Перемножить дроби: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на числитель второй – это будет числитель результата, а знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй – это будет знаменатель результата.

Пример 1. Вычислить произведение

3/7

*

5/11

.

3/7

*

5/11

=

3*5/7*11

=

15/77

.

Пример 2. Вычислить произведение

5/21

*

3/5

.

5/21

*

3/5

=

5*3/21*5

, сократим эту дробь на 3 и на 5, получим

5*3/21*5

=

1/7

.

Умножение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанную дробь на смешанную, нужно обе дроби записать в виде неправильных дробей и перемножить их по правилу умножения дробей.

Пример 1. Вычислить произведение

1

1/2

* 3

2/3

.

1

1/2

* 3

2/3

=

3/2

*

11/3

=

33/6

=

11/2

= 5

1/2

.

Пример 2. Вычислить произведение

5

1/4

* 2

3/5

.

5

1/4

* 2

3/5

=

21/4

*

13/5

=

273/20

= 13

13/20

.

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй – это будет числитель результата, а знаменатель первой умножить на числитель второй – это будет знаменатель результата. Таким образом, деление дробей сводится к умножению.

Пример 1. Вычислить значение выражения

1/9

:

2/3

.

1/9

:

2/3

=

1*3/9*2

, сократим полученную дробь на 3:

1*3/9*2

=

1*1/3*2

=

1/6

.

Пример 2. Вычислить значение выражения

3

2/7

: 2

1/7

.

3

2/7

: 2

1/7

=

23/7

:

15/7

=

23*7/7*15

, сократим полученную дробь на 7:

23*7/7*15

=

23/15

= 1

8/15

.

Пример 3. Вычислить значение выражения

15 : 2

1/2

.

15 : 2

1/2

=

15/1

:

5/2

=

15*2/1*5

, сократим эту дробь на 5:

15*2/1*5

=

3*2/1*1

= 6

.

Пример 4. Вычислить значение выражения

7

2/9

: 13

.

7

2/9

: 13 =

65/9

:

13/1

=

65*1/9*13

, сократим эту дробь на 13:

65*1/9*13

=

5/9

.

Как умножить дробь на отрицательное число?

Как умножить дробь на отрицательное число?

Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей. Пример. При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.

Как разделить и умножить дробь на дробь?

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий: числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби; знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Как делить обыкновенные дроби?

Правило. Чтобы разделить обыкновенную дробь , надо числитель делимого умножить на знаменатель делителя, а знаменатель делимого умножить на числитель делителя. Первое произведение взять числителем, а второе — знаменателем. Чтобы разделить обыкновенные дроби, можно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Как решить деление смешанных дробей?

Чтобы разделить одно смешанное число на другое, надо:

1. преобразовать смешанные дроби в неправильные;
2. умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
3. сократить полученную дробь;
4. если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Как делить столбиком с запятыми?

Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую Переносим запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, дописываем в него нули с правой стороны.

Как объяснить деление на двузначное число?

Алгоритм деления столбиком на двузначное число

1. Находим первое неполное делимое. Это число, которое делится на делитель с получением числа больше или равного 1. …
2. Определяем количество цифр в частном. …
3. Находим цифры в каждом разряде частного. …
4. Находим остаток (если есть). …
5. Деление нужно непременно проверить умножением.

Как правильно делить двузначное число на однозначное?

Чтобы разделить двузначное число на однозначное, надо двузначное число представить в виде суммы разрядных слагаемых и разделить эту сумму на однозначное число.

Как правильно делить в столбик?

Начинаем делить «512» на «8» следующим образом:

1. Определяем неполное частное. Для этого слева направо сравниваем цифры делимого и делитель. …
2. «51» больше «8». Значит это неполное частное. …
3. Приступаем к делению. Вспоминая таблицу умножения на «8», находим ближайшее к «51» произведение. …
4. В остатке получилось «3».

Как решать примеры с остатком?

Порядок решения примеров на деление с остатком.

1. Находим наибольшее число до «17», которое делится на «3» без остатка. Это «15». 15 : 3 = 5.
2. Вычитаем из делимого найденное число из пункта «1». 17 − 15 = 2.
3. Сравниваем остаток с делителем.

Как разделить 14 на 30 с остатком?

Ответ, проверенный экспертом Решение: 14:30=0 ( ост. 14) .

Как выполнить деление с остатком с проверкой?

Чтобы проверить деление с остатком, нужно делитель умножить на значение частного и прибавить остаток.

Как называют частное при делении с остатком?

Делимое, делитель, неполное частное, остаток от деления Натуральное число, на которое делят, называют делителем. В результате деления с остатком получаются два числа, одно из которых называют неполным частным, а другое – остатком.

Что такое неполное частное 4 класс?

«Неполное частное» – это число, показывающее какое максимальное количество раз, делитель содержится в делимом. 157. Выполни деление нацело и деление с остатком. Как получить делимое 60, используя значение частного и делитель?

Как найти делитель если известно делимое и частное с остатком?

Решение Чтобы найти делитель, если известны делимое, неполное частное и остаток, нужно от делимого отнять остаток, и полученную разность разделить на неполное частное.

Умножение дробей | Как, методы, примеры

Краткое резюме

Умножение дробей относительно просто. Вот шаги:

• умножить числители
• умножить знаменатели
• привести дробь к простейшей форме

Эти три шага проиллюстрированы ниже:

Взгляните на генератор рабочих листов дробей. Он предоставляет неограниченное количество вопросов на умножение дроби, в том числе с целыми числами и со смешанными числами.

Введение

Мы знаем, что дробь — это число в виде $\frac{p}{q}$ , где q ≠ 0. В то время как нам нужно вынимать НОК, когда нам нужно сложить или вычесть два дроби, умножение дробей совершенно другое. Здесь нам не нужно проверять знаменатели дробей и узнавать НОК, чтобы сделать их равными. Вместо этого при умножении дробей мы рассматриваем как числители, так и знаменатели отдельно. Чтобы умножить две дроби, мы можем просто умножить соответствующие числители и знаменатели на каждую, чтобы получить ответ. Но для больших чисел и чисел с общими делителями это может быть не единственный необходимый шаг. Итак, как умножить две дроби? Существует один общий метод умножения дробей. Но прежде чем понять метод умножения, важно понять, как уменьшить дробь в ее низшей или стандартной форме.

Как следует из названия, говорят, что дробь имеет простейшую форму, если числитель и знаменатель не имеют общего делителя, отличного от 1, или мы говорим, что это взаимно простые числа.

Давайте разберем это на примере:

Предположим, у нас есть дробь $\frac{24}{56}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.

Прежде всего напишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть

Делители 24 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24

Делители числа 56 равны 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 и 56. числитель и знаменатель на 8, чтобы числа были взаимно простыми.

Получим

$\frac{24\div 8}{56\div 8}=\frac{3}{7}$

Дробь $\frac{24}{56}$  теперь уменьшена в $\frac{3}{7}$. 3 и 7 являются простыми числами и не имеют между собой общих делителей. Следовательно, мы можем сказать, что простейшая форма дроби $\frac{24}{56}$ – это $\frac{3}{7}$.

Нам не нужно каждый раз сокращать дробь до простейшей. Могут быть случаи, когда числитель и знаменатель дроби уже находятся в такой форме, что у них нет общих делителей, хотя они могут не быть простыми числами. Например, числа 8 и 81 не являются простыми числами, но у них «нет общего делителя. Поэтому мы помещаем их в дробь, скажем $\frac{8}{21}$, они уже в низшей форме. Рассмотрим другой пример.

Предположим, у нас есть дробь $\frac{15}{34}$ и мы хотим привести ее к наименьшей форме.

Прежде всего напишем множители как числителя, так и знаменателя. У нас есть

Делители числа 15 равны 1, 3, 5 и 15

Делители числа 34 равны 1, 2, 17 и 34

Мы видим, что числа 15 и 34 не имеют общего делителя, кроме 1. Следовательно говорят, что указанная дробь имеет простейшую форму.

Теперь давайте разберемся, каковы общие шаги для умножения дробей.

Умножение двух или более дробей включает следующие шаги:

1. Во-первых, нам нужно умножить все числители.
2. Далее нужно перемножить все знаменатели
3. Наконец, нужно упростить дробь, если требуется

Следовательно, можно сказать, что

Произведение дробей = $\frac{Product\,of\ ,the\,Numerators}{Product\,of\,the\,знаменатели}$

Давайте теперь применим эти шаги в различных условиях.

Что мы получим, если умножим 4 на $\frac{1}{5}$?

Помните, что любое целое число можно представить в виде дроби, где 1 стоит в знаменателе. Следовательно,

Мы можем записать 4 как $\frac{4}{1}$.

Теперь у нас есть две дроби: $\frac{4}{1}$ и $\frac{1}{5}$.

Выполняя шаги, описанные в предыдущем разделе, мы имеем:

$\frac{4}{1}\times \frac{1}{5}=\frac{4\times 1}{1\times 5}=\frac{4}{5}$

В общем,

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дробь\,\times \,Целое\,Число}{Знаменатель\,\,\,Дробь}$

Пусть мы понимаем это на другом примере.

Алиса хочет купить 12 бананов. Продавец говорит нам, что один банан стоит £$\frac{1}{5}$. Сколько она должна заплатить продавцу?

Решение

Нам известно, что у Алисы 12 бананов.

Стоимость 1 банана £$\frac{1}{5}$.

Следовательно,

Стоимость 12 бананов будет £$\frac{1}{5}\times 12$

Это пример умножения целого числа на дробь.

Итак, у нас есть

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\,\раз \,Целое\,Число}{Знаменатель\,из\,\,Дробь} $

Следовательно,

£$\frac{1}{5}\times 12$ = £$\frac{1\times 12}{5}$= £$\frac{12}{5}=$

Следовательно, стоимость 12 бананов £ $\frac{12}{5}$

Мы знаем, что неправильная дробь — это та, у которой числитель больше знаменателя. Итак, как умножить две неправильные дроби? Давайте узнаем.

Предположим, у нас есть две неправильные дроби: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{4}$.

Мы видим, что обе дроби неправильные, так как в обоих случаях числитель больше знаменателя.

Умножение неправильных дробей выполняется так же, как и для любой другой дроби.

Это означает, что мы применяем тот же метод где,

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,\,Числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно,

 $\frac{3}{2}\times \frac{5}{4}=\frac{3\times5}{2\times4}=\frac{15}{8}$

В результате имеем получается неправильная дробь.

Здесь важно отметить, что умножение двух неправильных дробей в большинстве случаев приведет к неправильной дроби, если только они не имеют общих множителей, которые можно исключить.

Мы знаем, что смешанные дроби — это дроби, в которых целое число смешано как дробь. Это расширенная форма неправильной дроби, в которой числитель больше знаменателя. Например, $2\frac{1}{3}$ – это смешанная дробь, которая в неправильной форме равна $\frac{7}{3}$.

Итак, как нам умножить две смешанные дроби?

Умножение смешанных дробей производится так же, как и любых других дробей, но перед этим нужно выполнить одно действие. Действие состоит в том, что мы должны сначала преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь. Теперь, когда у нас есть дробь в виде неправильной дроби, мы можем умножить ее, используя ту же технику, что и в предыдущем разделе. Например,

Предположим, мы хотим умножить $2\frac{1}{3}$ на $2\frac{1}{5}$.

Мы видим, что обе фракции перемешаны. Поэтому сначала преобразуем их в неправильные дроби, получим

$2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ и

$2\frac{1}{5}=\frac{ 11}{5}$

Теперь у нас есть две неправильные дроби, $\frac{7}{3}$ и $\frac{11}{5}$ , которые можно перемножить по формуле

Произведение дробей = $ \frac{Произведение\,из\,\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно, мы получаем,

 $\frac{7}{3}\times \frac{11}{5}=\frac{7\times11}{3\times5}=\frac{77}{15} $

Мы обычно начинаем изучать дроби с помощью прямоугольников, дроби которых раскрашены, чтобы понять дробное значение целого значения. Например, если мы хотим отобразить $\frac{3}{4}$, мы сначала нанесем количество клеток, эквивалентное числу в знаменателе, которое в нашем случае равно 4. Это представление будет таким:

Далее , заштрихуем количество клеток, эквивалентное числителю дроби, которое в нашем случае равно 3. Получим:

Таким образом, затемненная часть представляет дробь $\frac{3}{4}$.

Умножение дробей также может быть представлено аналогичным образом. Давайте разберемся на примере.

Предположим, мы хотим оценить $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}$ с помощью графического представления. Для этого будут выполнены следующие шаги.

Шаг 1. Сначала мы делаем прямоугольник, который будем использовать как целое число. Пусть прямоугольник будет представлен следующим образом.

Шаг 2. Чтобы отметить $\frac{4}{5}$ , мы сначала разделим прямоугольник на 5 равных горизонтальных частей. Теперь у нас будет:

Мы видим, что каждая горизонтальная часть теперь является одной из пяти частей, которые также можно записать как $\frac{1}{5}$.

Шаг 3. Далее мы заштриховываем четыре из этих 5 частей, так как у нас есть числитель 4 в нашей дроби. Мы получим:

Итак, мы построили первую дробь. Затем мы построим нашу вторую дробь в том же прямоугольнике, чтобы получить результат умножения двух дробей.

Шаг 4. Чтобы отметить $\frac{2}{3}$, мы делим тот же прямоугольник на 3 равные части, но на этот раз это будет деление по вертикали. Мы получим

. Мы видим, что каждая вертикальная часть представляет собой одну из трех частей, разделенных по вертикали, что также можно записать как $\frac{1}{3}$.

Шаг 5. Теперь заштрихуем 2 три вертикальные части, у нас получится:

Теперь определите часть, которая была заштрихована дважды. Мы видим, что части, которые были закрашены дважды, имеют оба цвета, а части, которые были закрашены один раз, имеют только один цвет.

Подсчитайте количество частей, которые были заштрихованы дважды. Получаем 8 деталей из 15 деталей. Следовательно, мы можем сказать, что

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$

Проверим то же самое, используя нашу формулу для умножение двух дробей. Мы знаем, что:

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,\,Числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно,

$\frac{2 }{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}$

Таким образом, мы можем видеть, что мы правильно представили приведенное выше умножение в графической форме.

Пример 1    

Умножить

1. $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$
2. 4 x $\frac{1}{4}$
3. $\frac {13}{33}$ x 22

Решение              

1. Нам нужно умножить $\frac{2}{9}$ на $\frac{4}{5}$

Чтобы умножить две дроби у нас есть формула:

произведение дробей = $\frac{произведение\,из\,\,числителей}{произведение\,из\,\,знаменателей}$

Следовательно,

$\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times4}{9\times5}=\frac{8}{45}$

Следовательно, $\frac{2}{9}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{45}$

2. Нам нужно умножить 4 на $\frac{1 }{4}$

Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется формулой:

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$

Следовательно,

$4\times \frac{1}{4}=\frac{4\times1}{4}=1$

Следовательно, $4\times \frac{1}{4}=1 $

3. Нам нужно умножить $\frac{13}{33}$ на 22

Мы видим, что одно из чисел является целым числом, а другое — дробью. Мы знаем, что умножение целого числа на дробь определяется формулой:

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,of\,the\,Дробь\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель \,из\,\,фракции}$

Следовательно,

$\frac{13}{33}\times 22=\frac{13\times22}{33}$

=$\frac{13\times2}{3}=1\frac{26 {3}$

Следовательно, $\frac{13}{33}\times 22=\frac{26}{3}$

Пример 2    

Рональд хочет использовать $\frac{1 {2}$ страницы за написание своей истории. Он использует $\frac{1}{3}$ этой $\frac{1}{2}$ страницы для создания изображений. Какая часть всей страницы была использована для изображений?

Решение : Нам дали, что:

Рональд хочет использовать $\frac{1}{2}$ страницы для написания своей истории

Часть страницы, используемая для создания изображений $\frac{1}{3}$ этого $\frac{ 1}{2}=\frac{1}{3}$ из этого $\frac{1}{2}$

Чтобы узнать, какая часть всей страницы была использована для изображений, нам нужно умножьте $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$.

Мы знаем, что

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,of\,the\,Числителей}{Произведение\,of\,the\,знаменателей}$

 $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1\times1}{3\times2}=\frac{1}{6}$

Следовательно, $\frac{1}{6}$  из всей страницы было использовано для изображений Рональда.

Пример 3    

Питер читает книгу в $1\frac{3}{4}$ в час каждый день. Он читает всю книгу за 6 дней. Сколько всего часов понадобилось Петру, чтобы прочитать книгу?

  Решение : Нам дано, что:

Количество часов, потраченных Питером на чтение книги каждый день = $1\frac{3}{4}$

Количество дней, потраченных Питером на чтение всей книги = 6

Нам нужно узнать, сколько часов всего потребовалось Питеру, чтобы прочитать всю книгу. Чтобы узнать это, нам нужно будет умножить = $1\frac{3}{4}$ на 6

Но мы видим, что одна из дробей является смешанным числом. Поэтому сначала нам придется преобразовать его в неправильную дробь.

Следовательно,

$1\frac{3}{4}=\frac{4\times1+3}{4}=\frac{7}{4}$

Теперь мы можем перемножить две дроби.

Мы знаем, что

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,\,\,Дроби\,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,\,\,Дробь}$

Следовательно,

$\frac{7 }{4}\times6=\frac{7\times6}{4}=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}$

Следовательно, количество часов, необходимое Питеру для прочитать всю книгу = $ 10\frac{1}{2}$ часов.

Пример  4  

Найдите площадь прямоугольного парка длиной $41\frac{2}{3}$ м и шириной $18\frac{3}{5}$ м.

Решение: Нам дано, что:

Длина прямоугольника = $ 41\frac{2}{3} $ m

Ширина прямоугольника = $18\frac{3}{5}$ m

 Нам нужно найти площадь этого прямоугольника.

Мы знаем, что площадь прямоугольника заданной длины и ширины равна произведению его длины на ширину. Следовательно,

                                              Площадь прямоугольника = длина x ширина

Следовательно, чтобы узнать площадь прямоугольника, нам нужно перемножить два дробных значения, данные нам в вопросе.

Теперь мы также знаем, что

Произведение дробей = $\frac{Произведение\,из\,числителей}{Произведение\,из\,\,знаменателей}$

Но прежде чем продолжить с умножением мы должны сначала проверить наши дробные значения. Мы видим, что оба значения представлены в смешанных дробях. Поэтому нам сначала нужно будет преобразовать эти значения в неправильные дроби.

Следовательно, имеем

$41\frac{2}{3}=\frac{41\times3+2}{3}=\frac{125}{3}$

Также

$18\frac{3}{5}\frac{18\times5+3}{5}=\frac{93}{5}$

Теперь, когда у нас есть оба дробных значения как неправильные значения, мы можем двигаться дальше. с нашим умножением.

Следовательно,

 $\frac{125}{3}\times \frac{93}{5}=775$ м ²

Отсюда площадь прямоугольного парка с размерами $41\frac {2}{3}$ млн и $18\frac{3}{5}$ млн равно 775 м ² .

Пример 5    

В коробке 40 коробок с гвоздями, каждая коробка весит 3$\frac{3}{4}$ кг. Каков будет вес коробки гвоздей?

Решение : Нам известно, что

В коробке 40 коробок с гвоздями.

Кроме того, вес коробки с гвоздями  = $3\frac{3}{4}$ кг

Теперь нам нужно узнать общий вес коробки, в которой находится 40 коробок с гвоздями.

Чтобы это узнать, нам нужно будет умножить вес одной коробки гвоздей на общее количество коробок. Но перед этим мы можем видеть, что дробное значение веса одной коробки находится в смешанной дроби. Поэтому сначала преобразуем его в неправильную дробь. Поэтому имеем:

$3\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$

Теперь мы знаем, что

Дробь x Целое число = $\frac{Числитель\,из\,\,Дробь\ ,\times \,Whole\,Number}{Знаменатель\,of\,\,Дробь}$

Следовательно,

$\frac{15}{4}\times 40=\frac{15\times 40} {4}=150$ кг

                               Следовательно, общий вес 40 коробок с гвоздями = 150 кг.

Визуальное умножение дробей

Три приведенных ниже примера иллюстрируют умножение дробей.

Распространенная ошибка при умножении дробей на целое число

В приведенном ниже примере показана ошибка, которую допускают учащиеся, когда при умножении участвует целое число.

Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число равносильно умножению дроби на 1. 4/7 x 3/4

Умножение дробей и чисел, например. 4 х 6/7

Умножение дробей и смешанных чисел, например. 4 x 3 6/7

Умножение смешанных чисел, например. 4 2/3 x 5 3/4

Используйте рабочие листы выше, чтобы попрактиковаться в умножении дробей.

Вычитание правильных дробей (на тему Олимпийских игр) Рабочие листы
Упрощение дробей (на тему живых существ) Рабочие листы
Упорядочивание дробей (на тему дня рождения) Рабочие листы

Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

Умножение дробей – The Math Doctors

На прошлой неделе мы рассмотрели некоторые вопросы об умножении, которые возникают, когда учащиеся учатся умножать дроби или десятичные числа. Давайте обратимся к основному вопросу: как вы умножаете дроби и почему мы делаем это именно так? Как вписывается отмена?

Что это значит?

Наш первый вопрос из 1999 года:

 Значение умножения дробей
Я делаю сочинение и застрял на этом вопросе:  Что значит умножить дробь на дробь?  Мы с сестрой думаем, что умножение дроби на дробь просто означает умножение дроби на дробь!
Пожалуйста помоги. 

Я ответил, используя картинки, чтобы связать умножение дробей с умножением целых чисел:

 Привет, Мэри.
Итак, что значит умножить целое число  на целое число ?
Дважды три означает в общей сложности  две группы по три вещи 
  ; вот две группы по три квадрата:
     +-------+-------+-------+
     | | | |
     | | | |
     | | | |
     +-------+-------+-------+
     | | | |
     | | | |
     | | | |
     +-------+-------+-------+
Итак, 2 умножить на 3 равно 6,9. 0459 
 
 
 (Преимущество этой прямоугольной модели умножения заключается в том, что легко увидеть, что мы могли бы также назвать ее  три  группы по  две  штуки!) 
 
 Теперь что значит умножить  на дробь, умноженная на целое число  ?
Половина, умноженная на шесть, означает половину группы из шести; вот  половина группы из трех квадратов  :
     +-------+-------+-------+
     | | | |
     +-------+-------+-------+
     : : : :
     :.......:.......:.......:
1/2 умножить на 3 равно 3/2, потому что я разрезал квадраты на шесть половинок, из которых оставляю три. 
 
 
 Я сделала три квадрата в ряду, затем разрезала весь ряд пополам, оставив 3 полуквадрата или 3/2. Мы также можем преобразовать это в 1 1/2 квадрата; мы рассмотрим такие смешанные числа позже!
 Мы делаем то же самое, чтобы умножить  на дробь, умноженную на дробь  ; вот половина группы 2/3 квадрата:
     +-----+..:
     | : | :
     +-----+. .:
     : : : :
     :..:..:..:
1/2 умножить на 2/3 — это 2/6, потому что, разрезав квадрат на две части в одну сторону и на три — в другую, я получу шесть частей, из которых оставлю только две.
Таким образом, дробь, умноженная на что-либо, равна всего 9.0069 часть этой суммы  ; разбейте его на столько частей, сколько говорит  знаменатель , и сохраните столько частей, сколько  говорит числитель . 
 Квадрат разрезала на 3 части по вертикали и оставила только два столбца, сделав 2/3; затем я разрезал его пополам по горизонтали, получив 2/6. Через мгновение мы рассмотрим этот процесс медленнее, а также как изменить ответ на 1/3.
  
 Почему мы умножаем числители и знаменатели 
 Далее рассмотрим вопрос, несколько отличающийся от предыдущего в том же году:
 Умножение дробей
У меня проблемы с умножением дробей. Не могли бы вы помочь мне? 
 На этот раз вопрос в том, как это сделать, а не в том, что это значит; но я решил начать с , что означает , а не с рутинного метода  , с которым у Дерека, вероятно, были проблемы:
 Привет, Дерек. 
Вместо того, чтобы просто напомнить вам, что для умножения двух дробей вы  умножаете числители и знаменатели  , давайте все обдумаем.
Допустим у меня  половина торта  осталась с моего дня рождения, и хочу  взять 2/3 от него  . Сначала я разрежу половину на трети. Если бы я разрезал весь торт на кусочки такого размера, то их было бы в два раза больше (6), так что каждый кусок составляет одну шестую часть всего торта. Теперь я хочу взять два таких кусочка; которые составляют 2/6 торта или 1/3. Таким образом, 2/3 от 1/2 равно 1/3.
Вы можете увидеть это еще проще, если перевернете его: 2/3 от 1/2 совпадает с   1/2 от 2/3  . Половина двух третей это одна треть. 
 Фотографии будут через минуту, но этот последний комментарий представляет интерес. Из работы с целыми числами (как в примере \(2\times 3\) выше) мы знаем, что умножение является коммутативным, то есть вы можете изменить порядок и получить тот же результат. работать проще, как здесь. Поскольку половина из 2-х предметов это 1 предмет, половина из 2-х третей это 1-я третья, и готово! 3 из них так же, как мы могли бы сделать с любой парой дробей:
  
 Вот картинка того, как это работает. Я сначала  разрезаю торт на два  сверху вниз, и беру одну половинку:
    +--+--+
    |//| |
    |//| |
    |//| |
    |//| |
    |//| |
    +--+--+
Теперь я  разрежу эту половину на три части  ; пока я этим занимаюсь, я отрежу ту часть, которую не снял при этом, показав, что  эти части на самом деле шестые  :
    +--+--+
    |//| |
    +--+--+
    |//| |
    +--+--+
    |//| |
    +--+--+
Теперь я возьму две из трех частей:
    +--+--+
    |ХХ| |
    +--+--+
    |ХХ| |
    +--+--+
    |//| |
    +--+--+ 
 Всего торта 6 равных частей (хотя половина из них не существовала, когда мы разрезали), и у нас их 2, так что результат \(\frac{2}{6 }\).
 Две части, которые я взял, являются произведением  числителей  дробей 2/3 и 1/2: 2 * 1 = 2.  
        1
      +--+
      |ХХ|
    2 +--+
      |ХХ|
      +--+
Шесть кусков, на которые был разрезан весь пирог, — это произведение  знаменателей  дробей: 3 * 2 = 6.
         2
      +--+--+
      | | |
      +--+--+
   3 | | |
      +--+--+
      | | |
      +--+--+
Итак, кусочки, которые я взял, составляют 2/6 торта:
     2 1 2 * 1 2
    --- * --- = ----- = ---
     3 2 3 * 2 6
И снова ответ! 
 Это объясняет, почему произведение дроби находится путем умножения числителей (чтобы найти числитель результата) и умножения знаменателей (чтобы найти знаменатель результата). Это основное правило, которому мы должны следовать, независимо от того, помним ли мы почему: $$\frac{2}{3}\times\frac{1}{2} = \frac{2\times 1}{3\times 2} = \frac{2}{6}$$
 Первая отмена 
 Но подождите! Есть больше!
 Теперь нужно добавить еще одно: часто вам придется упростите ответ  (как в этом случае, который превращает его в 1/3), и есть способ сделать это проще.  Что мы делаем, так это упрощаем  перед тем, как действительно умножим . Просто заметьте, что когда я выписал умноженную дробь выше,
    2 * 1
    -----
    3 * 2
и числитель, и знаменатель содержат 2. Я могу изменить это как
    2 * 1 2 1 1 1
    ----- = --- * --- = 1 * --- = ---
    2 * 3 2 3 3 3
Вы можете сделать это очень легко, просто зачеркнув двойки, что называется отменой:
    /
    2 * 1 1
    знак равно
    3 * 2 3
        /
 
 В простом тексте зачеркивание нужно было указывать отдельной косой чертой; обычно мы записываем это так: $$\require{cancel}\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{2\times 1}{3\times 2}= \frac{\bcancel{2}\times 1}{3\times\bcancel{2}}=\frac{1}{3}$$
 В более сложных задачах  это может сэкономить много работы  , поскольку в противном случае вам пришлось бы умножать, а затем множить или делить, отменяя часть своей работы.
Надеюсь, это немного поможет. Если я не помог с самой сложной для вас частью, напишите мне в ответ и приведите пример проблемы, с которой вы столкнулись, и как вы пытались ее решить; это поможет мне увидеть, где вам больше всего нужна помощь.  
 Мы не получили ответа, но следуют другие примеры!
 Подробнее об отмене 
 Давайте углубимся в идею отмены с помощью этого вопроса из 1998 года:
 Отмена дробей
  Как отменить  3 2
                  - Икс -  ?
                  5 3
Книга, которая у меня есть, объясняет это, но похоже, что ее пишут учителя с Планеты X. Я совершенно не понимаю всей проблемы. ххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххххх 
 На этот раз вся суть в отмене; пример очень похож на последний. (Сложнее мы увидим позже.)
 На этот раз доктор Отавия ответила, дав совет по чтению учебников, а затем привела аналогичный пример:
 Привет, Лори! Я также иногда нахожу учебники по математике трудными для понимания. Если я не понимаю какую-то часть с первого раза, я обычно перечитываю ее и пробую некоторые примеры, и иногда это помогает.
Давайте посмотрим на проблему, которая похожа на вашу проблему. Как только вы поймете, как решать такого рода задачи, вы сможете решить свою в один миг.  Давайте использовать о ... как насчет
   7 13
  знак равно
   3 7
Мне они кажутся хорошими цифрами. В конце концов, это всего лишь пример, чтобы вы могли изучить метод решения подобных проблем. 
 Это почти идентично, за исключением конкретных номеров.
 Вам нужно найти произведение этих двух дробей, верно? И вы хотите использовать отмену, чтобы помочь вам в этом. Итак, как вы умножаете дроби вместе? Вы  умножаете числители  (верхняя часть) и  умножаете знаменатели  (нижняя часть), поэтому первый шаг будет выглядеть так:
   7 13  7 * 13 
  знак равно
   15 7  15 * 7 
Пока это выглядит как обычное старое умножение дробей. Так где отмена? Ну, мы знаем, что 3 * 7 = 7 * 3 [переместительное свойство  ], поэтому мы можем переписать нашу дробь, которая тогда будет выглядеть как
   7*13 7*13
  знак равно
   15*7  7*15 
Теперь мы можем снова переписать эту дробь как произведение  двух дробей  , так что теперь у нас есть
   7 * 13 7 * 13  7  13
  -------- = -------- =  --- *  ---- . 
   15*7 7*15  7  15
Но подождите, 7/7 означает 7 разделить на 7, что равно 1, верно? Итак, что мы имеем на самом деле
        13
     1 *  ----.
        15
Но мы знаем, что все, что умножается на 1, равно самому себе, поэтому ваш ответ — 13/15. 
 Это о-о-о-о! Хотя это объясняет , почему  мы можем «отменить», мы никогда не запишем все это.
 Более короткий путь и более крупный пример 
 Итак, это пошаговый метод нахождения произведений дробей с использованием сокращения по пути, и теперь, когда вы его видели, я покажу вам  короче  , но сначала я должен был объяснить всю причину этого, иначе более простое объяснение могло бы не иметь смысла!
Допустим, у вас есть дроби, которые вы хотите перемножить.  Представьте , что когда вы выполняете первый шаг объединения числителей и знаменателей, у вас есть дробь, которая выглядит как
   6*11*2*5
  ---------------- .
   2*6*10*7
Простой способ отменить материал — просто  избавиться от всех чисел, которые есть в числителе и знаменателе 9. 0070 . Причина, по которой это работает, заключается в том, что на самом деле вы переставляете числа, а затем выражаете дробь как произведение **чего-то, что действительно замаскировано**, умноженное на то, что осталось, или, в данном случае, поскольку у вас есть 6 в числителе и 6 в знаменателе, вы можете просто  выбросить обе шестерки  - и то же самое касается 2. То, что у вас осталось, это
    11*5
   -------- .
    10 * 7 
 Итак, вместо того, чтобы выписывать перестановки, мы можем просто представить, что мы сделали, и записать результаты. Везде, где у нас сверху и снизу одинаковые числа, мы смогли бы собрать их в единую дробь, равную 1, и они исчезнут:
 $$\frac{6}{2}\times\frac{11}{6}\times\frac{2}{10}\times\frac{5}{7} = \frac{6\times 11 \times 2\times 5}{2\times 6\times 10\times 7} = \frac{\cancel{6}\times 11\times \bcancel{2}\times 5}{\bcancel{2}\times \cancel{6}\times 10\times 7} = \frac{11\times 5}{10\times 7}$$
 Но иногда общие множители скрыты:
 Похоже, вы закончили, верно? Нет, еще не совсем.  Потому что видите, 10 = 5 * 2, так что на самом деле дробь равна
     11*5
   -----------.
      2 * 5 *7
  
Теперь вы можете снова отменить 5, и ваш окончательный результат
   11 11
 знак равно
  2*7 14
Поэтому я предполагаю, что еще один способ описать отмену - это умножить числители и знаменатели (другими словами, объединить все ваши дроби в одну большую дробь), а затем  разложить каждое число на столько, сколько вы можете  . Как только вы это сделаете, каждое число, которое появляется в числителе и в знаменателе, может быть выброшено или отменено. 
 Мы можем либо явно выписать множители, как это сделала она,
 $$\frac{11\times 5}{10\times 7} = \frac{11\times 5}{2\times 5\times 7} = \frac{11\times \cancel{5}}{ 2\times \cancel{5}\times 7} = \frac{11}{2\times 7} = \frac{11}{14}$$
 или мы можем просто разделить на общий множитель, заменив каждое число с частным:
 $$\frac{11\times 5}{10\times 7} = \frac{11\times \overset{1}{\cancel{5}}}{\underset{2}{\ отменить{10}}\times 7} = \frac{11}{2\times 7} = \frac{11}{14}$$
 Взаимное отмену 
 Учащиеся часто слышат термин «взаимное отмена», и иногда путаюсь в этом. Вот вопрос 2001 года:
 Умножение дробей
Мне нужна помощь в том, как решить это:
   8 * 3
   - -
   9 5
Мой учитель сказал что-то о  перекрестном сокращении  , но я не понял. Не могли бы вы объяснить? Спасибо. 
 Доктор Рик ответил:
 Привет, Алиша.
Вы знаете основной метод умножения дробей, верно? Вы умножаете числители, и это числитель произведения. Умножьте знаменатели, и это знаменатель произведения.
Давайте так, но НЕ делайте умножения еще  - просто запишите их там, где они идут.
  8 3 8*3
  знак равно
  9 5 9*5
Теперь, чтобы сократить дробь до меньших членов, мы хотим  найти общий множитель в числителе и знаменателе . Не умножая сначала, мы облегчаем эту работу: мы уже сделали факторизацию числителя и знаменателя. Я закончу факторинг, но оставлю факторы вместе, чтобы показать, откуда они взялись:
  8*3 (2*2*2)*3
  знак равно
  9*5 (3*3)*5 
 Идея пока не выполнять умножения — это то, чем все мы занимались до сих пор, не указывая на это. Мы делаем это, потому что это делает видимым то, что происходит на самом деле, и мы можем сделать паузу, чтобы подумать о том, как облегчить работу. Я часто советую ученикам сначала написать, что они собираются делать (в данном случае числа, которые нужно перемножить), потом подумать, а потом уже делать. Даже если вы не меняете того, что вы на самом деле делаете, вы показываете своему учителю, что вы делаете (на случай, если вы совершите ошибку), и вы показываете себе то, что, как вы утверждаете, делаете, так что вы можете проверить, что вы действительно делаете. сделал это!
 Здесь мы знаем, что нам нужно искать общие факторы, чтобы упростить окончательный результат, так зачем же умножать, а затем сразу же не умножать! Теперь мы ищем меньшие числа 8, 3, 9 и 5, а не произведения 24 и 45, с которыми в противном случае нам пришлось бы работать. И это позволяет нам увидеть, что мы можем сделать дальше:
 Теперь вы можете увидеть  общий делитель: 3  . Мы можем «вытащить» их из дроби:
  8*3 (2*2*2)  3 
  --- = -------  * - 
  9*5 (3)*5  3 
Но 3/3 = 1, так что остается только
  8*3 (2*2*2) 8
  --- = ------- = --
  9*5 (3)*5 15
Это ответ.  То, что мы называем «отменой», на самом деле является «вытягиванием» одного и того же числа в числителе и знаменателе, делая коэффициент 1, как я сделал выше, когда вытягивал коэффициент 3/3. 
 Все это мы сделали в предыдущих примерах, не рассматривая это явно как «перекрестное отмена».
 Теперь мы можем поговорить о «перекрёстной отмене». Обратите внимание, что 3 в числителе произошло от 3 из 8*3, а 3 в знаменателе произошло от 9.из 9*5. Другими словами, 3 в числителе произошло от числителя  второй дроби  , 3/5, а 3 в знаменателе произошло от знаменателя  первой дроби  , 8/9. 
 Итак, в том, что мы сделали, сами того не замечая, мы сократили числитель единицы со знаменателем, сократив по диагонали, и это то, что называется «перекрестным сокращением» — то, что вы даже не должны замечать в порядок сделать.
 Опять же, он проделал долгий путь, чтобы продемонстрировать, почему это можно сделать. Мы можем просто представить себе некоторые шаги, зная, что они позволяют нам делать:
 Вам не нужно писать так много, как мне.  Вы можете просто посмотреть на проблему
  8 3
  знак равно
  9 5
и  визуализируйте это  так:
  8 * 3
  знак равно
  9*5
Затем найдите общие множители в одном числе числителя и другом числе знаменателя. Мы видим, что 3 является множителем как 3 (в числителе), так и 9 (в знаменателе). Разделите каждое из этих чисел на 3 (на бумаге вы бы зачеркнули 3 и написали над ним 1, а затем зачеркнули 9 и написали 3 под ним):
  8*1
  знак равно
  3*5
Вы можете снова поискать другие общие факторы. Имеют ли числа 8 и 5 общий делитель? Нет. Поэтому мы закончили, и продукт готов.
  8*1 8
  знак равно
  3*5 15 
 Опять же, наша работа на бумаге будет выглядеть так: $$\frac{8}{9}\times\frac{3}{5} = \frac{8}{\underset{3}{\cancel{9 }}}\times\frac{\overset{1}{\cancel{3}}}{5} = \frac{8}{15}$$
 Вы видите , почему это называется перекрестным аннулированием  ? Вы ищете общие факторы в этих парах:
  8 3
   \ /
 __ \/ __
    /\
   / \
  9 5
Возможно, вы найдете общие делители и по вертикали   — между 8 и 9 или между 3 и 5.  Но если вы это сделаете, это будет означать, что дроби, с которых вы начали, не были кратчайшими.  Если дроби находятся в наименьших членах  , то вам нужно только искать общие множители в «перекрестных членах». 
 Кстати, студенты часто спрашивают о «перекрестном умножении», которое используется при решении пропорций, а также, в совсем другом значении, как сокращение для сложения дробей; и они путают все это с «умножением поперек», термином, используемым для основной идеи умножения дробей, которое идет прямо поперек, а не по диагонали. Из-за всей этой путаницы я предпочитаю не использовать слово «крест» в большинстве случаев.
 Большой пример 
 Завершим вопрос 2008 года:
 Отмена и сокращение при умножении нескольких дробей
Мне нужна помощь при умножении  трех или более дробей  . Я знаю, как сокращать по диагонали, когда дроби стоят рядом друг с другом. Я тоже умею сокращать числитель и знаменатель дроби. Я видел, как люди сокращают, используя числители и знаменатели, которые не находятся рядом друг с другом.  Как они это делают?
Можете ли вы  дважды отменить  номер? Как тогда все удержать?
Миллион благодарностей за помощь! 
 Доктор Ян ответил:
 Привет, Рене!
Ключевая идея состоит в том, что умножение  является коммутативным . Предположим, у вас есть что-то вроде
  4 3 25
  - * -- * --
  5 10 30
Вы можете разбить все на простые множители,
  2*2 3 5*5
  --- * --- * -----
   5 2*5 2*3*5
Теперь, чтобы умножить дроби, мы просто умножаем числители и знаменатели отдельно, верно? Так что это то же самое, что
  2*2*3*5*5
  ------------------
   5*2*5*2*3*5 
 Опять же, мы  видим  как одну большую дробь, даже если мы никогда не запишем это так!
 Итак, теперь мы  просто уменьшаем дробь  . И мы можем сделать это, определив простые множители, которые появляются как в числителе, так и в знаменателе:
    2*3*5*5
  ------------------ Отменить 2
   5*5*2*3*5
         3*5*5
  ------------------ Отменить еще 2
   5*5*3*5
               5*5
  ------------------ Отменить 3
   5*5*5
                  1
  ------------------ Отменить две пятерки
                  5
Таким образом, результат умножения равен 1/5.  Имеет ли это смысл до сих пор? Помните, что когда вы «отменяете» два одинаковых числа, вы превращаете каждое число в 1. Вот почему в числителе остается 1 после того, как все числа, которые там были, сократились. 
 Суть в том, что мы можем отменить совпадающие множители  в любом месте  в числителе и знаменателе. Но нам не нужно записывать все факторы; как я показал выше, мы можем просто разделить на общие множители:
 
 Вот как я бы сделал это на практике:
 4 3 25
 - * -- * -- Наша исходная проблема.
 5 10 30
 2 3 25
 - * -- * -- Я отменил 2 из 4 и 10.
 5 5 30
 1 3 25
 - * -- * -- Я отменил 2 из 2 и 30.
 5 5 15
 1 3 5
 - * -- * -- Я отменил 5 из 5 и 25.
 1 5 15
 1 3 1
 - * -- * -- Я отменил две пятерки.
 1 1 15
 1 1 1
 - * -- * -- Я отменил 3 из 3 и 15.
 1 1 5
 1 1 1
 - * -- * -- Отменять нечего.
 1 1 5
Как я уже сказал, ключевая идея заключается в том, что, поскольку числители и знаменатели в любом случае будут перемножаться, не имеет значения, находятся ли общие множители рядом друг с другом или далеко друг от друга.