Что делают первым умножение или деление: Что выполняется первым умножение или деление если оно стоит первым

— Как решали выражение? (1 ученик)

(Выражение не содержит скобок, из арифметических действий только умножение и деление, считали слева направо по порядку)

— Какой вывод сделали?

(Если выражение содержит только умножение и деление и нет скобок, то выполнять надо по порядку)

— Сравните вывод, который вы сделали с эталоном в учебнике с. 107 (читает ученик)

VI. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

— Можно ли сказать, что вы уже все сделали на уроке? (Нет)

— Какую цель вы поставите на оставшиеся этапы? (Научиться применять эталон)

— Что для этого надо сделать? (Потренироваться в использовании нового эталона)

с. 108 № 2 — с комментированием у доски

(Это выражение без скобок, содержит только деление, буду выполнять действия по порядку, ….)

16 : 4 : 2 = 2
72 : 9 ∙ 8 = 64
5 ∙1 ∙ 9 = 45
6 ∙ 4 : 8 : 3 = 1

ФИЗМИНУТКА

№ 3 с. 108 устно

— Какое правило нарушил Волк? (Правило порядка действий в примерах без скобок)

— Как нужно было решить? (Сначала выполнить деление 12:3, а затем умножение)

Каким правилом воспользоваться? Проговорите его. (Проговаривают правило и решают пример устно)

(Если выражение без скобок содержит из действий только умножение, только деление или умножение и деление, то принято выполнять их по порядку слева направо)

VII. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цели:

• организовать выполнение учащимися самостоятельной работы на новое знание;
• организовать самопроверку по эталону;
• организовать выявление места и причины затруднений, работу над ошибками.

— Вы поработали вместе, в парах, а теперь необходимо поработать самостоятельно.

— Выполните задание самостоятельно, карточка №2

• 18 : 2 ∙ 3
• 7 ∙ 6 : 6
• 4 ∙ 2 ∙ 9
• 2 ∙ 9 : 3 : 2
• 56 : 7 : 4

10 СЛАЙД

— Проверьте решение по эталону для самопроверки.

— У кого получился другой ответ — поставьте «?».

— В каком месте вы допустили ошибку.

— Почему у вас возникло затруднение? (В расстановке порядка действий (применение нового правила), знание таблицы умножения и деления)

— Что необходимо сделать, чтобы такие ошибки не допускать? (Проговаривают правило, необходимо повторить таблицу умножения и деления, порядок действий в выражениях)

— Кто справился с заданием без ошибок?

— Поставьте себе «+». Замечательно.

VIII. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог)

Цели:

• зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
• организовать рефлексию и самооценку учениками собственной учебной деятельности.
• соотнести ее цель и результаты, зафиксировать степень их соответствия, и наметить дальнейшие цели деятельности.

— Вернёмся к выражению, которое мы в начале урока на доске разбирали.

40 : 5 ∙ 2 = 16

— Почему были разные ответы? (Не знали порядок действий в выражениях на умножение и деление без скобок)

— Какие шаги выполняли? (Когда возникло затруднение, составили план, нашли решение и пришли к выводу)

— Какой сделали вывод? (Если выражение из скобок содержит из действий только умножение, только деление или умножение и деление, то принято выполнять их по порядку)

— Сегодня вы ещё на один шаг продвинулись в своём обучении.

Теперь я предлагаю вам оценить свою работу на уроке. Положите перед собой «лестницу успеха». Покажите, на какой ступеньке вы находитесь в конце урока. Если вы выполнили самостоятельную работу без ошибок, и у вас нет вопросов, то поставьте себя на верхнюю ступеньку. Если вы выполнили самостоятельную работу, но у вас остались вопросы, поставьте себя на среднюю ступеньку. Если вы ошиблись в самостоятельной работе, у вас остались вопросы, поставьте себя на нижнюю ступеньку.

IX. Домашнее задание

Р. т. стр. 53, № 187, 188.

— Спасибо за урок!

Почему учителям математики пора выбросить БОДМАС

SecondaryMaths

Практически каждый учащийся средней школы в Великобритании сталкивался с аббревиатурой порядка операций, но есть проблема; не всегда получается…

по Оуэн Элтон

Что означает БОДМАС?

Аббревиатура BODMAS означает скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание.

Иногда его называют BIDMAS (с «Индексами», используемыми вместо «Порядков»), или правилом PEMDAS в Америке (с «Скобками» и «Экспонентами»).

правило БОДМАС

Это математическое правило диктует правильный порядок операций, которым необходимо следовать, когда вы выполняете задание на математическое числовое предложение с различными операциями.

Первый шаг — сделать что-нибудь в скобках, затем порядки (например, квадратный корень или индексы). Деление и умножение находятся на одном уровне, что означает, что они имеют одинаковый приоритет и должны выполняться слева направо, а не все деление, а затем все умножение. Точно так же сложение и вычитание находятся на одном уровне и должны выполняться слева направо.

Я начал свою преподавательскую деятельность в школе Highgate. Молодой, неподготовленный и еще не лысеющий, я столкнулся с самой крутой кривой обучения в своей жизни.

Еженедельные встречи с моим начальником отдела были жизненно важны для обсуждения педагогики, и я верно следовал его инструкциям: «Никогда не сокращайте кумулятивную частоту», «Мы всегда подбрасываем монеты и выпадаем решкой, мы никогда не подбрасываем монеты и выпадаем орлом», и самое главное , «Мы никогда, никогда не используем BODMAS».

Не использовать BODMAS было не так просто, как вы можете себе представить. Студенты приехали хорошо разбирающиеся в его применении.

Нам пришлось и научить этому. Нам пришлось убедить комнаты, полные подростков, что они должны изменить фундаментальные принципы своей арифметической системы убеждений. Это было трудно, потому что подростки ненавидят перемены и ненавидят прозелитизм взрослых.

Так с какой стати нам беспокоиться? Что убедило весь отдел в том, что нужно направить столько усилий на такое, казалось бы, тривиальное дело?

БОДМАС неправильный. Это то что.

Неправильный ответ

Его буквы обозначают Скобки, Порядок (значение сил), Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. Таким образом, предполагается, что в этой последовательности происходит упрощение любого заданного математического выражения.

Например, чтобы вычислить  3 + (3 + 3) ³ ÷ 3 – 3 x 3  действуем в порядке, указанном выше:

Это был бы действительно полезный алгоритм, если бы он работал в любой ситуации, но рассмотрим гораздо более простое выражение 1 – 2 + 4 . Он не содержит скобок, степеней, деления или умножения, поэтому мы будем следовать BODMAS и делать сложение с последующим вычитанием:

Это ошибка. Правильное значение — 3. BODMAS подвел нас. Позор BODMAS!

Математические задачи

У нас не может быть волшебной мнемоники, которая не работает все время; предположим, что он решил не работать в важный момент. Представьте, что вы пытаетесь объяснить своему ученику, что причина, по которой он потерял оценку на экзамене, заключалась в том, что то, о чем вы говорили ему, всегда работает, на самом деле не работает во всех случаях, и на самом деле один из таких случаев произошел в эта бумага GCSE.

Это не новая проблема. Я не первый, кто об этом пишет. Даже Википедия решает эту проблему и предлагает некоторые альтернативы. Студенты любят Википедию! Так почему же BODMAS все еще актуален?

В Хайгейте это было окружено таким клеймом, что некоторые стороны высмеивали меня более десяти лет после того, как мой коллега пережил обмен в классе, который проходил примерно так:

Учитель: Как нам упростить это выражение? Студент: БОДМАС, сэр. Учитель: Мы не используем здесь BODMAS. Студент: Но именно этому нас научил мистер Элтон в прошлом году, сэр.

После этого мне несправедливо присвоили прозвище «БОДМАС», которое преследовало меня повсюду. У меня не было защиты; платный студент сделал заявление, так что это должно быть правдой. По крайней мере, один человек (он знает, кто он такой) до сих пор называет меня БОДМАСом чаще, чем использует мое настоящее имя.

Несмотря на то, что я абсолютно не виновен в том, что оскверняю умы невинных учеников, я чувствую себя обязанным загладить свою вину, поэтому я использую эту платформу. Думайте об этом как о общественной работе.

Правильный ответ

Однако нет смысла ругать BODMAS, не предлагая альтернативы. Ошибка, показанная выше, вызвана тем фактом, что сложение и вычитание не обязательно должны происходить в указанном порядке. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется суммой, и мы должны работать слева направо:

.

Точно так же деление не более важно, чем умножение. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется произведением, и мы снова будем работать слева направо:

Теперь у нас следующий порядок: Скобки, Порядок, Произведения, Суммы.

Это дает нам BOPS, который на целый слог короче, чем BODMAS, и имеет значительное преимущество в том, что он надежен.

Уверен, что если бы кто-то предложил БОПС до БОДМАСа, то последний был бы предан забвению. Даже сейчас еще не поздно избавиться от двусложных арифметических сокращений.

Я призываю своих коллег по всему миру запретить BIDMAS и очистить PEMDAS. Не оставляй от них следов. Пусть БОПС нанесет везде победный удар юным математикам.

Оуэн Элтон — учитель математики, сочинитель/исполнитель глупых песенок и автор математических минут. Вы можете следить за его новостями в Твиттере @owenelton.

Когда дети изучают умножение и деление

Из всех математических операций умножение и деление могут быть самыми трудными для изучения детьми. Овладение этими навыками — логичный следующий шаг после сложения и вычитания. Но на самом деле это скорее скачок для большинства детей. Узнайте, когда дети учатся умножать и делить.

Когда дети обычно изучают умножение

Учиться умножать можно уже во втором классе. Дети обычно начинают со сложения равных групп (3 + 3 + 3 = 9, что равносильно 3 × 3 = 9). Это называется повторным добавлением.

Вот как и когда дети учатся умножать:

• Во втором классе дети учатся визуализировать повторяющееся сложение. (Это похоже на рисование квадрата с пятью строками и пятью столбцами для представления 5 × 5 = 25.)
• В третьем классе дети начинают понимать связь между умножением и делением. (Это как знать, что 3 × 4 = 12, а 12 ÷ 4 = 3.)
• В четвертом классе детей начинают умножать двузначные числа на двузначные числа.

Чтобы научиться умножению, дети используют практические материалы и наглядные модели, чтобы разбить числа и построить концепцию.

К концу пятого класса большинство детей знают, как использовать распространенную процедуру умножения больших чисел. Некоторым нужно немного больше времени и практики, чтобы полностью понять концепцию.

Когда дети обычно изучают деление

Деление обычно является самым сложным математическим понятием для детей. Уравнение деления состоит из трех частей:

• Делимое — это число, которое делится (первое число в задаче).
• Делитель — это число, на которое делится делимое (второе число в задаче).

Обучение делению начинается в третьем классе. Дети знакомятся с понятием, выполняя многократное вычитание. (Например, 20 – 5, затем еще 5, и еще 5, и еще одно 5. Это то же самое, что 20 ÷ 4.)

Вот как и когда дети учатся делить:

• В третьем классе детей начинают деление повторным вычитанием. Они учатся делить две цифры на однозначные числа с решениями больше 10.
• В четвертом классе дети начинают учиться делить четырехзначные числа на однозначные числа. (Например, 4000 ÷ 2.)
• В пятом классе детей начинают делить четырехзначные числа на четырехзначные числа. (Например, 8 000 ÷ 4 000.) Кроме того, большинство детей знакомятся с десятичными дробями в пятом классе.

Ожидается, что дети полностью поймут, как умножать и делить, прежде чем перейдут в среднюю школу. Но это не значит, что каждый ребенок это поймет. Некоторым детям нужно больше времени и практики.

Почему у некоторых детей возникают проблемы с умножением и делением

У детей нередко возникают проблемы с математикой, особенно с умножением и делением. Для этого есть много причин и много способов помочь. Поддержка, такая как отдельное обучение или обучение в небольшой группе, может со временем иметь большое значение.

Например, у некоторых детей возникают проблемы с пониманием основных математических понятий, известных как чувство числа. Проблемы с концентрацией внимания или памятью могут повлиять на изучение математики.

Неявное умножение? – The Math Doctors

Я хочу завершить эту серию темой, которая постоянно возникает как в классах, так и в социальных сетях: как вы оцениваете выражение типа \(a\div bc\) или \(8\div 4( 3-1)\), где умножение указано без специального символа? Есть несколько причин, по которым можно интерпретировать это иначе, чем правило, которое мы обсуждали, согласно которому умножение и деление выполняются слева направо. Сначала мы рассмотрим это с точки зрения студентов и преподавателей, а затем (в следующий раз) исследуем некоторые исторические вопросы, чтобы завершить серию.

Два способа оценки ax÷by

Давайте сначала рассмотрим один из наших предыдущих вопросов по этой проблеме, в 1999 году, чтобы подготовить почву:

 Порядок действий
Проблема была представлена ​​так:
   а = 1,56
   б = 1,2
   х = 7,2
   у = 0,2
   топор / по = ?
Вот два способа, которыми я это решил:
1) Сначала я переписал задачу как [1.56(7.2)/1.2](0.2). Во-вторых, а умножается на х. Продукт был 11,232. Затем, поскольку скобок не было, я следовал порядку операций и разделил 11,232 на b, что равнялось 1,2. Частное было 9.36. Затем я умножил 9,36 на y, что составило 0,2. Окончательный ответ был 1,872.
2) С другой стороны, первое, что я сделал, это умножил а на х. Продукт, который был 11,232, пока отложили. Затем b умножили на y, что дало произведение 0,24. Теперь проблема была решена путем деления 11,232 (или ax) на 0,24 (или на), чтобы получить окончательный ответ 46,8. 
Скажите, пожалуйста, какой ответ правильный и почему? 

(Обратите внимание, что в то время единственным способом ввести деление в нашей электронной почте было использование косой черты \(a/b\), которая, как я обычно полагаю, представляет собой выражение, на самом деле написанное как \(a\div b\) , Я буду время от времени вставлять обелус, ÷, где мы сделали грубые попытки смоделировать его.)

Первый способ следует за PEMDAS буквально, как обычно учат и как я представил его здесь, вычисляя слева направо как \(a\cdot x\div b\cdot y = ((a\cdot x)\div б)\cdot у\).

Второй видит это как \(ax\div by = (ax)\div (by)\). Это объясняется не тем, что следует какому-то выученному правилу, а просто тем, что нужно делать то, что выглядит правильно, либо потому, что деление читается, как если бы это была дробная черта, либо просто потому, что « на » выглядит так, как будто оно связано как единое целое. Мы увидим несколько причин, по которым учащиеся сделали это.

Хотя я был с Ask Dr. Math меньше года, это был уже знакомый вопрос, на который я хотел подробно ответить ради архива:

 Вы не одиноки, задаваясь этим вопросом. У нас было несколько других вопросов о выражениях, подобных вашему, от сбитых с толку учителей и учеников, которые обнаружили, что разные книги или учителя дают разные ответы, и даже калькуляторы расходятся во мнениях. 

Обратите внимание, что не только ученики делают то, что им кажется правильным, но и некоторые учебники и калькуляторы следуют второму методу.

Новое правило или то, что кажется правильным?

Я подробно остановился на двух методах, приняв версию PEMDAS за правильную (хотя у меня есть некоторые сомнения по этому поводу):

 Как написано, ваше выражение
    топор / по
должно оцениваться  слева направо  : a умножить на x, разделить на b, умножить на y. Умножение не выполняется перед делением, но оба выполняются в том порядке, в котором они появляются. Ваше первое решение верное. 
  Некоторые тексты составляют правило  , как и во втором решении,  что умножение без символа («подразумеваемое умножение») должно выполняться перед любыми другими операциями в выражении  [кроме возведения в степень], включая «явное умножение» с использованием символа. Следуя этому правилу, вы должны умножить a на x, затем умножить b и y, а затем разделить одно на другое. В некоторых (вероятно, в большинстве) текстах такое правило не упоминается, но  некоторые из них могут использовать его, не говоря об этом, что гораздо хуже  . 

Кажется, я придумал термин « подразумевающий или неявный умножение », когда я ответил на свой первый вопрос по этой теме за несколько месяцев до этого, чтобы сослаться на умножение, обозначенное простым размещением двух чисел, переменных или выражений в скобках друг рядом с другом — « сопоставление », как это называют другие — например \( ab\) или \( 2b\) или \( a(b+c)\), в отличие от явного написания \( a\times b\) или \( a\cdot b\).

Мы видели несколько вопросов от студентов, чьи учебники учили только обычному PEMDAS, но оценивали второй способ в примерах или решениях без комментариев. Возможно, это произошло из-за того, что ответы в конце были написаны кем-то другим, а не автором, но это непростительное несоответствие.

Зачем автору вводить это дополнительное правило? В разное время у меня были разные мнения о том, является ли это правило хорошей идеей, но я всегда признавал, что это не то, чему обычно учат:

 Я не знаю общего правила среди математиков, согласно которому умножение следует выполнять до явное умножение. Насколько я понимаю, все умножения помещаются в одно и то же место в порядке операций.  Однако это не является необоснованным правилом  , так как кажется, что подразумеваемое умножение более тесно связывает операнды вместе,  хотя бы визуально  ; но идея Порядка Операций (или приоритета, как это называется в компьютерном мире) должна гарантировать, что все будут одинаково интерпретировать двусмысленное выражение — так что , если некоторые тексты изменят правила, или если люди делай то, что кажется естественным, цель потеряна  .  

Правило, которое не является правилом, бесполезно, каким бы разумным оно ни было. Да, «новое правило» — это естественный способ чтения \(ax\div by\), потому что \(by\) выглядит как единое целое; но пока этому не научат все, мы не можем этого делать и ожидать, что нас поймут все читатели.

В частности, многие студенты предполагают, что оно представляет собой горизонтальную версию \(\displaystyle\frac{ax}{by}\):

 Проблема здесь в том, что выражение выглядит так, как будто оно должно быть
     топор
    ----
     к
В часто задаваемых вопросах доктора математики о написании математики в электронной почте мы рекомендуем  использовать круглые скобки везде, где это возможно, чтобы избежать двусмысленности  , даже там, где правила должны прояснять это, потому что в некоторых ситуациях их легко забыть. .
Поэтому в электронной почте мы бы написали это так:
    ax/(by) или (ax/b)*y
в зависимости от того, что задумано. 

Используя круглые скобки, мы можем избежать написания чего-то, что люди, которых учили другим правилам или которые игнорируют правила, которым их учили, могли бы воспринять не так, как мы предполагали.

Проблемы с калькулятором

 В моем исследовании для другого «пациента» доктора математики я обнаружил, что некоторые калькуляторы экспериментировали с этим правилом. Калькуляторы имеют несколько иные потребности, чем математики, поскольку они должны вводить данные линейно, один символ за другим, поэтому они вынуждены принимать решение об этом. На веб-сайте TI я узнал, что они преднамеренно добавили эту «функция» в TI 82, а затем убрали ее из TI 83, вероятно, потому, что решили, что это не стандартное правило и оно будет путать людей. 

Связь там давно вышла из строя; но когда в 2008 году возник конкретный вопрос о калькуляторе, я процитировал слова TI из их базы знаний:

 Подразумеваемое умножение и калькуляторы TI.
...
Решение 11773. Подразумеваемое умножение по сравнению с явным умножением в графических калькуляторах TI.
Имеют ли подразумеваемое умножение и явное умножение одинаковый приоритет в графических калькуляторах TI?
  Неявное умножение имеет более высокий приоритет, чем явное умножение , чтобы пользователи могли вводить выражения таким же образом, как они были бы написаны.  Например, TI-80, TI-81, TI-82 и TI-85 оценивают 1/2X как 1/(2*X), в то время как другие продукты могут оценивать то же выражение как 1/2*X слева направо. верно. Без этой функции было бы необходимо группировать 2X в круглых скобках, что обычно не делается при написании выражения на бумаге.
Этот порядок приоритета был изменен для семейства TI-83, семейства TI-84 Plus, семейства TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200 и портативного устройства TI-Nspire™ в режиме TI-84 Plus. Неявное и явное умножение имеют одинаковый приоритет. 

Это ясно показывает, что разработчики калькуляторов должны устанавливать свои собственные правила, которые не обязательно должны совпадать с правилами письма на бумаге; но педагоги, кажется, убедили их оставить все как можно более одинаковым ради учеников.

В заключение (назад к ответу 1999 года):

 Итак, отвечая на ваш вопрос, я думаю  оба ответа можно считать правильными  - значит, конечно, что  сам вопрос неверен  .  Я предпочитаю стандартный способ (ваш первый ответ) в общении со студентами, , если их собственный текст не содержит правила «сначала неявное умножение»  ; но на практике, если бы я встретил это выражение, я, вероятно, сначала проверил бы, откуда оно взялось, чтобы увидеть, могу ли я сказать, что имелось в виду. Главный урок, который нужно усвоить, заключается не в том, какому правилу следовать, а в том, как избежать двусмысленности в том, что вы пишете сами.  Не доставляй другим людям таких хлопот.  

Впоследствии у нас было еще много вопросов по этому поводу; Я просто процитирую несколько уникальных фрагментов из некоторых из этих ответов.

Старомодная математика?

Вот типичный пример школьного конфликта, начиная с 2000 года:

 Порядок Операции Спор
Задача гласит: N ÷ ml, где n=12, m=6 и l=3. Я считаю, что правильный ответ должен быть 0,6666, так как 12 разделить на 18 равно этому. Муж со мной согласен.
Мой сын пришел домой очень расстроенный из школы, с запиской от учителя, что ответ был неправильным.  Она указала, что я должен был разделить 6 (m) на 12 (n), прежде чем разделить 3 (l) на уравнение. Ее ответ был 6.
Мой сын очень расстроен мной; его учитель сказал ему, что я занимаюсь "старомодной математикой". Мне нужно вернуться в школу? 

Проблема в \(N\div ml\), и родители сначала выполняют умножение. Я частично ответил:

 Я могу сообщить вам хорошие и плохие новости. Во-первых, плохие новости: в соответствии с обычным порядком выполнения правил, которые сейчас изучаются, ваш ответ неверен. ... 

Я объяснил стандартные правила и добавил:

 НО...
Вы не одиноки в своем мнении. Эта часть правила — совместное выполнение умножения и деления — вероятно, является последним правилом, которое стабилизировалось; Я знаю, что в 1920-х, по крайней мере, договоренности не было. Кажется, соглашение сложилось, но сейчас оно рушится, как я слышал от многих студентов, чьи тексты отвечают на подобные вопросы так же, как и вы. Похоже, что они добавляют  неустановленное правило, которое кажется вполне разумным в данном контексте  , что подразумеваемое умножение (обозначаемое простым помещением двух переменных или выражений вместе, как в «ml») должно быть выполнено первым.  Конечно,  выглядит так, как будто это . Проблема в том, что, хотя я слышал, что это правило равно  часто следовал за , я почти никогда не слышал, чтобы  обучал , поэтому эти тексты не следуют их собственным установленным правилам. 

В следующий раз я расскажу больше об истории.

 Так как этот тип выражения настолько двусмыслен, люди расходятся во мнениях по поводу правил, а правила легко упустить из виду, я считаю, что  ни ваш ответ, ни ответ учителя неверны: вопрос неверен  . Ни один ответственный математик не стал бы писать такое выражение; мы бы просто сказали
     н
    ---
    м л
так что не было бы вопроса о его значении. В конце концов, цель правил — позволить нам ясно общаться, а не помогать нам обманывать учеников и устраивать ссоры между семьями.
Так что на самом деле вы можете быть «старомодным»; или вы можете быть на переднем крае. В любом случае, боюсь, вам просто нужно узнать, как они это делают в классе, и следовать за ними.  Не должно быть больше таких проблем, о которых нужно беспокоиться. 

В последнее время драки, как правило, происходят в социальных сетях!

Неправильное использование свойства дистрибутива

Я закончу последним архивным обсуждением. Этот вопрос от 2017 года:

 Еще больше о порядке операций
Мне любопытно узнать, какой ответ на это:
   8/4(3 - 1)
Строго следуя PEMDAS, ответ равен 4:
   8/4(2)
   2*2
   4
Однако, если вы будете следовать дистрибутивному свойству, вы получите 1:
   8/((4*3) - (4*1))
   8/(12 - 4)
   8/8
   1
Какой из них будет правильным и почему?
   
Оба варианта действительны, поэтому я не уверен, какой ответ будет правильным.
Это должно быть правильно или неправильно, а не два разных ответа. 

Я ответил набором своих стандартных ответов на вопросы такого рода; даже мой первый заархивированный ответ на эту тему в 1999 году был в значительной степени стандартным ответом, который я давал другим раньше. Здесь я просто рассмотрю несколько сделанных мною замечаний, которые не были полностью освещены выше.

Сначала я подытожил происходящее:

 Проблема не в конфликте между PEMDAS и дистрибутивом; дело в том, что  строгая интерпретация  PEMDAS противоречит  естественному впечатлению человека  значения выражения, так что вы неосознанно применяете альтернативную интерпретацию, когда думаете, что просто применяете распределительное свойство. 

Если вы вспомните более ранние заявления о том, что PEMDAS (а) находится в гармонии со свойствами операций и (б) соответствует визуальному впечатлению от наших обозначений, то некоторые тревожные звоночки уже должны звучать!

 Когда вы распределяли, вы ПРЕДПОЛАГАЛИ, что это 4, а не 8/4 умножает (3 - 1). При этом вы нарушали правила и всего  делал то, что считал нужным  . Если бы вы следовали правилам И распространяли, вы бы получили это:
   (((8/4)*3) - ((8/4)*1))
   ((2*3) - (2*1))
   6 - 2
   4 

На самом деле не свойство распределения привело к «неправильному» результату, а тот факт, что при распределении 4 рассматривалось как множитель.

 Те, кто говорят, что вы должны  распространять сначала , ставят телегу впереди лошади: вы не можете применять трюки для оценки выражения, прежде чем вы сначала не узнаете, что оно ОЗНАЧАЕТ, но они думают, что свойство распределения влияет на значение. (На самом деле свойство дистрибутивности здесь — пустая трата времени, потому что оно заставляет вас делать два умножения там, где нужно только одно!)
Смысл определяется порядком действий. Умножение должно производиться до или после деления? 92\div 4b + c\): 
 
 На самом деле есть несколько разных причин, которые люди приводят (это очень популярный вопрос), некоторые из которых лучше, чем другие.
Как утверждает ваш друг, правила, как обычно учат, говорят нам выполнять все умножения и деления слева направо (в пределах любого их кластера) и не делать исключений, которые привели бы к вычислению 4b в первую очередь. Многие из нас здесь согласятся с этим и покончат с этим.
Некоторые люди сначала оценили бы 4b из-за неправильного понимания PEMDAS,  думая, что это означает, что умножение должно быть выполнено до деления  .  Я думаю, вы знаете, что они ошибаются.
Еще одна неправильная причина, примененная к несколько иному виду выражения, — это неправильное понимание скобок  : правило, согласно которому скобки «предшествуют» всему остальному, приводит их к мысли, что в выражении вроде 12/4(4-1) умножение 4 (4-1) должно быть сделано первым. Но правило о скобках на самом деле говорит только о том, что то, что находится ВНУТРИ скобок, должно быть оценено в первую очередь; результат обрабатывается как любое другое число. (Я иногда называю это " липкие скобки  "вид.)
Другая причина, связанная с этим вторым типом выражений, заключается в том, что дистрибутивное свойство   вынуждает вас сначала выполнять умножение, потому что сначала вычисляется 4(4-1) = 4*4-4*1 = 12, а затем разделять; но это вызывает вопрос, потому что единственная причина, по которой они взяли 4, а не 12/4, как множитель слева, заключается в том, что им это показалось именно так. И, конечно же, свойство дистрибутивности — это всего лишь способ, которым вы можете, если хотите, переписать выражение так, чтобы оно давало то же самое значение; это вне вопроса о том, что само по себе ЗНАЧИТ это выражение. 
В конце концов, большинство людей, вероятно, делают это всего лишь , потому что это кажется правильным  : 4b выглядит ближе друг к другу, поэтому мы, естественно, хотим сделать это в первую очередь. Но они не могут указать ни на одно правило, оправдывающее это; и поскольку математика — это доказательство и то, что вы ЗНАЕТЕ правильно, а не только то, что кажется правильным, это нехорошо. 
 Пример «липких скобок» см. в разделе
 Связана ли цифра 2 с числами в скобках? 
 Пример отображения знака деления в виде дробной черты (и долгое обсуждение того, как не поддаваться влиянию внешнего вида) см. в разделе 9.0003
 Порядок операций и дробей 
 Назад к ответу 2017 года…
 Избегание — лучшая политика не оставляет двусмысленности. В результате математическому сообществу никогда не приходилось делать выбор в этой ситуации! 
  По сути, он остался неопределенным  , и именно авторы учебников придумали явные «правила» для описания того, что на самом деле является просто языком, который развивался органически,  основано не на тщательно сформулированных правилах, а на молчаливом соглашении  . Так что «правильный» способ прочтения такого выражения зависит от того, какие правила действуют в конкретном сообществе (математический класс, журнал и т. д.) — и что имел в виду автор. 

Я закрыл призывом к миру:

 В результате в таких задачах ошибаются в первую очередь не те, кто дает "неправильные" ответы, а те, кто ставит задачу в первую очередь ( или передать дальше). Любой, кто действительно хочет правильно заниматься математикой, захочет четко об этом сообщить и будет избегать двусмысленности или неопределенности. Они должны либо полностью заключаться в круглые скобки, либо использовать горизонтальную дробную черту, которая проясняет порядок:
      6 6
   -------- или ---(2 + 1)
   2(2 + 1) 2 

Споры о подобных вещах в социальных сетях — пустая трата времени. Но размышление о наших соглашениях может быть очень поучительным. В следующий раз я завершу все рассмотрением истории и некоторыми вескими причинами считать, что «новое правило» на самом деле правильное.

Математика на основе запросов: зачем умножать перед сложением?

Продолжая наше исследование того, почему у нас есть правила для порядка операций, мы начали с того, что вспомнили, что мы узнали и задались вопросом о вчера 9.0198  используя аналогию со сверхспособностями:

Одним из наших вопросов было: «Зачем нам нужны правила для порядка операций в математике?»

Это отличный вопрос, и сегодня мы его рассмотрели.

Когда дети узнают ПОЧЕМУ в математике (а не только КАК), их обучение и понимание возрастают.

Конечно, гораздо проще просто объяснить БОДМАС / правила порядка работы, но мы должны хотеть, чтобы дети понимали, почему это так.

Мы начали с того, что использовали наши калькуляторы, чтобы ответить:

Некоторые из наших калькуляторов сказали, что ответ будет 19, а другие сказали 35.

Как это может быть?!?!?

Это нас озадачило.

Поделились некоторыми теориями.

Так какой же правильный ответ? / Есть ли правильный ответ?

Чтобы выяснить это, мы подумали о том, как мы могли бы интерпретировать числовое предложение, если бы не было правил.

Вспомнив, что умножение — это многократное сложение, мы обнаружили, что более разумно умножать перед сложением, потому что умножение — это многократное сложение. Чтобы понять числовое предложение, мы можем разбить его на сложение: