Что раньше умножение или сложение: Математика для блондинок: Почему умножение первое?

Из истории математических действий | Образовательная социальная сеть

Арифметика, или числительница.

Есть художество честное, независимое, всем удобопонятное, многополвзнейшее и многохвальнейшее. от древнейших же к новейших в разные вре мена явившихся наряднейших арифметиков изобретенное и изложенное.

Л. Ф. Магницкий

Сложение

Еще в древности люди научились считать предметы, называя число их по порядку: 1, 2, 3… Но сущность счета не только в том, чтобы называть по порядку числа, но и в присчиты вании, т. е. в прибавлении единицы к перво начальному числу, затем еще одной единицы,

затем еще одной и т. д. Овладе ние счетом требует умения при бавлять единицу к любому числу и к полученному от этого сложе ния числу снова прибавлять еди ницу и т. д.

Итак, сложение числа с едини цей возникло с появлением счета. В дальнейшем сложение двух чи сел выразилось в присчитывании к данному числу по одному всех единиц второго слагаемого. По наблюдайте, как складывают чи сла малыши. Например, чтобы прибавить к трем два, ребенок на одной руке оставляет незагнуты ми 3 пальца,

а на второй—2 паль ца и сначала считает три пальца (загибая каждый) на одной руке, а затем также присчитывает к ним по одному пальцы другой руки. Когда все пальцы загнуты — сло жение закончено. На следующем этапе обучения ребенок уже не пересчитывает единицы первого слагаемого, а сразу называет его и присчитывает к нему по одному все единицы второго слагаемого.

Сотни лет люди древнего мира выполняли сложение подобным же образом, присчитывая к пер вому данному множеству предме тов по одному предмету, взятому из второго множества, до тех пор, пока все предметы (члены) второ го множества не будут исчерпаны.

Длительное время сложение чисел люди выполняли только устно с помощью каких-либо предметов — пальцев, камешков, ракушек, бобов и пр., а позже на специальных приборах—счетной скамье, абаке, счетах.

Только после того как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записы вать цифрами, подобно тому как это делаем мы, индийские мудре цы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычисле ниях они записывали числа па лочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную дос ку. Цифры, изображенные на пес ке, легко было стирать, а на их ме сте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел. мудре цы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычисле ниях они записывали числа па лочкой на песке, насыпанном на специально приготовленную дос ку. Цифры, изображенные на пес ке, легко было стирать, а на их ме сте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято записывать слагаемые в стол бик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сло жение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее за писанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

Индийский прием сложения по заимствовали математики Сред него и Ближнего Востока, а от них в начале IX в. он перекочевал в Европу.

С XV в. способ письменного сло жения чисел принял современный вид,

л    л   т

                                                           2  +  3

В Древнем Египте знаком сложения служило схематическое изображение шагающих ног человека.

а до этого долгое время сла гаемые записывали одно подле другого без всякого знака между ними. В начале XV в. действие сложения стали обозначать на чальной буквой слова плюс (в ла тинском алфавите — Р), которое означало «сложить». К концу того же века отдельные математики стали обозначать сложение зна ком +, который вскоре получил всеобщее признание. Это быст рое признание нового знака прои зошло, видимо, потому, что его начертание напоминает сложе ние двух палочек.

Однако изобретение особых знаков для обозначения арифме тических действий нельзя полно стью приписывать только евро пейским математикам. Еще древние египтяне обозначали сложе ние особым знаком — рисунком шагающих ног.

Название слагаемое впервые встречается в работах математи ков XIII в. , а понятие «сумма» по лучило современное толкование только в XV в. До этого времени оно имело более широкий смысл — суммой называли результат лю бого из четырех арифметических действий.

Вычитание

В Древней Индии вычитание чи сел выполняли способом отсчитывания от уменьшаемого по од ному, пока не получится вычитаемое. Например, вычитая от девя ти пять, считали: «Девять без од ного — восемь, девять без двух — семь, девять без трех — шесть, девять без четырех — пять, де вять без пяти — четыре. Все еди ницы вычитаемого (пять) исчерпа ны, следовательно, 9-5 = 4».

   Второй способ вычитания (ав стрийский) состоит в прибавле нии к вычитаемому такого числа, которое в сумме с вычитаемым даст уменьшаемое. При таком способе, например, считали: «9 — 5: пять прибавить один — шесть, пять прибавить два — семь, пять прибавить три — во семь, пять прибавить четы ре — девять. Следовательно, 9-5 = 4, так как, прибавив к пя ти четыре, получаем уменьшае мое— девять».

Индийские математики выполняли   вычитание больших чисел способом, похожим на сложение. Они начинали вычитание с наи высших разрядов, причем те циф ры, от которых приходилось «за нимать» единицу, чтобы раздро бить ее в десяток низших разряд ных единиц, они стирали и запи сывали на место стертой новую, на единицу меньшую цифру. Для них это было удобно, так как в Ин дии черновые вычисления выпол няли на доске, посыпанной пес ком.

Индийский способ вычитания переняли арабы. Но они не стира ли цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские мате матики, используя тот же прием вычитания, стали начинать дей ствие с низших разрядов, т. е. раз работали новый способ вычита ния, сходный с современным.

Для обозначения вычитания в III в. до н. э. в Греции использова ли перевернутую греческую букву пси (Ф). Итальянские математики пользовались для обозначения вычитания буквой М (ц), началь ной в слове минус. В XVI в. для обозначения вычитания стали применять знак -. Вероятно, этот знак перешел в математику из торговли. Торговцы, отливая для продажи вино из бочек, черточ кой мелом обозначали число мер проданного из бочки вина. Чтобы отличать знак минус от тире, Л. Ф. Магницкий (XVIII в.) обозна чал вычитание знаком +.

Индийский способ вычитания переняли арабы. Но они не стира ли цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. Это было очень неудобно. Тогда арабские мате матики, используя тот же прием вычитания, стали начинать дей ствие с низших разрядов, т. е. раз работали новый способ вычита ния, сходный с современным.

Знак равенства (=)   впервые введен английским учителем ма тематики Р. Рикоррдом в XVI в. Он пояснял: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две па раллельные линии». Но еще в еги петских папирусах встречается знак, который обозначал равен ство двух чисел, хотя этот знак совершенно не похож на знак =.

Названия уменьшаемое и вычи таемое появились в Европе толь ко в XVIII в. А слово разность вве дено на 250 лет раньше.

Умножение

Умножение — это особый (част ный) случай сложения несколь ких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были пред ставлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, т. е. 2 • 10, 30 — как три десятка, т. е. три раза повторить слагае мым десяток—3- 10 — и т. д.

Умножать люди начали значи тельно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложе ния или последовательного уд воения. Например, чтобы умно жить 27 на 13, они составляли за пись, подобную следующей:

*1—27 (складывая 27 + 27 или удваивая 27 • 2, они получали 2— 54; сложение или удвоение повто ряли):

Ч—108 (и т. д.)

‘8—216 13    351

Из первого столбика вычисли тель выбирал те числа, которые в сумме составляли множитель (13), т. е. 1 + 4 + 8, и отмечал их условными значками (у нас эти чи сла отмечены звездочкой *). За тем удвоенные числа, стоящие против отмеченных звездочкой, складывали и получали произве дение. Этот прием (им пользова лись во многих местах, в том чи сле и в нашей стране) применялся на практике продолжительное время. Ему даже дали название «способ умножения, применя емый русскими крестьянами».

В Вавилоне при умножении чи сел пользовались специальными таблицами умножения — «пред ками» современных.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современно му. Индийцы производили умно жение чисел начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последу ющих действиях надо было заме нять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении.

Таким образом, математики Ин дии сразу записывали произведе ние, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме.

Индийский прием умножения, напомню, перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а пере черкивали их и надписывали но вую цифру над перечеркнутой.

В Европу индийский способ ум ножения пришел через арабов. Только в XV в. европейские мате матики отказались от перечерки вания неточных цифр и стали на чинать умножение с низших раз рядов. Европейскими математи ками было разработано около де сятка различных вариантов при ема умножения, например умно жение «решеткой» и др.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название мно житель упоминается в работах VI в., а множимое — в XIII в.

В России впервые дал названия всем членам (компонентам) умно жения в начале XVIII в. Л. Ф. Маг ницкий — автор учебника «Ариф метика». В нем он указал:

34 — еличество      (количе ство),

2 ■— множитель,

68 — продукт, или произве дение.

Для обозначения действия ум ножения одни из европейских ма тематиков XVI в. употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначав шем увеличение, умножение, — мультипликация (от этого слова произошло название «мульт фильм»). В XVII в. некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком — х, а иные употребляли для это го точку. В XVI—XVII вв. для обо значения   действий   применяли различные символы — едино образия в их употреблении не бы ло. Только в конце XVIII в. боль шинство математиков стали упо треблять в качестве знака умно жения точку, но допускали и упо требление косого креста. Знаки умножения (•, х) и знак равенства (=) стали общепризнанными бла годаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646— 1716).

Деление

Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить. Вычитание из нату рального числа можно выполнить лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого. Деление же без остатка выполнимо только для некоторых чисел, причем уз нать, делится ли одно число на другое, трудно. Помимо того, есть числа, которые вообще нельзя разделить ни на какое число, кро ме единицы. Делить на нуль нельзя. Эти особенности действия значительно усложнили путь к уяснению приемов деления.

В Древнем Египте деление чи сел выполняли способом удвое ния и медиации, т. е. делением на два с последующим сложением отобранных чисел. Например, чтобы разделить 60 на 12, египет ские математики поступали так: 60:12

1—12*

2 — 24

4 — 48*

8 — 96

(т. е. составляли табличку, в кото рой делитель (12) сначала удваи вали, затем учетверяли и т. д.). Из второго столбика отбирали чи сла, которые в сумме составляли делимое. Строки с этими числа ми — первую и третью (1 — 12 и 4 — 48, так как 12 + 48 = 60) отмеча ли особым значком (здесь они от мечены звездочкой). Отмечен ные числа складывали и получа ли ответ: 1 +4 = 5, так как 12 + 48 = 60. Следовательно, 60 :12 = 5.

А вот более сложный пример: 492:12

1        —12*

2        — 24
4 — 48
8 — 96*
16—192
32 — 384*

Поступаем так же, как в пер вом случае: так как
492 = 384 + 96 + 12,        то

492 : 12 = (32 + 8 + 1). Следова тельно, 492 : 12 = 41.

Математики Индии изобрели способ «деление вверх». Они за писывали делитель под делимым, а все промежуточные вычисле ния — вверху над делимым. При чем те цифры, которые при про межуточных вычислениях подвер гались изменению, индийцы стира ли и на их место писали новые.

Позаимствовав этот способ, арабы в промежуточных вычисле ниях стали цифры перечеркивать и надписывать над ними другие. Такое нововведение значительно усложнило «деление вверх». За пись деления получалась очень громоздкой и для многих непонятной (поэтому мы его здесь не при водим). Даже знающие люди до пускали при таком способе деле ния ошибки. Однако европейские математики восприняли способ деления от арабов и пользова лись им до XVIII в. Вот почему сре ди итальянских поговорок сохра нилась: «Трудная вещь — деле ние», а человек, усвоивший в то время деление, получал звание «доктора абака».

Способ деления, близкий к сов ременному, впервые появился в итальянской рукописи 1460 г. Этот способ отличался от совре менного лишь тем, что остаток при вычитании частичного произ ведения делителя на отдельные разряды частного записывался дважды. Вот, например, как дели ли числа в XV—XVII вв.

6912:27

делимое 6912 256 частное

делитель27 (27-2; 69-54= 15,

сносим 1, будет 151)

151

делитель27 (27-5; 151-135=16

и снесли 2)

162

делитель 27 (27-6=162.

Остатка нет)

Примечание: подчеркнутые циф ры записывали в частное, словесные по яснения и вычисления в скобках приведе ны для ясности; все приведенные вычи сления выполняли в уме.

Потребовалось около трех ве ков, чтобы указанный способ де ления был окончательно усовер шенствован и в современном виде принят всеми математиками мира

Попыток усовершенствовать деление было сделано немало, и поэтому приемов деления суще ствовало около десятка.

На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком — его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление на чальной буквой из названия этого действия. Арабы ввели для обо значения деления черту. Черту для обозначения деления от ара бов перенял в XIII в. итальянский математик Фибоначчи. Он же впервые употребил термин част ное.

Знак двоеточия (:) для обозна чения деления вошел в употреб ление в конце XVII в. До этого у не которых математиков встречался знак -5-, которым они обозначали это действие.

Результат деления в продол жение нескольких столетий назы вали сумма. В России названия делимое., делитель, частное впер вые ввел Л. Ф. Магницкий в нача ле XVIII в. Он в своей книге «Арифметика» привел два спосо ба деления — «деление вверх» и второй способ, близкий к совре менному

Какие действия решаются первыми в математике?

Какие действия решаются первыми в математике?

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок: действия выполняются по порядку слева направо, причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Как выполняются действия в скобках?

1. сначала выполняются действия, заключенные в скобки; при этом умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше, чем сложение и вычитание;
2. затем выполняются остающиеся действия, причем опять умножение и деление делаются в порядке из следования, но раньше сложения и вычитания.

Как правильно расставить порядок действий в примерах со скобками?

Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

1. Сначала выполняем все действия внутри скобок
2. Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени, слева направо (от начала к концу примера).
3. Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке

Как раскрыть скобки в степени?

п. Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий: сначала возвести многочлены в скобках в натуральную степень; затем слева направо провести умножение и деление; наконец, когда в скобках останутся только слагаемые, раскрыть скобки и привести подобные.

Как раскрыть дужки?

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или не стоит никакого знака, таково: скобки вместе с этим знаком опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. При этом если первое слагаемое в скобках записано без знака, то перед ним нужно поставить знак плюс.

Как правильно раскрыть скобки при умножении?

Правило раскрытия скобок при умножении: Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.

Как правильно раскрыть скобки в алгебраическом выражении?

Правила раскрытия скобок

1. Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. …
2. Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

Как открыть две скобки?

Второе правило раскрытия скобок Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус. Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3.

Что значит раскрыть скобки в русском языке?

сказать прямо, без ухищрений ◆ Те рецензенты, кому спектакль нравился, не могли раскрыть скобки, дабы не повредить Аксенову и «Современнику».

Как умножить две скобки?

Чтобы умножить одну сумму, представленную, как выражение в скобках, на другую, нужно каждое слагаемое первой умножить на каждое слагаемое второй, а затем сложить получившиеся произведения.

Как раскрывать скобки при сложении и вычитании?

Правило раскрытия скобок при вычитании Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Как делить многочлен на многочлен?

Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

1. Делим первый член делимого 2×4 на первый член делителя x2. …
2. Умножаем первый член частного 2×2 на делитель x2 – x + 1, а результат умножения
3. Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. …
4. Делим первый член остатка x3 на первый член делителя x2 .

Как это преобразовать в многочлен?

Преобразование в многочлен То есть, мы можем представить сумму, произведение и разность многочленов в виде другого многочлена. … В результате необходимо получиться выражение, которое представляет собой алгебраическую сумму нескольких одночленов.

Что значит преобразовать в многочлен стандартного вида?

Такой переход и называют приведением многочлена к стандартному виду. Итак, привести многочлен к стандартному виду – это значит заменить исходный многочлен тождественно равным ему многочленом стандартного вида, полученным из исходного путем проведения тождественных преобразований.

Что означает многочлен?

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Несложно заметить, что любой многочлен состоит из нескольких одночленов. Рассмотрим многочлен подробнее.

Что такое целое выражение в алгебре?

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Что называют целое выражение?

Целыми выражениями называют числа, переменные, а также всевозможные выражения, составленные из них при помощи действий сложения, вычитания и умножения (произведение одинаковых множителей может быть записано и в виде степени с натуральным показателем), которые также могут содержать скобки и деление на отличное от нуля . ..

Какие алгебраические выражения называются целыми?

Целым называется такое алгебраическое выражение, которое не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных и возведения в степень с дробным показателем.

арифметика — Порядок действий — Имеет ли значение порядок..

Мы можем составить любое правило, какое захотим. Пока мы последовательны в этом.

Так что же такое 5+4×3+2?

Мы могли бы составить правило, которое: 1) Вы всегда делаете это строго слева направо

Итак, 5+4×3+2 = 9×3+2=27+2=29.

Или мы могли бы составить правило, которое: 2) Вы всегда делаете сложение первым

Итак, 5+4×3+2 = 9×5 = 45.

Или мы могли бы составить правило, которое: 3) Вы всегда сначала выполняете умножение

Итак, 5+4×3+2 = 5+12+2 = 19.

Или мы можем составить правило, которое: 4) Вы всегда делаете справа налево

Итак, 5+ 4х3+2 = 5+4х5=5+20=25.

Так какое правило лучше?

По многим причинам 3 лучше, а 1 и 4 хуже. Но на самом деле мы могли бы обойтись любым предоставленным, как только мы выбираем тот, который мы придерживаемся.

По многим причинам «Сначала умножение, потом сложение».

Как насчет скобок и круглых скобок? Ну, вся причина у нас есть скобки и круглые скобки, чтобы сказать нам делать что-то первым. Именно они используются, когда нормальные правила , а не , что мы хотим сделать, поэтому мы вставляем их, чтобы указать, что что-то должно быть сделано в первую очередь.

Серьезно, если бы у нас было правило, согласно которому мы должны делать скобки последними , то вы видите, что это не сработало бы. Как мы могли бы выразить «в 3 раза результат 4 плюс 5», если у нас есть способ сказать «сначала прибавь 4 и 5». «Сначала добавьте 4 и 5» — это то, что 3x(4+5) означает .

Так почему же мы сначала делаем умножение, а потом сложение? Или, если на то пошло, сначала степени, затем умножение и сложение?

Ну, я думаю, это из-за «группировки». Когда мы добавляем вещи, мы группируем только наборы единиц. 3 + 5 на самом деле «3 единицы, сгруппированные с 5 единицами, составляют 8 единиц». Когда мы умножаем, мы группируем по большим факторам, а не по маленьким единицам. 3×4 + 5×6 означает «у нас есть набор из 3 четверок и набор из 5 шестерок; это объединяется, и у нас есть 12 и 30, и мы объединяем их по единицам, чтобы получить 32». Я не знаю. Мне кажется, это самый естественный способ. На мой взгляд во всяком случае….

Таким образом, 3x(4+5) означает «хорошо, сначала мы специально группируем 4 и 5, а затем берем набор из 3 результатов 9. Три девятки — это 27».

Силы находятся в еще большей группе.

Ладно… а что насчет вычитания и деления.

Ну, сложение/вычитание обратны. 5-3 значит? + 3 = 5. Или более алгебраически 5 + [-3], где [-3] — это число, которое убирает 3. В основном вычитание и сложение — это один и тот же уровень группировки. Неважно, что вы сделаете первым. Я думаю, что мнемоника BODMAS не работает, так как с 3 -4 +5 вам определенно не не хочу складывать 4+5, чтобы получить 3-4+5 = 3-7 перед вычитанием. Вы действительно хотите рассмотреть, что вычитание — это сложение отрицательных чисел 3 — 4 + 5 равно 3 + [-4] + 5, а теперь это просто сложение в любом порядке.

Точно так же и деление $8\div 4$ является обратным умножению. $8 \div 4 = 8 \times \frac 14$.

Итак… нет. Различие между сложением и вычитанием не так важно, как все это. НО будьте осторожны. Если вы получите кавильер ошибок произойдет.

В любом случае, БОДМАС — это просто память. На самом деле это не математическое правило.

Что такое PEMDAS? Порядок операций Правила простыми словами

Какое отношение фраза «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли» имеет к математике? Это мнемоника, которая помогает учащимся запомнить PEMDAS — аббревиатуру, описывающую правила порядка операций в математической задаче. Продолжайте читать, чтобы узнать значение PEMDAS, что он означает и почему это важно при правильном решении проблем.

Правила порядка работы PEMDAS

Реклама

PEMDAS Значение

В английском языке вы привыкли читать слева направо. Вы решаете математические задачи аналогичным образом — за исключением нескольких важных шагов. Вот тут-то и появляется PEMDAS. Но что означает PEMDAS? Каждая буква в аббревиатуре обозначает математическую операцию:

• P арентезы
• E возведение в степень и квадратный корень
• M умножение или D ivision
• A сложение или S вычитание

Обратите внимание, что хотя M (умножение) стоит перед D (делением), вы не обязательно завершаете умножение перед D (делением). Это же правило применимо к сложению и вычитанию. Вы решаете, какая операция будет первой при чтении слева направо.

Решение задач с помощью PEMDAS

Шаги в PEMDAS указывают порядок, в котором вы решаете математическую задачу.

Например, в уравнении 6 x (9-2) + 5 ² можно разделить части следующим образом:

0 (9-000030)

6 x
+	5 2
multiplication	parentheses	addition	exponents

If you solve from left to right and ignore the order of operations, the answer to это уравнение будет 3249(6 x 9 = 54, 54-2 = 52, 52 + 5 = 57, 57 ² = 3249), что неверно .

PEMDAS предлагает вам работать в следующем порядке:

1. Решить со всеми скобками (P): (9-2) = 7
2. Решить все показатели степени/степени (E): 5 ² = 25
3. Решить все умножение ИЛИ деление (M или D), слева направо: 6 x 7 = 42
4. Решить все сложение ИЛИ вычитание (A или S), слева направо: 42 + 25 = 67

Используя PEMDAS, мы можем определить, что 6 х (9-2) + 5 ² = 67 , что является правильным ответом. Вы можете видеть, какая большая разница, когда вы используете правильный порядок операций!

Пример проблем с использованием PEMDAS

Действительно ли PEMDAS работает в любой ситуации? Взгляните еще на несколько уравнений, в которых PEMDAS необходим, чтобы найти правильный ответ.

8 ³ ÷ (10-8) — 4 ²

Это уравнение включает все порядки операций в PEMDAS, включая два набора показателей. Как и в других шагах PEMDAS, вы решаете эти показатели степени слева направо. Используйте следующие шаги:

1. Решение скобок: 8 ³ ÷ (2) — 4 ²
2. Решение показателей степени: 512 ÷ 2 — 16
3. Решение умножения ИЛИ деление, слева направо: 256 — 92 9008 ИЛИ сложение, 9008 решение слева направо: 240

3(7 х 4) ² + 8(2 х 5)

Когда вы видите число перед скобками, вы умножаете решение скобок на это число. В этом уравнении вы должны умножить (7 x 4) на 3 и (2 x 5) на 8. Но правила PEMDAS указывают, что вам нужно решить скобки (и возвести в квадрат решение первой скобки), прежде чем вы умножить. Получается так:

1. Решить скобки: 3(28) ² + 8(10)
2. Решить показатели степени: 3(784) + 8(10)
3. Решить умножение ИЛИ деление, слева направо: 2352 + 80
   2 Решить сложение ИЛИ вычитание слева направо: 2432

100 ÷ 5 ² + (20 — (3 x 5))

Некоторые учащиеся впадают в панику, когда видят скобки внутри скобок. Что по этому поводу говорит PEMDAS? Работайте изнутри наружу, то есть решайте самый внутренний набор скобок, а затем работайте с внешними скобками.

1. Решение внутренних скобок: 100 ÷ 5 ² + (20 — (15))
2. Решение внешних скобок: 100 ÷ 5 ² + (5)
3. Решение показателей: 100 (90 + 9) 25 255
4. Решение умножения ИЛИ деления слева направо: 4 + (5)
5. Решение сложения ИЛИ вычитания слева направо: 9

15 ² + √(27 ^{÷ 3) — (2 x 6) 2 ÷ 2}

Что делать, если в смеси есть квадратный корень? Квадратные корни попадают на тот же шаг, что и показатели степени. Вы решаете их после решения скобок и перед делением или умножением.

1. Решение скобок: 15 ² + √9 — (12) ² ÷ 2
2. Решение показателей степени и квадратного корня, слева направо: 225 + 3 — 144 ÷ 2
3. Решение деления слева на умножение справа: 225 + 3 — 72
4. Решить сложение ИЛИ вычитание, слева направо: 156

10 ³ + 2(25 ² ) ÷ 5(1 ² х 1)

Показатель степени в скобках может привести к путанице. Но помните, правила PEMDAS по-прежнему применяются внутри круглых скобок, поэтому показатели степени стоят перед умножением.

1. Нахождение показателей в скобках: 10 ³ + 2(625) ÷ 5(1 x 1)
2. Нахождение в скобках: 10 ³ + 2(625) ÷ 5(1)
3. Нахождение показателей в скобках: 1000 + 2(625) ÷ 5(1)
4. Решить умножение ИЛИ деление, слева направо: 1000 + 250
5. Решить сложение ИЛИ вычитание, слева направо: 1250

Получили ли вы ответы? ? Помните, что все операции внутри круглых скобок идут перед любой другой операцией. Если нет круглых скобок или степеней, вы просто пропускаете эти шаги и умножаете или делите слева направо, а затем складываете или вычитаете слева направо.

Реклама

Другие аббревиатуры для порядка операций

Если концепция порядка операций вам знакома, а PEMDAS — нет, возможно, вы привыкли к другому акрониму. Другие аббревиатуры для объяснения порядка операций включают в себя:

• Bedmas ( B Рэкетки, E Xponents, D IVision, M Ultiplication, A DDITIO Ракетки B , 9 шт.