Порядок выполнения математических действий
Contents
- Порядок выполнения действий:
- 38 – (10 + 6) = 22;
- 10 ÷ 2 × 4 = 20;
- 18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7
- 30 + 6 × (13 – 9) = 54 , т.е.:
- Отзывов (58)
Читаем выражение слева направо и выбираем порядок действий по приоритету. Сначала выполняем действия в скобках. Затем умножение и/или деление. Далее складываем и вычитаем.
Если скобки имеют несколько вложений, то есть если внутри скобок есть ещё скобки, то сначала выполняем действия во внутренних скобках. Для простоты понимания, выражение в скобках можно воспринимать как самостоятельное выражение, то есть как отдельный пример, который надо решить. Внутри скобок действия выполняются согласно тому же порядку: Действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Умножение и деление не имеет между собой приоритета и выполняются слева направо, также как и сложение с вычитанием.
38 – (10 + 6) = 22;Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках
1) в скобках: 10 + 6 = 16 ;
2) вычитание: 38 – 16 = 22 .
Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.
10 ÷ 2 × 4 = 20;Порядок выполнения действий:
1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5 ;
2) умножение: 5 × 4 = 20 ;
10 + 4 – 3 = 11 , т.е.:
Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.
18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7Порядок выполнения действий:
4) 9 – 6 = 3 ; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;
5) 3 + 4 = 7 ; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.
1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4 ;
2) умножение: 6 × 4 = 24 ;
3) сложение: 30 + 24 = 54 ;
Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:
1) действия, заключенные в скобках;
2) умножение и деление;
3) сложение и вычитание.
Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта“.
- Продолжаем рубрику «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В.Продолжаем тему «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В.Продолжим изучение предметов, которые изучают наши дети в начальной школе.Продолжим изучение программы математики в начальной школе и на этот.Одним из простых арифметических действий является деление.
Понравилась статья – поделитесь с друзьями:
Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже
Отзывов (58)
Полезная статья. Спасибо!
Очень все понятно. Для детей важна такая разъяснительная работа. Где Вы были, когда я пошла в школу?
)) Покажу сыну, пусть изучает. Я это вроде все помню. Спасибо )
Спасибо, сайт нужный. Честно говоря, уже кое – что подзабыла, а уроки с внучкой делаем. Вот, вспомнилось…
Очень необычная тематика сайта. Но тем, наверное, он и интересен. Иногда не знаешь, как объяснить ребенку тот или иной материал школьной программы.
Какое подспорье для родителей. И полезности для деток. Не всегда они материал усваивают в школе.
Сам учитель. Сайт очень полезный. Детям и родителям – хорошее подспорье
Вы взяли пример из головы, в начальной школе не изучают отрицательных чисел, а также не оперируют такими большими числами. Результат пятого действия будет отрицательным.
Но попробуем решить данный пример:
1) Выражение в скобках: 64385 – 39288 = 25097
Далее умножение:
2) 4217 * 4 = 16868
3) 25097 * 3 = 75291
4) 321 * 1000 = 321000
Теперь слева на право
5) 16868 – 75291 = -58423 (. )
Это уже шестой класс, тема “Сложение положительных и отрицательных чисел”
6) -58423 + 321000
От перемены мест слагаемых сумма не меняется:
321000 + (-58423) = 321000 – 58423 = 262577
Помогите люди добрые.
Я тут читал кое где в иностранной литературе, что если в выражении есть действия двух уроовней 1(сложение и вычитание) и 2 (умножение и деление)
к примеру 20-6:3х2+2=
то в первую очередь должно выполнятся действия 2-ого уровня, потом 1-го. Но загвоздка с тем, что говорится – надо выполнить сперва умножение а потом деление, а не как нас учили по правилу слева направо.
Объясните плз.
Обязательно слева на право, так как умножение и деление равноценны. Но, если представить умножение в виде дроби:
тогда 2 перенесется в числитель и первым выполняется умножение
(6 * 2)/3 = (6:3)*2 = 4.
То есть порядок выполнения важен!
Помогите решить пример у всех расходятся ответы
6/2*(1+2)
ответь пожалуйста
Если 6 : 2 * (1 + 2) =
1) 1 + 2 = 3
2) 6 : 2 = 3
3) 3 * 3 = 9
Если
6
———-
2 * (1 + 2)
то есть 6 : (2 * (1 + 2))
1) 1 + 2 = 3
2) 2 * 3 = 6
3) 6 : 6 = 1
Это два разных примера.
Если
6 * (1 + 2)
———–
2
1) 1 + 2 = 3
2) 6 * 3 = 18
3) 18 : 2 = 9
Это тот же первый вариант
Если Вы правильно написали, то это первый вариант и ответ 9
Очень жаль, если вы этому детей учите.. Примеры 6:2*(1+2) и 6/2*(1+2) одинаковые… никогда не было такого, чтобы черта дроби и двоеточие означали разные действия или определяли порядок действий.
В данном случае необходимо также учесть правило раскрытия скобок:
6:2*(1+2) = 6:(2*1 + 2*2) = 6:(2+4) = 6:6 = 1 – единственный верный ответ.
6:2*(1+2) и 6/2*(1+2) это абсолютно эквивалентные записи (то есть одинаковые).
Порядок действий следующий:
1) 1+2 = 3
2) 6:2 = 3
3) 3*3 = 9
Ваш вариант с раскрытием скобок будет верен, если запись выражения будет следующей:
6:(2*(1+2)) = 1;
Ваше недоумение понятно, оно имеет глубокие исторические корни, в старых учебниках по алгебре можно встретить упоминание о именно такой последовательности действий, как предлагаете вы. Это связанно с неоднозначностью интерпретации записи. Но в наше время это разночтение устранено. Так что не надо забивать людям голову неверной информацией, а тем более забивать этими пережитками прошлого головы детей.
Простой пример. Ребенок на уроке информатики на языке Паскаль запишет y:=6:2*(1+2) и, поверьте мне, получит y=9. Не ломайте детскую психику.
В связи с порядком действий бывают забавные ситуации когда человеку в руки попадает калькулятор с обратной польской записью, а он и понятия не имеет об этом. И начинается “Святая Война за Истину”. Будьте проще, меньше пафоса, мы все люди и нам свойственно ошибаться. Добра Вам.
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.§ 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.)ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения.§ 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел
Цели обучения
- Использование сложения, вычитания, умножения и деления при оценке выражений с целыми числами
Работа с целыми числами и выполнение основных вычислений — основа всей математики. Мы предполагаем, что вы помните, как выполнять сложение, вычитание, умножение и деление однозначных чисел. Вы часто будете иметь под рукой калькулятор для выполнения этих расчетов, но быстрое освежение знаний поможет вам лучше понять, как работать с числами, чтобы сложные уравнения не вызывали у вас затруднений.
Дополнение
пример
Добавление: [латекс]28+61[/латекс]
Решение
Чтобы складывать числа, состоящие из более чем одной цифры, часто проще писать числа вертикально в столбцах.
| Запишите числа так, чтобы единицы и десятки располагались вертикально. | [латекс]\begin{array}{c}\hfill 28\\ \\ \hfill \underset{\text{____}}{+61}\end{array}[/latex] |
| Затем добавьте цифры в каждое разрядное значение. Добавьте единицы: [латекс]8+1=9[/латекс] Добавьте десятки: [латекс]2+6=8[/латекс] | [латекс]\begin{array}{c}\hfill 28\\ \\ \hfill \underset{\text{____}}{+61}\\ \hfill 89\end{array}[/latex] |
В предыдущем примере сумма единиц и сумма десятков были меньше [латекс]10[/латекс]. Но что произойдет, если сумма [latex]10[/latex] или больше? Давайте воспользуемся нашей моделью base-[latex]10[/latex], чтобы выяснить это.
На приведенном ниже рисунке показано добавление [латекс]17[/латекс] и [латекс]26[/латекс].
Когда мы добавляем единицы, [латекс]7+6[/латекс], мы получаем [латекс]13[/латекс] единиц. Поскольку у нас их больше, чем [латекс]10[/латекс], мы можем обменять [латекс]10[/латекс] из них на [латекс]1[/латекс] десять. Теперь у нас есть [латекс]4[/латекс] десятки и [латекс]3[/латекс] единицы. Не используя модель, мы показываем это как маленький красный [латекс]1[/латекс] над цифрами в разряде десятков.
Когда сумма в столбце разряда больше, чем [latex]9[/latex], мы переносимся в следующий столбец слева. Перенос — это то же самое, что перегруппировка путем обмена. Например, [latex]10[/latex] единиц для [latex]1[/latex] десяти или [latex]10[/latex] десятков для [latex]1[/latex] сотен.
Сложите целые числа
- Запишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
- Добавьте цифры в каждое разрядное значение. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если сумма в разряде больше, чем [latex]9[/latex], выполняется перенос к следующему разряду.
- Продолжайте добавлять каждое разрядное значение справа налево, добавляя каждое разрядное значение и перенося при необходимости.
пример
Добавить: [латекс]43+69[/латекс]
Показать ответ
попробуй
попробуй
Если слагаемые имеют разное количество цифр, будьте осторожны, чтобы выровнять соответствующие разрядные значения, начиная с единиц и двигаясь влево.
Пример
Добавить: [латекс]1,683+479[/латекс].
Показать ответ
попробуй
Вычитание
Сложение и вычитание являются обратными операциями. Сложение отменяет вычитание, а вычитание отменяет сложение.
Мы знаем [латекс]7 — 3=4[/латекс], потому что [латекс]4+3=7[/латекс]. Знание всех фактов сложения чисел поможет с вычитанием. Затем мы можем проверить вычитание, сложив. В приведенных выше примерах наши вычитания можно проверить сложением.
| [латекс]7-3=4[/латекс] | потому что | [латекс]4+3=7[/латекс] |
| [латекс]13-8=5[/латекс] | потому что | [латекс]5+8=13[/латекс] |
| [латекс]43-26=17[/латекс] | потому что | [латекс]17+26=43[/латекс] |
Чтобы вычесть числа, состоящие из более чем одной цифры, обычно проще писать числа вертикально в столбцах, как мы это делали для сложения. Выровняйте цифры по разрядности, а затем вычтите каждый столбец, начиная с единиц, и затем работайте влево.
Упражнение
Вычтите, а затем проверьте, добавив: [латекс]89 — 61[/латекс].
Показать ответ
ПОПРОБУЙТЕ
Вычтите целые числа
- Запишите числа так, чтобы каждое разрядное значение располагалось вертикально.
- Вычтите цифры из каждого разряда. Работайте справа налево, начиная с места единиц. Если цифра сверху меньше, чем цифра снизу, заимствуйте по мере необходимости.
- Продолжайте вычитать значение каждого разряда справа налево, при необходимости заимствуя.
- Проверить добавлением.
упражнение
Вычесть: [латекс]43 — 26[/латекс].
Показать ответ
В приведенном выше примере, если мы моделируем вычитание [латекс]26[/латекс] из [латекс]43[/латекс], мы заменим [латекс]1[/латекс] десять на [латекс]10[/латекс] те. Когда мы делаем это без моделей, мы говорим, что заимствуем [латекс]1[/латекс] из разряда десятков и добавляем [латекс]10[/латекс] к разряду единиц.
попробуйте
Упражнение
Вычтите и затем проверьте, добавив: [латекс]207 — 64[/латекс].
Показать ответ
попробуйте
Упражнение
Вычтите и затем проверьте, добавив: [латекс]2,162 — 479[/латекс].
Показать ответ
попробуйте
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример вычитания целых чисел путем выстраивания разрядных значений.
Умножение
Чтобы умножать без использования моделей, вам нужно знать все факты умножения одной цифры. Убедитесь, что вы знаете их бегло, прежде чем продолжить изучение этого раздела. В таблице ниже показаны факты умножения.
Каждое поле показывает произведение числа в левом столбце и числа в верхней строке. Если вы не уверены в продукте, смоделируйте его. Важно, чтобы вы запомнили любые факты о числах, которые вы еще не знаете, чтобы вы были готовы умножать большие числа.
| [латекс]x[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]1[/латекс] | [латекс]2[/латекс] | [латекс]3[/латекс] | [латекс]4[/латекс] | [латекс]5[/латекс] | [латекс]6[/латекс] | [латекс]7[/латекс] | [латекс]8[/латекс] | [латекс]9[/латекс] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]0[/латекс] |
| [латекс]1[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]1[/латекс] | [латекс]2[/латекс] | [латекс]3[/латекс] | [латекс]4[/латекс] | [латекс]5[/латекс] | [латекс]6[/латекс] | [латекс]7[/латекс] | [латекс]8[/латекс] | [латекс]9[/латекс] |
| [латекс]2[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]2[/латекс] | [латекс]4[/латекс] | [латекс]6[/латекс] | [латекс]8[/латекс] | [латекс]10[/латекс] | [латекс]12[/латекс] | [латекс]14[/латекс] | [латекс]16[/латекс] | [латекс]18[/латекс] |
| [латекс]3[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]3[/латекс] | [латекс]6[/латекс] | [латекс]9[/латекс] | [латекс]12[/латекс] | [латекс]15[/латекс] | [латекс]18[/латекс] | [латекс]21[/латекс] | [латекс]24[/латекс] | [латекс]27[/латекс] |
| [латекс]4[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]4[/латекс] | [латекс]8[/латекс] | [латекс]12[/латекс] | [латекс]16[/латекс] | [латекс]20[/латекс] | [латекс]24[/латекс] | [латекс]28[/латекс] | [латекс]32[/латекс] | [латекс]36[/латекс] |
| [латекс]5[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]5[/латекс] | [латекс]10[/латекс] | [латекс]15[/латекс] | [латекс]20[/латекс] | [латекс]25[/латекс] | [латекс]30[/латекс] | [латекс]35[/латекс] | [латекс]40[/латекс] | [латекс]45[/латекс] |
| [латекс]6[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]6[/латекс] | [латекс]12[/латекс] | [латекс]18[/латекс] | [латекс]24[/латекс] | [латекс]30[/латекс] | [латекс]36[/латекс] | [латекс]42[/латекс] | [латекс]48[/латекс] | [латекс]54[/латекс] |
| [латекс]7[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]7[/латекс] | [латекс]14[/латекс] | [латекс]21[/латекс] | [латекс]28[/латекс] | [латекс]35[/латекс] | [латекс]42[/латекс] | [латекс]49[/латекс] | [латекс]56[/латекс] | [латекс]63[/латекс] |
| [латекс]8[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]8[/латекс] | [латекс]16[/латекс] | [латекс]24[/латекс] | [латекс]32[/латекс] | [латекс]40[/латекс] | [латекс]48[/латекс] | [латекс]56[/латекс] | [латекс]64[/латекс] | [латекс]72[/латекс] |
| [латекс]9[/латекс] | [латекс]0[/латекс] | [латекс]9[/латекс] | [латекс]18[/латекс] | [латекс]27[/латекс] | [латекс]36[/латекс] | [латекс]45[/латекс] | [латекс]54[/латекс] | [латекс]63[/латекс] | [латекс]72[/латекс] | [латекс]81[/латекс] |
Мы знаем, что изменение порядка сложения не меняет сумму. Мы видели, что [латекс]8+9=17[/латекс] совпадает с [латекс]9+8=17[/латекс].
Верно ли это и для умножения? Рассмотрим несколько пар факторов.
[латекс]4\cdot 7=28\quad 7\cdot 4=28[/латекс]
[латекс]9\cdot 7=63\quad 7\cdot 9=63[/latex]
[latex]8\cdot 9=72\quad 9\cdot 8=72[/latex]
При изменении порядка множителей произведение не меняется. Это называется коммутативным свойством умножения.
Коммутативное свойство умножения
Изменение порядка множителей не меняет их произведения.
[латекс]а\cdot b=b\cdot a[/латекс]
Пример
Умножить:
[латекс]8\cdot 7[/латекс]
[латекс]7\cdot 8[/латекс]
Показать ответ
попробуй
Чтобы умножать числа, состоящие из более чем одной цифры, обычно проще записывать числа вертикально в столбцы, как мы это делали для сложения и вычитания.
[латекс]\begin{array}{c}\hfill 27\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 3}\end{array}[/latex]
Начнем с умножения [ латекс]3[/латекс] от [латекс]7[/латекс].
[латекс]3\times 7=21[/латекс]
Мы пишем [латекс]1[/латекс] в единицах продукта. Мы переносим [латекс]2[/латекс] десятки, написав [латекс]2[/латекс] над разрядом десятков.
Затем мы умножаем [латекс]3[/латекс] на [латекс]2[/латекс] и прибавляем [латекс]2[/латекс] выше разряда десятков к произведению. Итак, [латекс]3\умножить на 2=6[/латекс] и [латекс]6+2=8[/латекс]. Напишите [латекс]8[/латекс] в разряде десятков продукта.
Продукт [латекс]81[/латекс].
Когда мы умножаем два числа с разным количеством цифр, обычно проще написать меньшее число внизу. Можно было бы написать и по-другому, но с этим проще работать.
пример
Умножить: [латекс]15\cdot 4[/латекс]
Показать ответ
попробовать
пример
Умножить: [латекс]286\cdot 5[/латекс]
Показать ответ
попробуй
Когда мы умножаем на число, состоящее из двух и более цифр, мы умножаем на каждую цифру отдельно, работая справа налево. Каждое отдельное произведение цифр называется частичным произведением. Когда мы пишем частичные произведения, мы должны убедиться, что разрядные значения выровнены.
Умножение целых чисел
- Запишите числа так, чтобы каждый разряд располагался вертикально.
- Умножьте цифры в каждом разряде.
- Работайте справа налево, начиная с разряда единиц в нижнем ряду.
- Умножьте нижнее число на разряд единиц в верхнем числе, затем на разряд десятков и так далее.
- Если продукт в разрядном значении больше, чем [latex]9[/latex], перенос на следующее разрядное значение.
- Напишите частичные произведения, выровняв цифры разрядов с числами выше.
- Повторите для разряда десятков в нижнем числе, разряда сотен и т. д.
- Вставьте ноль в качестве заполнителя для каждого дополнительного частичного продукта.
- Работайте справа налево, начиная с разряда единиц в нижнем ряду.
- Добавьте частичные продукты.
пример
Умножить: [латекс]62\влево(87\вправо)[/латекс]
Показать ответ
попробуй
Когда множителей три или более, мы умножаем первые два, а затем умножаем их произведение на следующий множитель. Например:
| умножить | [латекс]8\cdot 3\cdot 2[/латекс] |
| первое умножение [латекс]8\cdot 3[/латекс] | [латекс]24\cdot 2[/латекс] |
| затем умножьте [латекс]24\cdot 2[/латекс] | [латекс]48[/латекс] |
В видео ниже мы обобщаем понятия, представленные на этой странице, включая свойство умножения нуля, свойство идентичности умножения и свойство перестановочности умножения.m
Деление
Мы сказали, что сложение и вычитание являются обратными операциями, потому что одно отменяет другое. Точно так же деление является обратной операцией умножения. Мы знаем [латекс]12\дел 4=3[/латекс], потому что [латекс]3\cdot 4=12[/латекс]. Знание всех фактов числа умножения очень важно при делении.
Мы проверяем наш ответ на деление, умножая частное на делитель, чтобы определить, равно ли оно делимому. Мы знаем, что [латекс]24\дел 8=3[/латекс] правильный, потому что [латекс]3\cdot 8=24[/латекс].
Пример
Разделить. Затем проверьте умножением.
- [латекс]42\дел 6[/латекс]
- [латекс]\фракция{72}{9}[/латекс]
- [латекс]7\overline{)63}[/латекс]
Решение:
| 1. | |
| [латекс]42\дел 6[/латекс] | |
| Разделите [латекс]42[/латекс] на [латекс]6[/латекс]. | [латекс]7[/латекс] |
| Проверить умножением. [латекс]7\cdot 6[/латекс] | |
| [латекс]42\четверка\галочка [/латекс] |
| 2. | |
| [латекс]\фракция{72}{9}[/латекс] | |
| Разделите [латекс]72[/латекс] на [латекс]9[/латекс]. | [латекс]8[/латекс] |
| Проверить умножением. [латекс]8\cdot 9[/латекс] | |
| [латекс]72\quad\галочка [/латекс] |
| 3. | |
| [латекс]7\overline{)63}[/латекс] | |
| Разделите [латекс]63[/латекс] на [латекс]7[/латекс]. | [латекс]9[/латекс] |
| Проверить умножением. [латекс]9\cdot 7[/латекс] | |
| [латекс]63\quad\галочка [/латекс] |
попробуй
Чему равно частное при делении числа само на себя?
[латекс]\frac{15}{15}=1\text{ потому что }1\cdot 15=15[/latex]
Деление любого числа [латекс]\текст{(кроме 0)}[/латекс] сам по себе дает частное [latex]1[/latex]. Кроме того, любое число, деленное на [latex]1[/latex], дает частное от числа. Эти две идеи изложены в Свойствах Разделения Единого.
Раздел Свойства одного
| Любое число (кроме 0), деленное само на себя, равно единице. | [латекс]а\дел а=1[/латекс] |
| Любое число, разделенное на единицу, равно числу. | [латекс]а\дел 1=а[/латекс] |
Пример
Разделить. Затем проверьте умножением:
- [латекс]11\дел 11[/латекс]
- [латекс]\фракция{19}{1}[/латекс]
Показать ответ
попробуйте
Предположим, у нас есть [латекс]\текст{\$0}[/латекс], и мы хотим разделить его между [латекс]3[/латекс] людьми. Сколько получит каждый? Каждый человек получит [латекс]\текст{\$0}[/латекс]. Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс].
Теперь предположим, что мы хотим разделить [латекс]\текст{\$10}[/латекс] на [латекс]0[/латекс]. Это означает, что нам нужно найти число, которое мы умножим на [latex]0[/latex], чтобы получить [latex]10[/latex]. Этого не может быть, потому что [латекс]0[/латекс], умноженное на любое число, равно [латекс]0[/латекс]. Говорят, что деление на ноль равно undefined .
Эти две идеи составляют Свойства Разделения Зеро.
Раздел Свойства Зеро
| Ноль, разделенный на любое число, равен [латекс]0[/латекс]. | [латекс]0\дел а=0[/латекс] |
| Деление числа на ноль не определено. | [латекс]а\дел 0[/латекс] не определено |
Еще один способ объяснить, почему деление на ноль не определено, состоит в том, чтобы вспомнить, что деление на самом деле представляет собой многократное вычитание. Сколько раз мы можем отнять [латекс]0[/латекс] от [латекс]10?[/латекс] Поскольку вычитание [латекс]0[/латекс] никогда не изменит итоговое значение, мы никогда не получим ответ. Поэтому мы не можем разделить число на [latex]0[/latex].
Пример
Разделить. Проверить умножением:
- [латекс]0\дел 3[/латекс]
- [латекс]\фракция{10}{0}[/латекс]
Показать ответ
попробуйте
Когда делитель или делимое содержит более одной цифры, обычно проще использовать запись [latex]4\overline{)12}[/latex]. Этот процесс называется длинным делением. Давайте рассмотрим этот процесс, разделив [латекс]78[/латекс] на [латекс]3[/латекс].
Мы будем повторять процесс до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить. В этой задаче больше не осталось цифр, поэтому деление закончено.
[латекс]\текст{Так} 78\дел 3=26[/латекс].
Проверьте, умножив частное на делитель, чтобы получить делимое. Умножьте [латекс]26\умножить на 3[/латекс], чтобы убедиться, что произведение равно делимому, [латекс]78[/латекс].
[латекс]\begin{array}{c}\hfill \stackrel{1}{2}6\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 3}\\ \hfill 78 \end{ массив}[/латекс]
Да, значит, наш ответ правильный. [latex]\checkmark[/latex]
Деление целых чисел
- Разделить первую цифру делимого на делитель. Если делитель больше первой цифры делимого, разделить первые две цифры делимого по делителю и так далее.
- Запишите частное над делимым.
- Умножьте частное на делитель и запишите произведение под делимым.
- Вычтите этот продукт из дивиденда.
- Сократите следующую цифру делимого.
- Повторяйте с шага 1 до тех пор, пока в делимом не останется цифр, которые нужно уменьшить.
- Проверьте, умножив частное на делитель.
В видео ниже мы показываем еще один пример использования деления в длину.
пример
Разделить [латекс]2,596\дел 4[/латекс]. Проверить умножением:
Показать ответ
попробовать
пример
Разделить [латекс]4,506\дел 6[/латекс]. Проверить умножением:
Показать ответ
попробуй
Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать длинное деление для деления четырехзначного целого числа на двузначное целое число.
До сих пор все задачи на деление решались равномерно. Например, если бы у нас было [латекс]24[/латекс] печенья и мы хотели сделать пакеты из [латекс]8[/латекс] печенья, у нас было бы [латекс]3[/латекс] пакетов. Но что, если бы было [латекс]28[/латекс] печенья, и мы хотели бы сделать пакеты из [латекс]8?[/латекс] Начните с [латекс]28[/латекс] печенья.
Попробуйте разложить печенье по восемь штук.
Остались группы [latex]3[/latex] из восьми файлов cookie и еще [latex]4[/latex] cookie. Мы называем файлы cookie [latex]4[/latex], которые остались поверх остальных, и показываем их, записывая R4 рядом с [latex]3[/latex]. (R означает остаток.)
Чтобы проверить это деление, мы умножаем [латекс]3[/латекс] на [латекс]8[/латекс], чтобы получить [латекс]24[/латекс], а затем складываем остаток [латекс]4[/латекс].
[латекс]\begin{array}{c}\hfill 3\\ \hfill \underset{\text{___}}{\times 8}\\ \hfill 24\\ \hfill \underset{\text{___ }}{+4}\\ \hfill 28\end{массив}[/latex]
пример
Разделить [латекс]1,439\дел 4[/латекс]. Проверьте умножением.
Показать ответ
попробуй
пример
Раздели и проверь умножением: [латекс]1,461\дел 13[/латекс].
Показать ответ
попробуй
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть еще один пример того, как использовать деление в длину для деления целых чисел, когда есть остаток.
Внесите свой вклад!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Числовой ряд и сложение, вычитание, умножение и деление
Авторы: Mark Zegarelli и
Обновлено: 26 марта 2016 г.
Исследовать книгу Купить на Amazon
Числовая строка — это просто строка с числами, отмеченными через равные промежутки времени. Вы, вероятно, увидели свой первый числовой ряд, когда учились считать до десяти. Вы можете использовать этот надежный инструмент для выполнения операций Большой четверки (сложение, вычитание, умножение и деление) над относительно небольшими числами.
Числовая строка может быть полезным инструментом для сложения и вычитания небольших чисел:
При сложении переместите вверх по числовой строке вправо.
При вычитании переместите вниз по числовой строке влево.
Чтобы умножить на числовой прямой, начните с 0 и посчитайте первое число в задаче столько раз, сколько указано вторым числом .
Чтобы разделить на числовой прямой, сначала закройте отрезок числовой строки от 0 до первый номер в задаче. Затем разделите этот отрезок поровну на количество частей, указанное вторым числом . Длина каждой части — это ответ на деление.
Примеры вопросов
Добавьте 6 + 7 в числовой строке.
13. Выражение 6 + 7 означает , начиная с 6, до 7, , что приводит к 13.
Вычтите 12 – 4 из числовой строки.
8. Выражение 12 — 4 означает, что начинается с 12, вниз на 4, , что приводит к 8.
Умножьте 2 x 5 на числовой прямой.
10. Начиная с 0, сосчитайте двойками всего пять раз, чтобы получить 10.
Разделите 12/3 на числовой прямой.
4. Закрасьте отрезок числовой прямой от 0 до 12. Теперь разделите этот отрезок поровну на три меньшие части. Каждая из этих частей имеет длину 4, так что это ответ на задачу.
Практические вопросы
Добавьте в числовую строку следующие числа:
а.
4 + 7 = ?б. 9 + 8 = ?
г. 12 + 0 = ?
д. 4 + 6 + 1 + 5 = ?
Вычтите из числовой строки следующие числа:
а. 10 – 6 = ?
б. 14 – 9 = ?
г. 18 – 18 = ?
д. 9 – 3 + 7 – 2 + 1 = ?
Умножьте следующие числа на числовой прямой:
а. 2 х 7 = ?
б. 7 х 2 = ?
г. 4 х 3 = ?
д. 6 х 1 = ?
эл. 6 х 0 = ?
ф. 0 х 10 = ?
Разделите следующие числа на числовой прямой:
а. 8 / 2 = ?
б. 15/5 = ?
г.
18/3 = ?д. 10/10 = ?
эл. 7/1 = ?
ф. 0 / 2 = ?
Ответы на практические вопросы следующие:
Добавить в числовую строку.
а. 4 + 7 = 11 . Выражение 4 + 7 означает, что начинается с 4, до 7, , что приводит к 11.
б. 9 + 8 = 17 . Выражение 9 + 8 означает, что начинается с 9, до 8, , что приводит к 17.
г. 12 + 0 = 12 . Выражение 12 + 0 означает, что начинается с 12, до 0, , что приводит к 12.
д. 4 + 6 + 1 + 5 = 16 . Выражение 4 + 6 + 1 + 5 означает, что начинается с 4, до 6, до 1, до 5, , что приводит к 16.
Вычесть из числовой строки.
а.
10 – 6 = 4 . Выражение 10 – 6 означает, что начинается с 10, уменьшается на 6, , что приводит к 4.б. 14 – 9 = 5 . Выражение 14 – 9 означает, что начинается с 14, вниз на 9, , что приводит к 5.
г. 18 –18 = 0 . Выражение 18 – 18 означает, что начинается с 18, уменьшается на 18, , что приводит к 0,
д. 9 – 3 + 7 – 2 + 1 = 12 . Выражение 9 – 3 + 7 – 2 + 1 означает, что начинается с 9, 3 вниз, 7 вверх, 2 вниз, 1 вверх, , что приводит к 12.
Умножить на числовой прямой.
а. 2 х 7 = 14 . Начиная с 0, посчитайте двойками семь раз, в результате чего вы получите 14.
б. 7 х 2 = 14 . Начиная с 0, сосчитайте по семеркам всего два раза, чтобы получить 14.
г. 4 х 3 = 12 . Начиная с 0, посчитайте по четыре в общей сложности три раза, что приведет вас к 12.
д. 6 х 1 = 6 . Начиная с 0, сосчитайте до шести один раз, и вы получите 6.
эл. 6 х 0 = 0 . Начиная с 0, сосчитайте по шесть ноль раз, что приведет к 0.
ф. 0 х 10 = 0 . Начиная с 0, сосчитайте нулями десять раз, чтобы получить 0.
Разделить по числовой прямой.
а. 8/2 = 4 . Заблокируйте отрезок числовой прямой от 0 до 8. Теперь разделите этот отрезок поровну на две меньшие части. Каждая из этих частей имеет длину 4, так что это ответ на задачу.
б. 15/5 = 3 . Заблокируйте отрезок числовой прямой от 0 до 15. Разделите этот отрезок поровну на пять меньших частей.