями, является правило умножения числа на произведение. Это правило является для детей новым. Его рассмотрению следует уделить внимание. Однако, по сравнению с другими правилами, при раскрытии его сути достаточно использовать только числовой материал.
Приведем вариант разговора с детьми, который может быть таким.
Учитель. Прочитайте выражение и вычислите его значение 2 • (3 • 4)
Дети.
Учитель. Давайте запишем.
2 •(3•4) = 2 • 12=24.
А теперь давайте попробуем умножить число 2 на произведение чисел 3 и 4 по-другому. Умножим вначале число 2 на первый множитель 3. А затем, что надо сделать?
Дети. Полученный результат умножить на второй множитель 4.
Учитель. Верно, то есть, 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4 = 6 • 4 = 24.
Ответ мы получили один и тот же. О чем это говорит?
Дети. Рассуждения ведем верно.
Учитель. А теперь давайте попробуем число 2 умножить на второй множитель:
2 • (3 • 4) = (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24.
Видим, что результат один, значит, рассуждали верно. Давайте обобщим и сделаем вывод, как можно умножать число на произведение.
Дальнейшая работа над правилом продолжается в том же плане, как и для всех других:
— формируем умение применять все три способа вычислений;
— учим выделять удобный способ;
— учим применять правило для вычислений.
Затем переходим к рассмотрению случаев умножения многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями. Начинаем с устного приема, чтобы показать ход рассуждений. Например:
12 • 40 = 12 • (4 • 10) = (12 • 4) • 10 = 48 • 10 = 480.
Подводим детей к выводу, что фактически умножаем 12 на 4 и приписываем столько нулей, сколькоих во втором множителе. Затем дается задание объяснить решение примера:
306 • 90 = 306 • (9 • 10) = (306 • 9) • 10 = 2754 • 10 = 27 540.
После этого переходим к рассмотрению письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями, т.е. к записи в столбик.
Предлагаем решить пример. 583 • 70. Выясняем, что устно решить трудно, Надо записать столбиком. Как это сделать? Это покажет ход рассуждений.
583 • 70 = 583 • (7 • 10) = (583 • 7) • 10 = 4081 • 10 = 40810.
Значит, 583 будем умножать на 7, а полученный результат умножим на 10. Отсюда запись: второй множитель 70 пишем так, чтобы цифра 7 стояла под цифрой 3.
583 583
Х х
7 70
4 081 41 810
Рассуждения: 583 умножим на 7, получим 4081 и приписываем ноль, получаем 40 810.
Отдельно выделяется и рассматривается случай, когда оба множителя оканчиваются нулями. Начинаем опять с устного приема, чтобы уяснить ход рассуждений.
30 • 50 = 3 дес. • (5 • 10) = (3 дес. • 5) • 10 = 150 дес. = 1500.
800 • 60 = 8 сот. • (6 • 10) = 48 сот. • 10 = 48 000.
2600 • 60 и т.д.
Подмечаем с детьми, что практически надо перемножить значащие части чисел и приписать столько нулей, сколько их в двух множителях вместе.
Такие примеры записываются в строчку и решаются устно. При письменном умножении запись делается в столбик, причем эта запись должна отражать ход рассуждений.
2600 4250 1860
х 80 х 70 х 300
208000 297500 558000
Следует обратить внимание на тот факт, что после ознакомления с новым приемом вычисления, где надо один из множителей представлять в виде произведения, учащиеся начинают путать этот прием умножения числа на произведение с приемом умножения числа на сумму.
1. Чтобы предупредить такие ошибки надо предлагать учащимся упражнение на сравнение соответствующих приемов вычисления. Например:
15 • 60= 15•(б • 10) = (15 •6) • 10 = 90 •10=900.
15 • 14 =15•(10+4)== 15• 10 + 15 • 4 = 150 + 60 = 210.
В) Умножение на двузначное и трехзначное число
Теоретическая основа вычислительных приемов, используемых при рассмотрении этих случаев умножения — правило умножения числа на 4 сумму, которое предварительно изучается.
Рассмотрение случаев умножения на двузначное число полезно начать с устного приема, чтобы показать ход рассуждений:
14•13 =14•(10+3)= 14 • 10 + 14 • 3 = 140 + 42 = 182.
Затем целесообразно усложнить задание. 67 • 45 = 67 • (40 + 5) = 67 • 40 + 67 • 5 = 2680 + 335 =3015.
Устно выполнить трудно, можно предложить сделать вычисления письменно.
67 67 2680
х х +
40 5 335
2680 335 3015
В ходе этих рассуждений подводим детей к выводу, что надо найти два неполных произведения и их сложить, то есть данное число умножаем на число десятков второго множителя; затем это число умножаем на число единиц второго множителя. Полученные результаты складываем. Если устно умножать трудно, лучше записать столбиком. Умножать начинаем с единиц. Показываем ход рассуждений при этом.
Х 45
+2680
Умножаем 67 на 5, получим 335 единиц. Теперь умножим 67 на 40. Для этого умножаем 67 на 4 и полученное число умножим на 10, получаем 2680. Обращаем внимание, что 335 и 2680 — это неполные произведения. Число 3015 — полное произведение, или окончательный результат.
Обращаем внимание учащихся на то, что второе неполное произведение — это результат умножения на круглые десятки, поэтому всегда в нем на месте единиц стоит 0, его обычно не пишут. Это неполное произведение указывает на количество десятков в нем, его и начинают записывать под десятками первого неполного произведения.
Таким образом, рассуждения ведем так: 67 умножим на 5 единиц, получаем 335 единиц — первое неполное произведение. Теперь 67 умножим на 4 десятка, получаем 268 десятков — второе неполное произведение. Складываем.
При умножении на трехзначное число следует подвести детей к выводу, что рассуждения в принципе те же, только здесь будет добавляться только третье неполное произведение, а значит, третье слагаемое — какое-то количество сотен. Третье неполное произведение начинаем записывать под сотнями первого неполного произведения.
Практика показывает, что для того чтобы выработать прочные навыки безошибочных вычислений, нужно прорешать значительно количество упражнений и необходима достаточная тренировка.
Кроме того, успех зависит и от того, насколько прочны знания учащихся таблицы умножения и как уверенно дети овладели навыками сложения двух-трех чисел.
После того как рассмотрены общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число, рассматриваются частные случаи умножения, а именно случаи умножения чисел с нулями в середине второго множителя, Фактически здесь учащиеся встречаются с тем же самым приемами вычислений, но с некоторыми особенностями.
Например, 829 • 703. Для первого такого примера целесообразно показать детям более подробную запись:
829
х
703
+
После обсуждения дети подводятся к выводу, что второе неполное произведение здесь можно убрать. Отсюда приходим к записи:
Х 703
+5803
Такой подход позволит предупредить возникновение у детей ошибок в записи второго неполного произведения для аналогичных случаев.
Умножение на числа, выходящие за пределы трехзначных (4-хзначные, 5-значные и др.) по существу не отличаются от умножения на трехзначное число. Поэтому, овладев навыками умножения на трехзначное число, ученики смогут овладеть умением умножать многозначные числа на любое число.
И опять после рассмотрения всех случаев умножения многозначных чисел вводится умножение составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах. Здесь умножение целесообразно выполнять одним способом: составное именованное число заменяется простым, выполняют действие над отвлеченными числами, а затем полученное простое именованное число заменяют составным.
7 м 85 см·18 = 141 м 30 см 4 ц 90 кг • 26 = 127ц 40 кг
Х 18
+785
См)
При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо добиться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных навыков. А для этого надо своевременно и разумно сокращать объяснение решения и переходить к кратким пояснениям.
Тип задания | Цель задания | Формулировка задания | Методические комментарии (в том числе критерии оценивания) | Предполагаемые ответы детей | Примечания | ||||||||||||||||
Узнавание | Cовершенство-вать у учащихся умения применять устный и письменный приём умножения на числа, которые оканчиваются нулями. | 1 задание: — Попробуем решить устно примеры, но объясняя, как мы решаем. — Перед Тем Как Решить, Нужно Вспомнить Алгоритм Умножения На Число, Которое Оканчивается Нулями. | 72·10 42·20 376·80 68·100 23·200 1625·300
Ученикам надо решить данные примеры, подробно проговаривая алгоритм. Учитель способствует, чтобы ученики самостоятельно вспомнили и сформулировали алгоритм, а затем выводит эталон на доску. | — Это произведения. — Вторые множители в каждом выражении оканчивается нулями. Объясняют приём умножения. — В первом столбике, чтобы умножить на 10, достаточно приписать один нуль; на 100 — приписать два нуля. — Во втором столбике, чтобы умножить на 20, надо умножить на 2, а потом на 10, так как 20=2·10 — Чтобы умножить на 200, надо умножить на 2, а потом на 100, так как 200=2·100. Сложно умножать многозначное число на 8, поэтому 3 столбец решаем в столбик письменно. Записываю первый множитель потом записываю второй множитель так, чтобы нули остались в стороне. Сносим нули в результат, умножаю многозначное число на число. 376·80=30080 1625·300=487500 | Коммуникативные:- аргументировать свою позицию и соотносить ее с позициями одноклассников для выработки совместного решения; — корректно формулировать и обосновывать свою точку зрения. Познавательные: — Сравнивать, проводить классификацию по самостоятельно выделенным обстоятельствам и формулировать выводы. | ||||||||||||||||
Формировать умение решать примеры изученных видов. | 2 задание: Вычисли в столбик и найди значение примеров. | Ученики вычисляют следующие примеры: 543 • 70 280 • 400 3100 • 300 | х 543 х280 х 3100 70 400 300 38010 112000 930000 Обучающиеся выполняют вычисления самостоятельно в рабочей тетради. | Регулятивные: — овладение алгоритмом; — самостоятельно находить вариант решения. | |||||||||||||||||
Формирование умения выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями. | 3 задание: Реши примеры | Игра «Снежный ком» На доске прикреплены импровизированные сугробы с примерами на новый прием умножения. | Дети по желанию выходят к доске и решают примеры. Остальные записывают в тетрадях. | Учитель следит за правильностью записи и решения. | |||||||||||||||||
Воспроизведение | Закреплять правила порядка выполнения действий в выражениях, учиться работать по алгоритму. | 1 задание: Реши выражение на порядок действий. | 590108 — ( 8302 • 5 + +3126 : 3)=… | ||||||||||||||||||
Cовершенство-вать у учащихся умения применять письменный приём умножения на числа, которые оканчиваются нулями. | 2 задание: К каждой позиции первого столбца подбери соответствующую позицию второго. | Варианты ответов:
| Ученики выполняют вычисления самостоятельно в тетради.
| ||||||||||||||||||
Cовершенство-вать у учащихся умения применять письменный приём умножения на числа, которые оканчиваются нулями. | 3 задание: Какое число нужно увеличить в 7 раз, чтобы получить 8 400? Выделите цветом правильный ответ. | Варианты ответов:
| Обучающиеся выполняют вычисления и находят правильный ответ. Ответ: 1200. | ||||||||||||||||||
Понимание | Закрепить умение решать уравнения на умножение чисел, которые оканчиваются нулями с применением правил и с проверкой. | 1 задание: Реши уравнения. | Ученики решают уравнения. с + 987 = 1000 х — 130=60 • 5 | с + 987 = 1000 х – 130=60 • 5 с =1000–987 х – 130 =300 с =13 х = 300+130 13 + 984 = 1000 х = 430 1000 = 1000 430 –130=60 • 5 300 = 300 | |||||||||||||||||
2 задание: Запишите и решите уравнение. | 1)Произведение неизвестного числа и числа 9 равно разности чисел 120 и 66 2) Частное неизвестного числа и числа 8 равно разности чисел 320 и 80 Ученикам надо составить выражения и решить их. | -В первом уравнение нам неизвестен первый множитель. Во втором уравнении нам неизвестно делимое. -Произведение выражено разностью 120 и 66. Частное выражено суммой чисел 320 и 80. х∙9=120-66 х:8=320+80 х∙9=54 х:8=400 х=54:9 х=400∙8 х=6 х=3200 Ответ:6 Ответ :3200 | Два ученика работают у доски. Выполняют задание с комментированием. Читают и осмысливают задание. | ||||||||||||||||||
3 задание: | |||||||||||||||||||||
Применение в знакомых условиях | |||||||||||||||||||||
Применение в новых условиях | Формировать умение решать изученные виды задач с умножением на числа, заканчивающиеся нулями. | 1 задание: стр. 79 № 352 На сахарный завод привезли 80 машин свеклы, по 3 тонны на каждой. Сколько сахара изготовили из этой свёклы, если масса сахара составляет шестую часть массы свеклы? | — Докажите, что этот текст является задачей. — Прочитайте условие. — Прочитайте вопрос. -Какого вида задача? — О чем говориться в задаче? — Что сказано о количестве привезенной свеклы? — Что известно о количестве свеклы в каждой машине? — Что сказано о массе сахара изготовленного из свеклы? — Какой вопрос в задаче? .- Как обозначим свеклу привезенную на завод? — Сколько свеклы привезли на завод? — Что показывает нам дробь 1/6? — Сколько таких частей составляет сахар? — Как узнали? — Где главный вопрос задачи? — Как это показать на чертеже? — Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? — Почему? — Зная что свеклы привезли 80 машин по 3 тонны в каждой, можем мы это узнать? — Каким действием? — А теперь зная сколько тон свеклы привезли и зная, что сахара из нее получится 1/6 часть, можем узнать сколько тонн сахара получиться — Каким действием? — Мы ответили на главный вопрос задачи? — Что будем находить первым действием? — Что будем находить вторым действием? — Самостоятельно запишите решение задачи. — Давайте проверим. — Как запишем ответ задачи? — Запишите ответ. Ответ: 40 тонн сахара изготовили из этой свеклы. | — Есть условие и есть вопрос. Ученики прочитывают условие. Читают вопрос. Задача на нахождение части целого. — На завод привезли свеклу, из которой сделали сахар. — Привезли 80 машин свеклы. — В каждой машине по 3т свеклы. — Масса сахара составляет 1/6 часть свеклы. — Сколько сахара изготовили из этой свеклы? — Отрезком. — Неизвестно, но сказано, 80 машин по 3 тонны в каждой. — Что отрезок нужно поделить на 6 равных частей. — Одну. -Это нам показывает числитель дроби — Сколько сахара получили из свеклы. — Обвести вопрос в кружочек. — Нет. — Мы не знаем, сколько всего тон свеклы привезли на завод. — Да. — Действием умножения. — Да. — Делением. — Да. — Сколько тон свеклы привезли на завод. — Сколько получится сахара. 1) 80 * 3 = 240(т) 2) 240 : 6 = 40 (т) — 40 тонн сахара изготовили из этой свеклы | Работа с учебником Беседа по задаче. Составление чертежа Чертеж ? т. ? т, 80 машин по 3т в каждой Поиск решения задачи. Решение задачи Один ученик работает у доски остальные в тетради. | ||||||||||||||||
Формировать умение решать задачи на движение с умножением на числа, заканчивающиеся нулями. | 2 задание: Составьте схему и решите задачу на движение. | От двух пристаней одновременно вышли навстречу друг другу два теплохода. Один шёл со скоростью 24 км/ч, другой — со скоростью 30 км/ч. Найдите расстояние между пристанями, если известно, что теплоходы встретились через 5 часов. |
Решение. ( 24+30) • 5= 270 (км) Ответ: 270 км между пристанями. | ||||||||||||||||||
Формировать умение решать изученные виды задач с умножением на числа, заканчивающиеся нулями. | 3 задание: стр. 79 № 352 На фабрике за месяц изготовили 40000 пар обуви: мужской обуви- 8 900 пар, женской- в 2 раза больше, чем мужской, остальная обувь- детская. Сколько пар детской обуви изготовили за этот месяц? О т в е т: 13 300 пар детской обуви. | 1. О чем задача? 2. Какая была обувь? 3. Известно ли нам, сколько всего было обуви? 4. Что знаем о мужской обуви? 5. Что сказано о женской обуви? 6. Можем ли мы узнать сколько женской было? -Каким действием? 7. Какой вопрос в задаче? 8. А что нам известно о детской обуви? 9. Можем ли мы узнать сколько осталось? Почему? 10. Как это узнать? 11. | Обучающиеся отвечают на вопросы, задаваемые учителем. Под руководством учителя составляют анализ задачи. — Неизвестно, но сказано что в 2 раза больше. — Да. — Умножением. — Нет. — Нам нужно узнать сколько мужской и женской обуви было вместе. — Да. Нам нужно от всей обуви отнять мужскую и женскую. | ||||||||||||||||||
Теперь мы можем узнать сколько было детской обуви?матриц — Создание нулевой матрицы путем умножения матриц
спросил
Изменено 10 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 32к раз
$\begingroup$
Из задания:
Пусть $A = \left[ \begin{matrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{matrix}\right] $ Постройте матрицу $2 * 2$ $B$ такую, что $AB$ является нулем матрица.
Используйте два разных ненулевых столбца для $B$.
Значение $AB$ будет следующим:
$$ АВ = \влево[ \begin{матрица} 3b_{11} -6b_{12} и 3b_{21} -6b_{22} \\ -2b_{11} + 4b_{12} и -2b_{21} + 4b_{22} \конец{матрица}\справа] $$
Я думал об использовании подстановки, но следующие уравнения просто приводят к тому, что переменные равны $0$:
$$\begin{align*} 3b_{11} -6b_{12} &= 0\\ -2b_{11} + 4b_{12} &= 0 \end{align*}$$
Любые подсказки о том, как я могу это решить?
- матрицы
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Рассмотрим решения $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Их можно легко найти методом исключения Гаусса:
$$\left(\begin{массив}{rr}
3 и -6\\
-2 и 4
\end{массив}\right)\стрелка вправо \left(\begin{массив}{rr}
1 и -2\\
1 и -2
\end{массив}\right) \rightarrow \left(\begin{массив}{rr}
1 и -2\\
0 и 0
\конец{массив}\справа).
$$
Итак, $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}r\\s\end{array}\right)$ удовлетворяет $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ тогда и только тогда если $r-2s = 0$, тогда и только тогда, когда $r=2s$.
Теперь обратите внимание, что если $B=[\mathbf{b}_1|\mathbf{b}_2]$, где $\mathbf{b}_1$ — первый столбец, а $\mathbf{b}_2$ — второй столбец, затем $$AB = [A\mathbf{b}_1|A\mathbf{b}_2].$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваши уравнения $$3b_{11}-6b_{12}=0,\qquad -2b_{11}+4b_{12}=0$$ говорят вам $b_{11}=2b_{12}$, это означает, что вы можете сделать $b_{12}$ своим любимым ненулевым числом, и тогда вы также будете знать $b_{11}$. Вы также получаете два уравнения для $b_{21}$ и $b_{22}$; вы можете сделать $b_{22}$ своим вторым любимым ненулевым числом и вычислить $b_{21}$. Тогда все готово.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Я думаю, что для маленьких матриц, таких как приведенная выше, хорошо просто искать линейную зависимость столбцов в такой задаче.
(т. е. здесь вы можете быстро заметить, что в матрице $A$ столбец 2 — это просто столбец 1, умноженный на -2)
Глядя на такую линейную зависимость между столбцами, вы быстро понимаете, почему $B$ выглядит так это так (т.е. возьмите 1 из столбца 1 и -2 из столбца два, и вы получите нулевую матрицу, и это именно то, что делает умножение на $B$)!
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
NumberNut.com: Арифметика: Умножение: Двузначные числа
Числа и подсчет| Арифметика |Дроби и десятичные числа|Предварительная алгебра|Карта сайта
Мы немного схитрили, введя какое-то двух- и трехзначное умножение в нашу переносную секцию. Однако мы работали с простыми цифрами. Правила просты, если вы умножаете двузначное число на однозначное. Умножьте единиц на , а затем умножьте на десятки.
Пример:
32 х 3 = ?
Умножить единицы: 3 x 2 = 6
Умножить десятки: 3 x 3 = 9
32 x 3 = 96
В этом примере не было переноски/перегруппировки. Если у вас есть перенос, вам нужно будет выполнить схему «Умножить — Перенести — Умножить — Добавить».
Пример:
96 x 8 = ?
УМНОЖЕНИЕ ЕДИНИЦ: 6 x 8 = 48
НАПИСАТЬ И НОСИТЬ: Напишите «8» и перенесите «4».
72 + 4 = 76
ЗАПИСАТЬ: Запишите «76»
Ответ: 96 х 8 = 768
Итак, что произойдет, если у вас есть два двузначных числа для ваших делителей ? Хотя это займет немного больше времени, решить проблему несложно. Вам просто нужно решить две задачи на умножение, а затем сложить ответы. Какая? Как это могло быть так просто? Давай посмотрим.
Пример:
96 x 28 = ?
Часть 1: Умножьте 8 x 96.
Ответ: Из приведенного выше примера мы знаем, что ответ равен 768.
Часть 2: Умножьте 2 x 96.
(1) 6 x 2 = 12
(2) Напишите «2» и перенесите «1»
(3) 2 x 9 = 18
(4) Доп. 18 + 1 = 19
(5) Напишите «19»
Ответ: 96 х 2 = 192
Часть 3: Добавьте два ответа.
Как вы думаете, теперь можно просто сложить два значения? Нет! Есть одна хитрость. Когда вы умножаете вторую часть, добавьте к этому ответу «0», потому что вы умножаете значение из столбца десятков (2).
Если это из десятков, добавьте ноль. Если это из сотен, вы должны добавить два нуля.
768 + 1920 = 2688 (Видите, как мы добавили «0» к значению «192»?)
Запишем в вертикальном (вверх-вниз) формате. Вам будет проще увидеть настройку.
| 96 x 28 768 + 192 0 2668 |
Может быть трудно понять, когда эта идея выражена словами, но сама концепция проста. Если ваш второй множитель (или нижний) состоит из двух цифр, вы решаете две задачи на умножение. В следующем разделе вы быстро увидите, что если ваш второй множитель состоит из трех цифр, вы решите три задачи на умножение.
Вторая идея заключается в том, что перед добавлением ответов необходимо добавить несколько нулей. При умножении первого значения не добавляйте нули. Когда вы умножаете значение десятков, добавляйте один ноль в конце ответа.