Умножение на двузначные и трёхзначные числа / Умножение / Числа больше 1000 / Справочник по математике для начальной школы
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Числа больше 1000
- Умножение
- Умножение на двузначные и трёхзначные числа
Письменный приём умножения трёхзначных чисел
Общий алгоритм:
1. Пишу единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями.
2. Умножу первый множитель на число единиц.
3. Умножу первый множитель на число десятков.
4. Умножу первый множитель на число сотен (если есть).
5. Читаю ответ, начиная со старшего разряда.
Умножение на двузначное число:
Пишу: 983 • 16.
Умножу первый множитель на число единиц:
983 • 6 = 5798.
Получу первое неполное произведение: 5798.
Умножу первый множитель на число десятков:
983 • 1 = 983.
Получу второе неполное произведение: 983 дес.
Начну подписывать второе неполное произведение под десятками.
Сложу неполные произведения.
Читаю ответ: 15628. Это произведение чисел 983 и 16.
Умножение на трёхзначное число:
Пишу: 518 • 204.
Умножу первый множитель на число единиц:
518 • 4 = 2072.
Получу первое неполное произведение: 2072.
В десятках второго множителя — ноль, поэтому пропускаем этап умножения на десятки.
Умножу первый множитель на число сотен:
518 • 2 = 1036.
Получу второе неполное произведение: 1036 сот.
Начну подписывать второе неполное произведение под сотнями.
Сложу неполные произведения.
Читаю ответ: 105672. Это произведение чисел 518 и 204.
Умножение на трёхзначное круглое число:
Пишу: 766 • 530.
Ноль смещаем вправо и не учитываем его в умножении.
Умножу первый множитель на число единиц:
766 • 3 = 2298.
Получу первое неполное произведение: 2298.
Умножу первый множитель на число десятков:
766 • 5 = 3830.
Получу второе неполное произведение: 3830 дес.
Начну подписывать второе неполное произведение под десятками.
Сложу неполные произведения. Допишу к ответу ноль из второго множителя.
Читаю ответ: 405980. Это произведение чисел 766 и 530.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Умножение на однозначные числа
Классы и разряды. Состав числа. Сравнение чисел.
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Числа больше 1000
Правило встречается в следующих упражнениях:
4 класс
Страница 78. Вариант 1. Проверочная работа 2, Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 45, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 47, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 49, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 50, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 62, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 64, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 74, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 82, Моро, Степанова, Волкова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 63, Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Умножение двузначных чисел | Ментальная арифметика онлайн бесплатно
Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки
В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:
- за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;
- умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;
- умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;
- сложите два результата.
Задача: 42 x 36
Решение:
1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)
36 x 42(40+2)
2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10
30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144[120+20=140;140+4=144]; 144 x 10 = 1440*
3) 36 x 2 = (30+6) x 2
30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72[60+10=70;70+2=72]
4) 1440 + 72 = 1752 [1440+70=1510;1510+2=1512]
Задача: 47 x 52
Решение:
1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)
2) 47 x 50 = 2350
3) 47 x 2 = 94
4) 2350 + 94 = 2444
Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:
- за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;
- округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;
- умножьте первое число на округлённое второе число;
- вычтите из результата пункта 3 первое число.
Задача: 39 x 56
Решение:
1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)
2) 56 x 39(40-1)
3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10
50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240
4) 2240 — 56 = 2184[2240-50=2190;2190-6=2184]
Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.
Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.
Факторизация — это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.
Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.
Решим задачу умножения с помощью факторизации.
Задача: 34 x 24
Решение:
Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.
34 x 24(6×4)
Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:
34 x 6 = 204[30×6=180;4×6=24;180+24=204]
204 x 4 = 816[200×4=800;4×4=16;800+16=816]
Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения.
Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.
Задача: 36 x 72
Решение:
Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 — в виде произведения 9 и 8.
Так как 36
72 x 36(6×6)
72 x 6 = 432[70×6=420;2×6=12;420+12=432]
432 x 6 = 2592[400×6=2400;30×6=180;2×6=12; 2400+180=2580;2580+12=2592]
Пример с факторизацией на три числа.
Задача: 57 x 75
Решение:
75 = 5 x 5 x 3
57 x 75(5x5x3)
57 x 5 = 285
285 x 5 = 1425
1425 x 3 = 4275
В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 11 и 3, 11 и 4 и т.д.), так как умножение на 11 (как было показано в уроке 1) не представляет труда.
Задача: 81 x 44
Решение:
81 x 44(11×4)
81 x 11 = 891;
891 x 4 = 3564
Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.
Задача: 67 x 64
Решение:
(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288
Задача: 39 х 38
Решение:
(40 — 1) x (40 — 2) = (40 — 1 — 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482
Задача: 41 x 38
Решение:
(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 — 2 = 1558
Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:
- умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;
- перемножить вторые цифры двузначных чисел;
- поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.
Задача: 76 x 74
Решение:
1) 7 x 8 = 56
2) 6 x 4 = 24
3) 5624
Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.
* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами (смотрите теорию для запоминания чисел).
** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C
*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.
Видеоурок: Умножение двузначных чисел: метод столбца
Расшифровка видеозаписи
Умножение двузначных чисел: метод Метод столбца
В этом видео мы узнаем
как использовать стандартный письменный метод или алгоритм для умножения двузначного числа
другим двузначным числом.
И куда надо, туда идем
перегруппироваться, чтобы помочь нам найти ответ.
Представим, что мы хотим умножьте вместе 35 и 24. Теперь мы знаем, что можем разделить 35 на 30 и пять. И если мы хотим умножить 35 на однозначное число, такое как четыре, нам просто нужно убедиться, что оба части умножались на четыре: пять раз четыре, а затем 30 раз четыре. Теперь с вопросом, который мы добрались сюда, мы не умножаем 35 на однозначное число. Нам нужно умножить его на двузначное число. И так же, как мы можем думать о 35 как 30 и пять, мы можем разделить число, которое мы умножаем на 24, на 20 и четыре. Таким образом, а также убедитесь, что мы умножаем пять на четыре и 30 на четыре, нам нужно убедиться, что мы тоже умножаем обе части 35 на 20 тоже.
Другими словами, нам нужно выяснить
что такое пять умножить на 20, а также то, что будет 30 умножить на 20.
Теперь эта диаграмма не такая, как мы
найти ответ. Мы нарисовали это здесь, потому что
это полезный способ показать нам, что нам нужно делать. Чтобы найти ответ, нам нужно
умножьте каждую часть числа 35 на каждую часть числа 24. Надеюсь, вы видите наши четыре
стрелки, что нам нужно сделать четыре умножения. Так это именно то, что мы собираемся
сделать сейчас, как мы используем метод столбца. Это будет связано с отработкой
ответы на четыре отдельных умножения, а затем сложение произведений в
конец, чтобы найти общую сумму. И поскольку это столбец
методом, самое первое, что мы можем сделать, это записать наш расчет в
столбцы.
Для нашего первого примера давайте
используйте эти цветные заголовки столбцов, а также мы будем использовать разные цвета для нашего
цифры. Итак, 35 — это три десятки и пять.
те.
И мы хотим умножить это на 24
это две десятки и четыре единицы. Теперь, как мы сказали в начале,
нам нужно умножить обе части числа 35 на обе части числа 24. Итак, нам нужно сделать четыре
умножения. И для начала умножим
все на четыре единицы в 24. Итак, во-первых, что пять раз
четыре? Мой простой для начала
с: пять раз четыре равно 20. И мы можем написать число 20 тогда
под знаком равенства как первое из наших четырех умножений. И просто чтобы мы помнили, что мы
сделано, мы можем отметить сделанное нами умножение сбоку, которое было
пять раз четыре.
А теперь посмотрите, что еще нам нужно
умножить на четвертую часть 24? Нам нужно умножить эту цифру здесь
тоже на четыре. Теперь было бы очень легко смотреть
при этом и думать про себя, что трижды четыре, потому что вы можете видеть
цифра три.
Нам нужно умножить на четыре. Но мы должны помнить, что это
цифра три стоит в разряде десятков. Нам нужно найти ответ на 30
раза четыре. Теперь мы можем использовать идею
из трех четверок, чтобы помочь нам, хотя. Мы знаем, что три четверки
12. Итак, три десятки умножить на четыре.
будет таким же, как 12 10, то есть 120. Теперь, если мы остановимся на
момент, вы можете видеть, что мы уже сделали? Мы умножили все в
число 35, это пять и 30, на цифру четыре в 24.
Далее нам нужно умножить
все по десяткам части 24. И начинаем с пяти раз
20. Теперь снова, если мы посмотрим на эти
цифр, может показаться, что мы умножаем пять на два. Но мы видим, что наша цифра
два в разряде десятков. Это пять раз две десятки. Но опять же, мы можем использовать факты, которые мы
уже знают, чтобы помочь нам. Пять умножить на два будет 10, так что пять лотов
из двух десятков должно быть 10 10, что равно 100.
Пять раз по 20 равно 100. Таким образом, после умножения пяти на 20,
самое последнее, что нам нужно сделать, это умножить 30 на 20.
Теперь из четырех разных
умножения, которые мы делаем, когда используем умножение столбцов, это последнее
наверное самый хитрый. Это не потому, что они
особенно большие числа или что-то в этом роде. Просто потому, что, вероятно,
с которым проще всего ошибиться. Мы могли бы просто посмотреть на три и
два и думать, что три умножить на два равно шести, но мы должны помнить, что оба
эти цифры стоят в разряде десятков. Это 30 умножить на 20. Но мы все равно могли бы использовать этот факт
три раза два шесть, чтобы помочь нам здесь. Если трижды два будет шесть, то
три десятки, умноженные на два, будут такими же, как шесть десятков или 60, а три десятки
умноженное на две десятки снова будет в 10 раз больше.
Это будет так же, как 60 10s или
600.
Вы видите там узор в наши вопросы и ответы? Значит 30 умножить на 20 равно 600. Итак, мы умножили обе части 35 на четыре в 24. А потом мы умножили обе части из 35 на 20 из 24. Теперь все, что нам нужно сделать, это найти каков общий продукт. В нашей колонке у нас есть только эти нули, поэтому мы можем поставить ноль на место единиц. Если мы добавим десятки, мы получим два и два, а затем два нуля, так что всего четыре десятки. И если мы добавим сотни, мы получил один плюс один плюс шесть. Итак, восемь сотен. Итак, можно сказать, что произведение 35 и 24 — это 840. Попробуем попрактиковаться. метод столбца теперь с некоторыми вопросами.
Рассчитайте следующее: 29 умножить на 64 равно чему.
В этом вопросе нам дается
пару двузначных чисел, которые нужно перемножить вместе, и мы получаем действительно большую подсказку, поскольку
как это сделать, потому что способ, которым этот расчет изложен,
написание обоих чисел друг над другом.
Это означает, что цифры находятся в
столбцы. Один из способов описать это как
столбчатый метод. И, написав числа, как
это помогает нам разделить их на десятки и единицы. Обе части числа 29нужно
умножить на обе части числа 64. Составим план всех
умножения, которые нам нужно будет сделать.
Итак, для начала мы собираемся
нужно умножить каждую часть числа 29 на четыре единицы в числе 64, так что получится девять
четыре раза, а затем 20 раз четыре. Таким образом, мы умножили 29 на
всего четыре, не так ли? Затем нам нужно умножить каждую часть
из числа 29шестью десятками в 64. Итак, мы начнем с разработки
девять раз по 60 и, наконец, 20 раз по 60. Тогда мы также умножим все
части 29 на 60. И если мы тогда сможем объединить все наши
части вместе, мы можем найти ответ. Итак, для начала умножим на
наши четверо.
Теперь мы знаем, что умножение на четыре равно
то же самое, что удвоить, а затем снова удвоить. Итак, узнать, что девять раз четыре,
то же самое, что удвоить девять, чтобы получить 18, а затем удвоить 18. Удвоить 18 будет 36, поэтому мы знаем девять
умножить на четыре равно 36,
Далее нам нужно умножить 20 на
четыре. Помните, эта цифра два не
иметь значение два. Это разряд десятков. Это стоит 20. Опять же, мы можем использовать удвоение, чтобы помочь
нас. 20 удвоить 40, а потом 40
удвоить будет 80. Итак, мы знаем, что 20 умножить на четыре равно
80. Теперь нам нужно все умножить
на шесть десятков в 64. Итак, сколько будет девять раз по 60? Ну, мы можем использовать наши знания о
место значение, чтобы помочь нам здесь. Девять шестерок — это 54. Таким образом, девять лотов из шести десятков равны 54.
10 с, что равно 540.
Наконец, нам нужно умножить
20 на 60. Теперь, чтобы помочь нам, мы можем вспомнить, что
два 60, и это 120. Поэтому, пытаясь выяснить, что такое 20
лотов 60, наш первый множитель увеличился в 10 раз. Вместо двух умноженных на 60, мы
на самом деле ищет 20 раз 60.
Тогда наш ответ будет 10
раз больше. И мы знаем, что найти номер
это в 10 раз больше, чем другое, мы просто сдвигаем цифру на одно место в
влево, поэтому 120 становится 1200. Итак, теперь мы умножили каждую часть
числа 29 на единицы, а затем на десятки числа 64. Чтобы найти общий ответ, мы
просто нужно добавить эти частичные продукты вместе. Итак, для начала, если мы добавим наш
единицы, мы видим, что цифра равна шести, а все остальные цифры равны нулю. Итак, у нас их шесть. В столбце десятков у нас есть несколько
больше о чем подумать. У нас есть три десятки плюс восемь десятков.
плюс еще четыре десятки.
Как бы вы добавили эти быстро? Возможно, мы могли бы поставить три и четыре вместе, чтобы сделать семь 10s. И мы знаем, что восемь десятков плюс восемь десятков будут 16 десятками. Итак, если мы добавим восемь десятков к семи 10s, будет 15 10s. Значит, нам нужно обменять 10 из 15 10 на 100, а затем пять 10. Добавляя сотни, мы получили пять сотен плюс еще две сотни. Это семь сотен. Не забывая ту, что у нас есть только что обменяли, всего восемь сотен. А у нас всего 1000 столбец тысяч. Итак, в этом вопросе мы перемножил пару двузначных чисел методом столбца. Это помогает нам убедиться, что каждая часть числа 29умножается на каждую часть числа 64. 29 умножить на 64 равно 1856.
Какой номер может заменить
вопросительный знак в этом расчете? Завершите расчет, чтобы решить
Это.
Расчет, упомянутый в вопрос вот в чем. Похоже, что метод столбца имеет используется для умножения пары двузначных чисел. 33 умножить на 30. О! У нас здесь пропущена цифра. Там знак вопроса. И первая часть этой задачи спрашивает нас, какое число может заменить этот вопросительный знак. Теперь мы могли бы посмотреть на это расчет и сказать себе: «Возможных ответов много. Недостающая цифра может быть чем угодно от нуля до девяти». Но вы знаете, это неправда потому что нам дали еще одну информацию. Мы видим, что кто-то уже начали искать ответ на это умножение, и они уже нашли частичный продукт 132,
Теперь, когда мы используем столбец
метод, как этот, обычно первое, что мы делаем, это умножаем все на
единицы во втором номере. Итак, для начала умножим
трое из 33 — те, что во втором номере; тогда мы умножим 30 на 33 на
те, что во втором номере.
Затем мы делаем то же самое, это
время, умноженное на десятки во втором числе, так что будет четыре
вообще умножения. Но ты видишь, как это
выставляется расчет? Есть место только для двух частичных
товары. Другими словами, человек, который
выработка ответа умножит 33 за один раз. Итак, 33 умножить на
которых мы, конечно, в данный момент не знаем, а затем 33, умноженные на
десятки. Итак, 33 умножить на 30.
Теперь, когда мы знаем, что происходит
в этом расчете мы можем использовать его, чтобы узнать наше недостающее число: в 33 раза больше, чем
дает нам ответ 132. Теперь важная цифра, которую нам нужно
подумайте о вот цифра два. На какую цифру мы могли бы умножить нашу
три единицы, что дало бы нам ответ, оканчивающийся на два? Ну, очевидно, два меньше, чем
три. Это не кратно трем, поэтому мы
нужно думать о двузначном числе, которое заканчивается на два.
И мы знаем, что трижды четыре
равно 12, а 12 оканчивается на двойку. Посмотрим, будет ли 33 умножить на четыре.
правильный. Как мы уже говорили, три раза четыре равно
12. Это то же самое, что раз 10 и два
те. А поскольку трижды четыре равно 12,
мы знаем, что три десятки, умноженные на четыре, должны быть 12 десятками. У нас есть один 10, а внизу
нам нужно не забыть включить, так что это 13 10s. А вот и наш номер 132.
Расчет явно 33 раза
34, а наша недостающая цифра — четыре. Наконец, нас просто попросили
завершить расчет, чтобы решить его. Сколько будет 33 умножить на 34? Ну, мы разобрались с первым
частичный продукт, так что теперь нам просто нужно отработать второй. Нам нужно умножить 33 на десятки
цифра 34. Другими словами, 33 умножить на 30. Теперь мы знаем это число, которое мы
умножение на 30 — это всего 10 лотов из трех.
Так почему бы нам не умножить 33 на
три, а затем использовать это, чтобы помочь? Трижды три девять, и
три десятки умножить на три — девять десятков или 90. Итак, если 33 умножить на три будет 99, то 33
умножить на три 10 будет то же самое, что 99 10, что равно 990.
Итак, мы умножили 33 на четыре. Затем мы умножили 33 на 30. Теперь нам просто нужно сложить эти два
частичные продукты вместе. Две единицы плюс ноль единиц равно двум
те. Три десятки плюс девять десятков равно 12.
10s, что равно 100 и двум единицам. Тогда 100 плюс девять сотен равно 10 100.
плюс тот, который мы обменяли, равен 11 100, что равно 1100. И мы можем просто написать, что 1000
прямо в тысячное место. Это был интересный вопрос
потому что, помимо использования метода столбца, мы должны были использовать то, что мы знали о нем, чтобы
помогите найти пропущенную цифру. Номер, который заменяет
вопросительный знак в подсчете равен четырем, а 33 умножить на 34 — это 1122.
Эти вопросы заставили нас задуматься там хорошая практика. Но прежде чем мы закончим это видео, давайте рассмотрим одну ошибку, которую нам действительно нужно избегать. Это довольно легко сделать, как Что ж. Здесь мы видим, что эта девушка пытается умножить 26 на 14, и в итоге у нее получается 40. ей. 26 умножить на 14 будет 40? Здесь она ошиблась, и это очень легко сделать ошибку. Можете ли вы определить, что это такое? Если мы начнем с конца и будем работать назад, мы можем видеть, что она на самом деле правильно сложила эти цифры. Четыре плюс восемь плюс шесть плюс два равно 20. Затем две десятки плюс две десятки то, что она обменяла, равно 40, значит, она правильно выполнила эту часть добавления.
Проблема должна быть связана с
умножение в начале. Первый неполный продукт, который она получила
ей 24. И мы видим, откуда она взялась
из. Она начала с умножения на
единиц, а шесть раз четыре единицы — это 24. Далее она умножает эту цифру
два на четыре. И ты видишь, что она
Выполнено? Она присвоила этой цифре значение
два. Дважды четыре восемь, но мы
знайте, что эта цифра два не стоит двух. Это стоит 20. Это в разряде десятков.
Значит, она должна была размножаться
20 на четыре, что дает ответ 80. Теперь действительно легко ошибиться
сделать, и эта девушка продолжала делать все это время. Но это то, что нам нужно
избегать. Вместо шестикратного одного она
надо было посчитать шесть раз по 10. И вместо двух раз по одному она
должен был найти ответ на 20 умножить на 10, что дает нам совсем другое
результат. Всегда будьте осторожны со своим местом
ценность.
Итак, что мы узнали из этого видео? Мы научились пользоваться стандартный письменный метод умножения пары двузначных чисел.
Предварительное исчисление по алгебре — Какой метод мысленного вычисления двузначных задач на умножение сводит к минимуму количество мысленных шагов?
$\begingroup$
В последнее время я много практиковался в ментальной арифметике и, конечно же, как часть этого, умножая двузначное число на другое двузначное число. Я провел некоторое исследование того, какой самый быстрый способ вычислить результат такого умножения, но я все еще обнаруживаю, что мне приходится выполнять слишком много шагов в голове для каждого упражнения. Цель состоит в том, чтобы кто-то рассказал вам задачу, а затем, не заставляя повторять задачу, вычислить ответ.
Возьмем в качестве примера: $63*88$
Я пройдусь по нескольким известным мне методам мысленного вычисления и объясню свои проблемы с каждым из них.
1) Элементарный метод. Я думаю, что это первый метод умножения, который все усваивают. Он находит ответ путем умножения и сложения грубой силы. Использование этого метода в нашем примере упражнения означало бы, что мы предпримем следующие шаги:
- Сначала упростим левый множитель и умножим его на полный правый множитель, получив:
60*88=60*80+60*8=4800+480=5280$
- Затем умножьте оставшиеся 3$ на наш правильный множитель и прибавьте его к результату выше, получив:
$3*88=264 \rightarrow 5280+264=5544$
Сразу становится понятно, что этот способ слишком долгий и может превратиться в довольно сложную кашу, ведь приходится быстро совмещать нетривиальное умножение и сложение. С помощью этого метода вы должны запомнить задачу, затем результат первого умножения, затем выполнить второе умножение и запомнить все результаты, чтобы сложить их вместе. Мы могли бы думать о каждом знаке «$=$» как об умственном шаге.
2) Второй метод исходит из ветви, называемой ведической математикой. На бумаге этот способ умножения выглядит более сложным, но после небольшой практики становится очевидным, что он намного быстрее. Это работает следующим образом:
- Сначала умножьте два самых правых числа друг на друга, получив: .
$3*8=24$
- У нас есть $2$, а $4$ — это последняя цифра нашего окончательного ответа. Затем мы выполняем перекрестное умножение, при котором мы умножаем правую цифру второго множителя на левую цифру первого множителя и наоборот, и складываем результаты вместе (не забывая о переносимых $2$), что дает:
$8*6+8*3+2=48+24+2=74$
- Из этого мы видим, что наша предпоследняя цифра также равна $4$, и мы снова будем нести $7$. На последнем шаге мы умножаем левую цифру первого множителя на левую цифру правого множителя (не забывая о наших переносимых $7$). Это дает:
$6*8+7=48+7=55$
- Теперь мы знаем, что наши первые две цифры равны $5$ и $5$, что дает общий ответ $5544$
Опять же, на бумаге это выглядит как гораздо больше шагов, чем метод грубой силы, но гораздо проще отслеживать вещи, которые вы должны помнить для окончательного ответа.
3) Необязательный третий метод может быть похож на описанный выше метод, но вместо перекрестного умножения в качестве второго шага мы делаем его в качестве первого шага, а затем выполняем исходный первый шаг. Я бы предположил, что мнения о том, действительно ли это быстрее, разделились, но это помогает ограничить количество вычислений, которые нужно запомнить.
4) Наконец, стандартный метод может состоять в том, чтобы округлить один из множителей до ближайшего десятикратного, а затем вычесть любое добавленное вами превышение. В этом случае это даст:
$63*90=5670 \rightarrow 5670-2*63=5544$
Однако этот метод становится намного сложнее, когда мы пытаемся вычислить что-то вроде $44*86$, потому что округление до ближайших десяти оставляет нам гораздо больше лишнего.
Возможно, ответ на мой относительно общий вопрос прост: «быстрое умножение приходит с опытом». Тем не менее, мне очень любопытно услышать о любых других методах, которые существуют. Извиняюсь за длинный пост, но я надеюсь, что достаточно прояснил свой мыслительный процесс.
- алгебра-предварительное исчисление
- мягкий вопрос
- арифметика
- ментальная арифметика
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Может быть, ответ на мой относительно общий вопрос прост: «быстрое умножение приходит с опытом».
Я действительно так думаю.
Все ваши методы работают, и по опыту вы узнаете, когда использовать простоту этих методов. 93$.
$63 \times 11 = 693$
Следовательно,
$63 \times 88 = 693 \times 2\times 2 \times 2 = 1386 \times 2 \times 2 = 2772 \times 2 = 5544$
Я за это каждый раз, когда мне приходится умножать на степени 2 (2,4,8,16,…), потому что «$\times 2$» — это операция, которую ваш мозг использует с самого раннего возраста. Выполнение этого несколько раз иногда может быть быстрее, чем выполнение одного выстрела «$\times 16$» или «$\times 32$».
Кроме того, здесь, когда вы закончите со степенями 2, у вас останется 11, а «$\times 11$» также оказывается очень простой операцией над двузначными числами.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Для меня это зависит от того, почему я решаю задачу и требуемой точности. Если мне нужен точный ответ, я работаю слева направо, сначала выполняя наиболее значимое умножение. Я изменю ваш пример на $63*87$, чтобы мы могли различать все цифры. Я бы сначала сделал $6 * 8 = 48 $, затем $ 3 * 8 = 24 $ и добавил это к одной цифре, чтобы получить $ 480 + 24 = 504 $, затем $ 6 * 7 = 42 $ и добавил это к $ 504 + 42 = 546. $ и, наконец, $3 * 7 = 21 $ и добавьте это в один справа, получив $ 5460 + 21 = 5481 $. Если более низкая точность приемлема, вы можете остановиться на полпути (что более важно, если цифр больше — я могу отслеживать таким образом $4 \times 3$ на практике).
Для приблизительных значений я часто буду округлять и исправлять, поэтому я бы сделал $63*88\приблизительно 60*(1+0,05)*90*(1-0,02)\приблизительно 5400*(1+0,03)\приблизительно 5550$
Знание большего количества фактов помогает. Если вы знаете, что $3*37=111$, вы можете умножить $63*37=21*111=2331$. Если вы знаете, что $7 * 11 * 13 = 1001 $, это очень поможет, когда он появится. Говорят, что некоторые сценические калькуляторы просто знают таблицу умножения до $99*99$
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Я надеюсь, что примера будет достаточно, чтобы показать общую картину. С практикой это очень выполнимо.
Если у вас хорошая память, вы можете умножить двузначное число на двузначное в уме. например, сделать
$$\begin{array}{r} 56 \\\times 78 \\\hline \end{array}$$
в уме.
$6 \х8$ равно $48$. Поместите $8$ и запомните $4$.
$$\begin{массив}{r} \цвет{красный} 4 \фантом{0} \\ 56\\ \times 78 \\\hline 8 \конец{массив} $$
$5\умножить на 8 + 7\умножить на 6 + 4 = 40 + 42 + 4 = 86$ Поместите $6$ и запомните $8$.
$$\begin{массив}{r} \цвет{красный}{84} \фантом{0} \\ 56\\ \times 78 \\\hline 68 \конец{массив} $$
Наконец, $5 \ умножить на 7 + 8 = 35 + 8 = 43$. Поместите $43$.
$$\begin{массив}{r} \цвет{красный}{84} \фантом{0} \\ 56\\ \times 78 \\\hline 4368 \конец{массив} $$
Если две цифры в строке или столбце совпадают, вы можете сократить путь. Например, чтобы умножить $63\times 88$.
$$\begin{массив}{r} 63 \\ \раз 88\\ \hline \end{массив} $$
$3\8 = 24$. Поместите $4$ и запомните $2$.
$$\begin{array}{r} \color{red}2 \phantom 0 \\ 63\\ \раз 88\\ \hline 4 \конец{массив} $$
$(6 + 3) \times 8 + \color{red} 2 = 74$. Поместите $4$ и запомните $7$.
$$\begin{array}{r} \color{red}{72} \phantom 0 \\ 63\\ \раз 88\\ \hline 44 \конец{массив} $$
$6 \times 8 + \color{red} 7 = 55$. Поместите $ 55 $.
$$\begin{array}{r} \color{red}{72} \phantom 0 \\ 63\\ \раз 88\\ \hline 5544 \конец{массив} $$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Чтобы ответить на этот вопрос, вы должны сделать очень большое количество предположений, лишь немногие из которых можно проверить. Например, вполне возможно, что мнемонисты могут запомнить всю таблицу умножения. В качестве альтернативы, часто первым шагом является какая-то классификация проблемы (9).