Некоторые аргументы могут быть одновременно рациональными и иррациональными: В. Грозин О различении рациональной и иррациональной аргументации

Парадокс — логический процесс, при котором одновременно существуют взаимоисключающие суждения и\или явления.

• Невозможный парадокс — когда суждение A является причиной суждения B, при котором невозможно существование является причиной явления A, что приводит к тому что не будет существовать и суждение B. В таком парадоксе невозможно существование обоих суждений, A и B.

• Замкнутый парадокс — когда следствием ситуации A является ситуация B, которая не приводит ни к чему иному, кроме как к ситуации А. Соответственно ситуация B как бы аннигилирует, оставляя ситуацию A как единую существующую точку входа в этот бесконечный цикл, при котором ситуация B — бессмысленна.

Нечто

Парадокс — это всего лишь ситуация логического суждения, и для всего существующего — явление невозможное. Ничто также не может существовать в парадоксе, иначе бы не стало и его, ведь следуя логике парадокса — ему, ничто, пришлось бы аннигилироваться, следуя законам такой логики. Но что бы тогда осталось после ничто? Ничто? Опять парадокс, который опять и опять ведет к невозможности существования ничего вообще.

Логика подводит нас к одному единственному правильному суждению — существование ничто приводит и к существованию нечто, как к некоему противовесу, позволяющему описать отличие ничто от нечто.

Ничто и нечто

Ничто и нечто — явления одного порядка, описывающие друг друга, и существовать друг без друга не могут, ибо при существовании только одного из этих явлений — другое перестало бы иметь собственную суть, как сказано выше, его невозможно было бы отличить.

Нечто существует только потому, что есть ничто, которое позволяет показать себя отличной от чего-то. Слится вместе сущности также не могут, ибо тогда их невозможно будет вместе не отличить ни от чего.

Как представить ничто и нечто?

Представьте себе свет, который не оставляет тени. Тогда пространство, где есть свет невозможно отделить от пространства, где его нет, а значит и само понятие света — бессмысленно. В таком примере свет выступает в качестве нечто, а тьма выступает в качестве ничто. Свет отличается от тьмы, именно тем, что тьма — это не наличие света.

Другим более полным объяснением можно считать что ничто — это тихое гладкое озеро, возмущение которого — создает нечто отличное от того, что ничего не происходит пока озеро покоится.

Но когда гладь поверхности нарушается — получается нечто, отлично от ничто — что и создает движение и различие.

Это есть дуализм ничто и нечто.

Именно поэтому невозможно доказать не-существование чего-либо. Доказывая существование — мы показываем отличие нечто от ничто, как отличие явление от его отсутствия. Доказывать не-существование = доказывать не наличие (отсутствие) отличий между явлением и его отсутствием. Доказать отсутствие отличий явления от его собственного отсутствия невозможно, ведь это замкнутый парадокс — нам придется доказывать отсутствие отличий нечто от не-существования, для чего потребуется доказать второй не-существование, а ведь с этого мы и начали.

Отношение

Вернемся к ничто и нечто. Когда существуют оба явления, они имеют между собой различие, которое явно отличает одно явление от другого. Граница между двумя явлениями как застывший момент взаимодействия — это отношение. В момент существования ничто и нечто — нечто относится к ничто, как наличие явления к его не-наличию.

Виды отношений

Отношение существует для пар явлений, ведь любое явление не относится само к себе никак, в нем нет различий между собой и собой же. А значит отношение появляется тогда, и только тогда, когда в нем участвует только два явления или объекта. Больше двух или меньше двух объектов в одном отношении не участвуют.

Если мы имеем три объекта, то говоря об отношении между тремя объектами — мы имеем в виду поочередное отношение пар объектов друг к другу, ибо если два объекта относятся к третьему — тогда эта пара выступает в качестве одной стороны, а значит и субъектом таких отношений выступают вдвоем как целое.

Истинное отношение

Первый вид отношения, возникающий в паре ничто и нечто — это истинное противоположное отношение. Само такое отношение существует, то есть имеет суть именно в том, что противопоставляет себя окружающему. Это отношение равнозначных противоположностей.

Говоря об истинном отношении — мы говорим о чистой фактологии, когда явление отделяет себя от всего остального, и граница такого отделения и является отношением. Такой вид отношения не имеет движущей силы, т.к. является просто констатацией факта, что явление отделяет себя от всего остального. Увеличение количества таких отношений говорит лишь об увеличении количественных характеристик, и не более. Истинное отношение соотносит форму нечто в ничто явления.

Субъективное отношение

Второй вид отношения — это субъективное однонаправленное отношение, в котором действительно важен лишь один субъект отношения, а второй выступает в качестве ссылки для сравнения. Это отношение частного к общему, когда часть приобретает то, чего нет у общего, а значит и приобретенное частью относится к общему не-наличию с определенным. Значит, что часть относится к общему своим отличием, но не наоборот.

Субъективное отношение — это вид отношения, когда не само явление относится к окружающему, а именно суть явления противопоставляется не-наличию такой сути извне. В субъективном отношении, в отличие от истинного — есть инициатор, который и является движущей силой отношений. Субъективное отношение отличает суть нечто в ничто явления.

Дуализм

Форма и суть

Фактически истинное отношение определяет форму нечто, отделяемого от ничто. Субъективное отношение определяет суть нечто, действующую в зарезервированных границах формы. В истинном отношении явление отражает свою противоположность, и форма явления может меняться, однако суть явления остается прежней. Сутью явления является лишь субъективное отношение явления самому к себе, как его содержание к его форме.

Можно описать это как границу явления, перед которой происходит взаимодействие с внешним миром, а внутри границ взаимодействие с самим собой. Внутреннее содержание явления подвержено внешнему влиянию опосредованно, с фильтром в виде формы явления, но неизменной внутренней сути, качественно отличающей явление от абсолютно любого другого.

Это есть дуализм формы и сути.

Истинное отношение по факту является лишь сложением двух субъективных отношений:

1. Отношение сути явления к его форме

2. Отношение форм других явлений к собственной форме

Тогда на границе двух субъективных отношений создается черта личного и внешнего, где сама граница выступает полем боя между сутью явления и его отсутствием. Суть явления субъективно влияет на свою форму изнутри, и в то же время форма подвержена внешнему воздействию других явлений.

Качество и количество

Наличие формы и сути требуется нам для минимального описания отличия нечто от ничто. Этот дуализм определяет всё, начиная от дуализма ничто и нечто, продолжая дуализмом формы и сути, и находясь в дуализме качества и количества.

Качество — есть внутренняя неизменная определенность, отличающая определенное нечто от всего остального. Качество определяет внутреннюю суть явления. Определяет собой субъективно-однонаправленное отношение ко всему иному, опосредованно через призму формы.

Количество — есть внешняя изменчивая неопределенность. Количество определяет внешнюю форму явления. Определяет собой истинно-противоположное отношение формы со всем иным, тем самым определяя количественную меру явления, являясь “защитным” рубежом для сути явления.

Дуализм качества и количества

Дуализм качества и количества — есть целое любого явления, как его неопределенность в определенной форме.Форма явления является барьером, которой подвержено влиянию сути изнутри, и подвержено влиянию иных явлений извне. Суть явления существует только в очерченных ему границах, и может иметь отношения от своего лица только через призму формы. 

Без формы невозможно определить границы явления, а без сути — его отличие. Поэтому количество — это всего лишь форма явления, а качество — его суть. Следовательно форма — это субъективное отношение внутренней сути нечто к ее внешнему миру, противоположное субъективному отношению внешнего мира к внутренней сути явления. Тем самым можно утверждать, что количество — это качество отношения внутреннего к внешнему.

Материя

Явление имеющее качественное отличие в количественном проявлении есть материя.

Для полноценного проявления материалистического явления мы явно выражаем его суть, которая позволяет нам выделить и отличие явление от других неотличимых, как и от ничто. Если явление не проявляет себя качественно, тогда неважно количество материи, которую оно использует. Ведь невозможно будет отличить половину материи от чего-либо другого, а значит нельзя её будет и выделить с определенным качеством.

Если же для явления является неважной количественная форма — следовательно явление будет существовать всегда и везде, а значит его взаимодействие будет только лишь субъективным, и истинного отношения несущего границу применения качества не будет.

Материя несет в себе качественное отличие как меру сути, и количественное отличие как меру формы, и только тогда становится материей — когда определенно обретает исчисляемые и проверяемые величины меры сути и количества. Любая материя есть нечто, как логическое продолжение ничто, отличающееся само от себя в количественных и качественных показателях.

Материя в глобальном смысле есть отношение бесконечной формы к бесконечной сути. Но все же чаще мы использует термин материя, в то же время осознавая что мы говорим лишь о части материи, у которой форма и суть имеют определенную конечность. Также (часть) материи может содержать в себе (часть) материи, следуя логическим возможностям формы и сути.

Послесловие

После объяснения понятий статической логики мы можем привести ее в движение, дабы создать динамическую модель, однако эта модель будет содержать изменения относительно самой себя. Для этого потребуется описать пространство, его измерения и реальность, в которой оно находится. На этом этапе мы объясним все понятия пространственной логики.

Понятия пространственной логики в свою очередь являются фундаментальными для приведения системы логики в движения, и создания полноценной динамической логической системы, с её внутренними законами.

В следующей статье мы разберем все понятия пространственной логики, чтобы начать описывать динамическую. Спасибо за внимание!

. Может ли аргумент алгебраического числа быть иррациональным числом, умноженным на пи?

спросил 10 лет, 10 месяцев назад

Изменено 10 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 514 раз

$\begingroup$

В основном из любопытства. Пусть $\nu$ — алгебраическое число. Может ли Arg($\nu$) иметь вид $\pi \times \mu$ для иррационального числа $\mu$?

• комплексный анализ
• алгебраическая теория чисел

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Да. Попробуйте $\alpha + i \beta$, где $\alpha$ и $\beta$ рациональны и не равны нулю, а $\arctan(\beta/\alpha)$ не является рациональным кратным $\pi$. Единственными случаями, когда $\theta/\pi$ и $\tan(\theta)$ являются рациональными, являются «очевидные» случаи, когда $\tan(\theta) \in \{ 0, \pm 1\}$. 9\му$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Теорема Нивена подразумевает, что существует множество примеров, например $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$. r\prod_jq_j\prod_k(\rho_k\bar\rho_k)\, $$ где $q_j$ — обычные простые числа, конгруэнтные $3$ по модулю $4$, а каждое $\rho_k\bar\rho_k$ — обычное простое число, конгруэнтное $1$ по модулю $4$, точно так же, как $13=(3+2i)(3-2i )$. Обратите внимание, что $\rho_k$ и $\bar\rho_k$ равны различных простых чисел Гаусса, т.е. не связанных единичным множителем. Так что возьми свой $z$, удовлетворяющий условиям, которые я указал в самом начале; тогда его разложение на простые числа должно включать по крайней мере один $\rho$, которому не соответствует $\bar\rho$, и каждая степень числа $z$ также удовлетворяет этому условию, поэтому не является реальным.

$\endgroup$

образование — Существует ли достаточно достижимый аргумент правдоподобия, что $\pi$ иррационально?

спросил 4 года 8 месяцев назад

Изменено 4 года, 8 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Сегодня я обучал кого-то (точнее, двенадцатилетнего), и мы столкнулись с задачей на кругах. Мало ли я знал, в каком направлении это приведет. Я смог привести быстрый аргумент правдоподобия, что все круги подобны и что они связаны некоторой константой (чаще всего $π$). Мы подошли к фактическому вычислению $π$, и я никак не мог не упомянуть о его иррациональности. Действительно, будучи несколько способным студентом, этот человек спросил, после того как я выписал частичное расширение $3,14159.2…$ не может ли она продолжить вычисление цифр и как она может это сделать. Хотя я упомянул аппроксимацию многоугольниками как один из возможных алгоритмов аппроксимации, она заверила меня, что продолжит находить больше цифр, на что я спросил: «С какой целью?» Действительно, продолжал я, невозможно закончить вычисление цифр. Но он должен начать повторяться после какой-то цифры, какой бы большой она ни была, возразила она. Нет я сказала. Это иррациональное число (ранее мы говорили об иррациональности, и было достаточно легко показать вариант классического доказательства иррациональности $\sqrt 2,$ как простого алгебраического числа). Затем она спросила, почему это так. Внезапно я обнаружил, что мне не хватает объяснений, так как я никогда не удосужился подробно изучить какие-либо из известных доказательств. Я пытался сказать ей, что известные доказательства ей теперь не понять, но она, тем не менее, настаивала. Тогда я пообещал, что приду с ним, когда мы встретимся в следующий раз.

Однако я уверен, что это не принесет ей никакой пользы. Поэтому я искал простое объяснение (не обязательно доказательство в обычном смысле), достаточно убедительное, но пока не нашел. Все, что я нашел, — это варианты доказательств Ламберта или Эрмита, и это далеко не то, что я ищу.

В следствии подумал спросить здесь. Возможно, кто-то сталкивался с похожей ситуацией и находил достаточно информативную аргументацию на этом уровне (то есть набросок идей или аргумент правдоподобия, который может привести к доказательству — в конце концов, идеи всегда могут быть поняты кем угодно). Короче говоря, знаете ли вы какой-нибудь аргумент, который я мог бы привести этому человеку, который мог бы хотя бы утолить его любопытство на данный момент, пока он не будет готов к классическим доказательствам (если он продолжит интересоваться)? Если да, то предъявите их.

Спасибо.

• образование
• иррациональные числа
• пи
• доказательство без слов
• интерактивное доказательство

$\endgroup$

7 92} $$ Если вам удастся убедить ее, что возможно для числа, имеющего десятичное расширение, которое никогда не начнет (и не продолжит!) повторяться, может стать легче принять, что $\pi$ тоже может быть одним из этих чисел.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Я попытался бы убедить ее, что большинство чисел иррациональны и даже не обращаются к $\pi$, показав ей, что вопрос «Повторяются ли цифры $\pi$?» нетривиальна (и действительно глубока), вероятно, более ценно, чем убедить ее в обратном, тем более что убеждение ее в иррациональности $\pi$ может создать впечатление, что $\pi$ особенный, когда это очень важно. не особое свойство $\pi$.

С этим можно довольно просто поспорить; главное отметить, что иррациональное плюс рациональное является иррациональным — это легко показать с помощью противоречия, используя целочисленные отношения, и не так уж плохо показать, если вы принимаете «рациональное» как означающее «цифры повторяются», так что вы можете используйте тот, который, вероятно, будет более удобным.

С самого начала, как только вы получите одно иррациональное число, вы в некотором смысле получите, что как минимум $\frac{1}2$ числа иррациональны, потому что если $c$ — любое иррациональное число, то $x +c$ для $x$ рационально всегда иррационально. Немного больше работы может убедить кого-то, что $x+\alpha c$ для ненулевого целого числа $\alpha$ всегда будет иррациональным и что все числа формы $x+\alpha c$ различны в зависимости от значения $( x,\alpha,c)$ — что, кажется, предполагает, что почти каждое число иррационально, поскольку по любому рациональному числу я могу произвести бесконечно много иррациональных чисел!

В этом аргументе есть некоторое упущение, а именно то, что он измеряет размер множеств нечетким образом. Обычный способ завершить этот аргумент — рассмотреть его по модулю $1$ (т. е. рассмотреть только дробные части), затем рассмотреть возможность выбора случайного числа в $[0,1)$ и подумать о вероятности попадания в рациональное число — тогда, формальная вещь заключается в том, что вы можете найти бесконечно много попарно непересекающихся множеств, которые с одинаковой вероятностью попадут в число рациональных чисел, поэтому вероятность попадания в рациональное число должна быть равна нулю.

Как указано @R.. в комментариях, можно строго определить выбор случайного действительного числа в $[0,1]$, многократно бросая десятигранный кубик, чтобы получить его цифры — это оба могут дать фактическое модели для аргумента, который я предлагаю, а также может быть использован для другого доказательства того, что вероятность получить рациональное значение равно $0$ — не так уж трудно убедить себя, что для любых фиксированных $n$ и $m$ событие, которое вы бросьте $n$ цифр, и тогда шаблон с периодом $m$ появится с вероятностью $0$ — но тогда вам понадобится счетная аддитивность, чтобы сказать, что вероятность получения этого для любых $n$ и $m$ также равна нулю — и ученик может по праву отказаться от этого рассуждения, поскольку исчисляемая аддитивность трудно мотивировать, когда несчетная аддитивность явно неверна. 2} {\ ddots}}}} $$ (или выбрать другой пример, который сходится быстрее?)

Вы можете сделать это, вычислив частичные суммы и показав, как они сходятся. Теперь возьмем несколько частичных сумм и попробуем упростить каждую из них по очереди. Запишите все целые числа как их простые факторизации, чтобы было очевидно, что они становятся все более сложными, а не «хорошо сокращаются». Теперь вы можете с уверенностью утверждать, что, следуя этому процессу, вы не получите правильную дробь, поэтому число пи должно быть иррациональным.

Это не «настоящее» доказательство, и вы должны подчеркнуть ей, что есть дополнительные части, которые вы упустили. В частности, мы опускаем доказательство того, что непрерывная дробь действительно равна пи, и доказательство того, что непрерывная дробь иррациональна. Вы также можете упомянуть тот факт, что бесконечные суммы нуждаются в формальном определении. 9\ infty \ bigg (\ frac {2n} {2n-1} \ cdot \ frac {2n} {2n + 1} \ bigg ) = \ frac {\ pi} {2} $$ Это скобки $\frac{\pi}{2}$ сверху и снизу, потому что члены попеременно больше и меньше единицы. Также «совершенно очевидно», что каждый частичный продукт будет иметь все большую и большую степень двойки в числителе (в то время как знаменатель всегда нечетный).

$\endgroup$

7

$\begingroup$ 9{th}$ место (* — см. после этого абзаца) (или, возможно, сдвинутое на $1$ в зависимости от того, как именно вы считаете), опять же, насколько нам известно, и оно точно не будет в форме повторяющегося десятичного числа. . Первая часть сводится к предположению, что $\pi$ является «нормальным» числом, что является концепцией, которую стоит изучить. Это означает, что ожидается, что любая строка из $n$ цифр должна быть найдена в десятичном представлении с средняя частота, которую вы ожидаете случайно. Вторая часть связана с тем, что $\pi$ известно как нерациональное число.

(*) Для малых $n$ или для специально построенных баз, или даже по слепой случайности, возможны короткие повторения случайно или намеренно (см. n-1)}$$

Можно доказать, что почти каждое действительное число является нормальным (Харди и Райт — Введение в теорию чисел — делают это в своей главе о десятичных дробях, которая, возможно, доступна — конечно, для идей — у них также есть доказательство иррациональность $\pi$, которая была бы недоступна). Но трюк с диагональю Кантора, показывающий, что большинство действительных чисел нерациональны, заслуживает внимания. А поскольку все рекуррентные числа рациональны, большинство из них должно быть нерекуррентным.

Это не совсем ответ на весь ваш вопрос, но здесь скрывается интересная математика.

$\endgroup$

11

$\begingroup$

Возможно, ученик не понимает, что иррациональные числа не имеют повторов в своих десятичных представлениях, а рациональные числа либо оканчиваются, либо заканчиваются повторяющимся циклом. Покажите ей дроби типа 12345/99999. Так что, если бы число пи имело повторяющийся десятичный шаблон, оно было бы рациональным. Научите ее, как преобразовать числа, которые заканчиваются повторяющимися циклами, в их эквивалентную дробь. Научите ее ПРИБЛИЖЕНИЮ к пи, например, 22/7 и 355/113. Она могла бы использовать калькулятор, чтобы убедиться, что они не точны.

Объясните учащемуся об алгебраических числах и трансцендентных числах. Затем покажите pi/4 как решение tan(x)=1. Затем покажите ей силовую серию для загара. Поскольку число пи является решением БЕСКОНЕЧНОГО ряда, оно не является решением конечного многочлена… поэтому оно не может быть алгебраическим.

Не совсем здравая математика, но пока она может удовлетворить студента.

Возраст 12 лет? Она должна быть очень яркой. Что у нее есть для уроков музыки? (Кажется, математика и музыка идут рука об руку.) 9п}} = \ underbrace {{\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ гидроразрыва {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} {2}} \ cdot {\ гидроразрыва {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots}_\text{$n-2$ факторов} $$

Предел отношения это, конечно, $\dfrac2\pi$.