Иррациональные функции это: Иррациональная функция — Числовая функция einfach erklärt

Классификация элементарных функций

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Определение 1

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Пример 1

Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).

Таким функции бывают:

• алгебраическими;
• трансцендентными.

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Понятие алгебраических функций

Определение 2

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f(x)=x и f(x)=1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

Пример 2

Так, примером алгебраической функции является y=x2-34x.

Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

Определение 3

Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

Пример 3

Примером первого вида функций является y=12×4+x-1, второго – y=x-ax3+b.

Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y=13×2-1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

Определение 4

Иррациональные функции

– это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Пример 4

Примером такой функции может быть y=x+13.

Понятие трансцендентных функций

Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

Определение 5

Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

Пример 6

Пример такой функции – y=log2x3+23.

При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, y=x3+3×2+3x+13 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y=x3+3×2+3x+13=x+1323=(x+1)2=x2+2x+1 .

Функция y=arcsin(sin(3×2+1) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y=arcsin(sin(3×2+1)=3×2+1.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Следующая статья

Область определения функции

• Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики
• Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы
• Выпуклость функции
• Как найти область определения функции
• Математическая логика
• Все темы по математике

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Все предметы

Узнать подробнее

Две практические работы нужно сделать только й вариант в практич работе и й вариант в практич работе

• Вид работы:

  Практическая работа

• Выполнена:

  20 февраля 2023 г.

• Стоимость:

  1 600 руб

Заказать такую же работу

Тема фотометрические методы анализа нужно отразить нефелометрический

Заказать такую же работу

Профессиональные компьютерные программы

Заказать такую же работу

Опасные природные процессы и явления Сложные природные условия

• Вид работы:

  Реферат

• Выполнена:

  21 января 2023 г.

• Стоимость:

  1 400 руб

Заказать такую же работу

Контрольная работа

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  16 января 2023 г.

• Стоимость:

  1 400 руб

Заказать такую же работу

Техническая механика Контрольных заданий

• Вид работы:

  Контрольная работа

• Выполнена:

  4 января 2023 г.

• Стоимость:

  2 700 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по механике

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра

С.Т. Завало. Элементарная алгебра. Изд-во «Просвещение», М., 1964 г. В основу этой книги положен курс лекций по элементарной алгебре, читавшийся мною на протяжении ряда лет в Черкасском государственном педагогическом институте. Первая глава книги — вступительная. В ней сжато изложены сведения о некоторых математических понятиях, с которыми читателю придется встретиться в последующих главах. В главах II—X изложен учебный материал по элементарной алгебре, предусмотренный программой специального курса элементарной математики для студентов-математиков педагогических институтов. Книга рассчитана на студентов-математиков педагогических институтов. Она может быть также пособием для учителей математики средней школы. Оглавление Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ § 2. Понятия кольца и поля § 3. Упорядоченные поля § 4. Понятие функции и аналитического выражения § 5. Элементарные функции и их классификация § 6. Метод математической индукции Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ § 1. Понятие уравнения. Решения уравнения § 2. Классификация уравнений, изучаемых в элементарной математике § 3. Равносильность уравнений § 4. Преобразование уравнений при их решении Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ § 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным § 2. Корни квадратного трехчлена § 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел § 4. Двучленные уравнения § 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным § 6. Симметрические уравнения § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами § 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней § 9. Дробно-рациональные уравнения Глава IV. ТЕОРИЯ СОЕДИНЕНИЙ § 2. Перестановки § 3. Сочетания § 4. Размещения § 5. Перестановки с повторениями § 6. Сочетания с повторениями § 7. Размещения с повторениями Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА § 1. Бином Ньютона § 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства § 3. Треугольник Паскаля § 4. Полиномиальная теорема § 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма § 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов § 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных § 4. Тождественность двух многочленов § 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа § 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ § 1. Понятие системы уравнений § 2. Равносильность систем уравнений § 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений § 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами 1. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, из которых одно—второй степени, а другое — первой. 2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени. 3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде. 4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное. 7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения. 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения. § 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА § 1. Основные свойства неравенств § 2. Тождественные неравенства § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений § 4. Решение неравенств § 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени § 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными § 7. Применение неравенств для задания числовых и точечных множеств Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ § 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений § 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным § 4. Решение трансцендентных уравнений, приводящихся к показательным и логарифмическим уравнениям § 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений § 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем ЛИТЕРАТУРА

Иррациональные функции

Иррациональные функции

Иррациональная функция — это функция, аналитическое выражение которой содержит независимую переменную $$x$$ под корневым символом.

В этом параграфе мы будем рассматривать только иррациональные функции типа $$$\displaystyle f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$$$, где $$g(x)$$ является рациональной функцией .

• Если индекс корня $$n$$ нечетный, то можно вычислить образ любого действительного числа, если выражение $$g(x)$$ действительное число, то есть $$Dom (е)=Дом(г)$$.
• Если индекс $$n$$ корня четный, то для вычисления изображений нам нужно, чтобы $$g (x)$$ был положительным или нулевым, поскольку четные корни отрицательного числа не являются действительными числами . Следовательно, областью определения $$f$$ являются решения неравенства $$g(x) \geq 0$$. Другими словами, $$Dom (f) = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \geq 0\}$$.

Теперь рассмотрим простейший случай иррациональной функции: функцию квадратного корня $$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$$.

Это функция, в которой индекс корня равен $$2$$. Следовательно, его областью определения является множество решений неравенства $$x \geq 0$$. Таким образом, мы имеем $$Dom (f) = [0, +\infty)$$ Образом функции квадратного корня, как и в случае области определения, является множество положительных чисел, $$Im (f) = [0, +\infty)$$

Посмотрим его графическое представление:

Похожие темы

• Функции: графическое представление
• Понятие и уравнение функции
• Декартовы оси и представление точек на плоскости

Решенные задачи иррациональных функций

Посмотреть проблемы

Теория математики в твоем мобильном

Скачать бесплатно

Предварительное исчисление алгебры — Примеры иррациональных алгебраических функций

спросил 4 года, 2 месяца назад

Изменено 9 месяцев назад

Просмотрено 4к раз 92-х=0$.