Что первое умножение или деление со скобками: Какие правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками тебе известны

Порядок выполнения действий 5 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

В любом языке есть правила грамотной записи. Кроме самих слов, который несут основной смысл, мы используем знаки препинания. Они тоже крайне важны.

 

Вспомним всем известное «казнить нельзя помиловать». От того, где поставить запятую, смысл выражения меняется на противоположный (см. рис. 1).

Рис. 1. Как меняется смысл фразы от запятой

В этом предложении есть слова, которые несут смысл, а есть знак препинания – запятая, который очень сильно на этот смысл влияет.

В математическом языке тоже есть такой знак препинания, это скобки.

 

Пример 1

 

 

 

Если выполнять действия, как они записаны, то получаем 6: .

Но если поставить скобки вокруг суммы , то сразу смысл выражения меняется: .

 

Роль скобок. Порядок операций

 

 

В математике есть простые правила, указывающие, какие действия в каком порядке надо совершать. Скобки нужны, если мы хотим влиять на этот порядок действий. Зная эти правила, ошибиться в порядке действий практически невозможно. Их мы сейчас и обсудим.

 

 

Сложение и вычитание равноправны

 

 

 

В этом примере у нас есть и сложение, и вычитание. Эти действия равноправны. Мы делаем их все подряд слева направо. Расставим последовательность действий.

 

Умножение и деление тоже равноправны

 

 

Если у нас только умножение и деление, то мы опять делаем все действия подряд слева направо:

 

 

Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание

 

 

Если у нас разные действия в одном примере, то сначала нужно сделать все умножения и деления, слева направо, а потом все сложения и вычитания, тоже слева направо.

 

 

Действия в скобках раньше всего

 

 

Действия в скобках делаются в первую очередь. Сначала вспомним еще раз нашу задачку, с которой начали урок.

 

Умножение идет первым, поэтому сначала умножение, потом сложение.

Но если поставить сложение в скобки, то начинаем мы с него, а умножение делаем вторым.

Очень простая задача, но здесь видно, что последовательность действий важна, меняем последовательность, получаем разные ответы.

 

Пример 2

 

 

 

Сначала действия в скобках. Их две. Значит, расставляем последовательность действий над скобками слева направо. Потом идут умножение и деление слева направо, и последнее вычитание:

 

Порядок выполнения действий

 

 

• действия в скобках
• умножение и деление
• сложение и вычитание

 

 

Пример 3

 

 

 

Внутри скобок может оказаться несколько действий. Тогда они выполняются по обычным правилам: сначала действия в скобках – сначала умножение, потом вычитание. Остались снаружи от скобок деление и последнее сложение.

 

Пример 4

 

 

 

Внутри скобок могут оказаться еще скобки. Значит, смотрим на весь пример, сначала нужно сделать все действия внутри больших скобок, пользуясь правилом, то есть сначала действия в скобках, затем деление, затем сложение. Снаружи больших скобок сначала умножение, потом сложение.

 

Пример 5

 

 

Рассмотрим еще один прием вычислений, который иллюстрирует, как можно сократить количество действий.

 

Расставим последовательность действий.

Получилось восемь действий. Делая по одному действию, мы должны будем переписать этот пример восемь раз и только потом получим ответ. Это будет выглядеть так:

Запись можно сократить. Расставим последовательность действий. 1 и 2 действие не влияют на третье. Его можно сделать одновременно с первым. А то, что мы делаем в первых скобках, не влияет на то, что делаем во вторых. Действия в первых больших и последних скобках тоже можно делать одновременно.

За один раз выполнены три действия. Далее одновременно можно сделать по одному действию в первых и вторых скобках: деление и вычитание.

Заканчиваем решение:

Запись получилась короче.

 

Заключение

 

 

Этот прием одновременных вычислений требует тренировки. Навык сам появится, когда вы выполните достаточное количество примеров.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. 14-е изд., испр. и доп. — М.: 2013. – 270 с.
2. Математика. 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И. и др. 24-е изд., испр. — М.: 2008. — 280 с.
3. Математика. 5 класс. Учебник в 2 ч. Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г. 2-е изд., перераб. — М.: 2011; Ч. 1 — 176 с, Ч. 2 — 240 с.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «matematika-na.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «school-assistant. ru» (Источник)
3. Интернет-портал «urokimatematiki.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

Решите примеры:

 

Арифметические действия — Формулы, теоремы, определения

Типы материалов

• формулы
• теоремы
• определения
• статьи

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

Определение Сложение, сумма

Понятие о том, что такое сложение, возникает из таких простых фактов, что оно не нуждается в определении и не может быть определено формально.

\[слагаемое + слагаемое = сумма\]

Например

\[4 + 3 = 7\]
4 — слагаемое
3 — слагаемое
7 — сумма

Часто даются “определения” вроде таких: “сложение есть действие, посредством которого несколько чисел соединяются в одно”.

или “действие посредством которого сколько единиц содержится в нескольких числах вместе”. Но тот, кто не знал бы что значит “сложить”, не знал бы и что такое “соединить числа”, так что все похожие определения сводятся лишь к замене одних слов другими.

изменить / сообщить об ошибке

Определение Вычитание

Вычитание — есть нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Сумма получает название уменьшаемого, данное слагаемое — вычитаемого, искомое слагаемое — разности.

\[Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность\]

Например

\[9 −5 = 4\]

9 — Уменьшаемое
5 — Вычитаемое
4 — Разность

изменить / сообщить об ошибке

Определение Умножение, произведение

Умножить некоторое число (

множимое) на целое число (множитель) — значит повторить множимое слагаемое столько раз, сколько указывает множитель. Результат называется произведением.

\[Множимое × Множитель = Произведение\]

Например

\[3 × 4 = 12\]

Или еще записывают так

\[3 · 4 = 12\]

3 — Множимое
4 — Множитель
12 — Произведение

а вычисляется так

\[3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12\]

Если множимое и множитель меняются ролями, произведение остается тем же.

\[4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12\]

изменить / сообщить об ошибке

Определение Деление с остатком

Деление с остатком есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающееделимое. Искомое число называется неполным частным

. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком. Он всегда меньше делителя.

Например:

19 не делится нацело на 5.
Числа 1, 2, 3 в произведение с 5 дают 5, 10, 15,
не превосходящие делимое 19,
но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее, чем 19. 4 = 81\) (проверка извлечения корня).

Корень второй степени называется иначе квадратным, корень третьей степени — кубическим. При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать.

Например:

\(\sqrt[2]{16} = \sqrt{16} = 4\)

 

 

 

изменить / сообщить об ошибке

Статья Порядок арифметических действий, скобки

Если несколько действий выполняются одно за другим, то результат, зависит от порядка действий.

Например,

\[4−2+ 1= 3\]

Если производить действия в порядке их записи.

Если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1.

Чтобы указать, в каком порядке нужно выполнять действия (в тех случаях, когда результат зависит от порядка действий), пользуются скобками. Действия, заключенные в скобки, выполняются раньше других. В нашем случае:

\[(4−2)+ 1= 3\]

\[4−(2+ 1)= 1\]

 

Пример 1:

\[(2+ 4) · 5= 6 · 5= 30\]

\[2+(4 · 5)= 2+ 20= 22\]

Чтобы не загромождать чрезмерно записи, условились не писать скобок:

1. в том случае, когда действия сложения и вычитания, следуя друг за другом, должны выполняться в том порядке, в каком они записаны;
2. в том случае, когда внутри скобок производятся действия умножения или деления; например, вместо 2 + (4 · 5) = 22 пишут 2 + 4 · 5 = 22.

При вычислении таких выражений, которые либо совсем не содержат скобок, либо содержат лишь такие скобки, внутри которых больше нет скобок, нужно производить действия в таком порядке:

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Пример 2:

\[2 · 5−3 · 3\]

 

Сначала выполняем умножения:
2 · 5 = 10
3 · 3 = 9
затем вычитание:
10 — 9 = 1

Пример 3:

\[9+ 16 : 4−2 ·(16−2 · 7+ 4)+ 6 ·(2+ 5)\]

 

Сначала выполняем действия в скобках:
\[16 — 2 · 7 + 4 = 16 — 14 + 4 = 6\]
\[2 + 5 = 7\]

Теперь выполняем остающиеся действия:
\[9 + 16 : 4 — 2 · 6 + 6 · 7 = 9 + 4 — 12 + 42 = 43\]

Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые сами уже содержат скобки.

Тогда, кроме обычных (круглых), применяют скобки иной формы, например квадратные []. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками {}. Вычисление подобных выражений производится в следующем порядке: сначала производятся вычисления внутри всех круглых скобок в вышеуказанной последовательности. Затем — вычисления внутри всех квадратных скобок по тем же правилам. Далее — вычисления внутри фигурных скобок и т.д.. Наконец, выполняются остающиеся действия.Пример 4:

\[5+ 2 ·[14−3 ·(8−6)]+ 32 :(10−2 · 3)\]

 

Выполняем действия в круглых скобках, имеем:
\[8 — 6 = 2\] 
\[10 — 2 · 3 = 10 — 6 = 4\]

действия в квадратных скобках дают:
\[14 — 3 · 2 = 8\]

выполняя остающиеся действия скобках находим:

\[5 + 2 · 8 + 32 : 4 = 5 + 16 + 8 = 29\]Пример 5:

\[[100−[35−(30−20)]]· 2\]

 

Порядок действий:
\[30 — 20 = 10\]
\[35 — 10 = 25\]
\[100 — 25 = 75\]
\[75 · 2 = 150\]

изменить / сообщить об ошибке

0.

1.1 — Порядок работы 0.1.1 — Порядок операций

Акроним PEMDAS, или мнемоника « p аренда e извините m y d ear a unt S ally», иногда используется, чтобы помочь учащимся запомнить основной порядок операций, где P = круглые скобки, E = показатели степени (и квадратные корни), M = умножение, D = деление, A = сложение и S = ​​вычитание.

При выполнении ряда математических операций начинайте в скобках. Затем вычислите любые показатели степени или квадратные корни. Затем умножение и деление. И, наконец, сложение и вычитание. Для более глубокого ознакомления мы рекомендуем урок «Порядок операций» Академии Хана.

СкобкиПоказатель степени и квадратный кореньУмножение и делениеСложение и вычитание

В этом курсе мы будем часто использовать дроби. При работе с дробями можно представить, что операции в числителе заключены в скобки, а операции в знаменателе — в скобках. Ниже приведены несколько примеров математических операций, которые будут применяться в этом курсе. Мы узнаем о применении этих операций позже в курсе, здесь мы сосредоточимся только на математических операциях. 9* = 2,080\).

Сначала мы подставим заданные значения.

\(5,770 \pm 0,355(2,080)\)

В скобках нет операций, степеней или квадратных корней, поэтому следующим шагом будет умножение.

\(5,770 \pm 0,697\)

Символ ± говорит об использовании как вычитания, так и сложения.

\(5,770 — 0,697 = 5,073\)

\(5,770 + 0,697 = 6,467\)

Доверительный интервал (5,073, 6,467).

Пример: объединенная доля

Пример: тестовая статистика для доли

Статистические данные теста для проверки гипотезы пропорции одной выборки могут быть рассчитаны с использованием уравнения \(z = \frac {\hat p — p_0}{\sqrt{\frac{p_0 (1-p_0)}{n}}} \). Давайте проработаем эту формулу, используя следующие значения: \(\шляпа p = 0,87\), \(p_0 = 0,8\) и \(n=100\).

Сначала мы подставим заданные значения.

\(z = \frac {0,87 — 0,8}{\sqrt{\frac {0,8 (1- 0,8)}{100}}}\)

В первых шагах мы будем работать с числителем и знаменателем отдельно. Начнем с числителя, который содержит только вычитание.

\(z = \frac {0,07}{\sqrt{\frac{0,8 (1- 0,8)}{100}}}\)

Теперь сосредоточимся на знаменателе. Операция в скобках должна выполняться первой.

\(z = \frac {0,07}{\sqrt{\frac{0,8 (0,2)}{100}}}\)

В знаменателе мы можем сначала работать с вершиной дроби,

\ (z = \ frac {0,07} {\ sqrt {\ frac {0,16} {100}}} \)

Найдите дробь под квадратным корнем из знаменателя.

\(z = \frac {0,07}{\sqrt{0,0016}}\)

Затем извлеките квадратный корень из знаменателя.

\(z = \frac {0.07}{0.04}\)

И, наконец, разделите числитель на знаменатель.

\(z = 1,75\)

---

Порядок операций (PEMDAS) | Репетиторство в Читауне

Перейти к содержимому

PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание) — это аббревиатура, определяющая порядок операций в арифметике. Другими словами, в математическом выражении, если у вас задействовано более одной операции, вам нужно следовать этому порядку операций, чтобы получить правильный ответ.

Если вы не будете следовать этому порядку, вы, очевидно, получите ответ, но он будет неправильным. PEMDAS сообщает вам, какая операция должна быть выполнена первой, затем какая операция и так далее.

Причина, по которой была изобретена эта аббревиатура, заключается в том, что было бы очень трудно запомнить порядок операций, если бы кто-то просто сказал вам сначала заполнить все в скобках, а затем заполнить степени, а затем умножение, деление, сложение и вычитание.

Да, кажется, довольно сложно запомнить этот порядок. И именно поэтому появилась аббревиатура PEMDAS, и если вы хотите сделать ее еще проще, вы можете запомнить ее в виде предложения, например, «Простите, моя дорогая тетя Салли» (PEMDAS). Если вы запомните эту фразу, то сможете легко запомнить порядок операций и быстро решать математические задачи.

Почему PEMDAS важен?

Порядок операций или PEMDAS чрезвычайно важен, поскольку он определяет рекомендации для правильного решения любой математической задачи. Возьмем, к примеру, следующее выражение:

3 * 2 + 5

Здесь я могу сначала умножить 3 * 2 и добавить к результату 5 и получить ответ.

3 * 2 + 5 = 11

Или, я могу добавить 2 + 5 и, наконец, умножить результат на 3, и я также получу ответ здесь. Но главное, какой ответ правильный?

3 * 2 + 5 = 21

Если вы примените здесь PEMDAS, он скажет:

Скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание добавить или вычесть.

Применяя этот порядок, правильный ответ равен 11, где вы сначала умножаете, а затем складываете.

Подробное объяснение PEMDAS

Давайте посмотрим на подробное объяснение PEMDAS:

P обозначает круглые скобки, и это означает, что вам нужно решить что-либо внутри круглых скобок.

Например:

3 * (4 + 2) — это выражение, которое вам нужно вычислить
3 * (4 + 2) = 3 * 6 = 18 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
3 * ( 4 + 2) = 12 + 2 = 24 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

Далее идут показатели степени, а это значит, что перед умножением, делением, сложением и вычитанием необходимо вычислить степени и корни.

4 * 2 ² — это выражение
4 * 2 ² = 4 * 4 = 8 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
4 * 2 ² = 8 ² = 64 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

MD 9000 сложение и вычитание

8 + 5 * 2 — это выражение, которое вам нужно вычислить
8 + 5 * 2 = 8 + 10 = 18 (ПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)
8 + 5 * 2 = 13 * 2 = 26 (НЕПРАВИЛЬНЫЙ ПОРЯДОК)

Последнее идет КАК, что означает, что вам нужно делать сложение и вычитание, только в последнюю очередь, после того, как вы выполните другие операции по порядку.