Негосударственное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа

Что выполняется первое умножение или деление: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками

Содержание

Порядок выполнения действий / Справочник по математике для начальной школы

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике для начальной школы
  4. Порядок выполнения действий

В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.

 

1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо. 

Например, 

В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:

Вычисляем:

1) 10 + 15 = 25

2) 25 — 6 = 19

3) 19 — 8 = 11

Полностью пример записываем так:

10 + 15 — 6 — 8 = 25 — 6 — 8 = 19 — 8 = 11


Например, 

В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:

Вычисляем:

1) 15 : 5 = 3

2) 3 • 4 = 12

3) 12 : 6 = 2

Полностью пример записываем так:

15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2


2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо. 

Например, 

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.

1)15 : 3 = 5

2) 6 • 8 = 48

3) 10 — 5 = 5

4) 5 + 48 = 53

Полностью пример записываем так:

10 — 15 : 3 + 6 • 8 = 10 — 5 + 6 • 8 = 10 — 5 + 48 = 5 + 48 = 53


3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.

1) 25 — 10 = 15

2) 15 : 3 = 5

3) 6 • 8 = 48

4) 5 + 48 = 53

Полностью пример записываем так:

(25 — 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53


Например

В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.

1) 12 : 4 = 3

2) 6 + 3 = 9

3) 18 : 9 = 2

4) 42 + 2 = 44

Полностью пример записываем так:

42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44

Вывод: 

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Скобки



Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс


Страница 49. Вариант 2. № 4,
Моро, Волкова, Проверочные работы


Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 58,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 66,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 69,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 80,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 98,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 110,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

3 класс


Страница 38,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 46,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 95,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 21. Вариант 2. Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы


Страница 4,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 11,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 101,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2


Страница 7,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2


Страница 70,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2


Страница 40,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

4 класс


Страница 6,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 29,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 40,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 73,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 82,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 90,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 91,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1


Страница 75,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1


Страница 8. Вариант 1. Проверочная работа 2,
Моро, Волкова, Проверочные работы


Страница 37,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс


Задание 86,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 461,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 527,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Номер 13,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 237,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 260,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 261,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 461,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


Номер 1127,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс


Задание 18,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 73,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 92,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 373,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 378,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 400,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 413,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 417,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 425,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


Задание 445,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright







Знакомство со сложными формулами в Excel

В этом уроке мы познакомимся с понятием Сложная формула в Excel, а также разберем порядок выполнения действий при решении таких формул. Представленная информация является базовой и предназначена в первую очередь для начинающих пользователей Microsoft Excel.

Простая формула – это математическое выражение с одним оператором, такое как 7+9. Сложная формула содержит более одного оператора, к примеру, 5+2*8. Если формула содержит несколько математических операторов, Excel руководствуется порядком действий при выполнении вычислений. Используя Excel для вычисления сложных формул, необходимо знать порядок выполнения действий.

Порядок действий в формулах Excel

Excel выполняет действия, опираясь на следующий порядок:

  1. Выражения, помещенные в скобки.2=4.

    Деление

    Далее мы выполним все операции умножения и деления, в порядке следования слева направо. Поскольку деление встречается раньше умножения, то деление выполняется первым: 3/4=0,75.

    Умножение

    Теперь мы выполним оставшуюся операцию умножения: 0,75*4=3.

    Сложение

    Далее мы выполним все операции сложения и вычитания, в порядке следования слева направо. Поскольку сложение встречается раньше вычитания, то сложение выполняется первым: 10+3=13.

    Вычитание

    В заключение остается последнее действие – вычитание: 13-1=12.

    В итоге мы получили ответ: 12.

    Точно такой же результат вы получите, если введете эту формулу в Excel.

    Как видите, в этом нет ничего сложного!

    Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

    Порядок выполнения действий в числовых выражениях

    Ничего не
    понимаю. Вчера Плюс с Минусом и Умножение с Делением решали примеры. Вот
    посмотрите. Это решал Плюс и Минус.

    Числа одни и
    те же, знаки одни и те же, а ответы разные! И точно так же с примерами, которые
    решали Умножение и Деление.

    Так-так-так.
    Надо разобраться.

    Ах я
    растяпа! Ведь тут стоят скобки! А ведь скобки, они такие важные! То
    действие, которое они окружают, будет обязательно выполняться первым
    . Вот и
    в этих числовых выражениях. Возьмём первое из них.

    Шестьдесят
    семь минус двенадцать и плюс пять. Сначала выполняю вычитание. Из шестидесяти
    семи вычитаю двенадцать, получается пятьдесят пять. К пятидесяти пяти прибавляю
    пять получается шестьдесят.

    А вот точно
    такое же выражение, точнее почти такое. Потому что в нём стоят скобки.
    И вот они, окружив числа двенадцать и пять и знак плюс между ними, молчаливо,
    но настойчиво предлагают сначала выполнить именно сложение! И не смотрите на то,
    что это действие записано не первым. Закон есть закон – раз в скобках,
    значит выполняем первым
    . Сложили числа двенадцать и пять. Получилось
    семнадцать. Ну а уж теперь надо вычитать. И вычитать надо не число двенадцать,
    а результат действия в скобках, то есть семнадцать. Шестьдесят
    семь минус семнадцать равно пятидесяти. О как!

    Теперь
    решаем следующую парочку примеров.

    Восемнадцать
    разделить на два и умножить на три. При делении числа восемнадцать на два
    получается девять, и девять умножить на три – двадцать семь.

    А во втором
    примере сначала два умножаем на три. Это шесть. И восемнадцать делим на
    результат действия в скобках, то есть на шесть. Получается три.

    Да, но в
    этих примерах всё просто – два действия. Одно в скобках выполняется
    первым, а после него – второе.

    А вот если в
    примере несколько различных действий? Например, вот в этом примере.

    56 – (35 –
    29) ∙ 3

    Конечно, сначала
    выполняем действие в скобках
    . А что потом? Вычитание или умножение? Ну
    конечно же умножение. Хоть вычитание записано первым, но умножение, как и
    деление, выполняются раньше сложения и вычитания
    . Ну а уж третьим действием
    будем выполнять вычитание.

    Разность
    чисел тридцать пять и двадцать девять равна шести. Заменяем её результатом.
    Пишем пятьдесят шесть минус произведение чисел шесть и три. Произведение чисел
    шесть и три равно восемнадцати. Заменяем это произведение его результатом.
    Пишем: пятьдесят шесть минус восемнадцать равно тридцати восьми.

    А вот в этом
    числовом выражении ещё больше действий:

    38 + 60 :
    (14 – 4) – 14

    И первым в
    нем выполняется вычитание в скобках, затем – деление. А что третьим? Сложение
    или вычитание? А вот сложение и вычитание между собой вполне равноправные.
    Что записано первым в направлении слева направо, то и выполняется первым. В
    нашем примере сначала выполняем сложение, а потом – вычитание.

    Четырнадцать
    минус четыре – десять. Шестьдесят разделить на десять – шесть. Тридцать восемь
    плюс шесть – сорок четыре. Сорок четыре минус четырнадцать – тридцать.

    Да, вот это решение
    получилось! Даже на строке целиком не поместилось. Но это не беда. Часть
    длинной записи можно переносить ниже
    . Только место переноса может быть
    там, где стоит знак – плюс или минус, умножить или разделить… или знак равно.
    Просто этот знак записывается два раза – один раз в конце верхней
    строчки, а второй раз – в начале следующей строки. И в тетради между этими строчками
    вниз пропускается, как обычно, одна клеточка.

    Но вернёмся
    к нашим числовым выражениям. А вот посмотрите на это выражение. В нём нет
    скобок.

    6 ∙ 3
    + 24 : 3 – 5 ∙ 2 =

    Как вы
    думаете, решаем, как обычно, слева направо? Конечно нет. Сначала выполняем
    умножение и деление. По порядку слева направо. А уж потом сложение и вычитание
    тоже по порядку слева направо. Шестью три – восемнадцать. Двадцать четыре
    разделить на три – восемь. Пятью два – десять. Ставлю знаки плюс и минус.
    Считаю. Ответ – шестнадцать.

    Ну что, всем
    все понятно?

    Самое
    главное – не забывать.

    Если в
    выражении несколько действий
    , но это только действия сложения и вычитания, или только
    умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

    25 – 14 + 7
    + 12 – 6 = 24

    3 ∙ 4
    : 2 ∙ 3 = 18

    Если в
    выражении несколько действий
    , но там есть не только сложение и вычитание, но и умножение
    и деление, то сначала выполняется умножение и деление по порядку слева направо,
    а потом в таком же порядке – сложение и вычитание.

    6 ∙ 3
    + 24 : 3 – 5 ∙ 2 = 16

    Если в
    выражении несколько разных действий и есть скобки
    , первыми выполняется действия в
    скобках, затем – умножение и деление по порядку слева направо, а потом в таком
    же порядке – сложение и вычитание.

    14 + 8 : (15
    – 11) – (5 + 2) ∙ 2 = 2

    Ну, а если
    сказать коротко, то получится вот такая памятка:

    Порядок
    действий в числовых выражениях:

    1) действия,
    записанные в скобках;

    2) умножение
    и деление по порядку слева направо;

    3) сложение
    и вычитание по порядку слева направо.

    Не забывайте
    это правило!

    Ну а мне
    пора спать – на улице день, а я тут с вами разговариваю. Вам хорошего дня, а
    мне – хорошего отдыха. Пока, ребята!

    Что сначала умножение или прибавление

    С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

    Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала — сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

    Сложение и вычитание

    Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

    Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

    Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

    Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

    Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

    Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

    Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

    Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

    Умножение

    Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

    Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

    Что сначала — умножение или сложение?

    Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

    • 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
    • 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

    Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

    Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

    • 500 + 500 + 500 + 500 + 500 — это кучки взрослых работников;
    • 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
    • 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

    Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

    500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

    Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

    Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

    И одна кучка 70 помидоров.

    5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

    И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами — сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

    2500 + 100 + 70 = 2 670

    При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

    Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

    Деление

    Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

    Скобки

    Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

    Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

    Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

    1. Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!
    2. Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.
    3. Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.

    (20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

    Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

    Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала — умножение или сложение.

    «Вишенка на торте»

    И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

    Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

    «Совсем вишня»

    В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала — умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

    От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

    6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9

    Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

    В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

    Порядок вычисления простых выражений

    В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

    1. Все действия выполняются слева направо.
    2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

    Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

    Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

    Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

    Решение

    В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

    7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

    Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

    Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6 : 2 · 8 : 3 ?

    Решение

    Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

    Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

    Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 .

    Решение

    Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

    17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 17 − 10 − 2 + 2

    Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

    17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

    Ответ: 17 − 5 · 6 : 3 − 2 + 4 : 2 = 7 .

    Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

    .

    Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

    Что такое действия первой и второй ступени

    Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

    К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

    Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

    В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

    Порядок вычислений в выражениях со скобками

    Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

    Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

    Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

    Условие: вычислите, сколько будет 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 .

    Решение

    В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7 :

    7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

    Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

    Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

    5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 5 + 1 · 2 : 2

    Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

    5 + 1 · 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6

    На этом вычисления можно закончить.

    Ответ: 5 + ( 7 − 2 · 3 ) · ( 6 − 4 ) : 2 = 6 .

    Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

    Условие: вычислите, сколько будет 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) .

    Решение

    У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

    Ответ: 4 + ( 3 + 1 + 4 · ( 2 + 3 ) ) = 28 .

    Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

    Допустим, нам надо найти, сколько будет ( 4 + ( 4 + ( 4 − 6 : 2 ) ) − 1 ) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6 : 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как ( 4 + ( 4 + 1 ) − 1 ) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению ( 4 + 5 − 1 ) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

    Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

    Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

    Разберем пример такого вычисления.

    Условие: найдите, сколько будет ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 .

    Решение

    У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 .

    Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание.

    ( 3 + 1 ) · 2 + 36 : 3 − 7 = 4 · 2 + 36 : 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

    Ответ: ( 3 + 1 ) · 2 + 6 2 : 3 − 7 = 13 .

    В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

    На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

    Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

    В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

    А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

    Сравним выражения:
    8-3+4 и 8-3+4

    Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

    Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

    Рис. 1. Порядок действий

    В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

    Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

    Видим, что значения выражений получаются разные.

    Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

    Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

    Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

    В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

    Рис. 2. Порядок действий

    Рассмотрим второе выражение

    В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

    Рис. 3. Порядок действий

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

    Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

    Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

    Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

    Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

    Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

    Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

    1. действия, записанные в скобках;

    2. умножение и деление;

    3. сложение и вычитание.

    Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

    Рис. 4. Порядок действий

    Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

    Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

    Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

    43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

    В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

    32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

    В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

    Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

    В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

    Найдем значение данного выражения.

    Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

    Рис. 5. Порядок действий

    Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

    Действуем по алгоритму.

    В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

    Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

    Проверим себя (рис. 6).

    Рис. 6. Порядок действий

    Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

    Список литературы

    1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
    2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
    3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
    5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
    6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

    2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

    3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

    1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

    1. умножение; 2. деление; 3. сложение

    Найди значение этих выражений.

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Что первое решается умножение или сложение

    Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский при­мер:

    8 / 2(2 + 2)

    Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

    В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских пра­ви­ла:

    1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во.
    2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние.
    3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умно­же­ния.

    Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем слу­чае.

    1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скоб­ки:

    8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

    2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую заме­ну:

    3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

    Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

    Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скоб­ках:

    8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

    Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

    А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами 🙂

    Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют кри­ком:

    «В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

    Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

    Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

    А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть пер­во­ис­точ­ник:

    «Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло под­держ­ки».

    Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

    1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про при­о­ри­тет».
    2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не под­дер­жа­ло.

    Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва напра­во.

    С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

    Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала – сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

    Вам будет интересно: Консилиум – это не приговор

    Сложение и вычитание

    Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

    Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

    Вам будет интересно: Остеоны или система Гаверсова

    Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

    Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

    Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

    Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

    Вам будет интересно: Тореро – это. Значение слова

    Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

    Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

    Умножение

    Математики любят группировать похожие действия для упрощения расчетов. Так и операция умножения является группировкой одинаковых действий – сложения одинаковых чисел. Любое произведение N x M − есть N операций сложения чисел M. Это всего лишь форма записи сложения одинаковых слагаемых.

    Для вычисления произведения используется такой же метод – сначала тупо заучивается таблица умножения цифр друг на друга, а потом применяется метод поразрядного умножения, что называется «в столбик».

    Что сначала – умножение или сложение?

    Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

    • 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
    • 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

    Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

    Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

    • 500 + 500 + 500 + 500 + 500 – это кучки взрослых работников;
    • 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
    • 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

    Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

    500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

    Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

    Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

    И одна кучка 70 помидоров.

    5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

    И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами – сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

    2500 + 100 + 70 = 2 670

    При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

    Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

    Деление

    Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

    Скобки

    Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

    Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

    Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

  2. Это как коробочки с конфетами в большом мешке. Сначала нужно раскрыть все коробочки и ссыпать в большой мешок: (25 – 5 ) = 20. Пять конфет из коробочки сразу заслали отличнице Люде, которая приболела и в празднике не участвует. Остальные конфеты − в мешок!
  3. Потом связать конфеты в пучки по 5 штук: 20 : 5 = 4.
  4. Потом добавить в мешок еще 2 пучка конфет, чтобы можно было поделить на троих детей без драки. Признаки деления на 3 в данной статье не рассматриваются.
  5. (20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

    Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

    Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала – умножение или сложение.

    «Вишенка на торте»

    И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

    Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

    «Совсем вишня»

    В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала – умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

    От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

    6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9

    На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

    Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

    В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

    А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

    Сравним выражения:
    8-3+4 и 8-3+4

    Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

    Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

    Рис. 1. Порядок действий

    В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

    Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

    Видим, что значения выражений получаются разные.

    Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок

    Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

    Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

    В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

    Рис. 2. Порядок действий

    Рассмотрим второе выражение

    В этом выражении имеются только действия умножения и деления – это действия второй ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

    Рис. 3. Порядок действий

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

    Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

    Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

    Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

    Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    Правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками

    Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

    Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

    1. действия, записанные в скобках;

    2. умножение и деление;

    3. сложение и вычитание.

    Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

    Рис. 4. Порядок действий

    Выполнение тренировочных заданий на изученное правило

    Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

    Будем действовать по правилу. В выражении 43 – (20 – 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

    43 – (20 – 7) +15 =43 – 13 +15 = 30 + 15 = 45

    В выражении 32 + 9 * (19 – 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

    32 + 9 * (19 – 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

    В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие – умножение, второе – деление, третье – вычитание.

    Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

    В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие – деление, второе – умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое – вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

    Найдем значение данного выражения.

    Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – деление, третье – сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие – в скобках, второе – умножение, третье – вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

    Рис. 5. Порядок действий

    Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

    Действуем по алгоритму.

    В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

    Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого – вычитание.

    Проверим себя (рис. 6).

    Рис. 6. Порядок действий

    Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

    Список литературы

    1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
    2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
    3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
    5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
    6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
    7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

    Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

    Домашнее задание

    1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

    2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

    3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

    1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

    1. умножение; 2. деление; 3. сложение

    Найди значение этих выражений.

    Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    Первое действие сложение. Примеры на порядок действий

    Числовые и буквенные выражения могут содержать знаки различных арифметических действий. При преобразовании выражений и вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, так как существует строгий порядок выполнения математических действий

    Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

    Порядок выполения действий в выражениях без скобок:

    — действия выполняются по порядку слева направо,

    — причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание
    .

    1. Рассмотрим пример: выполните действия 17−3+6

    Исходное выражение не содержит умножения и деления и не содержит скобок. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо
    , то есть, сначала мы от 17 отнимаем 3, получаем 14, после чего к полученной разности 14 прибавляем 6, получаем 20.

    Кратко решение можно записать так: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

    2. Вычислите значение выражения 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

    Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление
    .

    4: 2 теперь 4 делим на 2, получаем 2.

    Подставляем в исходное выражение вместо 5 · 6: 3 найденное значение 10, а вместо 4: 2 — значение 2, получаем следующее выражение 17 − 5 · 6: 3
    − 2 + 4: 2
    = 17 − 10
    − 2+ 2
    .

    В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо
    выполнить оставшиеся действия: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

    Действия первой и второй ступени

    Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

    первая ступень — сложение и вычитание,

    вторая ступень — умножение и деление.

    Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание)

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками


    Правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками, формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.


    Рассмотрим пример: 99: (45 – 39 + 5) – 25: 5

    Порядок вычисления такой. Сначала выполним действия в скобках:

    45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

    затем действия второй ступени

    Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

    1. Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
    2. Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
    3. Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

    В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

    Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

    3 · 16 — 8: 2 + 20

    Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

    И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

    48 — 4 + 20 = 44 + 20 = 64

    Действия первой и второй ступени

    Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени
    , умножение и деление — действиями второй ступени
    .

    Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

    Пример 1.

    15 + 17 — 20 + 8 — 12

    Решение.
    Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

    Ответ:
    42.

    Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

    Пример.
    Вычислить значение выражения:

    24: 3 + 5 · 2 — 17

    Решение.
    Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

    Теперь приступим к вычислению.

    Начальная школа подходит к концу, скоро ребёнок шагнёт в углубленный мир математики. Но уже в этот период школьник сталкивается с трудностями науки. Выполняя простое задание, ребёнок путается, теряется, что в результате приводит к отрицательной отметке за выполненную работу. Чтобы избежать подобных неприятностей, нужно при решении примеров, уметь ориентироваться в порядке, по которому нужно решать пример. Не верно распределив действия, ребёнок не правильно выполняет задание. В статье раскрываются основные правила решения примеров, содержащих в себе весь спектр математических вычислений, включая скобки. Порядок действий в математике 4 класс правила и примеры.

    Перед выполнением задания попросите своё чадо пронумеровать действия, которые он собирается выполнить. Если возникли затруднения – помогите.

    Некоторые правила, которые необходимо соблюдать при решении примеров без скобок:

    Если в задании необходимо выполнить ряд действий, нужно сначала выполнить деление или умножение, затем . Все действия выполняются по ходу письма. В противном случае, результат решения будет не верным.

    Если в примере требуется выполнить , выполняем по порядку, слева направо.

    27-5+15=37
    (при решении примера руководствуемся правилом. Сначала выполняем вычитание, затем – сложение).

    Научите ребёнка всегда планировать и нумеровать выполняемые действия.

    Ответы на каждое решённое действие записываются над примером. Так ребёнку гораздо легче будет ориентироваться в действиях.

    Рассмотрим ещё один вариант, где необходимо распределить действия по порядку:

    Как видим, при решении соблюдено правило, сначала ищем произведение, после — разность.

    Это простые примеры, при решении которых, необходима внимательность. Многие дети впадают в ступор при виде задания, в котором присутствует не только умножение и деление, но и скобки. У школьника, не знающего порядок выполнения действий, возникают вопросы, которые мешают выполнить задание.

    Как говорилось в правиле, сначала найдём произведение или частное, а потом всё остальное. Но тут же есть скобки! Как поступить в этом случае?

    Решение примеров со скобками

    Разберём конкретный пример:

    • При выполнении данного задания, сначала найдём значение выражения, заключённого в скобки.
    • Начать следует с умножения, далее – сложение.
    • После того, как выражение в скобках решено, приступаем к действиям вне их.
    • По правилам порядка действий, следующим шагом будет умножение.
    • Завершающим этапом станет .

    Как видим на наглядном примере, все действия пронумерованы. Для закрепления темы предложите ребёнку решить самостоятельно несколько примеров:

    Порядок, по которому следует вычислять значение выражения уже расставлен. Ребёнку останется только выполнить непосредственно решение.

    Усложним задачу. Пусть ребёнок найдёт значение выражений самостоятельно.

    7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)

    17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)

    24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

    Приучите ребёнка решать все задания в черновом варианте. В таком случае, у школьника будет возможность исправить не верное решение или помарки. В рабочей тетради исправления не допустимы. Выполняя самостоятельно задания, дети видят свои ошибки.

    Родители, в свою очередь, должны обратить внимание на ошибки, помочь ребёнку разобраться и исправить их. Не стоит нагружать мозг школьника большими объёмами заданий. Такими действиями вы отобьёте стремление ребёнка к знаниям. Во всём должно быть чувство меры.

    Делайте перерыв. Ребёнок должен отвлекаться и отдыхать от занятий. Главное помнить, что не все обладают математическим складом ума. Может из вашего ребёнка вырастет знаменитый философ.

    На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

    В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

    А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

    Давайте проверим

    Сравним выражения:
    8-3+4 и 8-3+4

    Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

    Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

    Рис. 1. Порядок действий

    В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

    Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

    Видим, что значения выражений получаются разные.

    Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя
    .

    Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

    Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

    Потренируемся.

    Рассмотрим выражение

    В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени
    .

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

    Рис. 2. Порядок действий

    Рассмотрим второе выражение

    В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

    Рис. 3. Порядок действий

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

    Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

    Рассмотрим выражение.

    Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

    Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

    Рассмотрим выражение.

    30 + 6 * (13 — 9)

    Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

    30 + 6 * (13 — 9)

    Вычислим значение выражения.

    30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

    Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

    Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

    1. действия, записанные в скобках;

    2. умножение и деление;

    3. сложение и вычитание.

    Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

    Рис. 4. Порядок действий

    Потренируемся.

    Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

    43 — (20 — 7) +15

    32 + 9 * (19 — 16)

    Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

    43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

    В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

    32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

    В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

    2*9-18:3=18-6=12

    Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

    37 + 9 — 6: 2 * 3 =

    18: (11 — 5) + 47=

    7 * 3 — (16 + 4)=

    Рассуждаем так.

    37 + 9 — 6: 2 * 3 =

    В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

    Найдем значение данного выражения.

    37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

    Продолжаем рассуждать.

    Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

    В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

    Выполним задание.

    Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

    Рис. 5. Порядок действий

    Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

    Действуем по алгоритму.

    В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

    Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

    Проверим себя (рис. 6).

    Рис. 6. Порядок действий

    Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

    Список литературы

    1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
    2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
    3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
    4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
    5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
    6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
    7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
    1. Festival.1september.ru ().
    2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
    3. Openclass.ru ().

    Домашнее задание

    1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

    2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

    3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

    1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

    1. умножение; 2. деление; 3. сложение

    Найди значение этих выражений.

    Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

    Определение 1

    В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

    1. Все действия выполняются слева направо.
    2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

    Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

    Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

    Пример 1

    Условие:
    вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6
    .

    Решение

    В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

    7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

    Ответ:
    7 − 3 + 6 = 10 .

    Пример 2

    Условие:
    в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3
    ?

    Решение

    Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

    Ответ:
    сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

    Пример 3

    Условие:
    подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

    Решение

    Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

    17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

    Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

    17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

    Ответ:
    17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7
    .

    Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

    Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

    Что такое действия первой и второй ступени

    Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

    К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

    Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

    Определение 2

    В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

    Порядок вычислений в выражениях со скобками

    Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

    Определение 3

    Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

    Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

    Пример 4

    Условие:
    вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2
    .

    Решение

    В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

    7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

    Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2
    .

    Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

    5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

    Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

    5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

    На этом вычисления можно закончить.

    Ответ:
    5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6
    .

    Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

    Пример 5

    Условие:
    вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3))
    .

    Решение

    У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24
    . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28
    .

    Ответ:
    4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28
    .

    Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

    Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1
    . Считаем 4 + 5 − 1 = 8
    и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

    Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

    Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

    Разберем пример такого вычисления.

    Пример 6

    Условие:
    найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

    Решение

    У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

    (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

    Ответ:
    (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13
    .

    В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Сперва вычисляется находится скобках. Порядок выполнения действий

    Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

    1. Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
    2. Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
    3. Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

    В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

    Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

    3 · 16 — 8: 2 + 20

    Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

    И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

    48 — 4 + 20 = 44 + 20 = 64

    Действия первой и второй ступени

    Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени
    , умножение и деление — действиями второй ступени
    .

    Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

    Пример 1.

    15 + 17 — 20 + 8 — 12

    Решение.
    Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

    Ответ:
    42.

    Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

    Пример.
    Вычислить значение выражения:

    24: 3 + 5 · 2 — 17

    Решение.
    Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

    Теперь приступим к вычислению.

    На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

    В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

    А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

    Давайте проверим

    Сравним выражения:
    8-3+4 и 8-3+4

    Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

    Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

    Рис. 1. Порядок действий

    В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

    Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

    Видим, что значения выражений получаются разные.

    Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя
    .

    Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

    Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

    Потренируемся.

    Рассмотрим выражение

    В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени
    .

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

    Рис. 2. Порядок действий

    Рассмотрим второе выражение

    В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

    Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

    Рис. 3. Порядок действий

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

    Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

    Рассмотрим выражение.

    Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

    Вычислим значение выражения.

    18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

    В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

    Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

    Рассмотрим выражение.

    30 + 6 * (13 — 9)

    Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

    30 + 6 * (13 — 9)

    Вычислим значение выражения.

    30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

    Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

    Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

    1. действия, записанные в скобках;

    2. умножение и деление;

    3. сложение и вычитание.

    Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

    Рис. 4. Порядок действий

    Потренируемся.

    Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

    43 — (20 — 7) +15

    32 + 9 * (19 — 16)

    Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

    43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

    В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

    32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

    В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

    2*9-18:3=18-6=12

    Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

    37 + 9 — 6: 2 * 3 =

    18: (11 — 5) + 47=

    7 * 3 — (16 + 4)=

    Рассуждаем так.

    37 + 9 — 6: 2 * 3 =

    В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

    Найдем значение данного выражения.

    37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

    Продолжаем рассуждать.

    Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

    В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

    7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

    Выполним задание.

    Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

    Рис. 5. Порядок действий

    Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

    Действуем по алгоритму.

    В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

    Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

    Проверим себя (рис. 6).

    Рис. 6. Порядок действий

    Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

    Список литературы

    1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
    2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
    3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
    4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
    5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
    6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
    7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
    1. Festival.1september.ru ().
    2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
    3. Openclass.ru ().

    Домашнее задание

    1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

    2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

    3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

    1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

    1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

    1. умножение; 2. деление; 3. сложение

    Найди значение этих выражений.

    Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

    Определение 1

    В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

    1. Все действия выполняются слева направо.
    2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

    Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

    Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

    Пример 1

    Условие:
    вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6
    .

    Решение

    В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

    7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

    Ответ:
    7 − 3 + 6 = 10 .

    Пример 2

    Условие:
    в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3
    ?

    Решение

    Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

    Ответ:
    сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

    Пример 3

    Условие:
    подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

    Решение

    Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

    17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

    Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

    17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

    Ответ:
    17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7
    .

    Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

    Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

    Что такое действия первой и второй ступени

    Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

    К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

    Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

    Определение 2

    В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

    Порядок вычислений в выражениях со скобками

    Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

    Определение 3

    Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

    Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

    Пример 4

    Условие:
    вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2
    .

    Решение

    В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

    7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

    Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2
    .

    Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

    5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

    Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

    5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

    На этом вычисления можно закончить.

    Ответ:
    5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6
    .

    Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

    Пример 5

    Условие:
    вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3))
    .

    Решение

    У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24
    . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28
    .

    Ответ:
    4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28
    .

    Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

    Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1
    . Считаем 4 + 5 − 1 = 8
    и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

    Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

    Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

    Разберем пример такого вычисления.

    Пример 6

    Условие:
    найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

    Решение

    У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

    (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

    Ответ:
    (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13
    .

    В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий
    .

    В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

    Навигация по странице.

    Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

    В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок
    :

    • действия выполняются по порядку слева направо,
    • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

    Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

    Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

    Пример.

    Выполните действия 7−3+6
    .

    Решение.

    Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7
    отнимаем 3
    , получаем 4
    , после чего к полученной разности 4
    прибавляем 6
    , получаем 10
    .

    Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10
    .

    Ответ:

    7−3+6=10
    .

    Пример.

    Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3
    .

    Решение.

    Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

    Ответ:

    Сначала 6
    делим на 2
    , это частное умножаем на 8
    , наконец, полученный результат делим на 3.

    Пример.

    Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2
    .

    Решение.

    Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5
    умножаем на 6
    , получаем 30
    , это число делим на 3
    , получаем 10
    . Теперь 4
    делим на 2
    , получаем 2
    . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3
    найденное значение 10
    , а вместо 4:2
    — значение 2
    , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2
    .

    В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7
    .

    Ответ:

    17−5·6:3−2+4:2=7
    .

    На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

    Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

    Действия первой и второй ступени

    В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

    Определение.

    Действиями первой ступени
    называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени
    .

    В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

    Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

    Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками
    , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

    Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

    Пример.

    Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2
    .

    Решение.

    Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3
    . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1
    . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4
    . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2
    .

    Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2
    . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6
    . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2
    .

    Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6
    .

    Ответ:

    5+(7−2·3)·(6−4):2=6
    .

    Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

    Пример.

    Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3))
    .

    Решение.

    Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3)
    . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5
    . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5
    . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24
    . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24
    , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28
    .

    Ответ:

    4+(3+1+4·(2+3))=28
    .

    Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

    Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1
    . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1
    , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1
    . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5
    , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1
    . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8
    , при этом приходим к разности 8−1
    , которая равна 7
    .

    Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

    Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

    Аналогично: 6 — 1 — 1, 6 — 2 — 1, 6 — 2 — 2.

    Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

    С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме «Сложение и вычитание в пределах 10». Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 — 2 + 4, 9 — 3 — 1 , 4 +3 — 2; во 2 классе, например: 70 — 36 +10, 80 — 10 — 15, 32+18 — 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы «Порядок действий» учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе — опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

    Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а — (в+с) и а — (в — с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

    Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 — 36 +10=24, 60:10 — 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 — (26 — 14), 50:(30 — 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

    Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

    После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

    Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

    • 36:6+3-2
    • 36:(6+3-2)
    • 36:(6+3)-2
    • (36:6+3)-2

    Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

    • 72-24:6+2=66
    • 72-24:6+2=6
    • 72-24:6+2=10
    • 72-24:6+2=69

    Также интересными являются упражнения следующего вида:

    • 1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:
    • 25-17:4=2 3*6-4=6
    • 24:8-2=4
    • 2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «-» так, чтобы получились верные равенства:
    • 38*3*7=34
    • 38*3*7=28
    • 38*3*7=42
    • 38*3*7=48
    • 3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:
    • 12*6*2=4
    • 12*6*2=70
    • 12*6*2=24
    • 12*6*2=9
    • 12*6*2=0

    Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

    Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

    • 90*8- (240+170)+190,
    • 469148-148*9+(30 100 — 26909).

    При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

    Делимость

    — Делим ли мы в первую очередь или сначала умножаем, если у нас нет другой информации.

    делимость — Делим сначала или сначала умножаем, если у нас нет другой информации

    Сеть обмена стеков

    Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

    Посетить Stack Exchange

    1. 0

    2. +0

    3. Авторизоваться
      Зарегистрироваться

    Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

    Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

    Кто угодно может задать вопрос

    Кто угодно может ответить

    Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

    Спросил

    Просмотрено
    12к раз

    $ \ begingroup $

    На этот вопрос уже есть ответы здесь :

    Закрыт 8 лет назад.

    Возможный дубликат:
    Что такое 48 ÷ 2 (9 + 3)?
    6/2 * (1 + 2) равно 1 или 9?
    Операционный отдел

    По-видимому, очень простой вопрос, но в основном мой вопрос заключается в том, будет ли ответ следующего уравнения 9 или 1?

    6/2 (1 + 2)

    Или, другими словами, мы сначала делим, а умножаем? С точки зрения языка компьютерного программирования, мы бы решили это либо слева направо, либо справа налево, но я хочу знать математический ответ.

    Мое мнение: в вопросе недостаточно информации, чтобы решить эту проблему.

    Создан 14 сен.

    Аамир

    11111 золотой знак11 серебряный знак44 бронзовых знака

    $ \ endgroup $

    2

    $ \ begingroup $

    Немного уточнить свой вопрос 6/2 * (1 + 2) ок

    У нас есть формула для выполнения выражений: BODMAS , что означает

    Скобка деления, умножения, сложения, вычитания

    и предложите свое решение следующим образом:

    6/2 * (1 + 2)

    6/2 * (3)

    3 * (3)

    9

    Создан 14 сен.

    $ \ endgroup $

    3

    Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками делимость или задайте свой вопрос.

    Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

    Ваша конфиденциальность

    Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

    Принимать все файлы cookie

    Настроить параметры

    Введение в арифметические операции | Безграничная алгебра

    Основные операции

    Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.

    Цели обучения

    Вычислить сумму, разность, произведение и частное положительных целых чисел

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Основными арифметическими операциями с действительными числами являются сложение, вычитание, умножение и деление.
    • Основными арифметическими свойствами являются коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства.
    Ключевые термины
    • ассоциативный : ссылка на математическую операцию, которая дает один и тот же результат независимо от группировки элементов.
    • коммутативный : Относится к бинарной операции, в которой изменение порядка операндов не меняет результат (например, сложение и умножение).
    • произведение : результат умножения двух величин.
    • частное : результат деления одного количества на другое.
    • сумма : результат сложения двух величин.
    • разница : результат вычитания одного количества из другого.
    Четыре арифметических операции

    Дополнение

    Сложение — это самая основная операция арифметики. В простейшей форме сложение объединяет две величины в одну сумму, или сумм . Например, предположим, что у вас есть группа из 2 ящиков и еще одна группа из 3 ящиков. Если вы объедините обе группы вместе, у вас получится одна группа из 5 ящиков. Чтобы представить эту идею в математических терминах:

    [латекс] 2 + 3 = 5 [/ латекс]

    Вычитание

    Вычитание противоположно сложению.Вместо того, чтобы складывать количества вместе, мы удаляем одно количество из другого, чтобы найти разницу в между ними. Продолжая предыдущий пример, предположим, что вы начинаете с группы из 5 блоков. Если вы затем удалите 3 поля из этой группы, у вас останутся 2 поля. Математически:

    [латекс] 5-3 = 2 [/ латекс]

    Умножение

    Умножение также объединяет несколько величин в одну величину, называемую продуктом . Фактически, умножение можно рассматривать как объединение множества сложений.В частности, произведение [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является результатом сложения [latex] x [/ latex] вместе [latex] y [/ latex] раз. Например, один из способов подсчета четырех групп по две коробки — сложить группы вместе:

    [латекс] 2 + 2 + 2 + 2 = 8 [/ латекс]

    Однако есть еще один способ посчитать коробки — это умножить количество:

    [латекс] 2 \ cdot 4 = 8 [/ латекс]

    Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же результат — 8, но во многих случаях, особенно когда у вас есть большие количества или много групп, умножение может быть намного быстрее.

    Дивизия

    Деление — это величина, обратная умножению. Вместо того, чтобы умножать количества вместе, чтобы получить большее значение, вы разделяете количество на меньшее значение, называемое частным . Опять же, возвращаясь к примеру с блоком, разделение группы из 8 блоков на 4 равные группы приводит к получению 4 групп по 2 блока:

    [латекс] 8 \ div 4 = 2 [/ латекс]

    Основные арифметические свойства

    Коммутативная собственность

    Свойство коммутативности описывает уравнения, в которых порядок чисел не влияет на результат.Сложение и умножение являются коммутативными операциями:

    • [латекс] 2 + 3 = 3 + 2 = 5 [/ латекс]
    • [латекс] 5 \ cdot 2 = 2 \ cdot 5 = 10 [/ латекс]

    Однако вычитание и деление не коммутативны.

    Ассоциативное свойство

    Ассоциативное свойство описывает уравнения, в которых группировка задействованных чисел не влияет на результат. Как и в случае с коммутативностью, сложение и умножение являются ассоциативными операциями:

    • [латекс] (2 + 3) + 6 = 2 + (3 + 6) = 11 [/ латекс]
    • [латекс] (4 \ cdot 1) \ cdot 2 = 4 \ cdot (1 \ cdot 2) = 8 [/ латекс]

    Еще раз, вычитание и деление не ассоциативны.

    Распределительная собственность

    Свойство распределения можно использовать, когда сумма двух величин затем умножается на третье количество.

    • [латекс] (2 + 4) \ cdot 3 = 2 \ cdot 3 + 4 \ cdot 3 = 18 [/ латекс]

    Отрицательные числа

    Арифметические операции могут выполняться с отрицательными числами в соответствии с определенными правилами.

    Цели обучения

    Вычисление суммы, разницы, произведения и частного отрицательных целых чисел

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Сложение двух отрицательных чисел дает отрицательное значение; сложение положительного и отрицательного числа дает число, имеющее тот же знак, что и число большей величины.
    • Вычитание положительного числа дает тот же результат, что и добавление отрицательного числа равной величины, а вычитание отрицательного числа дает тот же результат, что и добавление положительного числа.
    • Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а произведение двух отрицательных чисел положительно.
    • Частное одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно, а частное двух отрицательных чисел положительно.
    Четыре операции

    Дополнение

    Сложение двух отрицательных чисел очень похоже на сложение двух положительных чисел.Например:

    [латекс] (- 3) + (−5) = −8 [/ латекс]

    Основополагающий принцип заключается в том, что два долга — отрицательные числа — могут быть объединены в один долг большей величины.

    При сложении положительных и отрицательных чисел другой способ записать отрицательные числа — вычесть положительные величины. Например:

    [латекс] 8 + (−3) = 8 — 3 = 5 [/ латекс]

    Здесь кредит 8 сочетается с задолженностью 3, что дает общий кредит 5.Однако, если отрицательное число имеет большую величину, результат будет отрицательным:

    .

    [латекс] (- 8) + 3 = 3 — 8 = −5 [/ латекс]

    Аналогично:

    [латекс] (- 2) + 7 = 7 — 2 = 5 [/ латекс]

    Здесь долг 2 сочетается с кредитом 7. Кредит имеет большую величину, чем долг, поэтому результат положительный. Но если кредит меньше долга, результат будет отрицательным:

    .

    [латекс] 2 + (−7) = 2 — 7 = −5 [/ латекс]

    Вычитание

    Вычитание положительных чисел друг из друга может дать отрицательный ответ.Например, вычитая 8 из 5:

    [латекс] 5-8 = −3 [/ латекс]

    Вычитание положительного числа обычно аналогично сложению отрицательного числа. То есть:

    [латекс] 5 — 8 = 5 + (−8) = −3 [/ латекс]

    и

    [латекс] (- 3) — 5 = (−3) + (−5) = −8 [/ латекс]

    Аналогично, , вычитая отрицательного числа, дает тот же результат, что и , прибавляя положительное из этого числа. Идея здесь в том, что потерять долга — это то же самое, что получить кредит.Следовательно:

    [латекс] 3 — (−5) = 3 + 5 = 8 [/ латекс]

    и

    [латекс] (- 5) — (−8) = (−5) + 8 = 3 [/ латекс]

    Умножение

    При умножении положительных и отрицательных чисел знак произведения определяется по следующим правилам:

    • Произведение двух положительных чисел положительно. Произведение одного положительного числа и одного отрицательного числа отрицательно.
    • Произведение двух отрицательных чисел положительно.

    Например:

    [латекс] (- 2) × 3 = −6 [/ латекс]

    Это просто потому, что сложение −2 три раза дает −6:

    .

    [латекс] (- 2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 [/ латекс]

    Однако

    [латекс] (- 2) × (−3) = 6 [/ латекс]

    Здесь снова идея заключается в том, что потеря долга — это то же самое, что получение кредита. В этом случае потерять два долга по три штуки в каждом — это то же самое, что получить кредит в шесть раз:

    [латекс] \ left (−2 \ text {долгов} \ right) \ times \ left (−3 \ text {each} \ right) = +6 \ text {кредит} [/ latex]

    Дивизия

    Знаковые правила деления такие же, как и для умножения.

    • Разделение двух положительных чисел дает положительное число.
    • Если разделить одно положительное число и одно отрицательное число, получится отрицательное число.
    • После деления двух отрицательных чисел получается положительное число.

    Если у делимого и делителя один и тот же знак, то есть результат всегда положительный. Например:

    [латекс] 8 ÷ (−2) = −4 [/ латекс]

    и

    [латекс] (- 8) ÷ 2 = −4 [/ латекс]

    но

    [латекс] (- 8) ÷ (−2) = 4 [/ латекс].

    Дополнительные соображения

    Основные свойства сложения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) также применимы к отрицательным числам. Например, следующее уравнение демонстрирует свойство распределения:

    [латекс] -3 (2 + 5) = (-3) \ cdot 2 + (-3) \ cdot 5 [/ латекс]

    Фракции

    Дробь представляет собой часть целого и состоит из целого числителя и ненулевого целого знаменателя.

    Цели обучения

    Вычислить результат операций с дробями

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Для сложения и вычитания дробей требуются «одинаковые количества» — общий знаменатель.Чтобы сложить или вычесть дроби, содержащие различающиеся количества (например, прибавление четвертей к третям), необходимо преобразовать все суммы в одинаковые количества.
    • Умножение дробей требует умножения числителей друг на друга, а затем знаменателей друг на друга. Быстрый путь — использовать стратегию отмены, которая уменьшает числа до минимально возможных значений перед умножением.
    • Деление на дроби предполагает умножение первого числа на величину, обратную второму числу.
    Ключевые термины
    • числитель : Число, которое находится над чертой дроби и представляет собой часть целого числа.
    • обратный : Дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель поменялись местами.
    • знаменатель : Число под чертой дроби и представляет собой целое число.
    • дробь : отношение двух чисел — числителя и знаменателя — обычно записываемых одно над другим и разделенных горизонтальной чертой.

    Дробь представляет собой часть целого. Обычная дробь, например [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex], [latex] \ frac {8} {5} [/ latex] или [latex] \ frac {3} {4} [/ latex], состоит из целого числителя (верхнее число) и ненулевого целого знаменателя (нижнее число). Числитель представляет определенное количество равных частей целого, а знаменатель указывает, сколько из этих частей необходимо, чтобы составить одно целое. Пример можно увидеть на следующем рисунке, на котором торт разделен на четвертинки:

    Четверти торта: Торт с удаленной четвертью.Показаны остальные три четверти. Пунктирными линиями обозначены места, где торт можно разрезать, чтобы разделить его на равные части. Каждая оставшаяся четверть торта обозначается дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

    Дополнение

    Добавление одинаковых количеств

    Первое правило сложения дробей — начать с добавления дробей, которые содержат одинаковые знаменатели, например, кратные четверти или четверти. Четверть представлена ​​дробью [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], где числитель 1 представляет одну четверть, а знаменатель 4 представляет количество четвертей, необходимое для создания целого , или один доллар.

    Представьте себе, что один карман содержит две четвертинки, а другой карман — три четверти. Всего пять кварталов. Поскольку четыре четверти эквивалентны одному (доллару), это можно представить следующим образом:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {4} + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {4} = 1 \ frac {1} {4} [/ latex]

    Добавление отличных величин

    Чтобы добавить дроби, которые содержат знаменатели в отличие от (например, четверти и трети), необходимо сначала преобразовать все суммы в одинаковые величины, что означает, что все дроби должны иметь общий знаменатель.Один простой способ найти знаменатель, который даст вам одинаковые количества, — это просто перемножить два знаменателя дробей. (Важно помнить, что каждый числитель также должен быть умножен на то же значение, на которое умножается его знаменатель, чтобы дробь представляла то же отношение.)

    Например, чтобы прибавить четверти к третям, оба типа дробей преобразуются в двенадцатые:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} = \ frac {1 \ cdot 4} {3 \ cdot4} + \ frac {1 \ cdot3} {4 \ cdot3} = \ frac {4} {12} + \ frac {3} {12} = \ frac {7} {12} [/ latex]

    Этот метод можно алгебраически выразить следующим образом:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + cb} {bd} [/ latex]

    Этот метод работает всегда.Однако иногда есть более быстрый способ — использовать меньший знаменатель или наименьший общий знаменатель. Например, чтобы добавить [latex] \ frac {3} {4} [/ latex] к [latex] \ frac {5} {12} [/ latex], знаменатель 48 (произведение 4 и 12, два знаменатели), но можно использовать и меньший знаменатель 12 (наименьшее общее кратное 4 и 12).

    Сложение дробей к целым числам

    Что делать, если к целому числу прибавляется дробь? Просто начните с записи целого числа в виде дроби (напомним, что целое число имеет знаменатель [латекс] 1 [/ латекс]), а затем продолжайте описанный выше процесс сложения дробей.

    Вычитание

    Процесс вычитания дробей, по сути, такой же, как и процесс их сложения. Найдите общий знаменатель и замените каждую дробь на эквивалентную дробь, используя этот общий знаменатель. Затем вычтите числители. Например:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} — \ frac {1} {2} = \ frac {2 \ cdot 2} {3 \ cdot2} — \ frac {1 \ cdot3} {2 \ cdot3} = \ frac {4} {6} — \ frac {3} {6} = \ frac {1} {6} [/ latex]

    Чтобы вычесть дробь из целого числа или вычесть целое число из дроби, перепишите целое число как дробь, а затем выполните описанный выше процесс вычитания дробей.

    Умножение

    В отличие от сложения и вычитания, при умножении знаменатели не обязательно должны быть одинаковыми. Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители друг на друга, а знаменатели друг на друга. Например:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {6} {12} [/ latex]

    Если какой-либо числитель и знаменатель имеют общий множитель, дроби могут быть уменьшены до наименьшего значения до или после умножения. Например, полученная дробь может быть уменьшена до [latex] \ frac {1} {2} [/ latex], потому что числитель и знаменатель делят множитель 6.В качестве альтернативы дроби в исходном уравнении можно было бы уменьшить, как показано ниже, потому что 2 и 4 имеют общий множитель 2, а 3 и 3 имеют общий множитель 3:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {3} {4} = \ frac {1} {1} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} { 2} [/ латекс]

    Чтобы умножить дробь на целое число, просто умножьте это число на числитель дроби:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {3} {4} \ cdot 5 = \ frac {15} {4} [/ latex]

    Обычная ситуация, когда умножение дробей бывает полезным, — это во время готовки.Что, если кто-то захочет «наполовину» рецепт печенья, для которого требуется [латекс] \ frac {1} {2} [/ latex] чашки шоколадной стружки? Чтобы найти необходимое количество шоколадной крошки, умножьте [латекс] \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} [/ latex]. В результате получается [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex], поэтому правильное количество шоколадной стружки составляет [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex] чашки.

    Дивизия

    Процесс деления числа на дробь влечет за собой умножение числа на обратную дробь.Обратная величина — это просто дробь, перевернутая так, что числитель и знаменатель меняются местами. Например:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ div \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {4} {3} = \ frac {4} { 6} = \ frac {2} {3} [/ latex]

    Чтобы разделить дробь на целое число, либо разделите числитель дроби на целое число (если дробь делится просто):

    [латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ frac {10 \ div 2} {3} = \ frac {2} {3} [/ latex]

    или умножьте знаменатель дроби на целое число:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {10} {3} \ div 5 = \ displaystyle \ frac {10} {3 \ cdot5} = \ frac {10} {15} = \ frac {2} {3} [/ латекс]

    Сложные фракции

    Комплексная дробь — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями, которые могут содержать переменные, константы или и то, и другое.

    Цели обучения

    Упростить сложные дроби

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Сложные дроби включают числа, такие как [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [латекс] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex], где числитель, знаменатель или оба включают дроби.
    • Прежде чем решать сложные рациональные выражения, полезно их максимально упростить.
    • «Метод комбинирования-деления» для упрощения сложных дробей влечет за собой (1) объединение членов в числителе, (2) объединение членов в знаменателе и, наконец, (3) деление числителя на знаменатель.
    Ключевые термины
    • комплексная дробь : отношение, в котором числитель, знаменатель или оба сами являются дробями.

    Комплексная дробь, также называемая комплексным рациональным выражением, — это дробь, в которой числитель, знаменатель или оба являются дробями. Например, [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] и [latex] \ frac {3} {1- \ frac {2} {5}} [/ latex] — сложные дроби. При работе с уравнениями, которые включают сложные дроби, полезно упростить сложную дробь перед тем, как решать уравнение.

    Процесс упрощения сложных дробей, известный как «метод комбинирования-деления», выглядит следующим образом:

    1. Объедините члены в числителе.
    2. Объедините члены в знаменателе.
    3. Разделите числитель на знаменатель.

    Пример 1

    Давайте применим этот метод к первой сложной дроби, представленной выше:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)}} [/ латекс]

    Поскольку нет терминов, которые можно объединить или упростить ни в числителе, ни в знаменателе, мы перейдем к шагу 3, разделив числитель на знаменатель:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} = \ frac {8} {15} \ div \ frac {2} {3}} [/ латекс]

    Из предыдущих разделов мы знаем, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби.Поэтому мы используем метод сокращения, чтобы максимально упростить числа, а затем умножаем его на упрощенную обратную величину делителя или знаменателя дроби:

    [латекс] \ displaystyle {{\ frac 8 {15}} \ cdot {\ frac 32} = {\ frac 4 {5}} \ cdot {\ frac 11} = {\ frac 4 {5}}} [/ латекс]

    Следовательно, комплексная дробь [латекс] \ frac {\ left (\ frac {8} {15} \ right)} {\ left (\ frac {2} {3} \ right)} [/ latex] упрощается до [ латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].

    Пример 2

    Давайте попробуем другой пример:

    [латекс] \ displaystyle {\ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)}} [/ латекс]

    Начните с шага 1 описанного выше метода комбинирования-деления: объедините члены в числителе.Вы обнаружите, что общий знаменатель двух дробей в числителе равен 6, а затем вы можете сложить эти два члена вместе, чтобы получить один член дроби в числителе большей дроби:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac { 3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {3} {6} + \ dfrac {4} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3 } {4} \ right)} [/ латекс]

    Перейдем к шагу 2: объединим члены в знаменателе.Для этого мы умножаем дроби в знаменателе вместе и упрощаем результат, сокращая его до наименьших членов:

    [латекс] \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {6} {12} \ right)} = \ dfrac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right )} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} [/ latex]

    Перейдем к шагу 3: разделим числитель на знаменатель. Напомним, что деление на дробь аналогично умножению на обратную величину этой дроби:

    [латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {7} {6} \ right)} {\ left (\ dfrac {1} {2} \ right)} = {\ dfrac {7} {6}} \ cdot {\ dfrac {2} {1}} = \ dfrac {14} {6} [/ latex]

    Наконец, упростим полученную дробь:

    [латекс] \ displaystyle \ frac {14} {6} = 2 \ frac {2} {6} [/ latex]

    Следовательно, в итоге:

    [латекс] \ frac {\ left (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {2} {3} \ right)} {\ left (\ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {3} {4} \ right)} = 2 \ dfrac {2} {6} [/ latex]

    Введение в экспоненты

    Экспоненциальная форма, записанная [latex] b ^ n [/ latex], представляет собой умножение базового [latex] b [/ latex] на сам [latex] n [/ latex] раз. 5 = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 243 [/ латекс]

    Показатели 0 и 1

    Любое число, возведенное в степень [латекс] 1 [/ латекс], является самим числом.0 = 1 [/ латекс].

    Порядок действий

    Порядок операций — это подход к вычислению выражений, включающих несколько арифметических операций.

    Цели обучения

    Различие между правильным и неправильным использованием порядка операций

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Порядок операций предотвращает двусмысленность математических выражений.
    • Порядок операций следующий: 1) упростить члены в круглых или квадратных скобках, 2) упростить показатели и корни, 3) выполнить умножение и деление, 4) выполнить сложение и вычитание.
    • Умножение и деление имеют равный приоритет, равно как и сложение и вычитание. Это означает, что операции умножения и деления (а также операции сложения и вычитания) могут выполняться в том порядке, в котором они появляются в выражении.
    • Полезная мнемоника для запоминания порядка действий — PEMDAS, иногда расширяемая до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».
    Ключевые термины
    • математическая операция : действие или процедура, которая создает новое значение из одного или нескольких входных значений.

    Порядок операций — это способ вычисления выражений, которые включают более одной арифметической операции. Эти правила говорят вам, как вам следует упростить или решить выражение или уравнение таким образом, чтобы получить правильный результат.

    Например, когда вы встретите выражение [латекс] 4 + 2 \ cdot 3 [/ latex], как вы поступите?

    Один вариант:

    [латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot3 & = (4 + 2) \ cdot 3 \\ & = 6 \ cdot 3 \\ & = 18 \ end {align} [/ latex]

    Другой вариант:

    [латекс] \ begin {align} \ displaystyle 4 + 2 \ cdot 3 & = 4+ (2 \ cdot 3) \\ & = 4 + 6 \\ & = 10 \ end {align} [/ latex]

    Какой порядок действий правильный?

    Чтобы иметь возможность общаться с помощью математических выражений, у нас должен быть согласованный порядок операций, чтобы каждое выражение было однозначным.Например, для приведенного выше выражения все математики согласятся, что правильный ответ — 10.

    Порядок операций, используемых в математике, науке, технике и во многих языках программирования, следующий:

    1. Упростите термины в круглых или квадратных скобках
    2. Упростить экспоненты и корни
    3. Выполнить умножение и деление
    4. Выполнить сложение и вычитание

    Эти правила означают, что в математическом выражении в первую очередь должна выполняться операция с наивысшим рангом в списке.3 \\ & = 6-5 + 8 \\ & = 1 + 8 \\ & = 9 \ end {align} [/ latex]

    Примечание о равном приоритете

    Поскольку умножение и деление имеют равный приоритет, может быть полезно думать о делении на число как о умножении на обратную величину этого числа. Таким образом, [латекс] 3 \ div 4 = 3 \ cdot \ frac {1} {4} [/ latex]. Другими словами, частное 3 и 4 равно произведению 3 и [латекс] \ frac {1} {4} [/ latex].

    Точно так же, поскольку сложение и вычитание имеют равный приоритет, мы можем думать о вычитании числа как о сложении отрицательного числа.Таким образом [латекс] 3−4 = 3 + (- 4) [/ латекс]. Другими словами, разница 3 и 4 равна сумме положительных трех и отрицательных четырех.

    При таком понимании представьте [латекс] 1−3 + 7 [/ latex] как сумму 1, минус 3 и 7, а затем сложите эти термины вместе. Теперь, когда вы изменили структуру операций, любой заказ будет работать:

    • [латекс] (1-3) + 7 = -2 + 7 = 5 [/ латекс]
    • [латекс] (7−3) + 1 = 4 + 1 = 5 [/ латекс]

    Важно сохранять отрицательный знак с любым отрицательным числом (здесь 3).

    Мнемоника

    В США аббревиатура PEMDAS является распространенным мнемоническим символом для запоминания порядка операций. Это означает круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение и вычитание. PEMDAS часто расширяется до «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

    Однако эта мнемоника может вводить в заблуждение, поскольку «MD» подразумевает, что умножение должно выполняться перед делением, а «AS» — это сложение перед вычитанием, а не признание их равного приоритета.Чтобы проиллюстрировать, почему это проблема, рассмотрим следующее:

    [латекс] 10-3 + 2 [/ латекс]

    Это выражение правильно упрощается до 9. Однако, если вы сначала сложите 2 и 3, чтобы получить 5, и , а затем выполнил вычитание, вы получили бы 5 в качестве окончательного ответа, что неверно. Чтобы избежать этой ошибки, лучше всего рассматривать эту проблему как сумму положительных десяти, отрицательных трех и положительных двух.

    [латекс] 10 + (- 3) +2 [/ латекс]

    Чтобы полностью избежать этой путаницы, альтернативный способ написания мнемоники:

    E

    MD

    AS

    Или просто как PEMA, где учат, что умножение и деление по своей сути имеют один и тот же приоритет, а сложение и вычитание по своей сути имеют одинаковый приоритет.Эта мнемоника проясняет эквивалентность умножения и деления, а также сложения и вычитания.

    Порядок операций — Бесплатная математическая справка

    Введение

    Порядок операций — очень простая концепция, жизненно важная для правильного понимания математики. В отличие от чтения, где мы всегда работаем слева направо, иногда с математикой нам нужно проработать одну часть задачи перед другой, иначе окончательный ответ может быть неверным! Мы используем термин «порядок операций», чтобы описать, с какой частью проблемы нужно работать в первую очередь.Возьмите это уравнение в качестве примера:

    $$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

    Если бы вы просто решали слева направо, ответ был бы неверным. Давайте сделаем это сейчас: 4 + 6 = 10. Разделите это на 2, чтобы получить 5. Умножьте 5 на 11, чтобы получить 55. К сожалению, хотя это казалось нормальным, этот ответ неверен.

    Правильный порядок действий

    Порядок действий позволит вам решить эту проблему правильно. Порядок следующий: Круглая скобка , Экспоненты , Умножение и деление и, наконец, Сложение и вычитание .Всегда сначала выполняйте операции внутри круглых скобок, а затем выполняйте операции с показателями. После этого выполняйте все умножение и деление слева направо и, наконец, все операции сложения и вычитания слева направо.

    Популярным способом запоминания порядка является аббревиатура PEMDAS. Круглые скобки, экспоненты, умножение и деление, сложение и вычитание. Вы также можете создать небольшую фразу, чтобы соответствовать этому, например: « P lease E xcuse M y D ear A Unt S ally.«Что бы вы ни выбрали, убедитесь, что вы хорошо знаете все шесть этапов порядка операций.

    Давайте попробуем решить это уравнение еще раз, на этот раз с помощью PEMDAS.

    $$ 4 + 6 \ div 2 * 11 =? $$

    Шаг 1) Круглые скобки. Нет ни одного. Двигаться дальше.

    Шаг 2) Показатели. Никто. Продолжайте …

    Шаг 3) Умножение и деление. Идите слева направо, выполняя все операции умножения и деления, когда вы сталкиваетесь с этим, поэтому разделите 6 на 2, чтобы получить 3, и умножьте это на 11, чтобы получить 33.2 \ div 5 $$
    $$ 5 + 144 \ div 5 $$
    $$ 5 + 28,8 $$
    33,8 $ $

    К настоящему времени вы должны иметь базовое представление о порядке операций. Чтобы продолжить изучение этой темы, вы можете продолжать просматривать наш сайт или попробовать поискать в Интернете на Yahoo или Google. MathGoodies.com также предлагает отличный урок о порядке операций.

    Порядок операций — Джеймс Бреннан

    Порядок действий

    Когда мы сталкиваемся с таким выражением, как 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3 , то, как мы выбираем, какие операции выполнять в первую очередь, имеет большое значение.Нам нужен набор правил, которые направят любого к одному уникальному значению для такого рода выражений. Некоторые из этих правил просто основаны на соглашении, в то время как другие навязаны нам математической логикой. В главе, посвященной свойствам действительных чисел, вы увидите, как закон распределения согласуется с этими правилами. Общепризнанный порядок вычисления математического выражения следующий:

    1. Круглые скобки наизнанку

    Под «круглыми скобками» мы подразумеваем все, что действует как символ группировки, включая все, что находится внутри символов, например [], {}, | | и .Любое выражение в числителе или знаменателе дроби или в показателе степени также считается сгруппированным и должно быть упрощено перед выполнением дальнейших операций.

    · Если есть вложенные круглые скобки (скобки внутри скобок), вы работаете от самых внутренних скобок наружу.

    2. Экспоненты

    Также другие специальные функции, такие как log, sin, cos и т. Д.

    3. Умножение и деление слева направо

    Порядок слева направо не имеет значения, если используется только умножение, но имеет значение для деления.

    4. Сложение и вычитание слева направо

    Порядок слева направо не имеет значения, если используется только сложение, но он имеет значение для вычитания.

    Пример: Возвращаясь к нашему исходному примеру, 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3

    Дано:

    3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 2 + 3

    Показатель степени — это подразумеваемая группировка,
    , поэтому сначала нужно вычислить 2 + 3:

    = 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 2 5

    Сейчас проводится экспонента:

    = 3 + 15 ÷ 3 + 5 × 32

    Теперь умножение и деление,
    слева направо, используя 15 ¸ 3 = 5 и 5 ´ 32 = 160:

    = 3 + 5 + 160

    Теперь сложение слева направо:

    = 168

    Калькулятор Примечание. Большинство современных калькуляторов «знают» порядок операций, и вы можете вводить выражения практически в том виде, в каком они написаны.Некоторые старые калькуляторы будут выполнять каждую операцию при нажатии клавиши, что может привести к выполнению операций в неправильном порядке. Попробуйте несколько примеров, если вы не знаете, как ведет себя ваш калькулятор.

    Например, если вы введете

    3 + 4 × 5 =
    Правильный ответ должен быть 23, потому что умножение должно выполняться перед сложением, что дает 3 + 20. Но если ваш калькулятор выполняет «3 + 4» до перехода к «× 5» , он покажет результат 35, потому что он будет видеть его как 7 × 5.

    Калькулятор Примечание. Используйте скобки для принудительного группирования. Если вы оцениваете такое выражение, как

    знаменатель необходимо упростить перед делением. Если вы введете его в свой калькулятор как 4 ÷ 3 + 5, он сначала оценит «4 ÷ 3», а затем прибавит 5 к результату, дав неправильный ответ 6.3333. Чтобы он сначала выполнил сложение, используйте круглые скобки:

    4 ÷ (3 + 5) = 0,5

    В нашем примере задачи выше, «2 + 3» в показателе степени — это подразумеваемая группировка, и вам нужно будет использовать круглые скобки.», А на других -« y x »)

    Что такое PEMDAS? — Определение, правила и примеры — Видео и стенограмма урока

    Почему PEMDAS важен?

    Без PEMDAS нет указаний для получения только одного правильного ответа. В качестве очень простого примера, чтобы вычислить 2 * 4 + 7, я мог бы сначала умножить, а затем сложить, чтобы получить 15. У меня также есть возможность сначала сложить, а затем умножить и получить 22. Какой ответ правильный? Используя PEMDAS, единственный правильный ответ — 15, потому что порядок букв в PEMDAS говорит мне, что умножение M должно выполняться перед сложением A.

    Вот объяснение правил, приведенных в PEMDAS:

    1. P, поскольку первая буква означает, что вы сначала выполняете любые вычисления в группировке символов. 2} + 12/4.3 |, шаги будут следующими:

      Краткое содержание урока

      PEMDAS — это аббревиатура слов скобка, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание. Для любого выражения сначала следует упростить все показатели, затем умножить и разделить слева направо и, наконец, сложить и вычесть слева направо. Слово «круглые скобки» стоит первым в этом аббревиатуре, чтобы указать, что любое выражение в символе группировки, такое как круглые скобки, должно быть сначала упрощено.Этот приказ также можно запомнить, используя фразу Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли.

      Результаты обучения

      Изучив этот урок на PEMDAS, откройте для себя свои способности:

      • Осознайте важность PEMDAS и произнесите фразу, которая поможет вам запомнить порядок действий
      • Использование PEMDAS в математических выражениях
      • Понять, как PEMDAS применяется к выражениям дробей и абсолютных значений

      Каков порядок операций в математике? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

      Порядок действий Шаги

      Шаги, которые мы используем для решения любого математического выражения:

      1. Упростите все скобки .Это включает в себя все формы группирующих символов, такие как скобки и фигурные скобки, в дополнение к круглым скобкам.
      2. Упростите все показатели .
      3. Упростите умножение и деление слева направо . Упрощая умножение и деление, работайте слева направо.
      4. Упростите все сложение и вычитание слева направо . Опять же, упрощая сложение и вычитание, работайте слева направо.

      Следуя этому порядку, мы все сможем решить проблему и получить одно и то же решение.

      PEMDAS

      После объяснения всех этих правил моей тете Салли, она кажется немного ошеломленной. Однако у меня есть ярлык, чтобы помочь ей запомнить эти шаги. Он называется PEMDAS .

      Это означает:

      P — Круглые скобки

      E — Показатели

      M — Умножение

      D — Раздел

      A — Сложение

      000

      89 Помните, что шаги для умножения и деления — это один шаг.Мы выполняем все операции умножения и деления за один шаг слева направо. Умножение не всегда предшествует делению; они обрабатываются в том порядке, в котором они появляются. Это также верно для сложения и вычитания. Они обрабатываются одинаково слева направо. Для меня простой способ запомнить эти шаги — это запомнить фразу Пожалуйста, извините мою дорогую тетю Салли , где:

      P — Скобки — Пожалуйста,

      E — Экспоненты — Excuse

      M — Умножение — Мой

      D — Отдел — Уважаемый

      A — Дополнение — Тетя

      S — Вычитание — Салли

      Примеры

      Давайте покажем тете Салли, как порядок операций помогает нам решать проблемы.Я хочу показать тете Салли проблему из моей домашней работы сегодня вечером. Задача 3 + [6 (11 + 1 — 4)] ÷ 8 x 2. Помните, что для решения этой задачи мы будем следовать порядку действий. Давайте подумаем о PEMDAS.

      Первым шагом к решению этой проблемы является работа с буквой P (круглые скобки). В этой задаче использовались как круглые, так и квадратные скобки. Нам нужно будет начать в круглых скобках и работать, пока мы не заполним все символы группировки. Кроме того, работая внутри символов группировки, мы должны соблюдать оставшийся порядок.Для начала нам нужно будет сложить 11 + 1, а затем вычесть 4, что составляет 8. Теперь мы все еще должны работать внутри скобок, 6 умножить на 8 равно 48.

      Следующая буква в нашем аббревиатуре — E для экспонент. Поскольку экспонентов нет, продолжаем. Следующий шаг — упростить M и D (умножение и деление) слева направо. Поскольку на самом деле деление стоит на первом месте, мы работаем с ним слева направо. Сначала мы разделим 48 ÷ 8, что равно 6. В нашей задаче все еще существует умножение, поэтому теперь нам нужно будет умножить 6 на 2, что равно 12.Единственный оставшийся шаг — AS (сложение и вычитание). В этой задаче осталось только одно: 3 плюс 12, что равно 15. Итак, как вы видите, тетя Салли, ответ на эту проблему будет 15.

      Давайте вместе займемся другой задачей. Решаем 20-4 + 52/5.

      Шаг 1: проверьте, нет ли скобок, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

      Шаг 2: Далее следуют экспоненты, и у нас есть показатель степени в 52, который упрощается до 25. Это меняет задачу, чтобы выглядеть как 20 — 4 + 25/5.

      Шаг 3: Умножения нет, поэтому мы можем перейти к следующему шагу — делению.

      Шаг 4: Работа по разделению, которую нам нужно выполнить, составляет 25/5, что составляет 5. Теперь проблема выглядит как 20 — 4 + 5.

      Шаг 5: Далее идет сложение, и у нас есть -4 + 5, что составляет 1. Задача упрощается до 20 + 1, и это дает нам окончательный ответ 21.

      Как гласит старая пословица, практика ведет к совершенству, поэтому давайте рассмотрим другой пример проблемы и решим ее.

      Следующая задача — (6-5 x 2) 2 / (3 + 7).

      Шаг 1: Нам нужно выполнить работу в двух скобках. В круглых скобках числителя указано вычитание и умножение. PEMDAS говорит нам сначала сделать умножение. Это дает нам (6-10) 2. Теперь мы можем вычесть эти значения и получить (-4) 2, что равно 16. Это наш числитель. Круглые скобки знаменателя — это сложение, которое дает 10. Теперь задача упрощается до 16/10, что составляет 1,6.

      Поскольку у нас это очень хорошо получается, мы решим еще одну задачу, чтобы продемонстрировать наши новые навыки!

      Новая задача: 16-4 x 2 + 3 / (17-42) x 32.

      Шаг 1. Видны ли скобки? Да! Давайте сначала решим это. В круглых скобках 42, то есть 16. Завершение математических расчетов внутри скобок дает нам 17 — 16 = 1. Теперь задача выглядит как 16 — 4 x 2 + 3/1 x 32.

      Шаг 2: Степень больше не существует. , поэтому мы можем перейти к шагу 3.

      Шаг 3: Следующий шаг — умножение. У нас есть -4 x 2 и 3 x 32. Таким образом, задача выглядит как 16 — 8 + 96.

      Шаг 4: Окончательный вид задачи — 16 — 8 + 96, и ответ — 104.

      Теперь давайте рассмотрим то, что мы узнали.

      Краткое содержание урока

      Порядок операций — это порядок, в котором мы складываем, вычитаем, умножаем или делим для решения проблемы. Шаги, которые мы используем для решения любого математического выражения:

      1. Упростите все круглые скобки . Сюда входят все формы символов группировки, такие как скобки, фигурные скобки и круглые скобки.
      2. Упростите все показатели .
      3. Упростите умножение и деление слева направо .Упрощая умножение и деление, убедитесь, что вы работаете слева направо.
      4. Упростите все сложение и вычитание слева направо . Опять же, упрощая сложение и вычитание, работайте слева направо.

      Для меня полезный способ запомнить этот порядок: Пожалуйста, извините, дорогая тетя Салли , что означает:

      P — круглые скобки

      E — экспоненты

      M — умножение

      — Раздел

      A — Сложение

      S — Вычитание

      Помните, что умножение и деление включаются в один шаг и упрощаются слева направо.То же самое и для сложения и вычитания.

      Результаты обучения

      После этого урока вы сможете:

      • Перечислить шаги, входящие в порядок операций для решения математических выражений
      • Найдите аббревиатуру, которая поможет запомнить порядок операций
      • Применить порядок операций для решения математического выражения

      Программа Python

      для сложения, вычитания, умножения и деления двух чисел

      В этом руководстве мы напишем программу Python для сложения, вычитания, умножения и деления двух входных чисел .

      Программа для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления двух входных чисел в Python

      В этой программе пользователя просят ввести два числа и оператор (+ для сложения, — для вычитания, * для умножения и / для деления). На основе ввода программа вычисляет результат и отображает его как вывод.
      Чтобы понять эту программу, вы должны знать, как получить ввод от пользователя, и знать основы оператора if..elif..else.

       # Программа опубликована на https: // beginnersbook.ком
      
      # Программа Python для выполнения сложения и вычитания, умножения
      # и деление двух чисел
      
      num1 = int (input ("Введите первое число:"))
      num2 = int (input ("Введите второе число:"))
      
      print ("Укажите, какую операцию вы хотите выполнить?")
      ch = input ("Введите любой из этих символов для конкретной операции +, -, *, /:")
      
      результат = 0
      если ch == '+':
          результат = число1 + число2
      elif ch == '-':
          результат = число1 - число2
      elif ch == '*':
          результат = число1 * число2
      elif ch == '/':
          результат = число1 / число2
      еще:
          print («Вводимый символ не распознан!»)
      
      print (num1, ch, num2, ":", результат) 

      Выход 1: Дополнение

       Введите первое число: 100
      Введите второе число: 5
      Введите, какую операцию вы хотите выполнить?
      Введите любой из этих символов для конкретной операции +, -, *, /: +
      100 + 5: 105 

      Выход 2: Подразделение

       Введите первое число: 20
      Введите второе число: 5
      Введите, какую операцию вы хотите выполнить?
      Введите любой из этих символов для конкретной операции +, -, *, /: /
      20/5: 4.0 

      Выход 3: вычитание

       Введите первое число: 8
      Введите второе число: 7
      Введите, какую операцию вы хотите выполнить?
      Введите любой из этих символов для конкретной операции +, -, *, /: -
      8–7: 1 

      Выход 4: умножение

       Введите первое число: 6
      Введите второе число: 8
      Введите, какую операцию вы хотите выполнить?
      Введите любой из этих символов для конкретной операции +, -, *, /: *
      6 * 8: 48
       

      Связанные примеры Python:

      1.Программа на Python для сложения двух матриц
      2. Программа на Python для сложения двух двоичных чисел
      3. Программа на Python для сложения двух чисел
      4. Программа на Python для обмена двух чисел

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.