Правила умножения дроби на дробь: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Умножение и деление алгебраических дробей. Примеры и решение

• Умножение дробей
• Возведение алгебраических дробей в степень
• Деление дробей

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

a	·	c	=	ac	,
b		d		bd

где  b≠0  и  d≠0.

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2	·	a + b	.
a2 — b2		a

Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2	·	a + b	=	2a2	·	a + b	=
a2 — b2		a		(a + b)(a — b)		a

=	2a2(a + b)	.
	(a + b)(a — b)a

Теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b)	=	2a	.
(a + b)(a — b)a		a — b

Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) ·	x — 2	.
	x + 3

Решение:

(2x + 6) ·	x — 2	=	(2x + 6)(x — 2)	.
	x + 3		x + 3

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x — 2)	=	2(x + 3)(x — 2)	=
x + 3		x + 3

= 2(x — 2) = 2x — 4.

Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a ·	b	=	ab	или	b	· a	=	ab	,
	c		c		c			c

где c≠0.

Возведение алгебраических дробей в степень

Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.

Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:

(	a	)n =	an	.
	b		bn

Пример. Выполнить возведение в степень:

а) (	a2	)3 ;          б) (-	2x3	)2	.
	b		y2

Решение:

а) (	a2	)3 =	(a2)3	=	a6	;
	b		(b)3		b3

б) (-	2x3	)2 =	(2x3)2	=	4x6	.
	y2		(y2)2		y4

Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.

Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:

a	:	c	=	a	·	d	=	ad	.
b		d		b		c		bc

Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.

Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:

ab + ac	:	ab — ac	.
bc		bc

Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:

ab + ac	:	ab — ac	=	ab + ac	·	bc	=
bc		bc		bc		ab — ac

=	(ab + ac)bc	.
	bc(ab — ac)

Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:

(ab + ac)bc	=	ab + ac	=
bc(ab — ac)		ab — ac

=	a(b + c)	=	b + c	.
	a(b — c)		b — c

Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.

Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:

a :	b	= a ·	c	=	ac	.
	c		b		b

Пример. Выполнить деление:

6xy2 :	x	.
	y

Решение:

6xy2 :	x	= 6xy2 ·	y	= 6y3.
	y		x

Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.

Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:

a	: c =	a	:	c	=	a	·	1	=	a	.
b		b		1		b		c		bc

Пример. Выполнить деление:

2xy	: 6y.
3

Решение:

2xy	: 6y =	2xy	:	6y	=	2xy	·	1	=
3		3		1		3		6y

=	2xy	=	x	.
	18y		9

Правила умножения и деления смешанных чисел. Деление смешанных чисел. Формула умножения дробей

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел :

• Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

.

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения.

В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II .Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III .Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV. Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

Умножение дробей

Умножение дробей можно выполнить, выполнив несколько относительно простых шагов. В отличие от сложения или вычитания дробей, нам не нужен общий знаменатель. Мы можем сразу перемножить любые две или более дроби, следуя этим правилам:

1. Умножить все числители каждой умножаемой дроби
2. Умножить все знаменатели каждой умножаемой дроби (порядок шагов 1 и 2 можно поменять местами)
3. Запишите произведение числителей и знаменателей в числитель и знаменатель новой дроби соответственно
4. При необходимости упростите результат

Примеры

Решение:

Сначала мы умножаем числители:

2 × 4 = 8

Далее, умножьте конфессии:

5 × 7 = 35

SO,

Цель и 35 не имеют общих множителей, поэтому дробь уже упрощена.

В следующем примере нам нужно упростить:

Приведенная выше дробь еще не упрощена, потому что 10 и 54 делят множитель 2. Итак, мы делим 10 на 2 и 54 на 2, чтобы получить:

Это эквивалентные дроби.

Умножение дробей и целых чисел

Процесс умножения дробей и целых чисел в основном одинаков. Нам просто нужно записать целое число в виде дроби, чтобы умножить его. Целое число в форме дроби может быть представлено так называемой неправильной дробью. Проще говоря, неправильная дробь — это дробь, значение которой больше 1.

Чтобы представить целое число в форме дроби, мы можем просто рассматривать целое число как числитель дроби, поставив 1 в знаменателе. , поскольку 5 ÷ 1 по-прежнему равно 5. Это то же число, но оно позволяет нам рассматривать целое число 5 как дробь.

Примеры

Решить:

Сначала запишем 12 как целое число, а затем перемножим дроби:

Когда вы освоитесь с целыми числами и дробями, нет необходимости записывать целое число дробью форма. 1, умноженная на что-либо в знаменателе, сохранит знаменатель таким же, поэтому нам просто нужно умножить целое число на числитель, а затем упростить дробь.

Умножение смешанных дробей

Умножение смешанных дробей в основном просто требует преобразования смешанной дроби в неправильную перед умножением.

Пример

Решите:

Сначала мы рассмотрим смешанное число . Чтобы преобразовать это в неправильную дробь, мы умножаем знаменатель 4 на 2, а затем добавляем числитель. Это дает нам числитель неправильной дроби, а знаменатель неправильной дроби остается прежним. Итак:

2 × 4 + 3 = 11, значит

Чтобы понять почему, мы можем рассмотреть это как задачу сложения дробей. Мы знаем, что нам нужен общий знаменатель, чтобы иметь возможность складывать дроби. Число 2 в эквивалентных долях равно . Мы могли бы взглянуть на это по-другому: 2 = 1 + 1, а 1 с общим знаменателем эквивалентно . Независимо от того, как мы представляем 2 в дробях, когда мы добавляем его к мы получаем:

, что мы получили, когда мы преобразовали, используя метод, описанный выше.

Теперь мы можем закончить задачу на умножение:

Это уже упрощено, но если бы мы захотели, мы могли бы также представить его в смешанных дробях, изменив шаги, показанные выше.

77 делит 36 дважды, оставляя в остатке 5, поэтому:

Как умножить дробь на целое число

Как умножить дробь на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Умножить числитель дроби на целое число.
2. Оставьте знаменатель прежним.
3. Упростите дробь, если это возможно.

Например, умножьте 5 ×   ² / ₇ .

Числитель дроби — число сверху, равное 2.

Мы умножаем 2 на 5, но сохраняем знаменатель 7 равным 7.

5 × ² / ₇ = ¹⁰ / ₇ .

Упрощаем, если это возможно. Поскольку дробь неправильная, мы можем преобразовать ее в смешанное число.

¹⁰ / ₇   означает 10 ÷ 7, что составляет 1 остаток 3. Следовательно, дробь может быть записана как 1   ³ / ₇ .

Альтернативный метод умножения дроби на целое число

Чтобы умножить дробь на целое число:

1. Запишите целое число как дробь от 1.
2. Умножить числители.
3. Умножить знаменатели..
4. Упростите, если возможно.

Например, умножьте 4 ×   ¹ / ₂ .

Первый шаг — записать 4 как ⁴ / ₁ .

Второй шаг — умножить числители: 4 × 1 = 4. Числитель ответа равен 4.

Третий шаг — умножить знаменатели: 1 × 2 = 2. Знаменатель ответа равен 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = ⁴ / ₂ .

Наконец, упростите дробь, разделив и числитель, и знаменатель на одно и то же значение. Мы можем разделить 4 и 2 на 2, так что ⁴ / ₂   упрощается до   ² / ₁ . ² / ₁  то же, что и 2.

Следовательно, 4 × ¹ / ₂ = 2.

Мы также знаем, что половина 4 равна 2.

Как умножить дробь на целое число в простейшей форме

Чтобы умножить дробь на целое число, умножьте числитель на целое число. Чтобы записать этот ответ в простейшей форме, разделите числитель и знаменатель на наибольшее число, которое точно делится на оба.

Например, вычислите 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме.

Первый шаг — умножить числитель дроби на целое число. 2 × 3 = 6 и, следовательно, 2 × ³ / ₁₀ = ⁶ / ₁₀ .

Второй шаг — упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на наибольшее число, которое делится на оба.

И 6, и 10 можно разделить на 2.   ⁶ / ₁₀   упрощается до   ³ / ₅ .

Следовательно, 2 × ³ / ₁₀ в простейшей форме равно ³ / ₅ .

Умножение дроби на целое число можно также рассчитать, разделив знаменатель на целое число.

10 — знаменатель, а 10 ÷ 2 = 5 — новый знаменатель. Это работает только в том случае, если знаменатель дроби можно разделить на целое число.

Как умножить смешанное число на целое

Чтобы умножить смешанное число на целое число:

1. Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
2. Умножить числитель неправильной дроби на целое число.
3. Упростите, если возможно, и преобразуйте обратно в смешанное число.

Например, умножьте 2 × 1   ² / ₃ .

Шаг 1. Превратите смешанное число в неправильную дробь.

Оставьте знаменатель прежним.

Чтобы найти новый числитель, умножьте целое число смешанного числа на знаменатель, а затем добавьте числитель.

Знаменатель равен 3. Числитель находится путем умножения 1 и 3, чтобы получить 3, а затем прибавления 2, чтобы получить 5.

1   ² / ₃   =   ⁵ / ₃ .

Шаг 2. Умножьте числитель неправильной дроби на целое число.

Мы умножаем 2 × 5 = 10 и, таким образом, 2 × ⁵ / ₃ = ¹⁰ / ₃ .

Последний шаг — упростить и снова записать смешанное число.

¹⁰ / ₃ = 3 ¹ / ₃ .

Следовательно, 2 × 1   ² / ₃   = 3   ¹ / ₃

Умножение дроби на целое число с помощью числовой строки

Отметьте дробь на числовой прямой. Чтобы умножить его на целое число, прибавьте к той же дроби столько раз, сколько требуется для умножения.

Например, вот 5 × ¹ / ₈ на числовой прямой.

Разбиваем каждое целое число на восьмые и считаем пять из них.

5 × ¹ / ₈ = ⁵ / ₈ .

Вот еще один пример с неправильной дробью или смешанным числом.

Вычислите 5 × ¹ / ₃ , используя числовую прямую.

Разобьем каждое целое число на трети. Затем мы отсчитываем пять таких прыжков на нашей числовой прямой.

5 × ¹ / ₃ = ⁵ / ₃ .

В качестве смешанного числа это 1   ² / ₃ .

Умножение дроби на целое число с использованием моделей

Модели можно использовать для обучения процессу умножения дробей на целые числа.

Вот модель дроби ¹ / ₃ . Чтобы умножить его на 2, мы имеем в два раза больше частей.

Мы видим, что теперь у нас есть заштрихованные ² / ₃ .

Вот еще один пример использования модели для умножения ¹ / ₄ на 3.

Если мы умножим ¹ / ₄ на 3, то получим ³ / ₄ .