Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение
ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.»СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА», 1965
ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ
17. Арифметические действия над обыкновенными дробями
1. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме числителей данных дробей, т.е.
Это определение можно сформулировать также в виде следующего правила.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Пример.
.
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.
Пример.
Короче записывают так:
Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей.
Действие записывается так:
2. Вычитание. Вычитание дробей можно определить как действие, обратное сложению дробей. Вычесть из одного дробного числа второе это значит найти третье число, которое в сумме со вторым дает первое. Из этого определения следует правило:
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так:
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так:
Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так:
Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше.
Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.
Пример.
.
3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.
Пример 1.
.
Здесь использованы переместительный и сочетательный законы сложения.
Пример 2.
.
Здесь использовано правило прибавления суммы к числу.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
Здесь использованы правила вычитания из числа разности и суммы.
4. Умножение. Умножение дроби на целое число можно понимать так же, как и умножение целого числа на целое, т.е. как сложение одинаковых слагаемых. Например,
.
Но для умножения на дробь такое толкование не подходит. Например, умножая на , нельзя сказать, что здесь » надо взять раза слагаемым».
Здесь необходимо дать новое определение.
Произведением дробей называют такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей, т.е. . Это определение не является произвольным измышлением. Оно вытекает из необходимости сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в теории и практике, пока мы рассматривали только целые числа, а также те свойства, которыми обладает умножение целых чисел. В частности, при таком определении те задачи, которые в случае целых числовых данных решаются умножением, в случае дробных числовых данных также можно решать умножением. Из приведенного определения вытекает правило умножения дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе — знаменателем: .
При умножении следует делать (если возможно) сокращение.
Пример.
.
Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу.
Примеры.
5. Умножение смешанных чисел. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей.
Пример.
.
Если же перемножают смешанное число на целое, то проще множить отдельно целую часть и дробную часть.
Пример.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
7. Деление дробей. Для деления дробей сохраняется то же определение, что и для деления целых чисел: это — действие посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается второй сомножитель. Разделить одно число на второе — значит найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое.
Выполняют деление дробей по следующему правилу.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем: .
Пример.
.
По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.
Примеры.
Однако в последнем примере проще числитель разделить на целое число:
8. Деление смешанных чисел. Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и затем делят по правилу деления дробей.
Пример.
.
Однако при делении смешанного числа на целое бывает удобней делить отдельно целую часть и отдельно дробную часть смешанного числа.
Пример. .
9. Замена деления умножением. Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, обратная данной.
Например, для дроби обратная дробь будет .
Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1.
.
Учитывая это, можно деление выполнять по следующему правилу.
Чтобы разделить одно число на другое, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.
Пример 1.
.
Пример 2.
Пример 3.
.
10. Примеры на все действия с обыкновенными дробями. Решение примеров на все действия с дробями выполняют с помощью записи по отдельным действиям или записи цепочкой.
Пример. Вычислить:
Решение по частям.
Ответ. 1.
Пример вычисления цепочкой:
⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨
ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ
1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби — Студопедия
Поделись
правило умножения обыкновенных дробей:
умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.
правило умножения обыкновенной дроби на натуральное число:
умножение дроби на натуральное число дает дробь, числитель которой равен произведению числителя умножаемой дроби на натуральное число, а знаменатель равен знаменателю умножаемой дроби. С помощью букв правило умножения дроби a/b на натуральное число n имеет вид .
правило деления обыкновенной дроби на натуральное число:
Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить без изменений.
Пример:
правило деления обыкновенных дробей:
чтобы разделить обыкновенную дробь a/b на дробь c/d нужно делимое умножить на число, обратное делителю. С помощью букв озвученное правило умножения обыкновенных дробей записывается так: .
Смешанное число – это число, равное сумме натурального числа
При этом число n называют целой частью числа, а число a/b называют дробной частью числа.Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:
1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби
Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:
1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель дробной части оставить без изменения.
Пример:
правило сложения смешанного и натурального числа :
чтобы сложитьсмешанное число и натуральное число, надо к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, а дробную часть оставить без изменения.
Немного поясним это правило. Пусть нам нужно провести сложение смешанного числа и натурального числа n. Любое смешанное число равно сумме целой и дробной части, поэтому , а свойства сложения позволяют последнюю сумму переписать в виде .
Чтобы сложить смешанные дроби, надо:
1. привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
2. отдельно сложить целые части и отдельно дробные части;
3. если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части;
4. сократить полученную дробь.
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
- привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
- если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
- отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей;
- сократить полученную дробь.
Умножение смешанных чисел: Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.
Деление смешанных чисел: Для того, чтобы выполнить деление смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей.
Каковы правила умножения дробей?
Обновлено 21 декабря 2020 г.
Автор Lisa Maloney
Умножение — одна из самых простых операций, которые вы можете выполнять с дробями, потому что вам не нужно беспокоиться о том, имеют ли дроби одинаковые знаменатели или нет; просто перемножьте числители вместе, умножьте знаменатели вместе и упростите полученную дробь, если это необходимо. Однако есть несколько вещей, на которые следует обратить внимание, включая смешанные числа и отрицательные знаки.
Умножение по прямой
Первое и самое важное правило умножения дробей заключается в том, что вы умножаете только числитель × числитель и знаменатель × знаменатель.
Если у вас есть две дроби 2/3 и 4/5, их перемножение даст новую дробь:
\frac{2 × 4}{3 × 5}
, что упрощается до:
\frac{8} {15}
На этом этапе вы бы упростили, если бы могли, но поскольку числа 8 и 15 не имеют общих множителей, дальнейшее упрощение этой дроби невозможно.
Другие примеры, включая умножение дробей, которые необходимо уменьшить, смотрите в видео ниже:
Знаки минуса
Если вы умножаете дроби с отрицательными членами, убедитесь, что вы несете эти отрицательные знаки по вашим расчетам. Например, если вам даны две дроби -3/4 и 9/6, вы должны перемножить их вместе, чтобы создать новую дробь:
\frac{-3 × 9}{4 × 6}
Какой получается:
\frac{-27}{24}
Поскольку −27 и 24 имеют общий множитель 3, вы можете разложить 3 как из числителя, так и из знаменателя, и у вас останется:
\frac{-9}{ 8}
Обратите внимание, что -9/8 представляет собой значение, сильно отличающееся от 9/8.
Если бы этот отрицательный знак потерялся по пути, ваш ответ был бы неправильным.
Да, вы можете умножать неправильные дроби
Взгляните еще раз на только что приведенный пример. Вторая дробь 9/6 — неправильная дробь. Или, другими словами, его числитель был больше знаменателя. Это совсем не меняет того, как работает ваше умножение, хотя, в зависимости от вашего учителя или особенностей задачи, над которой вы работаете, вы можете предпочесть упростить результат последнего примера, который сам по себе является неправильной дробью, до смешанное число:
\frac{-9}{8} = -1 \, \frac{1}{8}
Умножение смешанных чисел
Это прекрасно ведет к обсуждению того, как умножать смешанные числа: Преобразовать смешанное число в неправильную дробь и умножить как обычно, как описано в последнем примере. Например, если вам дана дробь 4/11 и смешанное число 5 2/3 для умножения, вы должны сначала умножить целое число 5 на 3/3 (это число 1 в виде дроби).
которое имеет тот же знаменатель, что и дробная часть смешанного числа), чтобы преобразовать его в дробь:
5 × \frac{3}{3} = \frac{15}{3}
Затем добавьте дробную часть смешанного числа, получив:
5 \,\frac{2}{3} = \frac{15}{3} + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}
Теперь вы готовы перемножить две дроби вместе:
\frac{17}{3 } × \frac{4}{11}
Умножение числителя на знаменатель дает:
\frac{17 × 4}{3 × 11}
Что упрощается до:
\frac{68}{33}
Вы не можете больше упрощать члены этой дроби, но если хотите, вы можете преобразовать ее обратно в смешанное число:
2 \, \frac{2}{33}
Умножение обратно делению
Вот удобный трюк: если вы знаете, как умножать на дроби, вы уже знаете, как делить на дроби. Просто переверните вторую дробь вверх ногами и умножьте ее вместо того, чтобы делить. Итак, если у вас есть:
\frac{3}{4} ÷ \frac{2}{3}
Это то же самое, что написать:
\frac{3}{4} × \frac{3}{ 2}
, которые затем можно умножить как обычно.
Умножение дробей — УРОКИ МАТЕМАТИИ КЕЙТ
Что значит умножить на дробь?Когда вы умножаете число на дробь, вы находите часть этого числа. Например, если вы умножите 6 на 1/2, вы найдете 1/2 от 6. | Добро пожаловать на уроки математики у Кейт! |
1/2 от 1/4 составляет половину заштрихованной части.
Вы видите ярлык, который мы могли бы использовать? Чтобы найти ответ без диаграммы, мы можем перемножить числители вместе (1 x 1 = 1) и умножить вместе знаменатели (2 x 4 = 8), чтобы получить ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример, чтобы увидеть, применимо ли это сокращение. Допустим, у нас есть 2/3 умножить на 4/5. Это означает, что нам нужно 2/3 дроби 4/5. Начнем с картинки 4/5. 4/5 означает, что целое было разделено на 5 равных частей, и у нас есть 4 из 5 равных частей.
Если мы хотим найти 2/3 от 4/5, это означает, что нам нужно найти 2/3 заштрихованной части выше.
Для этого мы можем разбить прямоугольник на 3 равные строки. Чтобы найти 2/3, нам нужны 2 строки из 3.
Так что же такое 2/3 от 4/5? Когда мы разделили коробку на 3 ряда, мы образовали прямоугольник размером 5 х 3. Это дает нам в общей сложности 15 равных частей. Нам нужны только 2/3 заштрихованной части, поэтому нам нужно подсчитать только то, что заштриховано в 2 из 3 рядов (внутри фиолетового прямоугольника, показанного выше). Мы видим, что это дает нам 8 одинаковых частей из 15: 8/15.
Вы видите ярлык? Чтобы найти ответ, мы можем перемножить числители вместе (2 х 4 = 8) и умножить знаменатели вместе (3 х 5 = 15).
Как умножать дроби
Вам не нужно рисовать каждый раз, когда вы перемножаете две дроби. Вместо этого используйте ярлык. Чтобы умножить дроби вместе, вы просто умножаете прямо. Перемножьте числители вместе. Затем умножьте знаменатели вместе. Наконец, упростите свой ответ, если это необходимо.
15 и 56 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь не нужно упрощать.
Вот пример, где дробь можно упростить:
Есть еще один вариант, который может быть проще. Вместо упрощения в конце можно упростить в начале. Если вы сначала упростите, может быть легче увидеть общие факторы с меньшими числами в начале.
Не имеет значения, упростите ли вы первое или последнее, в итоге вы получите один и тот же ответ. Выберите способ, который кажется вам самым простым.
Умножение дробей на целые числа
Что делать, если только одно число является дробью, а другое — целым числом? Превратите целое число в дробь, используя 1 в качестве знаменателя. Деление на 1 не меняет числа, поэтому любое целое число можно переписать с 1 в знаменателе. После того, как вы записали целое число в виде дроби, вы можете выполнить шаги по умножению дробей.
Умножение на смешанное число
Одно или оба числа, которые вы умножаете, могут быть смешанными числами. Прежде чем умножать, запишите смешанное число как неправильную дробь.