Сформулируйте правило умножения для двух испытаний: Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

Содержание:

• Формулировка теоремы умножения вероятностей
• Примеры решения задач

Формулировка теоремы умножения вероятностей

Теорема

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

$P(A B)=P(A) \cdot P(B | A)$

Событие $A$ называется \lt strong>независимым от события \lt /strong>$B$, если вероятность события $A$ не зависит от того, произошло событие $B$ или нет. Событие $A$ называется зависимым от события $B$, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло событие $B$ или нет.

Вероятность события $A$, вычисленная при условии, что имело место другое событие $B$, называется \lt strong>условной вероятностью события \lt /strong> $A$ и обозначается $P(A | B)$ .

Условие независимости события $A$ от события $B$ можно записать в виде:

$$P(A | B)=P(A)$$

а условие зависимости — в виде:

$$P(A | B) \neq P(A)$$

Следствие 1. Если событие $A$ не зависит от события $B$, то и событие $B$ не зависит от события $A$ .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P(A B)=P(A) \cdot P(B)$$

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right) \cdot P\left(A_{3} | A_{1} A_{2}\right) \cdots \cdots P\left(A_{n} | A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\right)$$

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

$$P\left(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right) \cdot P\left(A_{3}\right) \cdot \ldots \cdot P\left(A_{n}\right)$$

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

$$P\left(\prod_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\prod_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара и назад не возвращаются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие $A$ — появление двух белых шаров. Это событие представляет собой произведение двух событий:

$$A=A_{1} A_{2}$$

где событие $A_1$ — появление белого шара при первом вынимании, $A_2$ — появление белого шара при втором вынимании. Тогда по теореме умножения вероятностей

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2} | A_{1}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=0,1$$

Ответ. $0,1$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. После первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. В данном случае события $A_1$ и $A_2$ независимы, а тогда искомая вероятность

$$P(A)=P\left(A_{1} A_{2}\right)=P\left(A_{1}\right) \cdot P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}=0,16$$

Ответ. $0,16$

Правила вероятности

Условная вероятность

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.

Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.

• Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:

  Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.

• Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:

  Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 =  0,45.

Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло. 

Пусть  — фиксированное вероятностное пространство. Пусть  — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :

Эта формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса

Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:

Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли

Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных. 

Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки. 

Примем это за гипотезу. 

Для её проверки имеется огромный статистический материал. 

Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек. 

Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами? 

Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» .

 

Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной 

Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное). 

Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения. 

Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы). 

Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым  (будем называть  уровнем значимости), можно утверждать, например, что

с вероятностью, где   определяется из условия с помощью нормальной функции распределения

( называется квантилем уровня). Скажем,  отвечает , а  уже соответствует 

Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение

Оно далеко выходит за границу 

Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?

Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем

с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).

В этом смысле можно утверждать, например, что  с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при  с уровнем значимости ).

Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.

Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события

В начало

Содержание портала

Правило умножения в вероятности

Горячая математика

Если А и Б два независимые события в вероятность опыта, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна:

п ( А и Б ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( Б )

В случае зависимые события , вероятность того, что оба события произойдут одновременно, равна:

п ( А и Б ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( Б | А )

(Обозначение п ( Б | А ) означает «вероятность Б , Учитывая это А произошло. «)

Пример 1:

У вас есть ковбойская шляпа, цилиндр и индонезийская шляпа под названием сонгкок. У вас также есть четыре рубашки: белая, черная, зеленая и розовая. Если вы выберете одну шляпу и одну рубашку наугад, какова вероятность того, что вы выберете сонгкок и черную рубашку?

Эти два события являются независимыми событиями; выбор шляпы не влияет на выбор рубашки.

Есть три разных шляпы, поэтому вероятность выбора сонгкока равна 1 3 . Есть четыре разных рубашки, поэтому вероятность выбора черной рубашки равна 1 4 .

Итак, по правилу умножения:

п ( сонгок и черная рубашка ) знак равно 1 3 ⋅ 1 4 знак равно 1 12

Пример 2:

Предположим, вы достаете из стандартной колоды две карты одну за другой, не заменяя первую карту.

Какова вероятность того, что первая карта туз пик, а вторая карта черва?

Два события являются зависимыми событиями, поскольку первая карта не заменяется.

В колоде есть только один туз пик 52 открытки. Так:

п ( 1 ул. карта туз пик ) знак равно 1 52

Если туз клеток вытащен первым, то есть 51 карт, оставшихся в колоде, из которых 13 это сердца:

п ( 2 й карта – сердце | 1 ул. карта — туз пик ) знак равно 13 51

Итак, по правилу умножения вероятности имеем:

п ( туз пик, затем черва ) знак равно 1 52 ⋅ 13 51 знак равно 13 4 ⋅ 13 ⋅ 51 знак равно 1 204

Что такое правило умножения вероятности? (Видео и практика)

TranscriptPractice

Привет, и добро пожаловать в это видео о правиле умножения вероятности!

Чтобы освежить вашу память, вероятность — это мера вероятности того, что данное событие произойдет.

Осознаете вы это или нет, но каждый божий день вы используете вероятность, чтобы делать выбор и принимать решения в своей повседневной жизни. Например, если вы просыпаетесь с 80-процентной вероятностью дождя, вы, скорее всего, возьмете с собой на работу зонтик. Питчер, столкнувшийся с отбивающим со средним показателем 0,347, скорее всего, будет подавать осторожно и стратегически.

«Вероятность дождя 80 %» — это еще один способ сказать, что из 100 дней с такой конкретной погодой в 80, скорее всего, будет дождь. Среднее количество ударов 0,347 указывает на то, что отбивающий в среднем наносит 347 ударов из 1000 ударов летучими мышами.

Это просто вероятности одного события. Чтобы определить вероятность возникновения нескольких событий, нам нужно использовать правило умножения вероятности. Чтобы понять это правило, нам нужно глубже погрузиться в область вероятностей.

Независимые и зависимые события

Во-первых, важно различать независимые и зависимые события.

Два события независимы друг от друга, если появление первого не влияет на второе. Например, монету можно подбросить дважды, но независимо от того, какая сторона выпадет после первого подбрасывания, при втором подбрасывании шанс выпадения орла или решки составляет 50/50.

В отличие от этого, предположим, что вы делаете два выбора из стандартной колоды карт и выбираете туза при первом выборе, не возвращая его обратно в колоду. Вероятность вашего второго выбора изменилась, потому что теперь у вас на одну карту меньше в колоде. Эти два выбора будут зависимыми, поскольку первый из них оказывает влияние и влияет на вероятность второго выбора.

Исходя из этого, давайте копнем глубже и исследуем еще один элемент вероятности — что, если вы хотите определить вероятность двух событий, происходящих в последовательности?

Определение вероятности нескольких событий

Пример 1

В качестве примера предположим, что у вас есть традиционный шестигранный кубик и вы хотите определить вероятность выпадения 2 при первом броске И 3 при втором броске.

Поскольку каждое число появляется на кубике только один раз, мы знаем, что вероятность выпадения 2 равна 1 из 6. Помните, что, поскольку числа на кубике не меняются независимо от того, сколько раз его бросают, выпадение кости будут считаться независимыми событиями. Следовательно, вероятность выпадения 3 при втором броске также равна 1 из 6.

Но как определить вероятность ОБОИХ событий? Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся правилом умножения вероятности.

Это правило гласит, что если вы хотите найти вероятность того, что произойдут как событие A, так и событие B, вы должны умножить вероятность события A на вероятность события B.

В нашем примере событие A будет вероятностью выпадение 2 при первом броске, то есть \(\frac{1}{6}\). Событие B будет выбрасывать 3 при втором броске, вероятность которого также равна \(\frac{1}{6}\).

Следовательно, чтобы найти вероятность того, что произойдут оба этих события, мы должны взять вероятность события A и умножить ее на вероятность события B.

\(\frac{1}{6} \times \frac {1}{6}\)

 

Умножение числителей даст нам 1, а умножение знаменателей даст нам 36, что даст нам ответ 1 на 36.

\(\frac{1}{ 6} \times \frac{1}{6}= \frac{1}{36}\)

 

Это означает, что, по всей вероятности, человек будет выбрасывать 2, а затем 3 один раз в каждые 36 попытки.

Пример 2

Рассмотрим другой пример.

Допустим, у вас есть стандартная колода карт, и вы хотите определить вероятность того, что сначала выпадет король червей, а затем любая карта червовой масти.

Давайте рассмотрим эту задачу по одному событию за раз.

Первое событие — розыгрыш червового короля. Мы знаем, что в стандартной колоде 52 карты, и в каждой колоде есть только один король червей. Следовательно, вероятность вытянуть короля червей равна \(\frac{1}{52}\).

Теперь давайте рассмотрим второе событие — вытягивание одной из оставшихся карт червовой масти. Помните, что второе событие является зависимым событием. Это означает, что он должен отражать изменения обстоятельств, вызванные первым событием.

Вот что я имею в виду: Обычно в колоде 13 карт каждой масти. Но так как червового короля мы уже вытащили, то в червовой масти осталось всего 12 карт. Если мы запишем нашу вероятность в виде дроби, это даст нам 12 в нашем числителе для 12 оставшихся червей.

И хотя в стандартной колоде обычно 52 карты, поскольку мы уже вытащили одну карту, осталась только 51 карта. Это дает нам 51 в нашем знаменателе и вероятность \(\frac{12}{51}\) для второго события.

Следуя правилу умножения, мы должны умножить \(\frac{1}{52}\) и \(\frac{12}{51}\).

\(\frac{1}{52} \times \frac{12}{51}\)

 

Умножение числителей даст нам 12, а умножение знаменателей, 52 и 51, даст нам 2652, что дает нам вероятность \(\frac{12}{2652}\). Поскольку и числитель, и знаменатель являются четными числами, мы знаем, что их можно упростить, по крайней мере, разделив оба на 2. В этом случае мы действительно можем разделить оба на 12, что даст нам окончательный ответ \(\frac{1} {221}\). Это означает, что вероятность вытянуть короля червей, за которым следует еще одна карта червовой масти, будет один раз на каждые 221 попытку.

Итак, помните, чтобы определить вероятность возникновения нескольких событий, просто умножьте вероятность события A на вероятность события B, по возможности упростив дроби.

Надеюсь, отзыв был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Таблица умножения и печатные формы

 

Практические вопросы

Вопрос №1:

 
Какой сценарий описывает два независимых событий?

Неоплата счета за электроэнергию, а затем отключение электричества.

Незаконная парковка, а затем получение парковочного талона.

Сначала сесть в самолет, а потом найти хорошее место.

Завести собаку, а потом посадить цветник.

Показать Ответ

Ответ:

Зависимые события описывают ситуации, когда первое событие оказывает прямое влияние на второе событие. Например, если вы припарковались неправильно, в результате вы, скорее всего, получите штраф. Первое событие влияет на второе событие. Только один предоставленный сценарий является примером независимых событий. Посадка цветника не зависит от того, есть ли у вас собака. Два события независимы друг от друга.

Скрыть ответ

Вопрос №2:

 
Определите вероятность того, что на обычном игральном кубике выпадет шестерка, а затем пятерка.

\(\frac{1}{6}\)

\(\frac{2}{6}\)

\(\frac{1}{36}\)

\(\frac{2 }{36}\)

Показать ответ

Ответ:

При определении вероятности двух или более событий вероятность первого события можно умножить на второе событие. В этом примере вероятность выпадения шестерки равна \(\frac{1}{6}\), а вероятность выпадения пятерки также равна \(\frac{1}{6}\). Правило умножения вероятности гласит, что \(\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\) будет вероятностью того, что произойдут оба события: \(\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\)

Скрыть ответ

Вопрос № 3:

 
Определите вероятность того, что выпадет нечетное число, а затем число больше семи.

\(\frac{1}{10}\)

\(\frac{2}{10}\)

\(\frac{1}{9}\)

\(\frac{ 3}{3}\)

Показать ответ

Ответ:

Для решения этой задачи можно использовать правило умножения вероятности. Вероятность выпадения нечетного числа равна \(\frac{5}{10}\), а вероятность выпадения числа больше семи равна \(\frac{2}{10}\). Когда эти две вероятности перемножаются, мы видим, что наш ответ равен \(\frac{10}{100}\), или в простейшей форме \(\frac{1}{10}\).

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
В классе из 30 учеников 8 учеников занимаются в кружке искусств, 12 учеников в драматическом кружке и 17 учеников в футбольном клубе. Какова вероятность случайного выбора студента, который участвует в драматическом кружке?

\(\frac{2}{5}\)

\(\frac{15}{6}\)

\(\frac{5}{3}\)

\(\frac{12 }{35}\)

Показать Ответ

Ответ:

В драматическом кружке 12 учеников, всего 30 учеников. Это означает, что 12 из 30 студентов находятся в драматическом клубе. Эта дробь представляет вероятность \(\frac{12}{30}\) или, в простейшей форме, \(\frac{2}{5}\).

Скрыть ответ

Вопрос №5:

 
В мешке 20 шариков. 12 шариков красного цвета и 8 шариков зеленого цвета.