переместительный и сочетательный. Сумма нескольких слагаемых
Переместительный закон сложения
Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится. Это можно легко проверить, посчитав количество звёздочек, представленных на рисунке:
Можно сначала посчитать зелёные звёздочки, потом жёлтые и сложить полученные результаты, получится 9 звёздочек. Или можно сначала посчитать жёлтые звёздочки, а потом зелёные, в результате сложения жёлтых и зелёных звёздочек сумма будет опять равна 9.
Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:
a + b = b + a,
выражающее переместительный закон сложения:
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
Сумма нескольких слагаемых
При сложении нескольких слагаемых действия можно выполнять в любом порядке.
Пример. Найти сумму трёх слагаемых: 5, 3 и 2.
Решение: Сумму трёх слагаемых можно найти тремя способами:
1-й способ:
5 + 3 = 8,
8 + 2 = 10.
2-й способ:
5 + 2 = 7,
7 + 3 = 10.
3-й способ:
3 + 2 = 5,
5 + 5 = 10.
Сочетательный закон сложения
Если при сложении чисел 5, 2 и 3 заменить какие-нибудь два числа их суммой, то результат сложения не измениться. Это можно легко проверить посчитав звёздочки на картинке:
Можно посчитать зелёные, синие и жёлтые звёздочки отдельно, а потом сложить полученные результаты, получим 10 звёздочек. Или можно посчитать зелёные звёздочки отдельно, а синие и жёлтые вместе и после к зелёным звёздочкам прибавить сумму синих с жёлтыми, в результате получим опять 10 звёздочек.
Из примера следует, что результат сложения не зависит от объединения слагаемых в сумму. Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c
верно равенство:a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c)
выражающее сочетательный закон сложения:
Сумма трёх и более слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой.
Математические Законы
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так: m + n = n + m |
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
|
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
- 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
- 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
- (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
- 8 = 8
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится. |
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий. Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится. |
Рассмотрим пример:
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
- 2 * 3 = 6
- 6 * 4 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
- 3 * 4 = 12
- 2 * 12 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
- (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
- 6 * 4 = 2 * 12
- 24 = 24
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Как решаем:
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
5 * 6 = 30
30 * 7 = 210
210 * 8 = 1680
5 * 6 * 7 * 8 = 1680
Ответ: 1680
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
|
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
Сначала выполним действие в скобках:
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
- (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
- 3 * 2 = 6
- 5 * 2 = 10
- 6 + 10 = 16
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Решить: 5 * (3 + 2).
Как решаем:
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Ответ: 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Как решаем:
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Ответ: 4.
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Решить: 4 * (6 − 2).
Как решаем:
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Ответ: 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?
Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?
Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?
Ответы
- 56;
- 28;
- 100;
- 81;
- 173;
- Деление;
- 26;
- Неверно.
| 1. |
Равенство по рисунку (домино)
Сложность: лёгкое |
3 |
| 2. |
Равенство по схеме
Сложность: лёгкое |
4 |
| 3. |
Пропущенное число (справа)
Сложность: лёгкое |
1 |
| 4. |
Пропущенное число (справа)
Сложность: лёгкое |
1 |
| 5. |
Значения двух сумм
Сложность: среднее |
2 |
| 6. |
Применение переместительного закона
Сложность: среднее |
3 |
| 7. |
Текстовая задача. Населённые пункты
Сложность: среднее |
4 |
| 8. |
Текстовая задача. Количество детей
Сложность: среднее |
4 |
| 9. |
Текстовая задача. Количество цветов
Сложность: среднее |
4 |
Переместительный закон сложения — правило и примеры решения задач
Общие сведения
Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:
- Коммутативный.
- Ассоциативный.
Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.
Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.
Сложение и вычитание
Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.
Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.
Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.
Переместительное правило
Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.
Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.
Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.
Сочетательный закон
Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.
Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.
Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).
Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.
Произведение и деление
Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:
- Переместительный.
- Сочетательный.
- Распределительный.
Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.
В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.
Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.
Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:
- Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.
- Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.
Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*» на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.
Пример задачи
Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:
- Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.
- Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.
- Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.
- Математические преобразования: 40+5+20+44+16
- Переместительный: 40+20+44+16+5.
- Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.
- Вычисление и результат: 125.
Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.
Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.
| | Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Детский сад — 7 класс. / / Законы сложения и умножения. Переместительный, сочетательный и распределительный законы. Они же: коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы. Примерно 5 класс (10-11 лет)
| |||||||||||||||
| Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу. | ||||||||||||||||
| TehTab.ru Реклама, сотрудничество: [email protected] | Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями. | |||||||||||||||
Законы сложения целых чисел. — tutomath репетитор по математике
Законы сложения целых чисел нужны для того, чтобы упростить сложения чисел. Ведь, прибавить все подряд числа не всегда легко, иногда лучше их сгруппировать. Для этого и нужны законы сложения целых чисел.
Переместительный закон сложения.
Правило и формула переместительного закона сложения.
Сложение двух целых чисел не зависит от их порядка.
a+b=b+a
Пример:
Если мы сложим 3+5=8 или 5+3=8 результат сложения не измениться.
Если мы сложим (-3)+7=4 или 7+(-3)=4 результат сложения не измениться.
Сочетательный закон сложения.
Правило и формула сочетательного закона сложения.
К сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, и результат не измениться.
(a+b)+c=a+(b+c)
Рассмотрим пример:
(3+5)+9=8+9=17
3+(5+9)=3+14=17
От сочетания слагаемых сумма не поменялась.
Делаем вывод на основе переместительного и сочетательного законов:
- Можно слагаемые менять местами.
- Записывать пример со слагаемыми без скобок. Скобки в сложении нужны для удобства восприятия примера.
- Записывать пример со слагаемыми со скобками, для более простого вычисления суммы.
Доказательство:
a+b+c+d=(a+b+c)+d=d+(a+b+c)= d+((a+b)+c)= d+(c+(a+b))=(d+c)+(a+b)=(c+d)+(a+b)
a+b+c+d=(c+d)+(a+b)
6+8+(-6)+(-8)=(6+(-6))+(8+(-8))=0+0=0
Вопросы по теме:
Какие законы сложения вы знаете?
Ответ: переместительный и сочетательный закон.
Можно ли менять местами слагаемые?
Ответ: да по переместительному закону.
Обязательно ли при сложении числа заключать в скобки?
Ответ: нет.
Пример №1:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 12+479+88 б) 3+154+16
Решение:
а) 12+479+88=(12+88)+479=100+479=579
б) 3+154+16=3+(154+16)=3+170=173
Пример №2:
Примените переместительный закон сложения: а) 4+5 б) 1298+34
Решение:
а) 4+5=5+4=9
б) 1298+34=34+1298=1332
Пример №3:
Примените сочетательный закон сложения: а) 2+(-4+5) б) (-1+3)+(-8)
Решение:
а) 2+(-4+5)=(2+(-4))+5=(-2)+5=3
б) (-1+3)+(-8)=-1+(3+(-8))=-1+(-5)=-6
Пример №4:
Вычислите, применяя законы сложения: а) 23+((-23)+50) б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2
Решение:
а) 23+((-23)+50)=(23+(-23))+50=0+50=50
б) -2+(-4)+(-8)+8+4+2=(-2+2)+(-4+4)+(-8+8)=0
Сложение. Свойства переместительного и сочетательного законов.
Сложение натуральных чисел.
Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми. А результат сложение число 7 называется суммой.
Сумма — это сложение чисел. Знак плюс “+”.
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:
a+b=c
Компоненты сложения:
a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.
Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:
4+3=3+4
Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения.
Переместительный закон сложения.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В буквенной записи переместительный закон выглядит так:
a+b=b+a
Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:
(1+2)+4=7
Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:
1+(2+4)=7
Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:
(1+2)+4=1+(2+4)
Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения.
Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.
Сочетательный закон сложения.
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a+b)+c=a+(b+c)
Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых. Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30
Свойство сложения с нулем.
При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.
3+0=3
0+3=3
3+0=0+3
В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:
a+0=a
0+a=a
Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:
Второй вариант таблицы сложения.
Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.
В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.
В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.
Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.
Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.
Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a
Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22
Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.
Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0 б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921
Калькулятор закона Вина
С помощью этого калькулятора закона Вина можно легко оценить температуру объекта , основываясь на максимальной длине волны или частоте его спектра теплового излучения. Прочтите о законе смещения Вина, изучите формулу закона Вина и самостоятельно оцените температуру поверхности Солнца, лавы или любого горячего тела!
Закон смещения Вина
Закон смещения Вина описывает одно из соотношений между спектром излучения черного тела и его температурой .В нем говорится, что чем выше температура, тем меньше длина волны λ max , для которой кривая излучения достигает своего максимума.
Сдвиг в сторону более коротких волн соответствует фотонам более высоких энергий. Другими словами, λ max (максимальная длина волны) обратно пропорциональна температуре .
Закон Стефана-Больцмана учитывает полную мощность, излучаемую телом при любой температуре, и вместе с законом Вина они происходят из распределения Планка .
Формула закона Вена
Уравнение, описывающее закон Вина, очень простое:
λ макс = б / т ,
где:
-
λ max— вышеупомянутая пиковая длина волны света -
T— абсолютная температура черного тела -
b = 2,8977719 мм * K— постоянная смещения Вина
Хотя соотношение между длиной волны и частотой электромагнитных волн довольно простое ( λ * f = c ), мы не можем вычислить пиковую частоту f max по этой аналогии.Причина в том, что спектральная яркость является своего рода функцией плотности энергии, поэтому ее форма и максимум зависят от аргумента (в нашем случае от длины волны или частоты). Зная, что формула для пиковой частоты:
f макс = k * T ,
, где k = 5,8789232 * 10¹⁰ Гц / K — числовая константа.
Формула закона Вина не может быть получена из классической физики. Среди экспериментов есть многочисленные наблюдения, подтверждающие этот закон (например,ж., фотоэлектрический эффект), которые способствуют созданию квантовой механики.
Как оценить температуру поверхности Солнца? — пример использования
Вы знаете, как ученые могут определить температуру далеких объектов? Обычно они проводят спектроскопическое наблюдение, подгоняют функцию Планка к измерению и получают параметр, которым является температура.
Однако мы также можем получить хорошую оценку, применив к результатам закон смещения Вина.Попробуем вычислить температуру поверхности Солнца:
- Найдите максимальную длину волны солнечного спектра. Это примерно
λ max = 501,7 нм(или5,017 * 10⁻⁷ мв научном представлении). - Преобразуйте формулу закона Вина, чтобы получить температуру:
T = b / λ max = 2,8977719 мм * K / 501,7 нм = 5776 K.
Хотя черное тело — это всего лишь идеализированная модель, закон Вина универсален и может быть очень точным приближением для реальных объектов.Вы также можете определить температуру любого тела, например горячего металла или лавы, в зависимости от цвета излучаемого света — воспользуйтесь калькулятором закона Вина и выясните, удивит вас результат или нет!
| Закон смещения Вина | λmaxT = 2,898 × 10−3м⋅KλmaxT = 2,898 × 10−3m⋅K |
| Закон Стефана | P (T) = σAT4P (T) = σAT4 |
| Постоянная Планка | ч = 6.626 × 10–34Дж⋅с = 4,136 × 10–15 эВ⋅ш = 6,626 × 10–34Джс = 4,136 × 10–15 эВ⋅с |
| Квант энергии излучения | ΔE = hfΔE = hf |
| Закон излучения черного тела Планка | I (λ, T) = 2πhc2λ51ehc / λkBT − 1I (λ, T) = 2πhc2λ51ehc / λkBT − 1 |
| Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона | Kmax = eΔVsKmax = eΔVs |
| Энергия фотона | Ef = hfEf = hf |
| Энергетический баланс фотоэлектрона | Kmax = hf − ϕKmax = hf − ϕ |
| Частота среза | fc = ϕhfc = ϕh |
| Релятивистский инвариант уравнение энергии | E2 = p2c2 + m02c4E2 = p2c2 + m02c4 |
| Зависимость энергии от импульса для фотона | pf = Efcpf = Efc |
| Энергия фотона | Ef = hf = hcλEf = hf = hcλ |
| Величина импульса фотона | pf = hλpf = hλ |
| Линейный вектор импульса фотона | p → f = ℏk → p → f = ℏk → |
| Комптоновская длина волны электрона | λc = hm0c = 0.00243нм λc = hm0c = 0,00243нм |
| Комптоновский сдвиг | Δλ = λc (1 − cosθ) Δλ = λc (1 − cosθ) |
| Формула Бальмера | 1λ = RH (122−1n2) 1λ = RH (122−1n2) |
| Формула Ридберга | 1λ = RH (1nf2−1ni2), ni = nf + 1, nf + 2,… 1λ = RH (1nf2−1ni2), ni = nf + 1, nf + 2,… |
| Первое условие квантования Бора | Ln = nℏ, n = 1,2,… Ln = nℏ, n = 1,2,… |
| Второе условие квантования Бора | hf = | En-Em | hf = | En-Em | |
| Радиус водорода Бора | a0 = 4πε0ℏ2mee2 = 0.529Åa0 = 4πε0ℏ2mee2 = 0,529Å |
| Радиус Бора n -й орбиты | rn = a0n2rn = a0n2 |
| Значение энергии в основном состоянии, предел ионизации | E0 = 18ε02mee4h3 = 13.6eVE0 = 18ε02mee4h3 = 13.6eV |
| Энергия электрона на n -й орбите | En = -E01n2En = -E01n2 |
| Энергия основного состояния водорода | E1 = −E0 = −13,6 эВE1 = −E0 = −13,6 эВ |
| n -я орбита водородоподобного иона | rn = a0Zn2rn = a0Zn2 |
| n энергия водородоподобного иона | En = −Z2E01n2En = −Z2E01n2 |
| Энергия материальной волны | E = hfE = hf |
| Длина волны де Бройля | λ = hpλ = hp |
| Соотношение частота-длина волны для волн материи | λf = cβλf = cβ |
| Принцип неопределенности Гейзенберга | ΔxΔp≥12ℏΔxΔp≥12ℏ |
Сложение векторов
С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций.Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результат). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что результирующая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект. То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы.Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:
Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.
В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, в которых векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений.Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.
Существует множество методов для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов. В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу.Этот метод неприменим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу. Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.
Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:
Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток.Определите результирующее смещение Эрика.
В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу. Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).
Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.
Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.
Использование тригонометрии для определения направления вектора
Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Функция синуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.
Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ниже.
После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните, как говорилось ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор совершает относительно востока.)
Расчетный угол не всегда соответствует направлению
Мера угла, определяемая с помощью SOH CAH TOA, составляет , а не всегда в направлении вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.
Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.
В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу.Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.
Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результатаВеличину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторных прогулок . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с домашней базы , эти 18 векторов смещения могут быть суммированы вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».
Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.
Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.
- Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
- Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
- Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
- Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
- Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
- Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
- Измерьте направление результирующей, используя условные обозначения против часовой стрелки, о которых говорилось ранее в этом уроке.
Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:
20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град. МАСШТАБ: 1 см = 5 мМетод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.
МАСШТАБ: 1 см = 5 мИнтересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.
15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град. МАСШТАБ: 1 см = 5 мПри сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.
МАСШТАБ: 1 см = 5 мДополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.
Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» на нашем веб-сайте и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.
Закон Вены о перемещении | Постановление и уравнение
Закон смещения Вина (названный в честь немецкого физика) описывает смещение этого пика с точки зрения температуры.Закон смещения Вина и тот факт, что частота обратно пропорциональна длине волны, также указывает на то, что пиковая частота f max ( цвет объекта ) пропорциональна абсолютной температуре T черного тела.
Согласно закону смещения Вина , спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ max , определяемой по формуле:
, где T — абсолютная температура в Кельвинах, b — a константа пропорциональности, известная как константа смещения Вина , равна 2,8978 × 10 −3 км .
Как видно из рисунка, кривая излучения абсолютно черного тела для различных температур имеет максимум на длине волны, обратно пропорциональной температуре. Закон Вена (названный в честь немецкого физика) описывает смещение этого пика с точки зрения температуры. Закон смещения Вина и тот факт, что частота обратно пропорциональна длине волны, также указывает на то, что пиковая частота f max ( цвет объекта ) пропорциональна абсолютной температуре T черного тела. Таким образом, при повышении температуры цвет свечения меняется с красного на желтый, с белого на синий.
Согласно закону смещения Вина , спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает пика на длине волны λ max определяется по формуле:
, где T — абсолютная температура в Кельвинах, b — a Константа пропорциональности, известная как Константа смещения Вина , равна 2.8978 × 10 −3 км . Следует отметить, что даже при раскаленной добела температуре 2000 К около 99% лучистой энергии все еще излучается в инфракрасном (невидимом) спектре.
Хотя смещение этого пика является прямым следствием закона Планка , он был открыт Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение.
Излучение черного тела
Известно, что количество энергии излучения, испускаемого поверхностью на данной длине волны, зависит от материала тела и состояния его поверхности , а также температуры поверхности .Следовательно, различные материалы излучают разное количество лучистой энергии, даже если они имеют одинаковую температуру. Тело , которое излучает максимальное количество тепла для своей абсолютной температуры, называется черным телом .
Черное тело — это идеализированное физическое тело, обладающее определенными свойствами. По определению, черное тело в тепловом равновесии имеет коэффициент излучения , равный ε = 1,0 . Реальные объекты не излучают столько тепла, как идеальное черное тело.Они излучают меньше тепла, чем черное тело, и поэтому называются серыми телами.
Поверхность черного тела излучает тепловое излучение примерно 448 Вт на квадратный метр при комнатной температуре (25 ° C, 298,15 K). Реальные объекты с коэффициентом излучения менее 1,0 (например, медная проволока) излучают с соответственно более низкой интенсивностью (например, 448 x 0,03 = 13,4 Вт / м 2 ). Коэффициент излучения играет важную роль в решении проблем теплопередачи. Например, солнечные коллекторы тепла включают отдельные поверхности с очень низким коэффициентом излучения.Эти коллекторы тратят очень мало солнечной энергии из-за теплового излучения.
Поскольку коэффициент поглощения и коэффициент излучения связаны между собой Законом Кирхгофа теплового излучения, черное тело также является идеальным поглотителем электромагнитного излучения.
Закон теплового излучения Кирхгофа :
Для произвольного тела, излучающего и поглощающего тепловое излучение в термодинамическом равновесии, коэффициент излучения равен коэффициенту поглощения.
коэффициент излучения ε = поглощающая способность α
Черное тело поглощает все падающее электромагнитное излучение, независимо от частоты или угла падения. Его поглощающая способность , таким образом, равна единице, что также является максимально возможным значением. Таким образом, черное тело является идеальным поглотителем (и идеальным излучателем ).
Обратите внимание, что видимое излучение занимает очень узкую полосу спектра от 0.4–0,76 нм, мы не можем судить о черноте поверхности на основе визуальных наблюдений. Например, рассмотрим белую бумагу, которая отражает видимый свет и поэтому кажется белой. С другой стороны, он практически черный для инфракрасного излучения (коэффициент поглощения α = 0,94 ), поскольку они сильно поглощают длинноволновое излучение.
Ссылки:
Теплопередача:- Основы тепломассообмена, 7-е издание. Теодор Л. Бергман, Эдриенн С.Лавин, Фрэнк П. Инкропера. John Wiley & Sons, Incorporated, 2011. ISBN: 9781118137253.
- Тепло- и массообмен. Юнус А. Ценгель. McGraw-Hill Education, 2011. ISBN: 9780071077866.
- Министерство энергетики США, термодинамики, теплопередачи и потока жидкости. Справочник Министерства энергетики США, том 2 от 3 мая 2016 г.
Ядерная и реакторная физика:
- Дж. Р. Ламарш, Введение в теорию ядерных реакторов, 2-е изд., Аддисон-Уэсли, Ридинг, Массачусетс (1983).
- Дж. Р. Ламарш, А. Дж. Баратта, Введение в ядерную инженерию, 3-е изд., Прентис-Холл, 2001, ISBN: 0-201-82498-1.
- У. М. Стейси, Физика ядерных реакторов, John Wiley & Sons, 2001, ISBN: 0-471-39127-1.
- Гласстон, Сесонске. Nuclear Reactor Engineering: Reactor Systems Engineering, Springer; 4-е издание, 1994 г., ISBN: 978-0412985317
- W.S.C. Уильямс. Ядерная физика и физика элементарных частиц. Clarendon Press; 1 издание, 1991 г., ISBN: 978-0198520467
- G.Р.Кипин. Физика ядерной кинетики. Аддисон-Уэсли Паб. Co; 1-е издание, 1965 г.
- Роберт Рид Берн, Введение в работу ядерных реакторов, 1988 г.
- Министерство энергетики, ядерной физики и теории реакторов США. Справочник по основам DOE, том 1 и 2. Январь 1993 г.
- Пол Ройсс, Нейтронная физика. EDP Sciences, 2008. ISBN: 978-2759800414.
Advanced Reactor Physics:
- K. O. Ott, W. A. Bezella, Введение в статику ядерных реакторов, Американское ядерное общество, пересмотренное издание (1989), 1989, ISBN: 0-894-48033-2.
- К. О. Отт, Р. Дж. Нойхольд, Введение в динамику ядерных реакторов, Американское ядерное общество, 1985, ISBN: 0-894-48029-4.
- Д. Л. Хетрик, Динамика ядерных реакторов, Американское ядерное общество, 1993, ISBN: 0-894-48453-2.
- Э. Льюис, В. Ф. Миллер, Вычислительные методы переноса нейтронов, Американское ядерное общество, 1993, ISBN: 0-894-48452-4.
Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:
- В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
- Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
- Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
- Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
- Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
Сложение и вычитание векторов: графические методы
Используйте графическую технику для добавления векторов, чтобы найти полное смещение человека, который идет следующими тремя путями (смещениями) на плоском поле.Сначала она проходит 25,0 м в направлении 49,0º к северу от востока. Затем она проходит 23,0 м в направлении 15,0º к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.
СтратегияИзобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый A , второй B и третий C , сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад.Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенное R .
Решение(1) Нарисуйте три вектора смещения.
(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя их начальную величину и направление.
(3) Нарисуйте результирующий вектор, R .
(4) Используйте линейку, чтобы измерить звездную величину R , и транспортир, чтобы измерить направление R .Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью. Поскольку результирующий вектор находится к югу от оси, направленной на восток, мы переворачиваем транспортир вверх дном и измеряем угол между осью, направленной на восток, и вектором.
Рисунок 11
В этом случае видно, что полное смещение R имеет величину 50,0 м и лежит в направлении 7.0º к югу от востока. Используя его величину и направление, этот вектор можно выразить как R = 50,0 м и θ = 7,0 ° к югу от востока.
ОбсуждениеГрафический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.
Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же. Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — , коммутативное . Векторы можно добавлять в любом порядке.
A + B = B + A.
(Это верно и для сложения обычных чисел — например, вы получите тот же результат, прибавляете ли вы 2 + 3 или 3 + 2 ).
Получение закона смещения Вина из закона Планка
Закон смещения Вина утверждает, что кривая излучения черного тела для различных температур достигает пика на длине волны, обратно пропорциональной температуре. {\ frac {h \ nu} {k_B T}} — 1 \ right)} \ label {Planck2} \]
Нам нужно вычислить производную уравнения \ ref {Planck2} по отношению к \ (\ nu \) и установить ее равной нулю, чтобы найти максимальную длину волны.{10} Гц / К) \, T \ end {align} \]
В результате форма функции излучения абсолютно черного тела будет пропорционально изменяться по частоте с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она не включала в явном виде постоянную Вина. Скорее, постоянная Планка h была создана и введена в его новую формулу. Из постоянной Планка h и постоянной Больцмана k можно получить постоянную Вина (уравнение \ ref {eq20}).