Правила умножения в столбик многозначных: § Умножение в столбик. Как умножать в столбик

Умножение чисел, в записи которых есть нули

Привет, ребята!

Сегодня мы продолжим разговор об умножении многозначных чисел. И особое внимание уделим тем случаям, когда в записи первого множителя есть нули.

Некоторые случаи умножения трёхзначных чисел с нулями мы уже разбирали. Помните, как мы умножали семьсот пятьдесят два на триста девять?

752 · 309 = 232 368

А ещё шестьсот сорок три умножали на четыреста тридцать.

643 · 430

А сейчас давайте разберём вот такой пример. Умножим четыре тысячи восемьсот на семьдесят шесть 4 800 · 76. Как записать это столбиком?

А вот как! Вы уже знаете, что, если многозначное число оканчивается нулями, при записи умножения столбиком эти нули как бы остаются справа. В данном примере мы сорок восемь сотен будем умножать на семьдесят шесть и выполнять действие так, как оно выполняется при умножении двузначных чисел. Восемью шесть – сорок восемь. Восемь пишем, четыре запоминаем. Четырежды шесть – двадцать четыре. Да ещё четыре – двадцать восемь.

Первое неполное произведение записано. Умножаем первый множитель на семь десятков. Восемью семь – пятьдесят шесть. Шесть пишем, пять запоминаем. Четырежды семь – двадцать восемь. Да ещё пять – тридцать три. Теперь есть и второе неполное произведение. Складываем их. Переносим нули из первого множителя вниз и пишем справа от получившейся суммы. Ответ: триста шестьдесят четыре тысячи восемьсот.

Ну а если нули стоят не в конце, а в середине первого множителя, как вот в этом числовом выражении?

3 009 · 54

В данном случае все записываем как обычно – единицы под единицами, десятки под десятками. Умножаем на единицы. Девятью четыре – тридцать шесть. Шесть пишем, три запоминаем. Нуль умножаем на четыре – нуль. Да ещё три – получается три. И снова нуль умножаем на четыре – нуль. Трижды четыре – двенадцать. Записано

первое неполное произведение.

Умножаем на пять десятков. Девятью пять – сорок пять. Пять пишем, четыре запоминаем. Нуль умножаем на пять – нуль. Пишем четвёрку, которую запомнили. Ведь мы её прибавляем к нулю. Вновь умножаем нуль и получаем нуль. Трижды пять – пятнадцать. Вот и второе неполное произведение. Складываем. Ответ: сто шестьдесят две тысячи четыреста восемьдесят шесть.

Ну а теперь попробуем перемножить два трёхзначных числа с нулями в разряде десятков – шестьсот девять и двести семь.

Записываем числа одно под другим. Умножаем шестьсот девять на семь единиц. Девятью семь – шестьдесят три. Три пишем под единицами, а шесть. Вы сейчас подумали: она скажет «запоминаем»! А вот и нет! Так как дальше умножать нужно нуль, и результат, конечно, тоже нуль, шестёрку можно не запоминать, а сразу писать в разряде десятков

. А теперь шесть умножаем на семь и пишем сорок два. Первое неполное произведение готово.

На нуль умножать не будем.

Теперь шестьсот девять умножим на две сотни. И не забудьте!!! Писать начнём под сотнями. Девятью два – восемнадцать. Пишем восемь и. один – ведь впереди опять умножение нуля. Шестью два – двенадцать. Складываем неполные произведения. Ответ: сто двадцать шесть тысяч шестьдесят три.

Ну и последний пример. Умножаем два трёхзначных числа с нулями в разряде единиц.

Например, пятьсот восемьдесят и триста шестьдесят.

580 · 360

Так как нулей в обоих числах одинаковое количество, записываем их точно одно под другим. А умножать будем так, как будто нам даны не трёхзначные, а двузначные числа.

Умножаем на шесть десятков. Восемью шесть – сорок восемь. Восемь пишем, четыре запоминаем. Пятью шесть – тридцать. Да ещё четыре – тридцать четыре.

Умножаем на три сотни. Восемью три – двадцать четыре. Четыре пишем, два запоминаем. Пятью три – пятнадцать, да ещё два – семнадцать.

Складываем неполные произведения. А теперь оба нуля переносим вниз и пишем справа от получившейся суммы. Ответ: двести восемь тысяч восемьсот.

Ну вот и подходит к концу наша встреча. Но я думаю, что вы тоже хотите попробовать свои силы и решить примеры подобные тем, о которых я рассказала.

Решайте, а потом вы сможете проверить свою работу.

2670 · 36; 4190 · 27; 709 · 340; 902 · 506

Ребята, проверьте своё решение.

Я надеюсь, вы справились с заданием. Если, конечно, были внимательны и аккуратны.

А теперь я прощаюсь с вами! До новой встречи, друзья!

Умножение натуральных чисел столбиком: примеры, решения

Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется «умножение в столбик» (или «умножение столбиком»). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

В этом материале мы расскажем, как считать с помощью данного способа. Все пояснения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Основы умножения столбиком

Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a·0=0 (a – любое натуральное число).

Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

Как записывать множители при подсчете столбиком

Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

Пример 1

Например, чтобы вычислить и 71, 550·45 002 и 534 000·4 300, запишем такие столбики:

Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

Как умножить столбиком многозначное число на однозначное

Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

Пример 2

Условие: вычислить 45 027·3.

Решение

Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7·3=21. Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10, то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2·3, это будет 6. Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21, как мы помним): 6+2=8. Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

Здесь нужно умножить 3 на 0. Согласно правилам умножения, результат будет равен 0. Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10. Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

Осталось умножить 5·3 и получить 15. Результат больше 10, пишем пятерку и запоминаем десяток:

Нам осталось только перемножить 4·3, это будет 12. Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10, пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

Ответ: 45 027·3 = 135 081.

Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Условие: подсчитать, сколько будет 4 502 700·3.

Решение

Cначала запишем числа нужным способом.

После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

Ответ: 4 502 700·3 =13 508 100.

Как перемножить столбиком два многозначных натуральных числа

Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

Пример 4

Условие: вычислить, сколько будет 207·8 063.

Решение

Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063, а под ним 207. Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7. Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0, то сразу переходим к следующему этапу.

3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10, и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063·207 = 1 669 041.

Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

Пример 5

Условие: умножьте 297 на 321.

Решение

Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

1. Первый этап – умножаем 297 на 1, которая стоит в разряде единиц второго множителя.

2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2, что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение:

3. Далее умножаем на значения сотен, т.е. 297 на 3:

4. У нас получилось три неполных произведения, которые надо сложить (для этого желательно повторить, как правильно складывать столбиком три числа и более). Считаем:

Ответ: 297·321 = 95 337.

Еще один пример приведем без пояснений.

Пример 6

Условие: вычислите 210 627·30 105.

Решение

Весь процесс вычислений указан в записи ниже.

Ответ: 210 627·30 105 = 6 340 925 835.

В целом можно сказать, что если вы отлично владеете способностью умножать однозначные числа и умеете складывать столбиком, то процесс умножения многозначных натуральных чисел указанным методом не будет представлять для вас никакого труда.

У нас остался еще один момент, который мы хотели бы пояснить. Как быть, если один из множителей или оба сразу имеет в конце нуль (или несколько нулей)? Для наглядности возьмем такую задачу и решим ее.

Пример 7

Условие: вычислите 50 600·390.

Решение

Все, что нам надо сделать, – это записать множители так, чтобы друг под другом оказались цифры, отличные от нуля.

После этого мы можем просто провести все вычисления по указанному выше алгоритму, игнорируя нули. Т.е. в данном примере нам нужно просто умножить 506 на 39. Получаем два неполных произведения и складываем их:

Нам осталось все лишь дописать к результату оставшиеся нули. Мы добавляем их столько, сколько указано справа у обоих множителей. В нашем примере к готовому числу надо написать три нуля:

Это и будет корректный ответ.

Ответ: 50 600·390 = 19 734 000.

Урок 26. умножение чисел, оканчивающихся нулями — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок №26. Умножение чисел, оканчивающихся нулями.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Какой алгоритм письменного умножения многозначных чисел, оканчивающихся нулями на однозначное число.
2. Как записать второй множитель при умножении многозначных чисел, оканчивающихся нулём на однозначные?
3. Сколько нулей приписать к полученному результату при умножении чисел, оканчивающихся нулями?

Глоссарий по теме:

Нуль – это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Название «нуль» происходит от латинского слова nullus, что означает «никакой». Обозначается знаком 0.

Многозначные числа – это числа класса тысяч и класса миллионов.

Умножение – это математическая операция, которая заключается в сложении одинаковых слагаемых определённое количество раз.

Обязательная литература и дополнительная литература:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.79.
2. C. В. Волкова «Тесты» 4 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – с. 46-48.
3. Готовимся к Всероссийской проверочной работе. Математика. Рабочая тетрадь под ред. Г. С. Ковалёвой – М.: Просвещение, 2017. – с. 13-14.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим выражение:

800 ∙ 7

Воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 800 произведением чисел 8 и 100:

800 ∙ 7 = (8 ∙ 100) ∙ 7

При умножении произведения на число, сначала первый множитель умножаем на число(8 ∙ 7), а затем получившийся результат умножаем на второй множитель 100, ведь второй множитель — круглое число. Получим ответ 5 600.

800 ∙ 7 = (8 ∙ 100) ∙ 7 = (8 ∙ 7) ∙ 100 = 56 ∙ 100 = 5 600

Усложним задачу, решим следующее математическое выражение:

380 ∙ 9

Как и в предыдущем выражении, воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 380 на произведение чисел 38 и 9:

380 ∙ 9 = (38 ∙ 10) ∙ 9

При умножении произведения на число, сначала умножаем на число первый множитель (38 ∙ 9), а затем получившийся результат умножим на второй множитель 10, ведь второй множитель – круглое число.

380 ∙ 9 = (38 ∙ 10) ∙ 9 = (38 ∙ 9) ∙ 10

Возникла проблема: надо умножить двузначное число на однозначное, подобного рода выражения в уме решить сложнее, т. к. увеличивается количество действий.

Сначала надо умножить единицы 8 ∙ 9 = 72. Затем десятки 30 ∙ 9 = 270, сложить полученные результаты и полученный результат умножить на десять 342 ∙ 10. Получили 3 420.

380 ∙ 9 = (38 ∙10) ∙ 9 = (38 ∙ 9) ∙ 10 = (8 ∙ 9 + 30 ∙ 9) ∙ 10 = 342 ∙ 10 = 3 420

Вывод: устно такие вычисления выполнять неудобно.

Рассмотрим письменный случай умножения, когда первый множитель заканчивается нулями: 8 400 ∙ 7 . Пишем однозначный множитель 7 под значимыми цифрами первого множителя.

Умножаем, не глядя на нули: 4 ∙ 7 = 28. Записываем 8 под цифрой 7, а 2 тыс. запоминаем.

Умножаем тысячи: 8 ∙ 7 = 56, и прибавим тысячи, которые запоминали: 56 + 2 = 58. Записываем 58 перед цифрой 8.

Приписываем столько нулей, столько в обоих множителях вместе. Ответ: 58 800.

Рассмотрим ещё один пример умножения, когда первый множитель заканчивается нулями: 30 800 ∙ 5.

Пишем однозначный множитель 5 под значимыми цифрами первого множителя.

Умножаем, не глядя на нули: 8 ∙ 5 = 40. Записываем 0 под цифрой 5, а 4 тыс. запоминаем.

Умножаем единицы тысяч: 0 ∙ 5 = 0 и прибавим тысячи, которые запоминали: 0 + 4 =4. Записываем 4 перед цифрой 0.

Умножаем десятки тысяч: 3 ∙ 5 = 15, записываем 15 перед цифрой 4.

Приписываем столько нулей, сколько нулей в первом множителе.

Ответ: 154 000

Вывод: Итак, чтобы умножить многозначные числа, оканчивающиеся нулём, на однозначные, надо записать второй множитель так, чтобы нули остались в стороне. Умножить многозначное число на однозначное, не обращая внимание на нули. К полученному результату приписать столько нулей, сколько их было в первом множителе, прочитать ответ.

Выполним несколько тренировочных заданий:

1. Выполнить вычисления, вставить ответ:

Правильный ответ:

1. 19 200 · 9 = 172 800
2. 570 300 ·4 = 2 281 200
3. Какое число нужно увеличить в 7 раз, чтобы получить 8 400? Выделите цветом правильный ответ:

Варианты ответов:

1. 58 800
2. 8 407
3. 8 393
4. 1 200

Правильный ответ:

1. 1 200
2. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго:

Варианты ответов:

6 700 ∙ 7	194 400
24 300 ∙ 8	254 800
53 780 ∙ 6	46 900
63 700 ∙ 4	322 680

Правильный ответ:

6 700 ∙ 7	46 900
24 300 ∙ 8	194 400
53 780 ∙ 6	322 680
63 700 ∙ 4	254 800

Умножение в столбик. Умножение и деление столбиком

В третьем классе начальной школы дети начинают изучать внетабличные случаи умножения и деления. Числа в пределах тысячи – материал, на котором происходит овладение темой. Программа рекомендует операции деления и умножения трехзначных и двузначных чисел производить на примере однозначных. В ходе работы над темой учитель начинает формировать у детей такой важный навык, как умножение и деление столбиком. В четвертом классе отработка навыка продолжается, но используется числовой материал в пределах миллиона. Деление и умножение в столбик выполняется на многозначные числа.

Что является основой умножения

Главные положения, на которых строится алгоритм умножения многозначного числа на многозначное, являются теми же, что при действиях на однозначное. Правил, которыми пользуются дети, существует несколько. Они были «раскрыты» школьниками еще в третьем классе.

Первым правилом является поразрядность операций. Второе заключается в использовании таблицы умножения в каждом разряде.

Необходимо учесть, что эти основные положения усложняются при выполнении действий с многозначными числами.

Записанный ниже пример позволит понять, о чем идет речь. Допустим, необходимо 80 х 5 и 80 х 50.

В первом случае ученик рассуждает так: 8 десятков необходимо повторить 5 раз, получатся тоже десятки, и их будет 40, так как 8 х 5 = 40, 40 десятков – это 400, значит, 80 х 5 = 400. Алгоритм рассуждения прост и понятен ребенку. В случае затруднения он легко может найти результат, воспользовавшись действием сложения. Способ замены умножения сложением можно применять и для проверки правильности собственных вычислений.

Чтобы найти значение второго выражения, тоже необходимо воспользоваться табличным случаем и 8 х 5. Но какому разряду будут принадлежать полученные 40 единиц? Вопрос для большинства детей остается открытым. Прием замены умножения действием сложения в данном случае нерационален, так как сумма будет иметь 50 слагаемых, поэтому воспользоваться им для нахождения результата невозможно. Становится понятно, что знаний для решения примера недостаточно. Видимо, существуют еще какие-то правила умножения многозначных чисел. И их нужно выявить.

В результате совместных усилий педагога и детей становится ясно, что для умножения многозначного числа на многозначное необходимо умение применять сочетательный закон, при котором один из множителей заменяется произведением (80 х 50 = 80 х 5 х 10 = 400 х 10 = 4000)

Кроме того, возможен путь, когда используется распределительный закон умножения относительно сложения или вычитания. В этом случае один из множителей необходимо заменить суммой двух или более слагаемых.

Исследовательская работа детей

Ученикам предлагается достаточно большое количество примеров подобного вида. Дети каждый раз пытаются найти более простой и быстрый способ решения, но при этом от них все время требуется развернутая запись хода решения или подробные устные объяснения.

Учитель делает это, преследуя две цели. Во-первых, дети осознают, отрабатывают основные пути выполнения операции умножения на многозначное число. Во-вторых, приходит понимание того, что способ записи таких выражений в строчку очень неудобен. Наступает момент, когда сами ученики предлагают записывать умножение в столбик.

Этапы изучения умножения на многозначное число.

В методических рекомендациях изучение указанной темы происходит в несколько этапов. Они должны следовать один за другим, давая возможность школьникам понять весь смысл изучаемого действия. Перечень этапов открывает учителю общую картину процесса подачи материала детям:

• самостоятельный поиск учениками способов нахождения значения произведения многозначных множителей;
• для решения поставленной задачи используется сочетательное свойство, а также умножение на единицу с нулями;
• отработка навыка умножения на круглые числа;
• использование при вычислениях распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания;
• операции с многозначными числами и умножение в столбик.

Следуя указанным этапам, учитель постоянно должен обращать внимание детей на тесные логические связи ранее изученного материала с тем, что осваивается в новой теме. Школьники не только занимаются умножением, но и учатся сопоставлять, делать выводы, принимать решения.

Задачи изучения умножения в курсе начальной школы

Учитель, преподавая математику, точно знает, что наступит момент, когда у четвероклассников возникнет вопрос о том, как решать столбиком умножение многозначных чисел. И если он вместе с учениками на протяжении трех лет обучения – во 2, 3, и 4 классах – целенаправленно и вдумчиво изучал конкретный смысл умножения и все вопросы, которые связаны с этой операцией, то трудностей в освоении рассматриваемой темы у детей возникнуть не должно.

Какие же задачи ранее были решены учениками и их преподавателем?

1. Освоение табличных случаев умножения, то есть получение результата в один шаг. Обязательным требованием программы является доведение навыка до автоматизма.
2. Умножение многозначного числа на однозначное. Результат получается путем многократного повторения шага, которым дети уже владеют в совершенстве.
3. Умножение многозначного числа на многозначное осуществляется благодаря повторению шагов, обозначенных в пункте 1 и 2. Окончательный результат будет получен путем объединения промежуточных значений и соотнесения неполных произведений с разрядами.

Использование свойств умножения

Перед тем как на последующих страницах учебников начнут появятся примеры умножения столбиком, 4 класс должен очень хорошо научиться пользоваться для рационализации вычислений сочетательным и распределительным свойством.

Путем наблюдений и сопоставлений ученики приходят к выводу, что сочетательное свойство умножения для нахождения произведения многозначных чисел используется только тогда, когда один из множителей можно заменить произведением однозначных чисел. А это возможно не всегда.

Распределительное свойство умножения в этом случае выступает как универсальное. Дети замечают, что множитель всегда можно заменить суммой или разностью, поэтому свойство используется для решения любого примера на умножение многозначных чисел.

Алгоритм записи действия умножения в столбик

Запись умножения столбиком является самой компактной из всех существующих. Обучение детей этому виду оформления начинается с варианта умножения многозначного числа на двузначное.

Детям предлагается самостоятельно составить последовательность действий при выполнении умножения. Знание этого алгоритма станет залогом успешного формирования навыка. Поэтому учителю не нужно жалеть времени, а постараться приложить максимум усилий к тому, чтобы порядок выполнения действий при умножении в столбик был усвоен детьми на «отлично».

Упражнения для формирования навыка

Прежде всего нужно отметить, что примеры умножения в столбик, предлагаемые детям, от урока к уроку усложняются. После знакомства с умножением на двузначное число дети учатся выполнять действия с трехзначными, четырехзначными числами.

Для отработки навыка предлагаются примеры с готовым решением, но среди них преднамеренно размещают записи с ошибками. Задача учеников состоит в том, чтобы обнаружить неточности, объяснить причину их появления и исправить записи.

Теперь при решении задач, уравнений и всех других заданий, где надо выполнять умножение многозначных чисел, от учеников требуется оформление записи столбиком.

Развитие познавательных УУД при изучении темы «Умножение чисел в столбик»

Большое внимание на уроках, посвященных изучению указанной темы, уделяется развитию таких познавательных действий, как нахождение разных способов решения поставленной задачи, выбор наиболее рационального приема.

Использование схем для проведения рассуждений, установление причинно-следственных связей, анализ наблюдаемых объектов на основе выделенных существенных признаков – еще одна группа формируемых познавательных умений при изучении темы «Умножение в столбик».

Обучение детей способам деления многозначных чисел и оформлению записи столбиком осуществляется только после того, как дети научатся умножать.

Деление и умножение в столбик, правила, примеры видео

Умножение и деление однозначных чисел не составит труда для любого школьника, выучившего таблицу умножения. Она входит в программу математики за 2 класс. Другое дело – когда необходимо произвести математические действия с многозначными числами. Начинают такие действия на уроках математики в 3 классе. Разбираем новую тему «Деление и умножение в столбик»

Умножение многозначных чисел

Делить и умножать сложные числа проще всего столбиком. Для этого нужно разряды числа: сотни, десятки, единицы:

235 = 200 (сотни) + 30 (десятки) + 5 (единицы).

Это нам понадобится для правильной записи чисел при умножении.

При записи двух чисел, которые нужно перемножить, их записывают друг под другом, размещая числа по разрядам (единицы — под единицами, десятки под десятками). При умножении многозначного числа на однозначное трудностей не возникнет:

Правило умножения двухзначных чисел гласит, что сначала умножается первое из чисел на последнюю из цифр второго ряда (стоящую в разряде единиц), затем – оно же – на цифру из разряда десятков.

Запись ведется так:

Вычисление ведут с конца – с разряда единиц. При умножении на первую цифру – из разряда единиц – запись тоже ведут с конца:

• 3 х 5 = 15, записываем 5 (единицы), десятки (1) запоминаем;
• 2 х 5 = 10 и 1 десяток, который мы запомнили, всего 11, записываем 1 (десятки), сотни (1) запоминаем;
• поскольку дальше разрядов у нас в примере нет, записываем сотни (1 – которую запоминали).

Следующее действие – умножаем на вторую цифру (разряд десятков):

•  3 х 1 = 3;
• 2 х 1 = 2.

Поскольку умножали мы на цифру из разряда десятков, записывать начнем так же, с конца, начиная со второго места справа (там, где разряд десятков).

Запомнить правила умножения столбиком несложно:

1.  записывать столбиком умножение нужно по разрядам;

2. вычисления производить, начиная с единиц;

3. записывать итог по разрядам – если умножаем на цифру из разряда единиц – запись начинаем с последнего столбика, из разряда – десятков – с этого столбца и ведем запись.

Правило, действующее для умножения в столбик на двухзначное число, действует и для чисел с большим количеством разрядов.

Чтобы легче было запомнить правила записи примеров умножения многозначных чисел в столбик, можно сделать карточки, выделив разными цветами разные разряды.

Если производится в столбик умножение чисел с нулями на конце, их не принимают во внимание при вычислении, а запись ведут так, чтобы значащая цифра была под значащей, а нули остаются справа. После проведения вычислений их количество дописывают справа:

Математик Яков Трахтенберг разработал систему быстрого счета. Метод Трахтенберга облегчает умножение, если применять определенную систему вычислений. Например, умножение на 11. Для получения результата нужно прибавить цифру к соседней:

2,253 х 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.

Доказать истинность просто: 11 = 10 + 1

2,253 х 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.

Алгоритмы вычислений для разных чисел разные, но они позволяют производить вычисления быстро.

Видео «Умножение столбиком»

Деление многозначных чисел

Деление столбиком может показаться детям сложным, однако запомнить алгоритм несложно. Рассмотрим деление многозначных чисел на однозначное число:
215 : 5 = ?
Записывается вычисление следующим образом:

Под делителем будем записывать результат. Деление выполняется следующим образом: сравниваем крайнюю левую цифру делимого с делителем: 2 меньше 5, разделить 2 на 5 мы не можем, поэтому берем еще одну цифру: 21 больше 5, при делении получается: 20 : 5 = 4 (остаток 1)

Сносим к полученному остатку следующую цифру: получаем 15. 15 больше 5, делим: 15 : 5 = 3

Решение будет выглядеть таким образом:

Так производится деление без остатка. По тому же алгоритму производится деление в столбик с остатком с той лишь разницей, что в последней записи будет указан не ноль, а остаток.

Если необходимо произвести деление трехзначных чисел в столбик на двухзначное, порядок действий будет таким же, как при делении на однозначное число.

Приведем примеры на деление:

Аналогично проводится вычисление при делении многозначного числа на двузначное с остатком: 853 : 15 = 50 и ( 3 ) остаток
Обратите внимание на эту запись: если при промежуточных вычислениях в результате получается 0, но пример не решен до конца, ноль не записывается, а сразу сносится следующая цифра, и вычисление производится дальше.

Поможет усвоить правила деления многозначных чисел в столбик видеоурок. Запомнив алгоритм и проследив последовательность записи вычислений, примеры на умножение и деление в столбик в 4 классе уже не будут казаться такими сложными.

Важно! Следите за записью: разряды должны записываться под разрядами, в столбик.

Видео «Деление в столбик»

Если во 2 классе ребенок выучил таблицу умножения, примеры на умножение и деление двузначного или трехзначного числа на уроках математики за 4 класс не вызовет у него трудностей.

Читайте так же:

Математика: сложение обыкновенных дробей

Математика: вычитание обыкновенных дробей

Быстрый способ выучить таблицу умножения

 

правила и алгоритм умножения в столбик. Как объяснить ребенку умножение столбиком? Примеры умножения многозначных чисел в столбик

Многие родители, чьи дети окончили первый класс, задают себе вопрос: как же помочь ребенку быстро выучить таблицу умножения. На лето детям задают выучить эту таблицу, и не всегда ребенок проявляет желание летом заниматься зубрежкой. Тем более, что если просто механически зазубрить и не закрепить результат, то можно впоследствии и забыть некоторые примеры.

В этой статье читайте способы, как быстро выучить таблицу умножения. Конечно, за 5 минут этого сделать не получиться, но за несколько занятий вполне можно достичь хорошего результата.

Также читайте статью,

В самом начале нужно объяснить ребенку, что такое умножение (если он еще не знает). Покажите смысл умножения на простом примере. К примеру, 3*2 — это значит, что цифру 3 нужно 2 раза сложить. То есть 3*2=3+3. А 3*3 — значит, цифру 3 нужно сложить 3 раза. То есть 3*3=3+3+3. И так далее. Понимая суть таблицы умножения, ребенку легче будет ее выучить.

Детям будет легче воспринимать таблицу умножения не в виде столбиков, а в виде пифагоровой таблицы. Она выглядит вот так:

Объясните, что числа на пересечении столбика и строчки — это результат умножения. Изучать такую таблицу ребенку намного интереснее, ведь тут можно найти определенные закономерности. И, когда посмотришь внимательно на эту таблицу, видно, что числа, выделенные одним цветом, повторяются.

Из этого ребенок даже сам сможет сделать вывод (а это уже будет развитие мозга), что при умножении при перемене множителей местами произведение не меняется. То есть он поймет, что 6*4=24 и 4*6=24 и так далее. То есть учить надо не всю таблицу, а половину! Поверьте, увидев первый раз всю таблицу (ого, сколько надо выучить!), ребенку станет грустно. Но, поняв, что учить надо половину, он заметно повеселеет.

Таблицу Пифагора распечатайте и повесьте на видном месте. Каждый раз, глядя на нее, ребенок будет запоминать и повторять какие-то примеры. Этот момент очень важен.

Начинать изучения таблицы нужно от простого к сложному: вначале выучите умножение на 2, 3, а потом на другие числа.

Для легкого запоминания таблицы используют различные инструменты: стихи, карточки, онлайн-тренажеры, небольшие секреты умножения.

Карточки — один из лучших способов быстро выучить таблицу умножения

Таблицу умножения нужно учить постепенно: в день можно брать для запоминания по одному столбику. Когда будет выучено умножение на какое-либо число, нужно закрепить результат с помощью карточек.

Карточки можете сделать сами, а можете распечатать уже готовые. Скачать карточки можете по ссылке ниже.

Скачать карточки для изучения таблицы умножения.

На одной стороне карточки пишутся умножаемые числа, на другой — ответ. Все карточки складываются ответом вниз. Ученик тянет поочередно карты из колоды, отвечая на заданный пример. Если ответ назван верный, карточка откладывается в сторону, если школьник ошибся — карточка возвращается в общую колоду.

Таким образом тренируется память, и таблица умножения быстрее учится. Ведь, играя, всегда интереснее учиться. В игре с карточками работает и зрительная память, и слуховая (нужно озвучить уравнение). А также учащийся хочет поскорее «расправиться» со всеми карточками.

Когда немного выучили умножение на 2, сыграли в карточки с умножением на 2. Выучили умножение на 3, сыграли в карточки с умножением на 2 и 3. И так далее.

Умножение на 1 и 10

Это самые легкие примеры. Тут даже заучивать ничего не надо, просто понять, как умножаются числа на 1 и на 10. Начните изучение таблицы с умножения на эти числа. Объясните ребенку, что при умножении на 1 получится то же умножаемое число. Умножить на один — означает взять какое-то число один раз. Тут не должно возникнуть сложностей.

Умножить на 10 — означает, что нужно сложить число 10 раз. И всегда получится число в 10 раз больше умножаемого. То есть для получения ответа нужно просто дописать ноль к умножаемому числу! Ребенок с легкостью сможет превратить единицы в десятки, прибавив ноль. Поиграйте с учеником в карточки, чтобы он лучше запомнил все ответы.

Умножение на 2

Умножение на 2 ребенок может выучить за 5 минут. Ведь в школе он уже научился складывать единицы. А умножение на 2 — не что иное, как сложение двух одинаковых чисел. Когда ребенок знает, что 2*2 = 2+2, а 5*2 = 5+5 и так далее, то этот столбик никогда не станет для него камнем преткновения.

Умножение на 4

После того, как выучили умножение на 2, переходите к умножению на 4. Этот столбик ребенку будет легче запомнить, чем умножение на 3. Чтобы легко выучить умножение на 4, распишите ребенку, что умножение на 4 — это умножение на 2, только два раза. То есть сначала умножаем на два, а потом полученный результат еще на 2.

Например, 5*4 = 5*2 *2 = 5+5 (как при умножении на 2 нужно сложить одинаковые числа, получаем 10) + 10 = 20.

Умножение на 3

Если с изучением этого столбика возникнут сложности, можно обратиться за помощью к стихам. Стихи можно взять готовые, а можно придумать самому. У детей хорошо развита ассоциативная память. Если ребенку показать наглядный пример умножения на каких либо предметах из его окружения, то он легче запомнит ответ, который у него будет ассоциироваться с каким-либо предметом.

Например, разложите карандаши в 3 кучки по 4 (или 5, 6, 7, 8, 9 — смотря какой пример ребенок забывает) штук. Придумайте задачку: у тебя есть 4 карандаша, у папы есть 4 карандаша и у мамы есть 4 карандаша. Сколько всего карандашей? Посчитайте карандаши и сделайте вывод, что 3*4 = 12. Иногда такая визуализация очень помогает запомнить «сложный» пример.

Умножение на 5

Помню, для меня этот столбик был самым легким для запоминания. Потому что каждое следующее произведение увеличивается на 5. Если умножать четное число на 5, в ответе получится тоже четное число, заканчивающееся на 0. Дети легко это запоминают: 5*2 = 10, 5*4 = 20, 5*6 = 30 и т.д. Если умножать нечетное число, то в ответе получим нечетное число, заканчивающееся на 5: 5*3 = 15, 5*5 = 25 и т. д.

Умножение на 9

Пишу после 5 сразу 9, потому что в умножении на 9 есть маленький секретик, который поможет быстро выучить этот столбик. Выучить умножение на 9 можно с помощью пальцев!

Для этого положите руки ладонями вверх, пальцы разогните. Мысленно пронумеруйте пальцы слева направо от 1 до 10. Загните тот палец, на какое число нужно умножить 9. Например, нужно 9*5. Загибаете 5 палец. Все пальцы слева (их 4 — это десятки), пальцы справа (их 5) — единицы. Соединяем десятки и единицы, получаем — 45.

Еще один пример. Сколько будет 9*7? Загибаем седьмой палец. Слева остается 6 пальцев, справа — 3. Соединяем, получаем — 63!

Чтобы лучше понять этот простой способ выучить умножение на 9 — посмотрите видео.

Еще один интересный факт об умножении на 9. Посмотрите на картинку ниже. Если записать столбиком умножение на 9 с 1 до 10, то можно заметить, что произведения будут иметь некую закономерность. Первые цифры будут от 0 до 9 сверху вниз, вторые цифры — от 0 до 9 снизу вверх.

Также, если внимательно посмотреть на получившийся столбик, можно заметить, что сумма чисел в произведении равна 9. К примеру, 18 — это 1+8=9, 27 — это 2+7=9, 36 — это 3+6=9 и так далее.

Второе интересное наблюдение такое: первая цифра ответа всегда на 1 меньше, чем число, на которое умножается 9. То есть 9×5 =4 5 — 4 на один меньше, чем 5; 9×9 =8 1 — 8 на один меньше, чем 9. Зная это, легко вспомнить, на какую цифру начинается ответ при умножении на 9. Если вторую цифру забыли, то ее легко можно посчитать, зная, что сумма чисел в ответе равна 9.

Например, сколько будет 9×6 ? Сразу понимаем, что ответ будет начинаться на цифру 5 (на один меньше, чем 6). Вторая цифра: 9-5=4 (потому что сумма чисел 4+5=9). Получается 54!

Умножение на 6,7,8

Когда вы с ребенком приступите к изучению умножения на эти числа, он уже будет знать умножение на 2, 3, 4, 5, 9. С самого начала Вы объяснили ему, что 5×6 — это то же самое, что 6×5. Значит, некоторые ответы он уже знает, их не нужно учить сначала.

Остальные уравнения нужно выучить. Используйте таблицу Пифагора и игру в карточки для лучшего запоминания.

Есть один способ, как посчитать ответ при умножении на 6, 7, 8 на пальцах. Но он более сложный, чем при умножении на 9, потребуется время для подсчета. Но, если какой-то пример никак не хочет запоминаться, попробуйте с ребенком посчитать на пальцах, возможно, ему так будет проще выучить эти самые сложные столбики.

Чтобы легче запомнить самые сложные примеры из таблицы умножения, порешайте с ребенком простые задачки с нужными числами, приведите пример из жизни. Все дети любят ходить в магазин с родителями. Придумайте ему задачку на эту тему. Например, ученик никак не может запомнить, сколько будет 7×8. Тогда смоделируйте ситуацию: у него День рождения. Он пригласил в гости 7 друзей. Каждого друга нужно угостить 8 конфетами. Сколько конфет он купит в магазине для друзей? Ответ 56 он запомнит намного быстрее, зная, что это количество угощений для друзей.

Запоминать таблицу умножения можно не только дома. Если Вы с ребенком на улице, то можно решать задачки, исходя из того, что вы видите. Например, мимо вас пробежало 4 собаки. Спросите ребенка, сколько всего у собак лап, ушей, хвостов?

Также дети очень любят играть на компьютере. Так пусть играют с пользой. Включите ученику онлайн-тренажер для запоминания таблицы умножения.

Занимайтесь изучением таблицы умножения, когда у ребенка хорошее настроение. Если он устал, начал капризничать, то лучше оставьте дальнейшее обучение на другой раз.

Используйте те методы, которые больше подходят Вашему ребенку, и все получится!

Желаю легкого и быстрого запоминания таблицы умножения!

Перемножать большие числа, записывая их в строку, рано или поздно становится довольно сложным и утомительным процессом. Гораздо проще воспользоваться специальным алгоритмом по умножению в столбик: вам не придется держать числа в своей голове и что-либо запоминать. Вы можете делать пометки над столбиком, чтобы всегда видеть, как числа вам нужно перенести. Если вы пытаетесь обучить такому способу ребенка, то очень важно, чтобы таблица умножения отскакивала у него от зубов, иначе, процесс затянется надолго, а сам малыш совершит много ошибок, которые вереницей потянутся по всему примеру. Внимательно прочитайте статью и возьмите такой алгоритм себе на вооружение.

Запишите пример в строчку и посмотрите: какой из множителей меньше? Меньший окажется ниже в записи умножения в столбик, а большой множитель будет стоять наверху.

Запишите пример по такому принципу, как указано на картинке ниже.

• Сверху напишите большее число.
• Слева поставьте знак умножения в виде крестика.
• Снизу запишите меньшее число.
• Проведите прямую черту под примером.

Если в примере есть множитель, который оканчивается на ноль или несколько нолей, то его следует записывать так:

• Ноли нужно выносить за пример.
• Числа пишите под числами.

В таком случае, вы просто переносите это количество нолей сразу в ответ. Если ноли имеются и у первого множителя, и у второго, то сложите их количество и запишите в ответ.

Теперь начинайте расчёт по такому принципу:

• Всё верхнее число вы умножаете на последнюю цифру нижнего. Помните, что на последние ноли умножение не производится.
• Чтобы вам было удобнее, записывайте числа, которые нужно перенести, сверху над всем примером. Позднее вы можете их просто стереть, зато в процессе вам не придется запоминать числа переноса.
• Как только вы закончите расчет, запишите полученное число под чертой.

Как только вы перемножите верхнее число на последнюю цифру нижнего и запишите свой ответ, начинайте перемножать следующее.

По такому же принципу умножьте всё верхнее число на вторую с конца цифру нижнего. Также записывайте числа переноса, однако, ответ вам следует записать под первым решением, но сдвинув запись на одну клеточку левее. У вас получится столбик с выступающей влево строкой.

Как вы уже догадались, вам нужно перемножить верхнее число на все цифры нижнего, начиная с конца. Каждый раз запись ответа переносится на одну клетку левее.

Перемножьте таким образом все числа между собой. Теперь снова проведите черту под столбиком. Между всеми решениями поставьте знак сложения.

Теперь вам осталось выполнить сложение в столбик, которое вы уже должны уметь делать:

• Складывайте все числа, находящиеся на одной вертикальной линии.
• Если число получается двухзначным, то число десятков вы переносите в следующую вертикальную полосу.

Под некоторыми числами вовсе не будет других – в таком случае, вы просто записываете это число в ответ. Не забывайте переносить в ответ все нули, которые стоят в конце множителей.

Выполнять умножение в столбик очень удобно и быстро, особенно, если требуется перемножить большие числа. Вы легко можете проверить правильность умножения, просто разделив ответ на один из множителей. Для этого используйте калькулятор, либо способ деления уголком. На первых порах такое умножение занимает значительную долю времени, но с опытом, всё действие происходит всего за пару секунд.

Онлайн игра-тренажёр «Умножение столбиком» помогает научиться умножать двух- и трёхзначные числа. Эта игра ориентирована на детей от 7 до 10 лет. Умножение чисел столбиком — это программа математики за 3 класс школы. Но в этом действии нет ничего сложного, поэтому освоить умножение в столбик можно и раньше.

Как научиться умножать столбиком?

В игре представлены три уровня: умножение двузначного числа на двузначное (числа от 10 до 99), умножение трёхзначного числа на трёхзначное (числа от 100 до 999) и микс. В миксе трёхзначное число умножается на двузначное или двузначное умножается на трёхзначное.

Чтобы правильно умножать двух- и трёхзначные числа надо хорошо знать и .

Надеюсь, ты помнишь, что числа, которые умножаются друг на друга называются множителями: первый множитель, второй множитель и так далее. Результат умножения называется произведением. Также полагаю, что тебе известно, что в числах есть разряды: единицы (самый маленький), десятки, сотни, тысячи…

Итак, приступим. Начать умножение в столбик надо с того, что расположить множители таким образом, чтобы друг под другом оказались числа одинаковых разрядов: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. На следующем шаге берём цифру из разряда единиц второго множителя и умножаем её по очереди на каждую цифру первого множителя. Результат умножения каждой пары цифр записываем в верхнюю строку под соответствующим разрядом.

За каждый правильный ответ начисляется 1 балл. За неправильный — отнимается 3 балла.

Если тебе понравилась эта игра, обязательно поделись ею со своими друзьями. Ведь им она тоже может понравиться:-)

Эта игра предназначена и чрезвычайно полезна для мальчиков и девочек от 7 до 10 лет.

Чтобы умножать столбиком, достаточно знать таблицу умножения от 1 до 10 и несложное правило: многозначные числа можно перемножать по разрядам. Повогорим более подробно о правилах умножения в столбик.

Как умножать в столбик: основные правила

Возьмём простой пример для устного счёта.

Сначала 16 умножаем на 1, получаем 16. Потом 16 умножаем на 20, получаем 320. Складываем два этих результата:

Это и есть умножение по разрядам: первый множитель умножается по очереди на все цифры второго множителя, начиная с младшего разряда, а потом полученные результаты складываются.

Если записать пример 1 в столбик, получим следующее:

Здесь самое главное — аккуратная запись. Разряды единиц должны писаться под единицами, десятки — под десятками и т.д. Потом идёт сложение по разрядам:

6 + 0 = 6; 1 + 2 = 3. Цифру 3 старшего разряда складывать не с чем, она остаётся тройкой.

0 при умножении на 20 писать не обязательно, можно умножить просто на 2, но результаты сдвинуть влево на 1 разряд.

Более сложный пример: 24 х 328. Большее число лучше сделать множимым, а меньшее — множителем: так нужно будет складывать только 2 числа, а не 3. Хотя можно и наоборот, т.к. от перемены мест слагаемых или множителей результаты не меняются. Итак:

Здесь умножение получилось более трудным. 8 х 4 = 32. Мы записали только 2, а 3 держим в уме: эту тройку нужно будет прибавить к результату перемножения десятков.

Затем умножили 4 х 2 = 8, да 3 у нас в уме. Складываем десятки, получаем: 8 + 3 = 11. И опять в разряд десятков пишем только 1, а вторую единицу, которая у нас пойдёт в разряд сотен, держим в уме, не забываем.

4 х 3 = 12 и 1 в уме — всего 13. Т.к. цифр для умножения больше нет, так это число и записываем.

Теперь нужно точно так же 328 умножить на 20 или на 2 со сдвигом записи на 1 разряд влево. И сложить результаты.

Как умножать столбиком

Умножение многозначных чисел обычно выполняют столбиком, записывая числа друг под другом так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками и т. д.). Для удобства сверху обычно записывается то число, которое имеет больше цифр. Слева между числами ставится знак действия. Под множителем проводят черту. Под чертой пишут цифры произведения по мере их получения.

Рассмотрим для начала умножение многозначного числа на однозначное. Пусть требуется умножить 846 на 5:

Умножить 846 на 5 — значит, сложить 5 чисел, каждое из которых равно 846. Для этого достаточно взять сначала 5 раз по 6 единиц, потом 5 раз по 4 десятка и наконец 5 раз по 8 сотен.

5 раз по 6 единиц = 30 единиц, т. е. 3 десятка. Пишем 0 под чертой на месте единиц, а 3 десятка запоминаем. Для удобства, чтобы не запоминать можно написать 3 над десятками множимого:

5 раз по 4 десятка = 20 десятков, прибавляем к ним ещё 3 десятка = 23 десятка, т. е. 2 сотни и 3 десятка. Пишем 3 десятка под чертой на месте десятков, а 2 сотни запоминаем:

5 раз по 8 сотен = 40 сотен, прибавляем к ним ещё 2 сотни = 42 сотни. Пишем под чертой 42 сотни, т. е. 4 тысячи и 2 сотни. Таким образом, произведение 846 на 5 оказывается равным 4230:

Теперь рассмотрим умножение многозначных чисел. Пусть требуется умножить 3826 на 472:

Умножить 3826 на 472 — значит, сложить 472 одинаковых числа, каждое из которых равно 3826. Для этого надо сложить 3826 сначала 2 раза, потом 70 раз, потом 400 раз, т. е. умножить множимое отдельно на цифру каждого разряда множителя и полученные произведения сложить в одну сумму.

2 раза по 3826 = 7652. Пишем полученное произведение под чертой:

Это не окончательное произведение, пока мы умножили только на одну цифру множителя. Полученное число называется частичным произведением . Теперь наша задача умножить множимое на цифру десятков. Но перед этим надо запомнить один важный момент: каждое частичное произведение нужно записывать под той цифрой, на которую происходит умножение.

Умножаем 3826 на 7. Это будет второе частичное произведение (26782):

Умножаем множимое на 4. Это будет третье частичное произведение (15304):

Под последним частичным произведением проводим черту и выполняем сложение всех полученных частичных произведений. Получаем полное произведение (1 805 872):

Если во множителе встречается нуль, то обычно на него не умножают, а сразу переходят к следующей цифре множителя:

Когда множимое и (или) множитель оканчиваются нулями, умножение можно выполнить не обращая на них внимания, и в конце, к произведению добавить столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе.

Например, необходимо вычислить 23 000 · 4500. Сначала умножим 23 на 45, не обращая внимание на нули:

И теперь, справа к полученному произведению припишем столько нулей, сколько их во множимом и во множителе вместе. Получится 103 500 000.

Калькулятор умножения столбиком

Данный калькулятор поможет вам выполнить умножение столбиком. Просто введите множимое и множитель и нажмите кнопку Вычислить.

3 класс, часть 1 – 2 Консультация 3. Уроки 1 – 13.

3 класс, часть 1 – 2

Консультация 3. Уроки 1 – 13.

На уроках 1 – 5 систематизируются знания учащихся о единицах измерения длины и массы, вводятся новые единицы измерения массы: грамм, центнер, тонна, закрепляются соотношения между единицами измерения длины, массы, умение выражать значения величин в разных единицах измерения. Также повторяются и закрепляются нумерация и действия с многозначными числами, решение текстовых задач, уравнений, примеров на порядок действий, умножение чисел в столбик, измерение отрезков и построение отрезков данной длины, понятие объема прямоугольного параллелепипеда, отрабатываются вычислительные навыки.

На уроке 1 воспроизводится таблица, устанавливающая соотношение между единицами длины, с которой учащиеся уже встречались раньше:

Теперь область применения этой таблицы существенно расширяется. В №1, стр. 95 проговариваются все возможные соотношения между этими единицами. Например, устанавливается, что 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм и т. д. При этом надо вспомнить правило: при переходе к меньшим меркам выполняется умножение, а при переходе к большим меркам – деление. Соответствующие коэффициенты перехода (числа, на которые надо умножать или делить при переходе от одной единицы измерения к другой) записаны под дугами.

В № 2–4, стр. 95 учащиеся используют установленные соотношения и аналогию с десятичной системой записи чисел для перевода длин из одних единиц измерения в другие. Решение примеров записывается в тетради в клетку и проговаривается вслух. Способ обоснования может быть различным – на основе установленного правила либо на основе аналогии с десятичной системой записи чисел, например:

а) 7 м = 700 см, так как в 1 метре 100 сантиметров, а 100 · 7 = 700,

или

7 м = 700 см, так как 7 метров – это 7 сотен сантиметров;

б) 16 000 мм = 1600 см, так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, а

16 000 : 10 = 1600,

или

16 000 мм = 1600 см, так как в 16 000 содержится 1600 десятков;

в) 12 км 50 м = 12 050 м, так как в 1 километре 1000 метров, значит,

в 12 км – 12 000 м, да еще 50 м, всего получится 12 050 метров,

или

12 км 50 м = 12 050 м, так как 12 км 50 м – это 12 тысяч 50 метров.

Основным способом является первый, так как он универсальный и используется, например, и при преобразовании единиц времени, где соотношения между единицами не являются десятичными. Однако акцент на аналогию системы мер длины и массы с десятичной системой записи чисел не только поможет закрепить знание нумерации, но и покажет связь изучения чисел с практическими задачами. Каждый из учеников может выбрать тот способ обоснования, который ему удобен, а в классе должны звучать оба способа.

Перед выполнением заданий № 5–6, стр. 96 надо повторить с учащимися правило о том, что величины можно сравнивать, складывать и вычитать только тогда, когда они выражены в одних и тех же единицах измерения. Поэтому для сравнения, сложения и вычитания величин в этих заданиях надо их сначала выразить в одинаковых мерках.

На уроке 2 в №1–2, стр. 98 учащиеся решают практические задачи, связанные с построением отрезков и измерением их длин. В №1 они устанавливают, что если точки A, B и C лежат на одной прямой, то длина AC равна сумме длин AB и BC, а если нет, то длина AC меньше суммы длин AB и BС. Другими словами, прямая линия, соединяющая две точки A и C, короче ломаной ABC. В №2 они строят планы земельных участков треугольной и четырехугольной формы и вычисляют их периметры. Таким образом, их внимание еще раз обращается на то, что числа возникли для решения практических задач, поэтому естественно, что соотношения между единицами измерения величин аналогичны принципу нумерации. Эта аналогия еще раз подчеркивается в №3, стр. 98. В заданиях №4–5, стр. 98 рассматриваются более сложные случаи перевода единиц длины.

На уроках 3–4 аналогичным образом рассматриваются единицы массы и соотношения между ними:

Правило перевода единиц и способы перевода остаются прежними, изменяются лишь названия единиц и переводные коэффициенты. Кроме того, рассматриваются виды гирь, которые обычно используются при взвешивании, и способы уравновешивания предметов на чашечных весах.

Хотим отметить, что при выполнении №10, стр. 99 следует обратить внимание на некоторые моменты. К настоящему времени дети уже знают, что одни и те же математические выражения могут описывать разнообразные жизненные ситуации. Так, выражение 2 + 3 может быть суммой игрушек, ручек, тракторов и еще чего угодно, в том числе «шклидулок». И от того, что мы не знаем, что такое «шклидулка», суть вычислений не изменится – мы все равно получим в ответе 5.

В задаче предлагается вымышленная ситуация – о шклидулках и бримазятах. Математическая структура задачи не представляет для учеников труда, но здесь они должны суметь перенести ее на абстрактное для них содержание и провести рассуждения во всей полноте.

– Чтобы ответить на первый вопрос задачи, можно сложить шклидулки, которые нашли бримазище и бримазенок. (Ищем целое.) Для этого сначала из 96 вычтем 64 и узнаем, сколько шклидулок нашел бримазенок. Чтобы узнать, во сколько раз больше шклидулок нашел бримазище, чем бримазенок, надо первое число разделить на второе.

1) 96 – 64 = 32 (ш.) – нашел бримазенок.

2) 96 + 32 = 128 (ш.).

3) 96 : 32 = 3 (раза).

Ответ: вместе они нашли 128 шклидулок, бримазище – в 3 раза больше бримазенка.

При выполнении №12, стр. 103 следует рассуждать так:

Р – 70 Г – 200 С – 40

И – 80 К – 5400 Б – 400

П – 50 О – 4800 Н – 100

СПРИНГБОК. Один из интереснейших видов газелей, обитающий в Южной Африке. Верхняя сторона тела – желто‑коричневая, нижняя сторона – белая, на границе проходит контрастная буровато‑черная полоса. Но самая замечательная особенность спрингбока – обширная продольная кожная складка на спине. Когда животное спокойно, складку не видно. Но, почувствовав опасность, спрингбок начинает подпрыгивать на месте, отталкиваясь одновременно всеми ногами, без видимых усилий, как резиновый мяч.

Прыжки спрингбока колоссальны: до 2 м в высоту. При этом края кожной складки расходятся, и выстилающий ее белый мех начинает ослепительно сверкать. Для всех обитателей саванны прыжки спрингбока служат сигналом опасности.

Спрингбок знаменит своими странствиями. К сожалению, говорить о них приходится лишь в прошедшем времени: они прекратились вместе с резким уменьшением численности спрингбока. Во время последнего крупного переселения спрингбоков в 1896 году животные плотной массой покрывали участок шириной около 25 км, а длина колонны составляла 220 км!

Во второй части учебника закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, вводится умножение и деление многозначного числа на однозначное, рассматриваются некоторые преобразования на плоскости (параллельный перенос, симметрия), меры времени и календарь, на основе некоторых логических понятий (высказывание, истинное и ложное высказывание) уточняется понятие уравнения и рассматриваются новые их виды. Учащиеся знакомятся с понятиями переменной и выражения с переменной, учатся находить значения выражений с переменной, строить формулы зависимостей между величинами.

На уроках 6 – 9 у учащихся формируется умение умножать многозначные числа на однозначные и умножать круглые числа в случаях, сводящихся к умножению на однозначное число, учатся решать задачи на нахождение значений величин по их сумме и разности. Ученики повторяют и закрепляют нумерацию, сложение и вычитание многозначных чисел, решение текстовых задач, решение уравнений с комментированием по компонентам действий, сравнение выражений, действия с единицами длины и массы.

Простейшие случаи умножения многозначного числа на однозначное (27 · 5, 140 · 3 и т. д.) и их запись в столбик уже встречались учащимся. На данном этапе обучения они должны распространить известный им способ умножения в столбик на общий случай умножения многозначного числа на однозначное, и отработать его для сложных случаев. Работа ведется, как обычно, деятельностным методом.

На уроке 6 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить распределительное свойство умножения. Для этого можно рассмотреть с ними различные способы нахождения площади прямоугольников для случаев, когда прямоугольник разбит на 2 части и на 3 части:

По данным рисункам ставятся вопросы:

1) Чем похожи и чем отличаются эти задачи? (В первой задаче прямоугольник разбит на две части, а во второй – на три.)

2) Как называется первое равенство? (Правило умножения суммы на число, или распределительное свойство умножения.)

3) Можно ли распространить это правило на сумму трех слагаемых? (Из второго равенства следует, что да.)

4) Можно ли его распространить на сумму большего числа слагаемых? (Да, ведь прямоугольник можно разбить на большее число частей.)

Чтобы поставить проблему, учащимся можно сначала предложить решить в тетрадях в клетку следующие примеры и выявить в них закономерности:

Ученики могут заметить, что:

1) все примеры – на умножение;

2) первый множитель увеличивается, а второй не изменяется;

3) с увеличением первого множителя произведение увеличивается;

4) если первый множитель увеличивается в 10 раз, то и все произведение

увеличивается в 10 раз.

Затем учитель предлагает, воспользоваться тем же вычислительным приемом и решить пример

При решении примера, вероятно, возникнет затруднение: могут получиться разные ответы, кто‑то из детей не решит его и т. д. Возникшая проблемная ситуация и мотивирует поиск нового способа действий.

В случае, если с последним примером справятся все обучающиеся, можно попросить их обосновать решение. Главное – дети должны заметить, что для решения данного примера используется другой вычислительный прием. Этот признак отличия они должны проговорить вслух: в первых четырех примерах требуется умножить двузначное число на однозначное, а в последнем примере – трехзначное на однозначное.

После этого цель урока может быть сформулирована следующим образом: установить, как умножается любое многозначное число на однозначное. Если последний пример выполнят все ученики, то цель урока мотивируется необходимостью обосновать правомерность используемого приема.

Этап «открытия» нового знания начинается с выбора метода рассуждений. Рассмотренная в начале урока задача о вычислении площадей прямоугольников должна помочь учащимся вспомнить, что алгоритм умножения двузначного числа на однозначное был установлен на основе правила умножения суммы на число (распределительного свойства умножения), и сориентироваться на это свойство.

В № 1, стр. 1 еще раз проговаривается формулировка правила умножения суммы на число и возможность его распространения на любое число слагаемых. Затем в № 2 (а), стр. 1 данное число 576 разбивается на удобные слагаемые 500 + 70 + 6 и на основе этого правила выполняются преобразования:

Очевидно, что такая запись является слишком громоздкой, неудобной, – это учащиеся скажут сразу. Тогда ставится задача найти более короткий способ записи по аналогии с умножением на двузначное число. Если самостоятельно ученики затруднятся это сделать, можно предложить им проанализировать слагаемые суммы по рисунку №2 (б), стр. 1. Дети должны заметить, что при вычислении суммы сначала подсчитывается число единиц, затем число десятков и число сотен (нули при сложении результата не изменяют). И поскольку все эти числа всегда являются двузначными (значения табличных произведений), то удобнее число единиц следующего разряда, которое «запоминается», писать вверху над соответствующим разрядом первого множителя, как при умножении двузначных чисел. Подвести учащихся к этому выводу можно следующей последовательностью вопросов:

1) Как получили слагаемые суммы? (6 единиц умножили на 9, потом 7 десятков умножили на 9, а потом 5 сотен умножили на 9.)

2) Всегда ли во втором слагаемом на конце будет нуль? Почему? (Всегда, так как считаем число десятков.)

3) Всегда ли в третьем слагаемом на конце 2 нуля? Почему? (Всегда, так как считаем число сотен.)

4) Почему во втором столбике нули зачеркнуты? (Они не изменяют значение суммы.)

5) Может ли число единиц, десятков или сотен «заходить» не на один следующий разряд, а на 2 или 3 разряда? (Нет, перемножаем однозначные числа, поэтому в произведении не может быть больше двух знаков.)

6) Сравните запись умножения во втором и третьем столбике – какая из записей удобнее? (В третьем столбике.)

7) Догадайтесь, как она получается из предыдущей? (Сначала умножаем единицы: 6 · 9 = 54, 4 единицы пишем, а 5 десятков запоминаем – записываем над числом десятков первого множителя. Потом умножаем десятки: 7 · 9 = 63, 63 + 5 = 68, 8 десятков пишем, а 6 сотен запоминаем. А потом умножаем сотни: 5 · 9 = 45, 45 + 6 = 51, записываем 51 сотню. – «Открытие».)

Пишу: множитель 9 под разрядом единиц множителя 576.

Умножаю единицы: 6 · 9 = 54 ед., пишу 4 в разряде единиц,

а 5 д. запоминаю.

Умножаю десятки: 7 · 9 = 63 д., 63 + 5 = 68 д., пишу 8 в разряде

десятков, а 6 с. запоминаю.

Умножаю сотни: 5 · 9 = 45 с., 45 + 6 = 51 с., пишу 1 в разряде

сотен, а 5 – в разряде тысяч.

Ответ: 5184.

В завершение учитель спрашивает у детей, изменятся ли рассуждения при умножении на однозначное число четырехзначного, пятизначного, шестизначного и т. д. числа. Как правило, дети легко распространяют полученный вывод на любое многозначное число. Тогда в тетради в клетку надо записать, решить и прокомментировать (с возможной помощью учителя) более сложный случай умножения, например, 5 · 20 156. Внимание детей обращается на порядок множителей и на то, что в данном случае также удобно писать однозначный множитель под разрядом единиц многозначного множителя.

Если у учащихся все же возникнет сомнение в правомерности распространения полученного вывода на случай умножения любого многозначного числа на однозначное, то можно рассмотреть аналогичным образом умножение четырехзначного числа на однозначное или предложить учащимся сделать это дома самостоятельно.

Примеры для этапа первичного закрепления подбираются в зависимости от уровня подготовленности класса. Можно, например, решить с подробным комментированием в громкой речи № 3 (а), стр. 1, а для этапа самоконтроля использовать № 3 (б), стр. 1. После выполнения самостоятельной работы ученики сопоставляют свое решение с образцом, предъявленным учителем, и убеждаются в том, что новый вычислительный прием ими освоен. Напомним, что при изучении нового материала первостепенное значение имеет создание ситуации успеха для каждого ребенка. Возможные ошибки должны здесь же исправляться, а материалы дорабатываться индивидуально, пока остальные учащиеся класса решают задачи на повторение.

На этапе повторения новое знание включается в систему знаний, а также решаются задания, обеспечивающие непрерывность развития содержательно‑методических линий курса. Так, на рассматриваемом уроке умножение многозначного числа на однозначное встречается при решении текстовых задач № 4–5, стр. 2, в уравнении № 6, стр. 2 и при работе с буквенными выражениями в № 7, стр. 2. Далее в задании № 8, стр. 2 повторяется правило порядка действий в выражениях и отрабатываются вычислительные навыки. В № 9, стр. 2 повторяются действия с многозначными числами, в № 10–11, стр. 2 – понятия равенства и пересечения множеств, которые связываются с рисованием геометрических фигур и перебором вариантов, а в № 12, стр. 2 предлагается логическая задача. Учитель на уроке введения нового знания выбирает для оставшихся 5–10 минут урока из этих заданий те, в которых учащиеся его класса испытывают больше затруднений.

Сделать этот выбор более осознанным и обоснованным позволяют «Электронные приложения к учебникам».

С другой стороны, методическим приемом, который позволяет существенно увеличить число решенных в классе примеров без перегрузки детей, является решение задач по выбору учащихся. Так, например, на данном уроке учитель может предложить учащимся на этапе повторения решить по выбору одно из заданий № 5–9, стр. 2. Учащиеся в течение 3–4 минут решают по одному выбранному ими заданию, а затем проговаривают их решение в течение следующих 5 минут. Таким образом, все задания воспроизведены в памяти детей, т. е. цель повторения достигнута. При этом в классе создается атмосфера психологической комфортности, так как каждый ребенок решает задание, которое он выбрал сам, а значит, то, которое ему больше понравилось. Задачи по выбору можно предлагать и для домашней работы.

При подведении итога урока учитель обсуждает с учениками вопросы:

– Что нового узнали? (Научились умножать любое многозначное число на однозначное.)

– Какое математическое свойство для этого использовали? (Распределительное свойство умножения.)

– Кто уже чувствует себя уверенно в решении новых примеров?

– Что повторили? Что больше всего понравилось?

– Кто сегодня нам помогал на уроке?

– Как оцениваете свою работу?

Для домашней работы можно предложить учащимся придумать и решить свой пример на умножение многозначного числа на однозначное, решить задачу № 4, стр. 2 и по желанию – одно из заданий № 10–12, стр. 2. Таким образом, обязательное задание не займет у обучающихся больше 10–15 мин самостоятельной работы. При таком подходе исключена перегрузка детей, каждому из них обеспечивается возможность успешного усвоения необходимого минимума, и в то же время каждому предоставляется возможность обучения на высоком уровне за счет активного включения в деятельность на уроке и решения дополнительных развивающих заданий.

На уроках 7–8 рассматриваются более сложные случаи умножения многозначного числа на однозначное и случаи умножения круглых чисел, сводящиеся к ним. Так, в № 1, стр. 6 учащиеся распространяют на множество многозначных чисел изученное ранее правило: чтобы умножить круглые числа, надо выполнить умножение, не глядя на нули, а потом к полученному произведению приписать столько нулей, сколько в обоих множителях вместе. На основании этого правила при записи умножения круглых чисел в столбик для удобства вычислений нули мысленно отбрасываются и полученное однозначное число записывается в разряде единиц многозначного множителя:

На последующих уроках умножение многозначного числа на однозначное отрабатывается в основном в процессе выполнения проверки примеров на деление.

На уроке 8 рассматривается новый тип задач – задачи на нахождение величин по их сумме и разности. На основе предметных действий с моделями полосками ученики догадываются, что при вычитании из суммы двух чисел их разности получается удвоенное меньшее число, а при сложении суммы и разности – удвоенное большее число. Поэтому решить задачу, например, № 1, стр. 8 можно двумя способами:

Для этапа первичного закрепления предназначены задания № 3–4, стр. 8–9, а для этапа самостоятельной работы с самопроверкой в классе – № 2, стр. 8. Дома можно предложить им придумать и решить свои задачи на нахождение величин по их сумме и разности.

На всех данных и последующих уроках особое внимание уделяется комментированию решения уравнений по компонентам действий (№ 6, стр. 2; № 6, стр. 4; № 6, стр. 9; № 7, стр. 18; № 5, стр. 20; № 4, стр. 25 и т. д.). Это связано с подготовкой детей к изучению темы «Уравнения» на уроке 27 данной части учебника. К этому времени обучающиеся должны не только уметь на автоматизированном уровне верно находить неизвестные компоненты действий, но и комментировать решение по образцу, приведенному на стр. 77 учебника.

На уроках 9 – 12 формируется умение делить многозначные числа на однозначные и делить круглые числа, сводящиеся к делению на однозначное число, умение делать проверку деления умножением, а также повторяются и закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, умножение многозначного числа на однозначное, решение текстовых задач. Учащиеся решают уравнения с комментированием по компонентам действий, повторяют понятие периметра треугольника, понятие числового луча, действия с единицами длины и массы, читают и записывают выражения.

При изучении внетабличного деления в пределах 100 учащиеся знакомились с правилом деления суммы на число. Сейчас это правило используется для построения алгоритма деления многозначного числа на однозначное. В итоге обсуждения учащиеся должны выявить и осмыслить основную идею, основной принцип деления многозначных чисел: сначала делится более крупная счетная единица, затем остаток дробится и делится следующая по величине счетная единица и так далее до конца. Новый материал вводится в обучение деятельностным методом.

На уроке 9 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить взаимосвязь между умножением и делением (a : b = c ⇔ b · c = a, b 0), алгоритм деления с остатком и правило деления суммы на число, распространив его, как и в предыдущем случае, на сумму трех и более слагаемых.

На этапе постановки проблемы детям можно предложить в течение 2–3 минут в тетрадях в клетку самостоятельно решить примеры «по частям», т. е. используя правило деления суммы на число, и выявить в них закономерности:

Учащиеся могут заметить, что:

1) все примеры – на деление;

2) делимое увеличивается, а делитель не изменяется;

3) с увеличением делимого частное увеличивается;

4) если делимое увеличивается в 10 раз, то и частное увеличивается в 10 раз.

При решении последнего примера обычно возникает затруднение, которое мотивирует поиск нового способа действий (если и последний пример выполнят все ученики, можно попросить их найти лишний пример).

Далее учитель подводит учащихся к выявлению существенного для данного урока признака отличия последнего примера от предыдущих: первые четыре примера сводятся к делению двузначного числа на однозначное, а в последнем примере – деление трехзначного числа на однозначное. Этот признак отличия учащиеся должны проговорить вслух.

Таким образом, ставится цель урока – установить, как делится многозначное число на однозначное. (Если затруднений в решении последнего примера у обучающихся не возникнет, слово установить заменяется словом обосновать – ведь подобные примеры в классе ранее не рассматривались.)

На этапе «открытия» нового знания детям вначале предоставляется возможность выбрать метод рассуждений. Задания, рассмотренные в начале урока, должны сориентировать их на выбор правила деления суммы на число, распространенного на случай нескольких слагаемых. Для подбора слагаемых для вычисления частного 536 : 4 можно использовать графическую модель. Учитель рисует ее на доске, а учащиеся – в тетради:

Рассматривая ее, ученики должны догадаться, что для нахождения частного вначале надо разделить сотни (коробки), затем оставшуюся сотню перевести в десятки и делить все имеющиеся десятки (пачки) и, наконец, оставшийся десяток раздробить в единицы (штуки) и делить единицы. В менее подготовленных классах поиск решения целесообразно сопровождать не только графическим моделированием, но и предметным – работой с конкретными коробками, пачками и единицами предметов.

Получившиеся группы обводятся овалами – это «удобные слагаемые»:

Из приведенных рассуждений следует, что каждый получил 1 сотню, 3 десятка и 4 штуки, или 134 штуки предметов. На математическом языке проведенные рассуждения можно записать так:

536 : 4 = (400 + 120 + 16) : 4 = 400 : 4 + 120 : 4 + 16 : 4 = 100 + 30 + 4 = 134.

Эта цепочка преобразований записывается в тетрадь, и еще раз проговаривается полученный вывод: чтобы разделить многозначное число на однозначное, можно делимое разбить на сумму «удобных» слагаемых и делить «по частям», то есть по правилу деления суммы на число.

Применение этого способа действий весьма ограничено, но проведенные рассуждения помогут учащимся в дальнейшем осмыслить общий принцип деления многозначных чисел. Для перехода к делению углом надо показать им неудобство построенного способа действий, предложив, например, найти частное 11 768 : 4.

Понятно, что попытки найти «удобные» слагаемые вряд ли закончатся успехом, и тогда можно попросить детей еще раз вернуться к рисунку:

– Рассмотрите, с каких единиц мы начинали деление – с мелких или с крупных? (С крупных.)

– Конечно, ведь удобнее сначала раздать более крупные счетные единицы – коробки. Но вот у нас 1 коробка осталась, что нам пришлось сделать? (Достать пачки и делить уже пачки.)

– Правильно, нам пришлось раздробить сотни в десятки. А когда и десятки у нас закончились, что мы сделали? (Стали делить единицы.)

– Кто теперь догадается, как можно делить любое многозначное число, не подбирая слагаемые? (Делить сначала самые крупные счетные единицы, затем остаток дробить и делить более мелкие единицы.)

На доске в процессе беседы учитель кратко записывает суть выполняемых преобразований:

1) 5 с. : 4 = 1 с. (ост. 1 с.)

2) 13 д. : 4 = 3 д. (ост. 1 д.)

3) 16 ед. : 4 = 4 ед. Итак, 536 : 4 = 134.

Аналогично записывается решение примера 11 768 : 4, предложенного учителем:

1) 11 т. : 4 = 2 т. (ост. 3 т.)

2) 37 с. : 4 = 9 с. (ост. 1 с.)

3) 16 д. : 4 = 4 д.

4) 8 ед. : 4 = 2 ед. Итак, 11 768 : 4 = 2942.

Таким образом, поставленная проблема решена: найден общий способ деления многозначного числа на однозначное. Он заключается в делении с остатком возможно более крупных счетных единиц и последовательном переходе к делению более мелких счетных единиц. Однако остается проблема записи деления. На вопрос учителя: «Удобная ли запись деления?» – ответ всегда одинаковый: неудобная, громоздкая. Тогда можно предложить учащимся попробовать придумать свою запись, более короткую и удобную. Для этой цели лучше использовать первый пример – 536 : 4.

Только после того как дети предложат свои версии, следует показать им «свернутый» способ записи приведенных рассуждений – уголком, и прокомментировать его:

Проверку деления удобно делать умножением на основании взаимосвязи:

Так, для проверки выполненного деления можно число 2942 умножить на 4.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что при комментировании примеров надо вначале указать первое неполное делимое, потом определить число цифр в частном, а затем рассказать, как находятся цифры в каждом разряде частного. При этом надо постоянно помнить о том, что на каждом шаге мы фактически выполняем деление с остатком, и поэтому получаемые остатки должны быть меньше делителя. Проверку решения удобно делать умножением.

Алгоритм письменного деления фиксируется с помощью блок-схемы:

Проблема разрешена.

Для проведения этапа первичного закрепления можно использовать задания № 3–6, стр. 11–12, которые решаются с проговариванием в громкой речи. В № 3 учащиеся находят частное всеми тремя рассмотренными способами. В № 4 внимание детей еще раз фиксируется на том, что остаток от деления всегда должен быть меньше делителя, проговариваются основные этапы деления многозначного числа на однозначное, выделенные в рамке на стр. 11. Примеры № 5–6 записываются в тетради в клетку и решаются по выбору. Здесь возможно комментирование в паре, в группе, создание игровых ситуаций. Достаточно, если каждый ребенок решит 2–3 примера. Параллельно проговаривается способ проверки деления умножением, зависимость между компонентами деления.

Задание № 2, стр. 10 целесообразно использовать на этапе самостоятельной работы с самопроверкой в классе. Оно менее сложное, чем примеры, решенные на предыдущем этапе урока, и содержит наглядную опору, которая поможет обучающимся лучше представить каждый этап деления.

На этапе повторения по выбору можно решить задания № 7 (а), стр. 12 и №9 (а), стр. 12.

При подведении итога урока обсуждаются вопросы:

– Что нового узнали? (Научились делить многозначное число на однозначное, записывать деление «углом».)

– Какой прием используется для устного деления? (Деление «по частям».)

– С каких единиц начинаем письменное деление? (С самых крупных.) А потом? (Делим по очереди более мелкие единицы.)

– Кто сегодня нам хорошо помогал?

– Кто доволен своей работой?

– Что повторили? Что больше всего понравилось?

В домашней работе можно предложить учащимся самостоятельно составить и решить пример на деление трехзначного числа на однозначное, построить его графическую модель и выполнить деление тремя способами по аналогии с тем, как это сделано в учебнике. Кроме того, решить по собственному выбору одно из заданий № 7 (б), 9 (б), стр. 12. В качестве дополнительного задания, которое выполняется по желанию, – одно из заданий №8, 10, стр. 12.

На последующих уроках рассматриваются более сложные случаи деления: делимое содержит большее число цифр (урок 10), в частном получаются нули в середине и на конце (уроки 11–13).

Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.

(А. Франц)

Желаем Вам удачи и творческих успехов!

Мы вместе, значит, у нас все получится!

Комплексные числа: умножение

Комплексные числа: умножение

Умножение производится алгебраически.

Сложное умножение — это более сложная операция для понимания с алгебраической или геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически, а для умножения возьмем определенные комплексные числа, например 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом есть два члена, поэтому, когда мы их умножим, мы получим четыре члена: (3 + 2 и ) (1 + 4 и ) = 3 + 12 i + 2 i + 8 i ² .

Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, конечно же, . А как насчет 8 i ² ? Помните, что мы ввели i как сокращение для √ – 1, квадратного корня из –1. Другими словами, i — это то, что имеет квадрат –1. Таким образом, 8 i ² равно –8. Следовательно, произведение (3 + 2 i ) (1 + 4 i ) равно –5 + 14 i.

Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения

Помните, что ( xu — yv ), действительная часть продукта, является произведением реальных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ) мнимая часть продукт, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи умножения.

Умножение комплексного числа на действительное

В приведенной выше формуле умножения, если v равно нулю, вы получите формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе: ( x + yi ) u = xu + yu i .

Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число.Например, 2 умножить на 3 + i будет просто 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваиваете расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет посередине между 0 и z. Вы можете представить себе умножение на 2 как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C с коэффициентом 2 от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C в сторону 0.

Умножение и абсолютное значение.

Несмотря на то, что мы сделали только один случай для умножения, достаточно предположить, что абсолютное значение zw (то есть расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ш. Это было тогда, когда w было действительным числом и чуть выше. На самом деле это так в целом:

Проверка этого тождества — это упражнение по алгебре.Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не придется иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | zw | ² = | z | ² | w | ² . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда согласно формуле умножения zw равно ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i. Вспомните из раздела об абсолютных величинах, что

| z | ² = x ² + y ²

Аналогично имеем

| w | ² = и ² + v ²

и, поскольку zw = ( xu — yv ) + ( xv + yu ) i,

| wz | ² = ( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ²

Итак, чтобы показать | zw | ² = | z | ² | w | ² , все, что вам нужно сделать, это показать, что

( xu — yv ) ² + ( xv + yu ) ² = ( x ² + y ² ) ( u ² + v ² )

и это простое упражнение по алгебре.

Полномочия

i. В нашем следующем частном случае умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i ² = –1. А как насчет i ³ ? Это всего лишь i ² умноженное на i , то есть –1 умноженное на i. Следовательно, i ³ = — i. Что интересно: куб i — это собственное отрицание.Затем рассмотрим i ⁴ . Это квадрат i ² , то есть квадрат –1. Итак, i ⁴ = 1. Другими словами, i — это корень четвертой степени из 1. Вы можете показать, что — i — это еще один корень четвертой степени из 1. И поскольку и –1, и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, –1 и — i. Это наблюдение связано с фундаментальной теоремой алгебры, поскольку уравнение z ⁴ = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.

Более высокие степени i теперь легко найти, когда мы знаем i ⁴ = 1. Например, i ⁵ равно i умножить на i ⁴ , и это всего лишь i. . Вы можете уменьшить степень i на 4 и не изменить результат. Другой пример: i ¹¹ = i ⁷ = i ³ = — i.

А как насчет отрицательных степеней и ? Какова величина, обратная i, то есть i ^–1 ? По той же причине, что вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i ^–1 = i ³ = — i. Таким образом, i обратное — i. Представьте себе — число, обратное значение которого есть собственное отрицание! Конечно, легко проверить, что i раз — i равно 1, поэтому, конечно, i и — i являются обратными величинами.

Корни единства.

Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по фундаментальной теореме алгебры число n корней -й степени из единицы равно n, , так как имеется n корней у уравнения n -й степени. z ^u — 1 = 0.Квадратные корни из единицы равны 1 и –1. Корни четвертой степени равны ± 1, ± i, , как отмечалось ранее в разделе, посвященном абсолютным значениям. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ± √2 / 2 ± i √2 / 2 были квадратными корнями из i и — i, и теперь с формулой умножения, которую легко проверить. Следовательно, восемь корней восьми из единицы равны ± 1, ± i, и ± √2 / 2 ± i √2 / 2. Обратите внимание на то, как эти восемь корней единицы равномерно распределены по единичной окружности.

Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте их немного подождем.

Умножение комплексного числа на

i. В нашей цели по поиску геометрической интерпретации комплексного умножения, давайте теперь рассмотрим умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i. z i = ( x + yi ) i = — y + xi .

Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на x единиц справа от мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z i расположена на y единиц слева и x единиц выше. Произошло то, что при умножении на i повернулся к точке z на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат до точки z i. Короче говоря, умножение на i дает поворот на 90 ° против часовой стрелки на 0.

Вы можете проанализировать, что происходит при умножении на — i таким же образом. Вы обнаружите, что умножение на — i дает поворот на 90 ° по часовой стрелке примерно на 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, которое подразумевается против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на — i дает поворот на –90 ° вокруг 0 ​​или, если хотите, поворот на 270 ° вокруг 0.

Геометрическая интерпретация умножения.

Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока посмотрим на результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения: один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на и , что приводит к вращению. Общий случай — это комбинация масштабирования и вращения.

Пусть z и w будут точками на комплексной плоскости C .Проведите линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих строк — абсолютные значения | z | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | zw | что равно | z | | Вт |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг затенен.) Чего мы не знаем, так это направления линии от 0 до zw.

Ответ — «углы складываются». Мы определим направление линии от 0 до z определенным углом, который называется аргументом из z , иногда обозначаемым arg ( z ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — прямая от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg ( w ).Тогда произведение zw будет иметь угол, который является суммой углов arg ( z ) + arg ( w ). (На диаграмме arg ( z ) составляет около 20 °, а arg ( w ) составляет около 45 °, поэтому arg ( zw ) должно быть около 65 °.)

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где находится zw в C :

многомерное исчисление — Цепное правило для производной по направлению с многомерными и векторнозначными функциями

Если вы правильно интерпретируете RHS относительно того, куда идет точка оценки, тогда да, это правильно.м $, имеем

\ begin {align} \ left (\ partial_v (g \ circ f) \ right) (\ xi) & = \ left [\ left ((Dg) \ circ f \ right) (\ xi) \ right] \ cdot \ left ((\ partial_vf ) (\ xi) \ право) \\ & = \ left [Dg (f (\ xi)) \ right] \ cdot \ left ((\ partial_vf) (\ xi) \ right) \ end {align}

, где $ \ cdot $ означает умножение матриц.

---

Причина, по которой я использовал слово «интерпретировать» выше, заключается в том, что с чисто технической точки зрения, когда вы опускаете переменную $ \ xi $, вам необходимо убедиться, что обе стороны уравнения имеют функции с одним и тем же доменом и целевым пространством. n $, поэтому их сумма является функцией того же типа.q $; это согласуется с LHS.

---

Заключительные примечания:

• Сравнивая два выделенных блока уравнений, вы можете увидеть, что это правило цепочки производных по направлениям легче сформулировать поточечно, включив везде $ \ xi $. Я привел эту техническую деталь только для вашего понимания, хотя на практике люди злоупотребляют нотацией и пишут ее именно в той форме, в которой вы ее написали, и мысленно отслеживают / выводят из контекста, как вещи должны быть оценены.q $ «

Эффективные стратегии обучения многозначному умножению

Многозначное умножение — сложная концепция для обучения. Давно прошли те времена, когда мы учили одному методу, например, долгому умножению, и просто * надеемся *, что все наши ученики поймут и смогут эффективно использовать этот метод. Сегодня мы осознаем важность стратегического обучения многозначному умножению. Это гарантирует, что каждый ученик в вашем классе сможет каким-то образом добиться успеха.Это также гарантирует, что знания студентов будут стратегически построены, и что они действительно ПОНИМАЮТ процесс многозначного умножения.

Теперь, прежде чем я начну говорить о некоторых методах многозначного умножения, я хочу сообщить вам, что у меня есть бесплатный мини-курс по этой теме — Обучение многозначному умножению и делению для НАСТОЯЩЕГО понимания . Если вы готовы, наконец, разработать план успеха учеников, обязательно приходите! РЕГИСТРАЦИЯ ЗДЕСЬ.

В качестве альтернативы, если вы ищете ресурс, где вся работа сделана за вас, вас может заинтересовать Станция многозначного умножения, где учащиеся работают над различными стратегиями в своем собственном темпе, осваивая каждую из них по мере необходимости. идти. Стратегии интегрированы стратегическим образом, что позволяет учащимся постепенно расширять свое понимание. См. Станцию ​​многозначного умножения ЗДЕСЬ.

Итак, с чего начать обучение многозначному умножению?

Важно начать со стратегий, которые помогут студентам мысленно решать многозначные уравнения.Вместо того, чтобы сразу переходить к длинному умножению или эффективной альтернативе, начните со следующего:

1. Коммутативные и ассоциативные свойства . Прежде всего, ученикам важно помнить об этих свойствах. Коммутативное свойство гласит, что порядок факторов не меняет продукт. Например, 4 × 3 и 3 × 4 равны 12. Ассоциативное свойство утверждает, что факторы могут быть сгруппированы по-разному. Например, (7 × 2) x5 дает то же произведение, что и (2 × 5) x7.Эти свойства помогают учащимся понять, что они могут манипулировать уравнениями, чтобы их легче решать.

2. Использование факторов. Это отличный способ научить студентов манипулировать числами, чтобы облегчить решение уравнения. Когда мы учим многозначное умножение, наша цель не всегда — как можно быстрее получить правильный ответ. Иногда наша цель — уметь творчески мыслить, когда дело касается чисел. Это один из таких случаев. Мы могли бы взять уравнение 4 × 15 и разбить 15 на множители 3 и 5.Теперь у нас есть это уравнение: 4x3x5. Теперь мы можем решить это так: (4 × 3) x5 -> 12 × 5 -> 60. Это просто, чтобы показать, что существует не только один правильный способ решить это уравнение.

3. Умножение на 10, 100 и 1000, а также на кратные 10, 100 и 1000. Хотя я сгруппировал эти две концепции вместе для целей этого сообщения в блоге, этому следует учить медленно и осторожно. , по кусочкам. Когда вы преподаете эту концепцию, важно сосредоточиться на правилах определения места, прежде чем обучать трюкам, таким как трюк с добавлением нулей.Например, когда учащиеся сталкиваются с уравнением 45 × 100, они должны понимать, что значения разряда увеличиваются на 2 разряда, чтобы получить произведение 4500. Аналогичным образом, при умножении такого уравнения, как 3 × 1000, значения разряда увеличиваются на 3 мест, где можно заработать 3000. После того, как студенты усвоят эту концепцию, мы можем научить их, что когда в множителях есть 2 нуля, мы добавляем 2 нуля к продукту. Имейте в виду, что этим трюкам следует обучать только ПОСЛЕ того, как учащиеся приобретут отличное понимание математики, лежащей в основе концепции.

4. Разделение номеров. Это одна из самых полезных стратегий мысленной математики. Это включает в себя разбиение одного из факторов, умножение на группы, а затем сложение этих групп вместе. Вот пример: в этом примере мы разбиваем 12 на 10 и 2, а затем умножаем их на части. Таким образом, 12 × 30 становится (10 × 30) + (2 × 30). Решить это намного проще!

Мы также можем использовать эту стратегию для умножения больших чисел, например 103 × 9. Мы можем разбить 103 на 100 и 3, а затем умножить на части, например: (100 × 9) + (3 × 9).

5. Метод окна / окна. Мне нравится метод «окно / окно», потому что он использует расширенную форму каждого фактора, что делает его отличной стратегией для усиления концепций определения числа. Чтобы использовать эту стратегию, мы рисуем прямоугольник (количество столбцов и строк зависит от количества цифр в множителях), а затем записываем развернутые формы множителей сверху и сбоку. Затем мы умножаем каждую часть и складываем части, когда закончим. Если вы хотите получить более подробное руководство по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.

6. Частичные продукты. Это одна из самых важных стратегий, которую следует преподавать как альтернатива долгому умножению. В частичных произведениях уравнение строится так же, как и при традиционном долгом умножении, но способ умножения отличается. Например, для уравнения 35 × 3 мы сначала умножаем 3 × 5, чтобы получить 15. Затем мы умножаем 3 × 30, чтобы получить 90. Обратите внимание, что мы умножили на ТРИДЦАТЬ, а не на три. Это потому, что 3 представляет 30. Это дает нам 90. Теперь мы складываем 15 и 90 вместе, чтобы получить 105.Если вы хотите получить более подробное руководство по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.

Стратегии, которые я описал выше, являются САМЫМИ важными для обучения многозначному умножению. Все эти стратегии делают упор на понимание чисел и гарантируют, что учащиеся действительно понимают, что означают числа в каждом уравнении. Но как насчет таких стратегий, как традиционное длинное умножение?

Это спорная тема.Некоторые учителя считают, что наше обучение должно быть сосредоточено ТОЛЬКО на чувстве чисел, чтобы мы не учили стратегии, не фокусирующиеся на понимании числа. Эти учителя склонны использовать стратегии вроде частичных произведений в течение всего года как очень эффективную альтернативу традиционному долгому умножению. Другие учителя считают, что мы должны учить так, как умножение преподавалось много лет назад. Тогда это работало, так почему бы не работать сейчас ?! Эти учителя, как правило, больше сосредотачиваются на таких стратегиях, как традиционное длинное умножение, и меньше на более современных методах, таких как коробка / окно или частичные произведения.

Я здесь не для того, чтобы указывать вам, какой путь лучше 🙂 Это зависит от вас и ваших учеников. Однако я скажу вам свое личное мнение. Лично я не склонен впадать в крайности. Я очень верю в стратегии, способствующие пониманию чисел. Однако я также считаю, что для НЕКОТОРЫХ ваших учеников есть место традиционным методам. Здесь тебе придется быть судьей. Если у вас есть ученики, которые борются с многозначным умножением, вы, вероятно, предпочтете позволить им сосредоточиться на частичных продуктах и ​​коробке / окне и оставить все как есть.Зачем вносить еще больше путаницы? Они могут быть очень успешными с этими стратегиями. ОДНАКО, у вас могут быть ученики, которые прекрасно понимают, чему вас учили, и готовы к новым испытаниям! Эти ученики могут преуспеть с другими методами, менее ориентированными на числа, поскольку они уже хорошо разбираются в математических концепциях. Для этих студентов я собираюсь рассказать о паре других стратегий.

Эти следующие стратегии в меньшей степени ориентированы на числа, но они могут быть интересным способом умножения для тех студентов, которые готовы принять вызов.

1. Решеточное умножение. Это действительно забавный метод, который включает рисование сетки и ее использование для организации чисел. Некоторые учителя считают, что ученикам, использующим этот метод, легче носить с собой, потому что числа расположены диагональными рядами, поэтому легче увидеть, где их нужно добавить. Для объяснения этой стратегии требуется время, поэтому, пожалуйста, просмотрите ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок по стратегии.

1. Деление пополам и удвоение. Это действительно изящная стратегия умножения на числа вроде 5, 10, 25, 50 и т. Д. Все, что вам нужно сделать, — это разделить один множитель пополам, а второй — удвоить, чтобы изменить уравнение и облегчить его решение. Например, если у нас есть уравнение типа 25 × 14, мы могли бы удвоить 25, чтобы получить 50, и разделить 14 пополам, чтобы получить 7. Теперь у нас есть 50 × 7, что НАМНОГО проще решить! Мы можем очень быстро вычислить это мысленно и получить результат 350. Для этой стратегии ученики должны понимать, что она хорошо работает только с определенными числами, и им потребуется много практики, чтобы знать, с какими уравнениями она хорошо работает.
2. Традиционное длинное умножение. Это подводит нас к традиционному длинному умножению. Я не собираюсь объяснять, как это сделать, потому что я думаю, что большинство из нас уже это знает, но этому можно научить студентов, которые готовы к дополнительным испытаниям.

Если вам нужна дополнительная поддержка по этим стратегиям, я рекомендую записаться на мини-курс «Стратегии многозначного умножения и деления». Это займет всего около часа, и вы уйдете с планом действий по решению проблемы многозначного умножения и деления в классе.

Удачного дня,

Шелли

Умножение комплексных чисел

Комплексное число — это комбинация действительного и мнимого числа:

Реальный номер — это тип номера, который мы используем каждый день.

Примеры: 12,38, ½, 0, −2000

Мнимое число, возведение в квадрат дает отрицательный результат:

Мнимое число «единицы» в квадрате равно -1

i ² = −1

Примеры: 5 i , −3.6 и , и /2, 500 и

Примеры комплексных чисел:

3,6 + 4 i		(действительная часть 3,6, мнимая часть 4 i )
−0,02 + 1,2 i		(действительная часть -0,02, мнимая часть 1,2 i )
25 — 0,3 i		(действительная часть 25, мнимая часть -0.3 i )

Любая часть может быть нулевой:

0 + 2 i		(без действительной части, мнимая часть — 2 и )		как 2 i
4 + 0 i		(действительная часть 4, без мнимой части)		то же, что 4

Умножение

Для умножения комплексных чисел:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте «FOIL», что означает « F irsts, O uters, I nners, L assts» (см. Биномиальное умножение для более подробной информации):

	Первые: a × c Внешний: a × di Внутренние: bi × c Длина: bi × di
(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + bc i + bd i 2

Как это:

Пример: (3 + 2

i ) (1 + 7 i )

(3 + 2 i ) (1 + 7 i ) = 3 × 1 + 3 × 7 i + 2 i × 1 + 2 i × 7 i

= 3 + 21 i + 2 i + 14 i ²

= 3 + 21 i + 2 i — 14 (потому что i ² = −1)

= −11 + 23 i

Вот еще пример:

Пример: (1 +

i ) ²

(1 + i ) ² = (1 + i ) (1 + i )

= 1 × 1 + 1 × i + 1 × i + i ²

= 1 + 2 i — 1 (поскольку i ² = −1)

= 0 + 2 и

Но есть более быстрый способ!

Используйте это правило:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример:

(3 + 2 и ) (1 + 7 и ) = (3 × 1-2 × 7) + (3 × 7 + 2 × 1) и

= −11 + 23 я

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a + b i ) (c + d i )	=	ac + объявление i + bc i + bd i 2		Метод фольги
	=	ac + объявление i + bc i — bd		(потому что i 2 = −1)
	=	(ac — bd) + (ad + bc) i		(собираются как термины)

И вот у вас есть шаблон (ac — bd) + (ad + bc) i .

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Теперь давайте посмотрим, как выглядит умножение на комплексной плоскости.

Сложный самолет

Мы можем построить комплексное число, например 3 + 4i : Размещено 3 единицы по (действительная ось), и на 4 единицы вверх (мнимая ось).

Умножение на i

Умножим его на i : (3 + 4 i ) x i = 3 i + 4 i 2 Что упрощается до (потому что i 2 = -1): −4 + ​​3 i

А вот и прикольная штука… это то же самое, что , вращающийся на прямой угол (90 ° или π / 2)

Это просто странное совпадение?

Попробуем еще раз умножить на i : (−4 + 3 i ) x i = −4 i + 3 i 2 = −3 — 4 i и снова : (−3 — 4 i ) x i = −3 i — 4 i 2 = 4 — 3 i и снова : (4 — 3 i ) x i = 4 i — 3 i 2 = 3 + 4 i

Ну разве это не потрясающе? Каждый раз он поворачивается на прямой угол, пока не окажется там, где начал.

Попробуем на цифре 1:

1 × i = и i × i = -1 -1 × я = — и — i × i = 1 Снова к 1!

Каждый раз поворот на прямой угол.

Выберите собственное комплексное число и попробуйте это на себе, это хорошая практика.

Давайте теперь посмотрим на углы повнимательнее.

Полярная форма

Наш дружественный комплексный номер 3 + 4i :
Вот он снова, но в полярной форме: (расстояние и угол)

Таким образом, комплексное число 3 + 4i может также отображаться как расстояние (5) и угол (0.927 радиан).

Как мы делаем преобразования?

Пример: номер

3 + 4i

Мы можем преобразовать из декартовой системы координат в полярную:

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (3 ² + 4 ² ) = √25 = 5
• θ = tan ^-1 (y / x) = tan ^-1 (4/3) = 0,927 (до 3 десятичных знаков)

Мы также можем взять полярные координаты и преобразовать их в декартовы координаты:

• x = r × cos ( θ ) = 5 × cos (0.927) = 5 × 0,6002 … = 3 (достаточно близко)
• y = r × sin ( θ ) = 5 × sin (0,927) = 5 × 0,7998 … = 4 (достаточно близко)

На самом деле, обычный способ записать комплексное число в полярной форме — это

.

x + i y	=	r cos θ + i r sin θ
	=	r (cos θ + i sin θ )

И «cos θ + i sin θ » часто сокращается до «cis θ », поэтому:

x + iy = r цис θ

cis — это просто сокращение для cos θ + i sin θ

Итак, мы можем написать:

3 + 4i = 5 цис 0.927

В некоторых предметах, например в электронике, «цис» используется очень много!

А теперь еще немного умножения

Попробуем еще одно умножение:

Пример: умножить 1 + i на 3 + i

(1+ i ) (3+ i ) = 1 (3+ i ) + i (3+ i )

= 3 + i + 3 i + i ²

= 3 + 4 и — 1

= 2 + 4 i

А вот результат на сложной плоскости:

Но интереснее видеть эти числа в полярной форме:

Пример: (продолжение)

Преобразовать 1 + i в полярный:

• r = √ (1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = tan ^-1 (1/1) = 0.785 (до 3 знаков после запятой)

Преобразовать 3 + i в полярный:

• r = √ (3 ² + 1 ² ) = √10
• θ = tan ^-1 (1/3) = 0,322 (до 3 десятичных знаков)

Преобразовать 2 + 4i в полярный:

• r = √ (2 ² + 4 ² ) = √20
• θ = tan ^-1 (4/2) = 1.107 (до 3 знаков после запятой)

Посмотрите на значения r в течение минуты. Они как-то связаны?
А как насчет значений θ ?

Вот это умножение в одну строку (с использованием «цис»):

(√2 цис 0,785) × (√10 цис 0,322) = √20 цис 1,107

Вот это интересное:

• √2 x √10 = √20
• 0.785 + 0,322 = 1,107

Итак:

Величины умножаются.
И углы добавляются.

При умножении в полярной форме: умножьте величины, сложите углы.

И поэтому умножение на i поворачивается на прямой угол:

i имеет величину 1 и образует прямой угол на комплексной плоскости

Квадрат

Чтобы возвести комплексное число в квадрат, умножьте его само на себя:

• умножьте величины: величина × величина = величина ²
• складываем углы: угол + угол = 2, поэтому мы удваиваем их.

Результат: возвести величины в квадрат, угол удвоить.

Пример: возведем в квадрат 1 +

2 i :

(1 + 2 i ) (1 + 2 i ) = 1 + 4 i + 4 i ² = −3 + 4 i

На схеме угол выглядит (и есть!) Увеличенным вдвое.

Также:

• Величина (1 + 2 i ) = √ (1 ² + 2 ² ) = √5
• Величина (−3 + 4 i ) = √ (3 ² + 4 ² ) = √25 = 5

Итак, величина тоже возведена в квадрат.

В общем, сложное число вроде:

r (cos θ + i sin θ )

Когда в квадрате становится:

r ² (cos 2 θ + i sin 2 θ )

(величина r возводится в квадрат, а угол θ удваивается.)

Или в более коротком обозначении «цис»:

(r цис θ ) ² = r ² цис 2 θ

Формула Де Муавра

И математик Абрахам де Муавр обнаружил, что это работает для любого целого показателя степени n :

[r (cos θ + i sin θ )] ⁿ = r ⁿ (cos n θ + i sin n θ )

(величина становится r ⁿ угол становится nθ .)

Или в более коротком обозначении «цис»:

(r цис θ ) ⁿ = r ⁿ цис n θ

Пример: что такое (1+

i ) ⁶

Преобразовать 1+ i в полярный:

• r = √ (1 ² + 1 ² ) = √2
• θ = tan ^-1 (1/1) = π / 4

В нотации «цис»: 1+ i = √2 цис π / 4

Теперь, с показателем 6, r становится r ⁶ , θ становится 6θ :

(√2 цис π / 4) ⁶ = (√2) ⁶ цис 6π / 4 = 8 цис 3π / 2

Теперь величина 8, а угол 3π / 2 (= 270 °).

.

Это тоже 0-8 i (см. Диаграмму)

Сводка

Многозначная функция — обзор

2 Обобщенные гипергеометрические функции Aomoto

Определение

Пусть Z будет (k + 1) × (n + 1) матрицей

(2.1) Z = (z00z01z02 ⋯ z0nz10z11z12 ⋯ z1n ⋮⋮⋮⋮ zk0zk1zk2 ⋯ zkn)

, где k Z , которую мы обозначаем F (Z), определяется как обобщенная гипергеометрическая функция на грассмановом пространстве Gr (k + 1, n + 1), когда она удовлетворяет следующим соотношениям:

(2.2) ∑ j = 0nzij∂F∂zpj = −δipFundefinedundefinedundefined (0≤i, p≤k)

(2.3) ∑i = 0kzij∂F∂zij = αjFundefinedнеопределенонеопределено (0≤j≤n)

(2.4) ∂2F∂zip∂zjq = ∂2F∂ziq∂zjpundefinedundefinedundefined (0≤i, j≤k; undefined0≤p, q≤n)

где параметры αj подчиняются нецелым условиям

(2.5) αj ∉Zundefinedundefinedundefinedundefinedundefined (0≤j≤n)

(2.6) ∑j = 0nαj = — (k + 1)

Интегральное представление F (Z) и скрученных когомологий_

Суть обобщенной гипергеометрической функции Аомото [15] заключается в что, используя так называемые скрученные когомологии де Рама, ¹ F (Z) можно записать в виде интеграла:

(2.7) F (Z) = ∫ΔΦω

, где

(2.8) Φ = ∏j = 0nlj (τ) αj

(2.9) lj (τ) = τ0z0j + τ1z1j + ⋯ + τkzkjundefinedundefinedundefined (0≤j≤n)

(2.10) ω = ∑i = 0k (−1) iτidτ0∧dτ1∧ ⋯ ∧dτi − 1∧dτi + 1∧ ⋯ ∧dτk

Комплексные переменные τ = (τ0, τ1, ⋯, τk) однородны координаты комплексного проективного пространства CPk, , т.е. , Ck + 1− {0,0, ⋯, 0}. Многозначная функция Φ затем определяется в пространстве

(2.11) X = CPk − ⋃j = 0nHj

, где

(2.12) Hj = {τ∈CPk; undefinedlj (τ) = 0}

Рассмотрим теперь смысл интегрального пути Δ.Поскольку подынтегральное выражение Φ ω является многозначной формой k , простого выбора Δ в качестве цепи k на X недостаточно. При выборе Δ нам необходимо неявно указать ветви Φ на Δ , иначе мы не сможем правильно определить интеграл. В дальнейшем мы предполагаем эти неявные условия.

Прежде чем рассматривать дальнейшие свойства Δ, заметим, что ω имеет неоднозначность в оценке интеграла (2.7). Предположим, что α — произвольная (k − 1) -форма, определенная в X . Тогда интеграл по точной k -форме d (Φα) обращается в нуль:

(2.13) 0 = ∫Δd (Φα) = ∫ΔΦ (dα + dΦΦ∧α) = ∫ΔΦ∇α

где ∇ может быть интерпретируется как ковариантная (внешняя) производная

(2.14) ∇ = d + dlog⁡Φ∧ = d + ∑j = 0nαjdljlj∧

Это означает, что ω ′ = ω + ∇α эквивалентно ω в определении интеграл (2.7). А именно, ω и ω ′ образуют эквивалентный класс ω∼ω ′. Этот эквивалентный класс называется классом когомологий.

Для изучения этого класса когомологий рассмотрим дифференциальное уравнение

(2.15) ∇f = df + ∑j = 0nαjdljljf = 0

Общие решения локально определяются по формуле

(2.16) f = λ∏j = 0nlj (τ ) −αjundefinedundefinedundefinedundefinedundefinedundefined (λ∈C ×)

Таким образом, эти локальные решения в основном задаются 1 / Φ. Идея локальности важна, поскольку даже если 1 / Φ многозначна внутри локального фрагмента, ее можно рассматривать как однозначную функцию. Аналитическое продолжение этих решений формирует фундаментальную гомотопическую группу замкнутого пути в X (или 1 / X, если быть точным, но его можно рассматривать как X , перевернув нецелые степени αj в (2.8)). Представление этой фундаментальной группы называется представлением монодромии . Представление монодромии определяет локальную систему дифференциального уравнения (2.15). Общее решение f или 1 / Φ дает в этом смысле локальную систему ранга 1. ² Обозначим эту локальную систему ранга 1 символом L. Вышеупомянутый класс когомологий затем определяется как элемент k -й группы когомологий X над L, , то есть ,

(2.17) [ω] ∈Hk (X, L)

Эту группу когомологий Hk (X, L) также называют скрученной группой когомологий .

Скрученные гомологии и скрученные циклы

Определив группу когомологий Hk (X, L), мы можем теперь определить двойственную к ней , т.е. , k -ю группу гомологий Hk (X, L∨ ), известная как скрученная группа гомологий, где L∨ — двойственная локальная система ранга 1, заданная функцией Φ. Дифференциальное уравнение, соответствующее L∨, можно записать как

(2.18) ∇∨g = dg − ∑j = 0nαjdljljg = 0

Мы можем легко проверить, что общие решения задаются формулой Φ:

(2.19) g = λ∏j = 0nlj (τ) αj = λΦнеопределено не определенонеопределенонеопределенонеопределено (λ∈ C ×)

Как и раньше, элемент Hk (X, L∨) дает эквивалентный класс, называемый классом гомологии.

Далее мы покажем, что интегральный путь Δ образует эквивалентный класс, и увидим, что он совпадает с указанным выше классом гомологий. Применяя теорему Стокса к (2.13), находим

(2.20) 0 = ∫ΔΦ∇α = ∫∂ΔΦα

где α — произвольная (k − 1) -форма, как и раньше. Граничный оператор ∂ в принципе определяется из Φ (с информацией о ветвях). Обозначая Cp (X, L∨) p -мерную цепную группу на X над L∨, мы можем выразить граничный оператор как ∂: Cp (X, L∨) ⟶Cp − 1 (X, L∨) . Поскольку соотношение (2.20) выполняется для произвольного α , мы находим, что k -цепь Δ обращается в нуль под действием ∂:

(2.21) ∂Δ = 0

k -цепь Δ, удовлетворяющая выше обычно называется циклом k .В нынешних рамках это также называется витым циклом . Поскольку для граничного оператора ∂2 = 0, цикл k имеет избыточность. А именно, Δ ′ = Δ + ∂C (+1) также становится k -циклом, где C (+1) — произвольная (k + 1) -цепь или элемент Ck + 1 (X, L∨) . Таким образом, Δ и Δ ′ образуют эквивалентный класс Δ∼Δ ′, и это в точности класс гомологии, определенный Hk (X, L∨), , т.е. ,

(2.22) [Δ] ∈Hk (X, L ∨)

Подводя итог, обобщенная гипергеометрическая функция (2.7) определяется следующей билинейной формой

(2.23) Hk (X, L∨) × Hk (X, L) ⟶C

(2.24) ([Δ], [ω]) ⟶∫ΔΦω

Дифференциальный уравнения F (Z) _

Условие lj (τ) = 0 в (2.12) определяет гиперплоскость в (k + 1) -мерных пространствах. Чтобы избежать избыточности в конфигурации гиперплоскостей, мы предполагаем, что набор гиперплоскостей невырожден, то есть мы рассматриваем гиперплоскости в общем положении . Это можно реализовать, потребовав, чтобы любые (k + 1) -мерные минорные детерминанты (k + 1) × (n + 1) -матрицы Z были ненулевыми.Затем мы переопределяем X в (2.11) как

(2.25) X = {Z∈Matk + 1, n + 1 (C) | любые (k + 1) -dim минорные детерминанты Z отличны от нуля}

Далее мы неявно требуем выполнения этого условия в Z . Конфигурация n + 1 гиперплоскостей в CPk определяется этой матрицей Z .

Помимо концепции гиперплоскостей, мы также можем интерпретировать, что вышеупомянутый Z обеспечивает n + 1 различных точек в CPk. Поскольку однородная координата CPk задается как Ck + 1− {0,0, ⋯, 0}, мы можем рассматривать каждый из n + 1 векторов-столбцов Z как точку в CPk; столбец j , представляющий однородные координаты j точки CPk (j = 0,1,, n).

Масштабное преобразование, при котором однородные координаты CPk инвариантны, реализуется действием Hn + 1 = {diag (h0, h2, ⋯ hn) | hj∈C ×} справа от Z . С другой стороны, общее линейное преобразование однородных координат может быть реализовано действием GL (k + 1, C) слева. Эти преобразования затем задаются формулой

(2.26) Линейное преобразование: undefinedZ → Z ′ = gZ

(2.27) Масштабное преобразование: undefinedZ → Z ′ = Zh

, где g∈GL (k + 1, C) и h∈ Hn + 1.При этих преобразованиях интеграл F (Z) в (2.7) ведет себя как

(2.28) F (gZ) = (detg) −1F (Z)

(2.29) F (Zh) = F (Z) ∏j = 0nhjαj

Теперь кратко покажем, что указанные выше соотношения приводят к определяющим уравнениям для обобщенных гипергеометрических функций в (2.2) и (2.3) соответственно. Пусть 1n — это n -мерная единичная матрица 1n = diag (1,1,, 1), а Eij (n) — матрица размера n × n, в которой только (i, j) -элемент равен 1, а другие равны нулю. Мы рассматриваем г в частном виде

(2.30) g = 1k + 1 + ϵEpi (k + 1)

, где ϵ — параметр. Тогда gZ остается таким же, как Z , за исключением p -й строки, которая заменяется на (zp0 + izi0, zp1 + ϵzi1, ⋯, zpn + ϵzin). Тогда производная от F (gZ) по отношению к ϵ выражается как

(2.31) ∂∂ϵF (gZ) = ∑j = 0nzij∂∂zpjF (gZ)

С другой стороны, используя

( 2.32) detg = {1 (i ≠ p) ϵ (i = p)

и (2.28), находим

(2.33) ∂∂ϵF (gZ) = {0 (i ≠ p) −1ϵ2F (Z) (i = p)

Вычисляя производную при = 0 и ϵ = 1 для i ≠ p и i = p, соответственно, мы тогда действительно находим, что (2.28) приводит к дифференциальному уравнению (2.2).

Аналогично, параметризация h как

(2.34) h = diag (h0, ⋯, hj − 1, (1 + ϵ) hj, hj + 1, ⋯, hn)

с 0≤j≤n, мы находим, что Zh имеет только один ϵ -зависимый столбец, соответствующий j -ому столбцу, (z0j (1 + ϵ) hj, z1j (1 + ϵ) hj, ⋯, zkj (1 + ϵ) hj) Т. Производная F (Zh) по ϵ тогда выражается как

(2.35) ∂∂ϵF (Zh) = ∑i = 0kzij∂∂zijF (Zh) = ∑i = 0kzij∂∂zijF (Z) (1 + ϵ) αj∏l = 0nhlαl

где на последнем шаге мы использовали соотношение из (2.29):

(2.36) F (Zh) = F (Z) (1 + ϵ) αj∏l = 0nhlαl

Тогда ту же производную можно выразить как

(2.37) ∂∂ϵF (Zh) = αjF (Z) (1 + ϵ) αj − 1∏l = 0khlαl

Таким образом, полагая ϵ = 0, мы можем вывести уравнение (2.3).

Другое уравнение (2.4) для F (Z) следует из определения Φ. Из (2.8) и (2.9) находим, что Φ удовлетворяет

(2.38) ∂Φ∂zip = αiτpli (τ) Φ

. Это соотношение приводит к

(2.39) ∂2Φ∂zip∂zjq = αiαjτpτqli (τ) lj (τ) Φ = ∂2Φ∂ziq∂zjp

, что автоматически выводит уравнение (2.4).

Таким образом, интеграл F (Z) в (2.7) действительно удовлетворяет определяющим уравнениям (2.2) — (2.4) обобщенных гипергеометрических функций на Gr (k + 1, n + 1). Грассманово пространство Gr (k + 1, n + 1) определяется как набор из (k + 1) -мерных линейных подпространств в (n + 1) -мерном комплексном векторном пространстве Cn + 1 . Он определяется как

(2.40) Gr (k + 1, n + 1) = Z˜ / GL (k + 1, C)

, где Z˜ представляет собой (k + 1) × (n + 1) комплексный матрицы с рангом Z˜ = k + 1.Рассмотрим некоторую матрицу M и предположим, что существует ненулевой r -мерный минорный определитель M . Тогда ранг M в целом определяется наибольшим количеством таких r . Таким образом, Z˜ не совсем то же самое, что Z , определенное в (2.25). Z˜ более расслаблен, поскольку допускает обращение в нуль некоторых (k + 1) -мерных минорных детерминантов, то есть Z˜Z˜. В этом смысле F (Z) принято называть обобщенными гипергеометрическими функциями на Gr (k + 1, n + 1), и мы следуем этому соглашению в настоящей заметке.

Непроектируемая формулировка

В терминах однородной координаты τ = (τ0, τ1, ⋯, τk) однородные координаты на CPk, координаты на Ck могут быть параметризованы как

(2.41) t1 = τ1τ0неопределено, undefinedt1 = τ1τ0undefined, undefined ⋯ undefined, undefinedtk = τkτ0

Для простоты мы теперь фиксируем (z00, z10, ⋯, zn0) T на (1,0, ⋯, 0) T, , т.е. ,

(2.42) Z = (1z01z02 ⋯ z0n0z11z12 ⋯ z1n ⋮⋮⋮⋮ 0zk1zk2 ⋯ zkn)

Тогда подынтегральное выражение F (Z) можно выразить как

(2.43) Φω = τ0α0∏j = 1n (τ0z0j + τ1z1j + ⋯ + τkzkj) αjundefinedundefined × ∑i = 0k (−1) iτidτ0∧dτ1∧ ⋯ ∧dτi − 1∧dτi + 1∧ ⋯ ∧dτk = ∏j = 1n z0j + τ1τ0z1j + ⋯ + τkτ0zkj) αjd (τ1τ0) ∧d (τ2τ0) ∧ ⋯ ∧d (τkτ0) = Φ˜ω˜

, где мы используем (2.6) и определяем Φ˜, ω˜ как

(2.44) Φ ˜ = ∏j = 1nl˜j (t) αj

(2.45) l˜j (t) = z0j + t1z1j + t2z2j + ⋯ + tkzkjundefinedundefinedundefinedнеопределенонеопределено (1≤j≤n)

(2.46) ω˜ = dt1∧dt2 ∧ ⋯ ∧dtk

Показатели αj (j = 1,2, ⋯, n) также накладываются на нецелые условия αj∉Z и α1 + α2 + ⋯ + αn∉Z. Многозначная функция Φ˜ теперь определена в следующем пространстве

(2.47) X˜ = Ck − ⋃j = 1nH˜j

, где

(2.48) H˜j = {t∈Ck; undefinedl˜j (t) = 0}

Это непроектируемые версии (2.11 ) и (2.12).

Как и раньше, из Φ˜ мы можем определить локальные системы L˜, L˜∨ ранга 1 на X˜, которые приводят к k -м группам гомологий и когомологий Hk (X˜, L˜∨) и Hk (X˜, L˜). Тогда интеграл по Φ˜ω˜ определяется как

(2.49) F (Z) = ∫Δ˜Φ˜ω˜

, где [Δ˜] = Hk (X˜, L˜∨) и [ω˜] = Hk (X˜, L˜).

Что касается группы когомологий Hk (X˜, L˜), Аомото показывает следующую теорему ³ :

1.

Размерность Hk (X˜, L˜) определяется выражением (n − 1k).

2.

Базис Hk (X˜, L˜) может быть образован dlog⁡l˜j1∧dlog⁡l˜j1∧ ⋯ ∧dlog⁡l˜jk, где 1≤j1

Соответственно, группа гомологий Hk (X˜, L˜∨) имеет размерность (n − 1k), и ее базис может быть образован конечными областями, ограниченными H˜j. В терминах l˜j базис Hk (X˜, L˜) также можно выбрать в виде [28]:

(2.50) φj1j2… jk = dlog⁡l˜j1 + 1l˜j1∧dlog⁡l˜j2 + 1l˜j2∧ ⋯ ∧dlog⁡l˜jk + 1l˜jk

, где 1≤j1

Умножьте вход на константу — Simulink

Установите этот флажок ( на ).

В вашей модели возможно переполнение, и вы хотите явного защита от насыщения в сгенерированном коде.

Переполнение достигает минимального или максимального значения, которое тип данных может представлять.

Максимальное значение, которое int8 (со знаком, 8-битное целое число) тип данных может представлять 127. Любой блок результат операции больше, чем это максимальное значение, вызывает переполнение 8-битного целого числа. При установленном флажке блок выход насыщается на 127. Точно так же выход блока насыщается при минимальном выходном значении -128.

Не устанавливайте этот флажок ( от ).

Вы хотите повысить эффективность сгенерированного кода. Вы хотите избежать чрезмерного определения того, как блок обрабатывает сигналы вне диапазона. Для получения дополнительной информации см. Устранение ошибок диапазона сигналов.

Переполнение переносится на соответствующее значение, которое можно представить по типу данных.

Максимальное значение, которое int8 (со знаком, 8-битное целое число) тип данных может представлять 127. Любой блок результат операции больше, чем это максимальное значение, вызывает переполнение 8-битного целого числа.Если флажок снят, программное обеспечение интерпретирует значение, вызывающее переполнение, как int8 , что может привести к непредвиденному результату. Например, результат блока 130 (двоичный 1000 0010) выражен как int8 , это -126.

Правила исчисления — многомерные

Правила исчисления — многомерные

---

Добавленные переменные, те же методы

В реальном мире очень сложно объяснить поведение как функцию только одной переменной, и экономика ничем не отличается.Более конкретные экономические интерпретации будут обсуждаться в следующем разделе, а пока мы просто сконцентрируйтесь на разработке техник, которые мы будем использовать.

Во-первых, чтобы определить сами функции. Мы хотим описать поведение где переменная зависит от двух или более переменных. Каждое правило и обозначения, описанные с этого момента, одинаковы для двух переменных, трех переменных, четыре переменные и так далее, поэтому мы воспользуемся простейшим случаем; функция двух независимые переменные.Обычно z является зависимой переменной (например, y в функциях одной переменной), а x и y — независимые переменные (например, x в одномерных функциях):

Например, предположим, что следующая функция описывает некоторое поведение:

Дифференциация этой функции по-прежнему означает одно и то же — мы все еще ищем для функций, которые дают нам наклон, но теперь у нас есть более одной переменной, и более одного ската.

Визуализируйте это, вспомнив из графика, что функция с двумя независимыми переменными выглядит так. В то время как двумерный изображение может представлять одномерную функцию, наша функция z выше может быть представлена как трехмерная форма. Считайте, что переменные x и y измеряются. по сторонам шахматной доски. Тогда каждая комбинация x и y будет карту на квадрат где-нибудь на шахматной доске. Например, предположим, что x = 1 и y = 1. Начните с одного из углов шахматной доски.Тогда двигайся один квадрат на стороне x для x = 1 и один квадрат на доске, чтобы представить у = 1. Теперь вычислите значение z.

Функция z принимает значение 4, которое мы отображаем как высоту 4 над квадрат, представляющий x = 1 и y = 1. Составьте карту всей функции таким образом, и в результате будет форма, обычно похожая на гору. пик типичных задач экономического анализа.

А теперь вернемся к склону.Представьте себе, что вы стоите на форме горы, глядя параллельно в сторону x шахматной доски. Если вы позволите x увеличиться, удерживая y постоянная, то вы двигаетесь вперед по прямой вдоль горы форма. Наклон в этом направлении определим как изменение z переменная или изменение высоты фигуры в ответ на движение вдоль шахматной доски в одном направлении, или изменение переменной x, удерживая y постоянная.

Формально это определение: частная производная z по to x — это изменение z при заданном изменении x при постоянном y. Обозначения, как и раньше, могут быть разными. Вот несколько распространенных вариантов:

Теперь вернитесь к форме горы, поверните на 90 градусов и проделайте тот же эксперимент. Теперь мы определяем второй наклон как изменение высоты функции z в ответ на движение вперед по шахматной доске (перпендикулярно движение, измеренное первым вычислением уклона), или изменение переменной y, сохраняя постоянную переменную x. Типовые обозначения для этой операции будет

Следовательно, исчисление функций многих переменных начинается с взятия частных производных, другими словами, поиск отдельной формулы для каждого из уклонов, связанных с изменениями одной из независимых переменных поочередно.Перед мы обсуждаем экономические приложения, давайте рассмотрим правила частичной дифференциации.

Основные правила частичной дифференциации

Правила частичного дифференцирования следуют той же логике, что и правила одномерного дифференциация. Единственная разница в том, что мы должны решить, как относиться к другой переменной. Напомним, что в предыдущем разделе наклон был определяется как изменение z для данного изменения x или y, содержащее другую переменную постоянный.Вот наша подсказка, как обращаться с другой переменной. Если мы будем держать его постоянным, это означает, что независимо от того, как мы его называем или какую переменную имя, которое у него есть, мы рассматриваем его как константу. Предположим, например, что у нас есть следующее уравнение:

Если мы берем частную производную z по x, то y равен рассматривается как постоянная величина. Поскольку он умножается на 2 и x и является постоянным, он также определяется как коэффициент при x. Следовательно,

Следовательно, если все другие переменные остаются постоянными, тогда частная производная правила работы с коэффициентами, простыми степенями переменных, константами, и суммы / различия функций остаются неизменными и используются для определения функция наклона для каждой независимой переменной.Давайте использовать функция из предыдущего раздела для иллюстрации.

Во-первых, дифференцируем по x, сохраняя y постоянным:

Обратите внимание, что в первом члене не было переменных y, поэтому дифференциация была точно так же, как одномерный процесс; в последнем члене не было x переменных, следовательно, производная равна нулю в соответствии с правилом констант, поскольку y равно рассматривается как постоянная величина.

Теперь возьмем частную производную по y при постоянном x:

Опять же, обратите внимание, что в первом члене не было «переменных», поскольку x рассматривается как константа, поэтому производная этого члена равна 0.

Чтобы получить четкое изображение более чем одного наклона функции, давайте оценим две частные производные в точке функции, где х = 1 и у = 2:

Как мы интерпретируем эту информацию? Во-первых, обратите внимание, что когда x = 1 и y = 2, то функция z принимает значение 3.На данный момент на нашем «гора» или трехмерная форма, мы можем оценить изменение функция z в 2-х разных направлениях. Во-первых, изменение z относительно к x равно 10. Другими словами, наклон в направлении, параллельном Ось x равна 10. Теперь поверните на 90 градусов. Уклон в перпендикулярном направлении к нашему предыдущему уклону 6, поэтому не такой крутой. Также обратите внимание что, хотя каждый наклон зависит от изменения только одной переменной, положение или фиксированное значение другой переменной имеет значение; так как вам нужны как x, так и y, чтобы фактически вычислить числовые значения наклона.Добро пожаловать назад к этому в следующем разделе и рассмотрим экономический смысл этого родство. Но сначала вернемся к правилам.

Правила произведения и отношения функций следуют точно такой же логике: держать все переменные постоянными, кроме той, которая изменяется, чтобы определить наклон функции по отношению к этой переменной. К проиллюстрируем правило продукта, сначала давайте переопределим правило, используя частичное обозначение дифференцирования:

Теперь используйте правило произведения, чтобы определить частные производные следующих функция:

Чтобы проиллюстрировать правило частного, сначала переопределите правило, используя частичное дифференцирование. обозначение:

Используйте новое правило частного, чтобы взять частные производные следующих функция:

Не очень простые правила частичной дифференциации

Как и в предыдущем одномерном разделе, у нас есть два специализированных правила. что теперь мы можем применить к нашему многомерному случаю.

Во-первых, обобщенная мощность функция правила. Опять же, нам нужно скорректировать обозначения, а затем правило можно применять точно так же, как и раньше.

Когда многомерная функция принимает следующий вид:

Тогда правило взятия производной:

Используйте правило степени для следующей функции, чтобы найти две частные производные:

Правило цепочки составных функций обозначение также может быть скорректировано для многомерного случая:

Тогда частные производные z по двум независимым переменным определены как:

Давайте сделаем тот же пример, что и выше, на этот раз используя составную функцию обозначение, в котором функции внутри функции z переименовываются.Обратите внимание, что любое правило может использоваться для этой проблемы, поэтому, когда это необходимо к проблеме представления более формальной записи составных функций? По мере усложнения проблемы переименование частей составной функции — лучший способ отслеживать все составляющие проблемы. Это немного отнимает больше времени, но ошибки внутри проблемы менее вероятны.

Последний шаг такой же, замените u на функцию g:

Частные случаи в функциях многих переменных

Последние два частных случая многомерного дифференцирования также следуют та же логика, что и их одномерные аналоги.

Правило дифференцирования многомерных натуральных логарифмических функций, с соответствующими изменениями обозначений выглядит следующим образом:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

Приведем пример. Найдите частные производные следующих функция:

Правило взятия частичных от экспоненциальных функций можно записать как:

Тогда частные производные z по независимым переменным определены как:

В последний раз мы ищем частные производные следующей функции используя экспоненциальное правило:

Частные производные высшего порядка и кросс-частные производные

История усложняется, когда мы берем производные более высокого порядка. многомерных функций.Интерпретация первой производной остается прежним, но теперь необходимо рассмотреть две производные второго порядка.

Во-первых, это прямая производная второго порядка. В этом случае многомерная функция дифференцируется один раз относительно независимого переменная, сохраняющая все остальные переменные постоянными. Затем результат дифференцируется второй раз, снова по той же независимой переменной. В такой функции, как следующая:

Есть 2 прямые частные производные второго порядка, как показано следующие примеры обозначений:

Эти вторые производные можно интерпретировать как скорость изменения два наклона функции z.

Теперь история немного усложняется. Крестовина, f _xy и f _yx определяются следующим образом. Сначала возьмите частная производная z по x. Затем возьмем производную снова, но на этот раз возьмем его относительно y и оставим x постоянным.