Что сначала выполняется умножение или сложение: Основные операции в математике | УДОБА

Основные операции в математике | УДОБА

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

сложение (+)
вычитание (-)
умножение (*)
деление (:)

Операции отношения:

равно (=)
больше (>)
меньше (<)
больше или равно (≥)
меньше или равно (≤)
не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель. 4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

действия выполняются по порядку слева направо
сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

решение примера
Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

порядок действий
Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Какое действие в полученном выражении делается первым, умножение или деление? Выполняем слева направо: умножение, деление, затем — вычитание. Получилось:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 18 : 2 = 10 + 6 = 16.

На этом все действия выполнены.

Порядок выполнения сложения и вычитания

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

Сложение и вычитание – это базовые действия даже не математики, а ее основы: арифметики. Без этих действий не получится правильно понять куда более сложные операции, такие как умножение, деление или возведение в степень. Но в некоторых ситуациях ученики допускают ошибки из-за неправильного порядка действий сложения и вычитания, чтобы не допускать досадных ошибок разберемся подробнее в теме.

Сложение и вычитание

Складывать и вычитать можно любые числа: действительные, целые, натуральные и прочие. Из общего списка выделяются только иррациональные числа.

Иррациональные числа нельзя складывать и вычитать в общем смысле этого слова. Ведь иррациональным числом является любое число со знаком радикала, то есть корня. Для того, чтобы слагать или вычитать корни, под знаком радикала должны находится одинаковые числа. В любом другом случае выполняют приближенные вычисления.

Сложение

Как представить себе сложение? Проще всего представить каждое число в виде единиц или каких-нибудь вещей. В начальной школе дети складывают фрукты, потому что их проще всего себе представить. В математике средней школы сложение представляют как движение числа по числовой прямой вправо, то есть по направлению движения.

Направлением движения числовой прямой называют направление вдоль прямой, по которому происходит увеличение числа. Например, число 15 дальше числа 3 по направлению движения числовой прямой

При понимании сути операции сложение не вызывает затруднений. Но они возникают при сложении положительного числа с отрицательным, поэтому запишем общий алгоритм для сложения любых чисел, кроме иррациональных.

• Первый шаг это определение категорий чисел. Нужно понять, что за числа перед нами: два отрицательных, или одно отрицательное и одно положительное? Для каждого из случаев есть свой порядок выполнения действий.
• Если перед вами два положительных числа, то нужно просто сложить их без особых действий. Если вы складываете большие числа или не уверены в правильности ответа, то нужно выполнить проверку. Для этого из результата вычитают первое слагаемое. При правильном решении, результат проверки будет равен второму слагаемому. Если перед вами не две положительных числа, то нужно переходить к следующему пункту без выполнения сложения.
• Если складывается положительное и отрицательное число, то сложение нужно заменить разностью. То есть из положительного вычесть число, по модулю равное отрицательному. Будьте внимательны, результатом может быть. Как положительное число, так и ноль или отрицательное число. Если перед нами два отрицательных числа сразу же переходим к следующему пункту без выполнения каких-либо действий.
• Если складываются два отрицательных числа, то числа преобразуются в положительные. После выполняется сложение, а потом числу возвращается знак минус. Для того, чтобы пример был правильным в записи знак минус просто выносят за скобки. Чтобы не допускать ошибок, на первых порах можно выносить за скобки число -1

Вот и весь алгоритм.

Вычитание

После того, как ученик разобрался с операцией сложения, вычитание не представит особых проблем. Порядок выполнения действий вычитания и деления чем-то похож. Первым делом нужно сравнить числа между собой.

• Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то результатом будет отрицательное число.
• Если уменьшаемое больше вычитаемого, то результат будет положительным.
• Если уменьшаемое равняется вычитаемому, то результатом будет число ноль.
  При вычитании нуля из числа, получится то же число. А при вычитании из нуля всегда получается число одинаковое по модулю с вычитаемым и противоположное по знаку.

Приведем небольшой пример последнего пункта:

0-15=-15

При этом из отрицательного числа может вычитаться отрицательное, но в этом и любых похожих случаях нужно воспользоваться правилом знаков и преобразовать выражение в привычный вид:

-25-(-16)=-25+16=16-25=-9 – это несложно, нужно только разобраться в процессе

Что мы узнали?

Мы повторили, что такое сложение и вычитание. Привели алгоритм действий при сложении и обговорили все варианты вычитания. Решили, что в некоторых ситуациях, нужно преобразовывать выражения в привычный вид, а не стараться решить пример в изначальном состоянии.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Анастасия Ким

  8/10

• Ирина Макки

  9/10

• Нелла Нусратова

  7/10

• Дария Петроченко

  7/10

Оценка статьи

4. 8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 125.

---

А какая ваша оценка?

Арифметика

. Имеет ли значение порядок операций только сложения и вычитания?

$\begingroup$

Обсудили, можно ли выполнять сложение/вычитание в любом порядке. В частности, для следующего:

$9 — 4 + 3$

Мы оба согласны с тем, что ответ равен 8. -правильно), вы получите 9 долларов- 4 + 3 = 9 — 7 = 2$, что является неправильным ответом, и поэтому важно, чтобы сложение и вычитание имели одинаковый приоритет.

Другой человек утверждает, что порядок операций не имеет значения и что их можно выполнять в любом порядке, так как, отдав сложению более высокий приоритет, чем вычитанию, вы получите $9 — 4 + 3 = 9 + (- 4 + 3) = 9 + — 1 = 8$, что является правильным ответом, и поэтому не имеет значения, если сложение/вычитание имеет разные приоритеты, а не одинаковые.

Я утверждаю, что помещение $- 4$ в скобку и последующее выполнение до $+ 3$ не было бы выполнено, если бы сложение имело более высокий приоритет. Довольно длинные дебаты можно увидеть здесь, если вы хотите их прочитать, поэтому я не перефразирую все это и не слишком предвзято отношусь к своей стороне.

Мой общий вопрос заключается в том, кто прав; имеет ли значение порядок операций только сложения и вычитания? Я готов принять ответы любой из сторон, если они объяснят причину.

• арифметика

$\endgroup$

$\begingroup$

Давайте уточним:

$$9 — 4 + 3 \color{red}{\ne} 9 — (4 + 3) \tag{1}$$

Похоже, вы путаете, что значит группировать вместе , или связать, операции.

• Да, сложение и вычитание коммутативны : Операции можно выполнять в любом порядке.
• Да, сложение и вычитание ассоциативны : Термины могут быть сгруппированы в любом порядке перед выполнением операций.

НО , ошибка в выражении $(1)$ выше заключается в том, что термины не были правильно сгруппированы. Правильный способ связать два последних термина:

$$\begin{align*}9 — 4 + 3 &= 9 + (-4 + 3) \tag{2}\\ &=9-(4-3) \end{align*}$$

В исходном выражении $(1)$ вверху этого поста вы ввели второй знак минус.

$$\цвет{красный}{9- (4 + 3) = 9 — 4 — 3} \tag{3}$$

Итак, нет двусмысленности в том, что означает $(2)$ или $(3)$. Но они означают совершенно разные вещи. Скобки, используемые для группировки в этом примере, должны соответствовать мультипликативному свойству распределения. Если мы по желанию вставим скобки в математическое выражение, то рискуем полностью изменить результаты. Чтобы правильно сгруппировать элементы, мы должны убедиться, что наш результат передает одно и то же сообщение — тот же порядок операций.

$\endgroup$

11

$\begingroup$

Нет, они выполняются одновременно. 9 долларов — (4+3) = 9 — 7 = 2 доллара. Сложение/вычитание — это двоичная операция между двумя числами. Таким образом, когда мы говорим $a + b + c$, мы имеем в виду $a + (b + c)$ или $(a + b) + c$. Обратите внимание, что для сложения они одинаковы, поскольку + является «ассоциативным» (это определение ассоциативности). Поэтому мы просто пишем $a + b + c$, так как это однозначно. Обратите внимание, что $a — b$, по сути, является сокращением для $a + (-b)$. То же самое верно для умножения, но не для деления.

$$ (8/4)/2 = 2 / 2 = 1; \ 8/(4/2) = 8/2 = 4. $$

Вот почему у вас есть для указания порядка деления. Если рассматривать вычитание как операцию, а не как операцию, обратную сложению, то, как и в случае с делением, оно не является ассоциативным.

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Я бы сказал, что порядок (сложения/вычитания) не имеет значения, И вам не нужно повышать «приоритеты», пока вы понимаете, что вычитание — это просто сложение отрицательных чисел.

..

Итак, 9 — 4 + 3 — это не 9 — (4 + 3), а 9 + ( -4 + 3 ).

Знак «минус» перед скобками подразумевает, что вы хотите сделать все внутри отрицательным, а это не то, чего мы на самом деле хотели.

Так что просто сделайте все числом со знаком и выполняйте все процессы как сложение в том порядке, в котором вам легче всего.

$\endgroup$

$\begingroup$

Это имеет значение, поскольку отражает соглашение о том, какие процедуры выполняются в первую очередь для вычисления данного математического выражения.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Математика на основе запросов: зачем умножать перед сложением?

Продолжая наше исследование того, почему у нас есть правила для порядка операций, мы начали с того, что вспомнили, что мы узнали и задавались вопросом о вчера  используя нашу аналогию со сверхспособностями:

Одним из наших вопросов было: «Зачем нам нужны правила для порядка операций в математике?»

Это отличный вопрос, и сегодня мы его рассмотрели.

Когда дети узнают ПОЧЕМУ в математике (а не только КАК), их обучение и понимание возрастают.

Конечно, гораздо проще просто объяснить БОДМАС / правила порядка работы, но мы должны хотеть, чтобы дети понимали, почему это так.

Мы начали с того, что использовали наши калькуляторы, чтобы ответить:

Некоторые из наших калькуляторов сказали, что ответ будет 19, а другие сказали 35.

Как это может быть?!?!?

Это нас озадачило.

Поделились некоторыми теориями.

Так какой же правильный ответ? / Есть ли правильный ответ?

Чтобы выяснить это, мы подумали о том, как мы могли бы интерпретировать числовое предложение, если бы не было правил.

Вспомнив, что умножение — это многократное сложение, мы обнаружили, что более разумно умножать перед сложением, потому что умножение — это многократное сложение. Чтобы разобраться в числовом предложении, мы можем разбить его на сложение:

Ученик предложил попробовать еще одно числовое предложение, и поэтому это числовое предложение было предложено одноклассником:

Нам показалось интересным, как мы пришли к этому. с таким количеством различных возможных ответов.

Что это говорит нам о математике?

— Должны быть специальные правила, иначе есть более одного ответа, и это не работает с математикой.

— Представьте, если бы эти числа представляли деньги. Мы бы закончили с разными суммами!

— В математике должна быть какая-то грамматика, как в языках. Мы можем путать слова, но нам нужно следовать правилам грамматики, иначе нас могут неправильно понять. Я думаю, что в математике должны быть правила, чтобы мы все могли понять, что делаем.

Что мы должны сделать в первую очередь?

— скобки

Почему?

— Потому что мы не знаем его стоимости. Нам нужно сначала выяснить это, прежде чем мы сможем что-то сделать с числовым предложением.

Итак, после скобок, что нам делать дальше?

— Вычислить 3 в квадрате.

Почему?

Потому что это тоже неизвестное значение. Нам нужно знать его стоимость.

Но почему бы не решить это перед раскрытием скобок?

— Я думаю, это потому, что когда мы смотрим на 3 в квадрате, мы можем получить представление о его значении, но со скобками нам действительно нужно больше думать о том, какое значение оно представляет.

Эта теория нам понятна.

Итак, что нам делать дальше?

— Умножить 4 на 7

Почему?

— Потому что умножение сильнее, чем сложение.