как умножать обычные дроби с разными знаменателями, на целое число в 2023 году
Умножение обыкновенных дробей с разными, одинаковыми знаменателями
Как умножить дробь на дробь? Предлагаем правило умножения обыкновенных дробей, которое звучит так:
Чтобы умножить одну дробь на другую дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первое произведение будет числителем, а второе – знаменателем произведения.
Данное правило актуально для умножения всех видов обыкновенных дробей – дробей с одинаковыми знаменателями, дробей с разными знаменателями, правильных и неправильных дробей.
Выполняя умножение, следует сокращать дроби по возможности. Кроме того, если произведение дробей неправильное число, то следует превратить дробь, выделив целую часть. К примеру,
Чтобы объяснить правило и алгоритм умножения дробей, рассмотрим площадь некоторого квадрата со стороной 1 единица.
Мы разделили квадрат на прямоугольники со сторонами 1/8 и 1/4.
Соответственно, большой квадрат состоит из 32 прямоугольников (4 ⋅ 8 = 32). Поэтому площадь одного прямоугольника составляет 1/32 части площади общего квадрата.
На рисунке выше мы заштриховали большой прямоугольник, состоящий из 5 прямоугольников по горизонтали и 3 прямоугольников по вертикали. Соответственно стороны этого заштрихованного прямоугольника равны: 5/8 ед. и 3/4 ед. Поэтому площадь прямоугольника равна:
С другой стороны, заштрихованный прямоугольник состоит из 15 маленьких прямоугольников, поэтому его площадь равна 15/32 ед. Поэтому:
Итак, 5 ∙ 3 = 15 и 8 ∙ 4 = 32
Это и подтверждает правильность формулы умножения обыкновенных дробей.
Пример. Найти произведение дробей семь одиннадцатых и девять восьмых.
Чтобы умножить данные дроби, умножим числители и результат запишем в числитель, а также умножим знаменатели, записав произведение в знаменатель.
Пример. Умножить дроби
В данном случае мы проделали не только умножение, но и сократили дробь во время выполнения данного действия.
Умножение дробей на целое число
Как умножить дробь на натуральное число? Для умножения дроби на обычное число пользуются следующим правилом:
Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить данное число на числитель дроби и записать данное произведение в числитель, а в знаменатель произведения переписать знаменатель дроби (множителя) без изменений.
где a/b – дробь, n – натуральное целое число
Данное правило следует из правила умножения дробей. Ведь натуральное число n можно представить как дробь с числителем n и знаменателем 1.
Для умножения дроби на натуральное число выполняется переставное свойство (от перестановки дроби и натурального числа местами произведение не изменится):
Пример
Пример
Пример
Пример. Рассмотрим умножение числа 8 на дробь пять двенадцатых.
Этот пример будет несколько отличаться от предыдущих, ведь в произведении мы получим неправильную дробь, которую следует сократить и выделить целую часть, то есть превратить в смешанное число.
Само действие умножения будет выглядеть так:
В произведении мы получили неправильную сократительную дробь. Поскольку НСК(40; 12) = 4, то можем сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на 4
Теперь выделим целую часть:
Пошаговая запись умножения будет выглядеть так:
Обратите внимание, выполнить умножение и сокращение можно было несколько иным способом, разложив числитель и знаменатель на простые множители. Однако результат остается без изменений:
Умножение смешанных дробей
Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, нужно предварительно представить их в виде неправильных дробей и после этого выполнить умножение согласно правилу умножения обыкновенных дробей.
Рассмотрим умножение дробей с целыми числами на примере.
Чтобы умножить целое натуральное число на смешанное число, проще отдельно умножать целую и дробную части.
Это правило можно доказать, используя распределительный закон умножения.
Ведь:
Для умножения дробей, смешанных чисел выполняются законы умножения натуральных чисел, а именно переместительный, сочетательный и распределительный законы. Кроме того, актуальны и будут следующие свойства умножения:
Умножение трех и более дробей
Поскольку все законы и свойства умножения натуральных чисел распространяются на умножение дробей, поэтому для удобства вычисления произведения трех и более дробей следует пользоваться ими. Выполняя умножение нескольких дробей, при необходимости можно переставлять множители местами, и т.д.
Пример. Выполните умножение дробей
Пример. Найти произведение дробей
Пример. Найти произведение 5 чисел
Решение:
Для упрощения вычисления мы сгруппировали число 8 с дробью семь восьмых, а число 12 с дробью пять тридцать шестых.
Это позволило нам сократить множители и упростить решение.
Калькулятор умножения дробей, смешанных чисел
Деление дробей.
Деление дробей.Навигация по странице:
- Деление дроби на натуральное число
- Деление натурального числа на дробь
- Деление обыкновенных дробей
- Деление смешанных чисел
Деление дроби на натуральное число.
Определение.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить тем же.
Примеры деления дроби на натуральное число
Пример 1.
Найти частное от деления дроби на натуральное число:
| 3 | : 2 | = | 3 | = | 3 |
| 7 | 7 · 2 | 14 |
Пример 2.
Найти частное от деления дроби на натуральное число:
| 6 | : 3 | = | 6 | = | 2 · 3 | = | 2 |
| 11 | 11 · 3 | 11 · 3 | 11 |
Определение.
Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.
| 3 | 7 | |
| 7 | 3 |
Деление натурального числа на дробь.
Определение.
Чтобы разделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной.
Примеры деления натурального числа на дробь
Пример 3.
Найти частное от деления натурального числа на дробь:
| 2: | 7 | = | 2· | 2 | = | 4 |
| 2 | 7 | 7 |
Пример 4.
Найти частное от деления натурального числа на дробь:
| 2: | 4 | = | 2· | 5 | = | 2 · 5 | = | 2 · 5 | = | 5 | = | 2 · 2 + 1 | = 2 | 1 |
| 5 | 4 | 4 | 2 · 2 | 2 | 2 | 2 |
Деление обыкновенных дробей.
Определение.
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Примеры деления обыкновенных дробей
Пример 5.
Найти частное от деления дробей:| 3 | : | 4 | = | 3 | · | 5 | = | 3 · 5 | = | 15 |
| 7 | 5 | 7 | 4 | 7 · 4 | 28 |
Пример 6.
Найти частное от деления дробей:
| 6 | : | 4 | = | 6 | · | 7 | = | 6 · 7 | = | 3 · 2 | = | 3 | = | 2 + 1 | = 1 | 1 |
| 7 | 7 | 7 | 4 | 7 · 4 | 2 · 2 | 2 | 2 | 2 |
Онлайн калькулятор дробей
Упражнения на тему деление двух обыкновенных дробей
Деление смешанных чисел.
Примеры деления смешанных чисел
Найти частное от деления смешанных чисел:
112 : 223 = 1 · 2 + 12 : 2 · 3 + 23 = 32 : 83 = 32 · 38 = 3 · 32 · 8 = 916
Пример 8.
Найти частное от деления смешанного числа на дробь:
217 : 35 = 2 · 7 + 17 : 35 = 157 : 35 = 157 · 53 = 15 · 57 · 3 = 5 · 57 = 257 = 7 · 3 + 47 = 347
Онлайн калькулятор дробей
Упражнения на тему деление двух смешанных чисел
Дроби Виды дробей (обыкновенная правильная, неправильная, смешанная, десятичная) Основное свойство дроби Сокращение дроби Приведение дробей к общему знаменателю Преобразование неправильной дроби в смешанное число Преобразование смешанного числа в неправильную дробь Сложение и вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Сравнение дробей Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь
Онлайн калькуляторы дробей
Онлайн упражнения с дробями
Простая факторизация
Простые числа
Простое число:
целое число больше 1, которое можно не получить путем умножения других целых чисел
Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23,
и у нас есть диаграмма простых чисел, если вам нужно больше.
Если мы можем составить путем умножения других целых чисел, то это составное число .
Вот так:
2 — Prime, 3 — Prime, 4 — Composite (=2×2), 5 — Prime и так далее…
Факторы
«Коэффициенты» — это числа, которые нужно перемножить, чтобы получить другой номер:
Простая факторизация
«Факторизация простых чисел» — это нахождение числа , которое умножает простые числа , чтобы получить исходное число.
Пример: Каковы простые делители числа 12?
Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое равно 2, поэтому давайте проверим:
12 ÷ 2 = 6
Да, оно делится ровно на 2. Мы сделали первый шаг!
Но 6 не простое число, поэтому нужно идти дальше. Попробуем еще раз 2:
6 ÷ 2 = 3
Да, это тоже сработало. А 3 — это простое число, поэтому у нас есть ответ:
12 = 2 × 2 × 3
Как видите, на каждый делитель — это простое число , поэтому ответ должен быть правильным.
Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием показателей степени как 12 = 2 2 × 3
Пример: Какова простая факторизация числа 147?
Можем ли мы разделить 147 точно на 2?
147 ÷ 2 = 73½
Нет, не может. Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.
Попробуем следующее простое число число, 3:
147 ÷ 3 = 49
Это сработало, теперь попробуем разложить на множители 49.
Следующее простое число 5 не работает. Но 7 подходит, поэтому мы получаем:
49 ÷ 7 = 7
И это все, что нам нужно сделать, потому что все множители простые числа.
147 = 3 × 7 × 7
(или 147 = 3 × 7 2 с использованием показателей)
Пример: Какова простая факторизация числа 17?
Подожди… 17 — простое число .
Вот и все, что мы можем сделать.
17 = 17
Другой метод
Мы показали вам, как разложить на множители, начав с наименьшего простого числа и продвигаясь вверх.
Но иногда проще разбить число на любые множители , которые вы можете … затем разложить эти множители на простые числа.
Пример: Каковы простые делители числа 90?
Разбить 90 на 9 × 10
- Простые множители числа 9 3 и 3
- Простые делители числа 10 равны 2 и 5
Итак, простые делители числа 90 равны 3, 3, 2 и 5
Факторное дерево
И «Дерево множителей» может помочь: найти любые множители числа, затем множители этих чисел и т.д., пока мы не сможем больше множить.
Пример: 48
48 = 8 × 6 , поэтому запишем «8» и «6» ниже 48
Теперь мы продолжаем и делим 8 на 4 × 2
Затем 4 на 2 × 2
И, наконец, 6 на 3 × 2
Мы не можем найти больше основные факторы.
Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
(или 48 = 2 4 × 3 с использованием показателей)
Зачем искать Prime Factors?
Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может учитываться дальше!
Любое другое целое число можно разбить на простые множители.
Это похоже на то, что простые числа являются основными строительными блоками всех чисел. |
Эта идея может быть очень полезна при работе с большими числами, например, в криптографии.
Криптография
Криптография — это изучение секретных кодов. Прайм-факторизация очень важна для людей, которые пытаются создавать (или взламывать) секретные коды на основе чисел.
Это потому, что разложение очень больших чисел на множители очень сложно и может занять много времени у компьютеров.
Если вы хотите знать больше, предметом является «шифрование» или «криптография».
Уникальный
И вот еще что:
Для любого числа существует только один (уникальный!) набор простых множителей.
Пример: простые делители числа 330 равны 2, 3, 5 и 11.0005
На самом деле эта идея настолько важна, что ее называют Фундаментальной теоремой арифметики .
Инструмент простой факторизации
Хорошо, у нас есть еще один метод… используйте наш Инструмент факторизации простых чисел, который может вычислять простые множители для чисел до 4 294 967 296.
370, 1055, 1694, 1695, 1696, 1697
Как умножать смешанные числа
Что такое смешанные числа
Смешанное число — это целое число и правильная дробь, представленные вместе. Обычно представляет собой число между любыми двумя целыми числами.
Посмотрите на данное изображение, оно представляет собой дробь, которая больше 1, но меньше 2. Таким образом, это смешанное число.
Некоторые другие примеры смешанных чисел:
Части смешанного числа
Смешанное число образуется путем объединения трех частей: целого числа, числителя и знаменателя. Числитель и знаменатель являются частью правильной дроби, составляющей смешанное число.
Родственные игры
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
- Умножьте целое число на знаменатель дроби.
- Прибавьте ответ, полученный на шаге 1, к числителю дроби.
- Запишите ответ, полученный на шаге 2, над знаменателем.
Предположим, нам нужно преобразовать $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.
Шаг 1 : Умножаем 3 на 2, получаем 3$\умножить на 2 = 6$.
Шаг 2 : Складываем 6 и 2, получаем 6$ + 2 = 8$
Шаг 3: Полученная дробь равна $\frac{8}{3}$.
Связанные рабочие листы
Умножение смешанного числа на целое число
Шаг 1: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
Шаг 2: Перепишите целое число в виде дроби со знаменателем 1.
Шаг 3: Умножьте две дроби, умножая числители и знаменатели отдельно.
Шаг 4: При необходимости преобразуйте его в упрощенную форму.
Предположим, нам нужно перемножить 3 и $2\frac{1}{2}$.
$2\frac{1}{2}=\frac{2\times2+1}{2}=\frac{5}{2}$
$3\times\frac{5}{2}=\frac {3}{1}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{2}=7\frac{1}{2}$
Умножение смешанного числа на дробь
Шаг 1 : Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.
Шаг 2: Умножьте числители дроби и умножьте знаменатели дроби.
Шаг 3: При необходимости преобразуйте его в упрощенную форму.
Предположим, нам нужно перемножить $\frac{2}{5}$ и $3\frac{1}{2}$.
$3\frac{1}{2}=\frac{3\times2+1}{2}=\frac{7}{2}$
$\frac{2}{5}\times\frac{ 7}{2}=\frac{14}{10}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}$
Умножение двух смешанных чисел
Шаг 1: Преобразование смешанных чисел числа в неправильные дроби.
Шаг 2: Умножьте две дроби, раздельно умножив числители и знаменатели.
Шаг 3: При необходимости преобразуйте его в упрощенную форму.
Например: умножьте $4\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{3}$.
$4\frac{1}{2}=\frac{4\times2+1}{2}=\frac{9}{2}$
$3\frac{1}{3}=\frac{3 \times3+1}{3}=\frac{10}{3}$
$4\frac{1}{2}\times3\frac{1}{3}=\frac{9}{2}\times \frac{10}{3}=\frac{90}{6}=15$
Заключение
В этой статье мы узнали об умножении смешанных чисел.
Смешанные числа также известны как смешанные дроби. Чтобы прочитать больше таких информативных статей о других концепциях, посетите наш веб-сайт. Мы в SplashLearn стремимся сделать обучение интересным и интерактивным для всех учащихся.
Решенные примеры
1. Умножьте $5\frac{3}{7}$ на мультипликативное значение, обратное $7\frac{3}{5}$ .
Решение: $5\frac{3}{7}=\frac{5\times7+3}{7}=\frac{38}{7}$
$7\frac{3}{5} =\frac{7\times5+3}{5}=\frac{38}{5}$
Мультипликативное значение, обратное $\frac{38}{5}$ , равно $\frac{5}{38} $.
Продукт $= \frac{38}{7}\times\frac{5}{38}=\frac{5}{7}$
2. Эмма идет 5 2 3 миль в день. Какое расстояние она преодолеет за 9 дней?
Решение: Расстояние, пройденное Эммой за 1 дня $= 5\frac{2}{3}$ миль $=\frac{17}{3}$ миль.
Расстояние, пройденное Эммой за 9 дней $= 9\times\frac{17}{3}= 51$ миль
3. Умножьте $6\frac{2}{5}\times\frac{3} {4}$ .
Решение: $6\frac{2}{5}=\frac{6\times5+2}{5}=\frac{32}{5}$
$\frac{32}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{32\times3}{5\times4}=\frac{96}{20}=\frac{24}{ 5}=4\frac{4}{5}$
Практические задачи
1
Какой из этих шагов является первым шагом к умножению смешанных чисел?
Вычисление НОК знаменателей
Умножение числителей
Умножение знаменателей
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Правильный ответ: Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби
Первым шагом к умножению смешанных чисел является преобразование их в неправильные дроби.
2
При умножении $10\frac{1}{6}$ на $2\frac{2}{11}$ получаем ____.
целое число
смешанное число
правильная дробь
отрицательное число
Правильный ответ: смешанное число
$10\frac{1}{6}\times\frac2{2}{11}=\frac{61} {6}\times\frac{24}{11}=\frac{244}{11}=22\frac{2}{11}$, т. е. смешанное число
3
Значение $4\frac{2}{9}\times1\frac{1}{7}$:
$1\frac{52}{63}$
$2\frac{52} {63}$
$4\frac{52}{63}$
$\frac{61}{63}$
Правильный ответ: $4\frac{52}{63}$
$4\frac{2 {9}\times1\frac{1}{7}=\frac{38}{9}\times{8}{7}=\frac{304}{63}=4\frac{52}{63} $
Часто задаваемые вопросы
Нужны ли одинаковые знаменатели при умножении двух или более смешанных чисел ?
Нет. Нам не нужны одинаковые знаменатели для умножения двух или более смешанных чисел. Мы даже можем умножать непохожие дроби.
Как еще называют смешанные числа?
Другое название смешанных чисел — смешанные дроби.