Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования
Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто формулы фсу позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.
В данной статье мы кратко перечислим основные формулы сокращенного умножения по алгебре, сгруппируем их в правильную таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул, которые придется изучать и запоминать.
Формулы сокращенного умножения- формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
- квадратная формула разности: a-b2=a2-2ab+b2
- формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
- формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
- формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
- формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
- формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2
Английскими буквами a, b, c во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) могут быть любые числа, переменные или выражения.
Для удобства использования лучше выучить семь основных формул или уравнений наизусть. Чтобы вам было проще учить, сведем их в таблицу сокращенного умножения и приведем ниже, обведя рамкой. Это будет ваш своеобразный онлайн гайд, важный и нужный.
Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют правильно вычислять соответственно квадрат суммы или кубическую сумму, или разности двух выражений.
Пятая формула скор умножения вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.
Шестая и седьмая формулы сокращенного умн. — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.
Формулу сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.
Чтобы решить практические примеры, часто в качестве помощи используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями.
Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.
Также есть формулы сокращенного умножения под корнем.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Не будем ограничиваться курсом 7 класса уроков по алгебре и математике и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.
Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.
a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn
Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:
Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!
Другими словами, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.
Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.
a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+.
.+2a2an+2an-1an
Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Еще одна формула, которая может пригодиться — формула разности n-ых степеней двух слагаемых.
an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1
Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней.
Для четных показателей 2m:
a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2
Для нечетных показателей 2m+1:
a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m
Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.
a+b2=a2+2ab+b2.
Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.
Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2 запишем:
квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.
Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.
Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.
Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.
Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом их разности.
С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитывать нужно так:
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.
Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.
a-b2=a2-2ab+b2.
Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно это выражение умножить само на себя.
a-b2=a-ba-b.
Раскроем скобки:
a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.
Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.
Где можно применять ФСУ на примерах
Цель использования формул сокращенного умнож-я — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень.
Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно раскладывать многочлены на множители. Приведем примеры.
Сделаем выражение упрощенным 9y-(1+3y)2.
Применим формулу суммы квадратов по правилу и получим следующую форму:
9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2
Пример 2. ФСУСократим дробь 8×3-z64x2-z4.
Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.
8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.
Сокращаем и получаем:
8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z
Также ФСУ помогают быстрым способом вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.
79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.
Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием метода математических формул умножения, приведенных сокращенно, и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.
Математика, алгебра, геометрия — База разработок
Егорова Елена 5.0
Отзыв о товаре ША PRO Анализ техники чтения по классам
и четвертям
Хочу выразить большую благодарность от лица педагогов начальных классов гимназии
«Пущино» программистам, создавшим эту замечательную программу! То, что раньше мы
делали «врукопашную», теперь можно оформить в таблицу и получить анализ по каждому
ученику и отчёт по классу. Великолепно, восторг! Преимущества мы оценили сразу. С
начала нового учебного года будем активно пользоваться. Поэтому никаких пожеланий у
нас пока нет, одни благодарности. Очень простая и понятная инструкция, что
немаловажно! Благодарю Вас и Ваших коллег за этот важный труд. Очень приятно, когда
коллеги понимают, как можно «упростить» работу учителя.
Наговицина Ольга Витальевна 5.0
учитель химии и биологии, СОШ с. Чапаевка, Новоорский район, Оренбургская область
Отзыв о товаре ША Шаблон Excel Анализатор результатов ОГЭ
по ХИМИИ
Спасибо, аналитическая справка замечательная получается, ОГЭ химия и биология.
Очень облегчило аналитическую работу, выявляются узкие места в подготовке к
экзамену. Нагрузка у меня, как и у всех учителей большая. Ваш шаблон
Чазова Александра 5.0
Отзыв о товаре ША Шаблон Excel Анализатор результатов ОГЭ по
МАТЕМАТИКЕ
Очень хороший шаблон, удобен в использовании, анализ пробного тестирования занял считанные минуты. Возникли проблемы с распечаткой отчёта, но надо ещё раз
разобраться. Большое спасибо за качественный анализатор.
Лосеева Татьяна Борисовна 5.0
учитель начальных классов, МБОУ СОШ №1, г. Красновишерск, Пермский край
Отзыв о товаре Изготовление сертификата или свидетельства конкурса
Большое спасибо за оперативное изготовление сертификатов! Все очень красиво. Мой ученик доволен, свой сертификат он вложил в портфолио. Обязательно продолжим с Вами сотрудничество!
Язенина Ольга Анатольевна 4.0
учитель начальных классов, ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»
Отзыв о товаре Вебинар Как создать интересный урок:
инструменты и приемы
Я посмотрела вебинар! Осталась очень довольна полученной
информацией. Всё очень чётко, без «воды». Всё, что сказано, показано, очень
пригодится в практике любого педагога. И я тоже обязательно воспользуюсь полезными материалами вебинара.
Спасибо большое лектору за то, что она
поделилась своим опытом!
Арапханова Ашат 5.0
ША Табель посещаемости + Сводная для ДОУ ОКУД
Хотела бы поблагодарить Вас за такую помощь.
Дамбаа Айсуу 5.0
Отзыв о товаре ША Шаблон Excel Анализатор результатов ЕГЭ по
РУССКОМУ ЯЗЫКУ
Спасибо огромное, очень много экономит времени, т.к. анализ уже готовый, и особенно радует, что есть варианты с сочинением, без сочинения, только анализ сочинения! Превосходно!
Шпаргалка по умножению для печати Плакат по математике Нейтральный
Ищете нейтральную таблицу умножения, которая поможет юным ученикам? Этот обучающий плакат по математике — ценный инструмент для простого освоения таблицы умножения.
Благодаря простому дизайну эта таблица таблицы умножения помогает учащимся практиковать и запоминать факты умножения, а также быстро проверять свою работу, чтобы лучше понять основные понятия.
Независимо от того, являетесь ли вы учителем, стремящимся расширить свои ресурсы в классе, или родителем, ищущим увлекательный и образовательный способ помочь вашему ребенку в обучении, этот плакат по математике для печати станет отличным выбором.
ПУНКТ — ОПИСАНИЕ:
— Этот плакат по математике предназначен для ЗАГРУЗКИ В ЦИФРОВОМ ВИДЕ, покупатель может загрузить и распечатать его. Никакие физические предметы не будут отправлены
— Все файлы имеют высокое разрешение (300 dpi) JPG и PDF
— Инструкции по загрузке прилагаются
-6 размеров включены
S I Z E S:
Соотношение 2:3: 4×6″, 6×9″, 8×12″, 10×15″, 12×18″, 16×24″, 20×30″, 24×36″
Соотношение 3:4: 6×8″, 9×12″, 12×16″, 15×20″, 18×24″, 24×32″, 30×40″, 36×48″
Соотношение 4:5: 4×5″, 8×10″, 16×20″
Соотношение 5×7: 5×7″, A5, A4, A3, A2 , A1, 50×70 см
11×14 Соотношение: 11×14″
8,5X11 Соотношение: 8,5×11″
Если вам нужен другой размер, пожалуйста, свяжитесь со мной.
P A I R S — W E L L — W I T H:
https://www.etsy.com/AcaciaNorthPrintable/listing/1253768303/printable-division-cheat-sheet-math?utm_source=Copy&utm_medium=ListingManager&utm_campaign=Share&utm_termshare=so_lmsm&60289201
Y O U — M A Y — A L S O — L I K E:
Красочная таблица умножения
Share&utm_term=so.lmsm&share_time=1658368208749
Набор черно-белых плакатов с умножением и делением
КАК — К — ЗАГРУЗИТЬ — ЦИФРОВОЙ ФАЙЛ:
-Купить эту печатную форму для обучения математике
-После подтверждения оплаты вы перейдете на страницу загрузки. (Кроме того, вам будет отправлено электронное письмо со ссылкой для скачивания. Нажмите «Загрузить», чтобы сохранить файлы на вашем компьютере. Или вы можете получить доступ к своему цифровому файлу здесь: http://www.
etsy.com/your/purchases)
— Распечатайте файлы дома, в местной типографии или воспользуйтесь онлайн-сервисом.
ДЛЯ ПОМОЩИ — С И Т Н — Д И Г И Т А Л — Д О В Н О Д А Д С:
-Пожалуйста, см. справочную статью Etsy — https://www.etsy.com/au/help/article/3949
P L E A S E — ПРИМЕЧАНИЕ:
— Физические продукты не будут отправлены. Этот список предназначен только для МГНОВЕННОЙ ЗАГРУЗКИ
— Вы не можете загрузить цифровую покупку через приложение Etsy
— Из-за различий в компьютерных мониторах цвета фактической печати могут немного отличаться от того, что вы видите на экране. Окончательное качество печати будет зависеть от типа используемого принтера и бумаги
-Для достижения наилучших результатов я рекомендую использовать типографию и печатать на высококачественной бумаге
-Только для личного использования. Вы можете распечатать и использовать этот дизайн у себя дома, в офисе или в общественном месте, но не можете перепродавать, воспроизводить, распространять или получать прибыль каким-либо образом от дизайна.
посетите мой магазин, чтобы увидеть больше репродукций:
https://www.etsy.com/shop/AcaciaNorthPrintable
L O O K I N G — F O R — P H O T O G R A P H Y — P R I N T S?
Загляните в мой магазин фотопечати:
https://www.etsy.com/shop/AcaciaNorth?ref=search_shop_redirect
R E T U R N — P O L I C Y
-Поскольку этот товар загружается в цифровом виде, я не могу принять возврат. Спасибо за Ваше понимание!
Таблица умножения для печати — все распечатки
Изображение 1 из 10
Изображение 2 из 10
Изображение 3 из 10
Изображение 4 из 10
Изображение 5 из 10
Изображение 6 из 10
Изображение 7 из 10
Изображение 8 из 10
Изображение 9из 10
Изображение 10 из 10
Образовательный и стильный плакат с таблицей умножения и математическим справочником, который можно распечатать, который может занять почетное место на стене в комнате любого взыскательного ребенка или подростка.
Распечатанная таблица умножения со всеми таблицами умножения на 12 — очень полезная вещь, которую можно повесить на стену во время неизбежных домашних заданий. И идеальный постер для домашней школы. Вот почему мы придумали этот чистый и сдержанный образовательный принт — он будет фантастически смотреться на стене и в то же время предоставлять мгновенную информацию, когда это необходимо.
*Логотип водяного знака не будет отображаться при загрузке*
*Физический продукт не будет отправлен*
Включено:
Вы получите один файл PDF с высоким разрешением (300 DPI), который сделает вас чистым, четким, красивым отпечатки.
Как сделать заказ:
Просто купите листинг, и после того, как ваш платеж будет очищен, вы сможете загрузить мгновенную загрузку в разделе покупки/отзывы.
Печать:
Окончательное изображение будет зависеть от качества принтера и выбранной вами бумаги или картона. Пожалуйста, имейте в виду, что цвета на мониторе могут незначительно отличаться от того, как они выглядят вживую или как они отображаются на устройстве просмотра, из-за калибровки цвета вашего устройства или монитора.