Какие действия в математике выполняются первыми в скобках и без скобок: Какие правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками тебе известны

Рассмотрим пример. Предположим, мы хотим найти значение 3 + 5 x 2.

Здесь у нас есть два оператора, а именно ( x ) и ( + ). Мы знаем, что в математике мы можем выполнять операции между двумя числами только за один раз. Если у нас есть более 2 чисел, результат первой операции используется для выполнения следующей операции. Итак, в приведенном выше примере необходимо выполнить две операции: (3 + 5) и (5 x 2). Нам нужно решить, с какой из них начать. Здесь вступает в действие правило MDAS.

Из этого правила видно, что умножение предшествует сложению. Поэтому сначала выполним операцию умножения. Полученный таким образом результат будет добавлен к 3. Шаги, связанные с этим процессом, будут – 

3 + 5 x 2

 = 3 + 10

 = 13

Следовательно, 3 + 5 x 2 = 13

Важно отметить, что при отсутствии специальных символов группировки математические задачи решаются слева направо. Однако, когда у вас задействованы группирующие символы, нам нужно следовать порядку операций, как мы обсуждали выше. Мы только что узнали о приоритете основных операций сложения, вычитания, умножения и деления. В соответствии с ним порядок, в котором должны выполняться операции, — это сначала деление, затем умножение, после чего сложение и, наконец, вычитание, но иногда в сложных операциях требуется, чтобы набор операций выполнялся до другого. Например, если мы хотим, чтобы сложение выполнялось перед делением или умножением, нам нужно использовать скобки.

Символы группировки или скобки используются для обеспечения ясности в порядке операций, в котором должны выполняться несколько операций в математическом выражении. Скобка указывает, что операции внутри нее должны выполняться до операций вне ее. Например, выражение 24 ÷ 3 x 4 обычно решается как –

24 ÷ 3 x 4

= 8 x 4 = 32

Однако, если мы хотим сначала умножить 3 и 4, а затем разделить 24 на получившееся число запишем выражение как

24 ÷ ( 3 x 4 )

Теперь, в соответствии с порядком действий, сначала разгадаем скобки, чтобы получить,

 24 ÷  ( 3 x 4 )

= 24 ÷  12

 = 2

В сложных выражениях иногда необходимо иметь (внутри) в одно и то же время (одно внутри другого может сбивать с толку, потому что чаще всего используются разные типы скобок)

Скобки Имя

( ) Круглые скобки

{ } Скобки или фигурные скобки

[ ] Скобки или квадратные скобки

Здесь важно отметить, что левая часть каждого символа скобки указывает на начало скобки, а правая часть указывает на конец скобки. При написании математических выражений, состоящих более чем из одной скобки, в самой внутренней части используются круглые скобки, за которыми следуют фигурные скобки, и эти две скобки заключаются в квадратные скобки.

Некоторые другие важные моменты, на которые следует обратить внимание: – 

1. Круглые скобки используются в математике, чтобы показать часть математического выражения или уравнения, которое должно быть решено до того, как будут выполнены какие-либо другие вычисления. Часть между двумя круглыми скобками обрабатывается как одно число; ответ заменяет выражение в большем математическом уравнении.
2. В сложных задачах квадратные скобки можно использовать для заключения разделов задачи, которые уже содержат круглые скобки для дальнейшего разделения разделов.
3. В очень сложных задачах фигурные скобки можно использовать для заключения разделов, которые уже содержат квадратные и круглые скобки.

Чтобы упростить выражения, включающие более одного символа группировки, мы будем использовать шаги, описанные ниже:

1. Посмотрите, содержит ли данное выражение винкулум или нет. Если винкулум присутствует, выполните операции с красным цветом, в противном случае перейдите к следующему шагу. Винкулум — это горизонтальная линия, расположенная над выражением, чтобы показать, что все, что находится ниже линии, является одной группой, например, $\overline{2 x 3}$.
2. Теперь найдите самую внутреннюю скобку и выполните в ней операции.
3. Удалите самую внутреннюю скобку, выполнив следующие действия: 
   1. Если скобке предшествует знак плюс, удалите ее, записав ее термины как есть.
   2. Если скобке предшествует знак минус, измените положительный знак внутри нее на отрицательный и наоборот.
   3. Если между числом и символом группировки нет знака, то это означает умножение.
   4. Если перед некоторыми скобками стоит число, то мы умножаем число внутри скобок на число вне скобок.
4. Найдите ближайшую внутреннюю скобку и выполните в ней операции. Удалите второй в направлении, используя правила, указанные в предыдущих шагах. Продолжайте этот процесс, пока не будут удалены все скобки.

Давайте разберем приведенные выше шаги на примере.

Пример

Упрощение: 37 – [ 5 + { 28 – ( 19 – 7 ) } ]

Решение

Нам дано выражение, 37 – [ 1 9 – 28 – ( 1 ) } ]

Мы будем использовать порядок операций для решения данного выражения.

Сначала мы удалим самую внутреннюю скобку, чтобы получить

37 – [ 5 + { 28 – 12 } ] …………………… [ Удаление самой внутренней скобки ( ) ]

Далее мы удалим фигурные скобки, чтобы получить

37 – [ 5 + 16 ] …………………………. [ Удаление фигурных скобок ]

Теперь мы удалим квадратные скобки, чтобы получить,

37 – 21 …………………………… [удаление квадратных скобок ]

Наконец, мы найдем разницу между 37 и 21, чтобы получить 16.

Следовательно, упрощение 37 – [ 5 + { 28 – 12 } ] приведет к 16.

Теперь, когда мы поняли, что мы подразумеваем под группировкой символов и математических выражений, давайте узнаем о шагах, связанных с решением математических выражений, включающих группировку символов. Необходимые шаги: 

1. Всегда начинайте с вычисления всех выражений в скобках

Во-первых, мы должны искать удаление любых группирующих символов в алгебраическом выражении. Это означает, что в верхней части списка не забывайте всегда   упрощать все внутри символов группировки. Примерами символов группировки являются круглые скобки ( ), скобки и фигурные скобки { }. Для вложенных символов группировки проработайте их изнутри и снаружи.

2. Упростить все экспоненты, такие как квадратные корни, квадраты, кубы и кубические корни

После удаления круглых скобок мы переходим к следующему шагу решения всех экспоненциальных значений в алгебраическом выражении. Экспоненциальные выражения, которые могут включать корневые значения, такие как квадратные корни, квадраты, кубы, кубические корни и т. д., сначала вычисляются или оцениваются перед выполнением любой из четырех основных арифметических операций, а именно: сложения, вычитания, умножения и деления.

3. Выполните умножение и деление, начиная слева направо

Затем умножьте и/или разделите слева направо перед выполнением сложения и вычитания. Это говорит нам о том, что умножение и деление имеют более высокий уровень важности, чем сложение и вычитание.

4. Наконец, аналогично выполните сложение и вычитание, начиная слева направо.

Давайте разберемся на примере.

Пример Упростить 95 – [ 144 ÷ ( 12 x 12 ) – ( ​​-4 ) – { 3 – $\overline{17-10}$ } ]

Решение Нам дано выражение

95 – [ 144 ÷ ( 12 x 12 ) – ( ​​-4 ) – { 3 – $\overline{17-10}$ } ]

Мы будем использовать PEMDAS для решения приведенного выше выражения.

Обратите внимание, мы видим наличие vinculum в выражении, поэтому его нужно сначала решить.

Решив винкулум, получим,

95 – [ 144 ÷ ( 12 x 12 ) – ( ​​– 4 ) – { 3 – 7 } ]

Далее мы удалим самую внутреннюю скобку, чтобы получить

95 – [ 144 ÷ 144 + 4  – { 3 – 7 } ]

Теперь мы удалим фигурные скобки, чтобы получить

95 – [ 144 ÷ 144 + 4  + 4 ]

Теперь важно увидеть, что внутри квадратных скобок нам нужно выполнить две операции: деление и сложение. Итак, следуя правилу PEMDAS, мы сначала выполним деление, чтобы получить

95 – [ 1 + 4  + 4 ]

. Затем мы удалим квадратные скобки, чтобы получить 9.0007

95 – 9

= 86

Следовательно, упрощение 95 – [ 144 ÷ ( 12 x 12 ) – (-4 ) – { 3 –  $\overline{17-10}$ } ] = 86

Пример 1 Упрощение: 197 — [1/9 {42 + (56 — $ \ overline {8 + 9} $)} +108]] {42 + (56 — $ \ overline {8 + 9} $)} +108]} +108]} +108]} +108]} +108]}} +10]}} +10]} +10]} +10]}.

Решение Нам дано алгебраическое выражение,

197 – [1/9 { 42 + (56 – $\overline{8 + 9}$ ) } +108 ]

Мы будем использовать PEMDAS для решения выше выражение.

Обратите внимание, в выражении мы видим наличие винкулума; следовательно, ее нужно решить в первую очередь.

Решив винкулум, получим,

197 – [1/9 { 42 + (56 – 17 ) } +108 ]

Далее удалим самую внутреннюю скобку, чтобы получить,

197 – [1/ 9 { 42 + 39 } +108 ]

Теперь мы удалим фигурные скобки, чтобы получить

197 – [81 / 9  +108 ]

Теперь важно видеть, что в квадратных скобках у нас есть две операции выполняться, деление и сложение. Итак, следуя правилу PEMDAS, мы сначала выполним деление, чтобы получить

197 – [9  + 108 ]

Далее мы удалим квадратные скобки, чтобы получить

197 – 117

Наконец, нам просто нужно найти разницу двух оставшихся значений, чтобы получить

80.

Следовательно, упрощение 197 – [1/9 { 42 + (56 –  $\overline{8 + 9}$ ) } +108 ] = 80.

Пример 2 Упростить 15 – ( – 5) { 4 – $\overline{7-3}$ } ÷ [ 3 { 5 + ( -3 ) x ( -6 ) } ]

Решение Нам дано выражение

15 – ( – 5) { 4 – $\overline{7-3}$ } ÷ [ 3 { 5 + ( -3 ) x ( -6 ) } ]

Мы будем использовать PEMDAS для решения приведенного выше выражения.

Обратите внимание, мы видим наличие vinculum в выражении, поэтому его нужно сначала решить.

Решив винкулум, получим,

15 – ( – 5) { 4 – 4 } ÷ [ 3 { 5 + ( -3 ) x ( -6 ) } ]

Далее удалим самую внутреннюю скобку чтобы получить,

15 + 5 x 0  ÷ [ 3 { 5 + 18 } ]

Теперь мы удалим фигурные скобки, чтобы получить

15 + 0  ÷ [ 3  x 23 ]

Далее мы удалим квадратные скобки, чтобы получить

15 + 0  ÷ 69

Теперь важно видеть, что нам нужно выполнить две операции: деление и дополнение. Итак, следуя правилу PEMDAS, мы сначала выполним деление, чтобы получить

15 + 0

 = 15

Следовательно, упрощение 15 – ( – 5) { 4 – $\overline{7-3} $ } ÷ [ 3 { 5 + ( -3 ) x ( -6 ) } ] = 15

Скобки можно использовать в математике, чтобы показать, какая часть математического выражения должна быть выполнена первой. 8 – 5 + 1 и 8 – (5 + 1) Единственная разница между этими двумя выражениями заключается в скобках. Без скобок решайте слева направо: 8 – 5 равно 3, а затем 3 + 1 равно 4. Однако добавление скобок может изменить результат. В скобках написано: «Начните с 5 + 1 и читайте как одно число». Поскольку 5 + 1 равно 6, замените 5 + 1 на 6 в выражении, в результате чего 8 – 6 = 2.

Совет для родителей. Ваши дети должны хорошо знать, как использовать круглые скобки, потому что пара круглых скобок является наиболее распространенным символом группировки

Вот еще один пример: 14 – 6 + 5 и 14 – (6 + 5) Опять же, единственное различие между этими двумя выражениями заключается в использовании круглых скобок. В первом выражении скобок нет, поэтому решайте слева направо: 14 – 6 равно 8, тогда 8 + 5 равно 13. С добавленными скобками начните с 6 + 5. Так как 6 + 5 равно 11, замените (6+5) в выражении на 11. Остается 14 -11 = 3.

Иногда результат одинаков со скобками или без них. Когда решается реальная задача, можно использовать круглые скобки, чтобы показать, как числа в математическом выражении соотносятся с реальной ситуацией, даже если их использование не влияет на ответ.

Совет для родителей: математика станет более значимой для ваших детей, когда они увидят, как она проявляется в повседневной жизни. Обратите внимание на возможность думать вслух, когда вы используете математику для решения жизненной проблемы.

Рассмотрим такую ​​ситуацию: у Мэри день рождения. Ее дедушка посылает ей 40 долларов. Ее тетя посылает ей 35 долларов. На следующий день Мэри тратит 50 долларов из денег, полученных на день рождения, в торговом центре. Как показано ниже, круглые скобки можно использовать для группировки общей суммы денег, которые ей дали, так, чтобы они были отделены от денег, которые она потратила. Несмотря на то, что у Мэри осталось 25 долларов в конце, используя любое из выражений, выражение в скобках лучше всего соответствует событиям ситуации.

Когда математические задачи усложняются, иногда необходимо иметь группы внутри групп. Скобки для самой внутренней группы. Если необходима вторая группировка, которая будет включать часть, уже заключенную в круглые скобки, используются квадратные скобки. Если необходима третья группировка, которая будет включать раздел со скобками и квадратными скобками, то используются фигурные скобки.

1. Порядок операций можно определить как стандартную процедуру, которая указывает, какие вычисления следует начинать в выражении с несколькими арифметическими операциями.
2. MDAS — это базовый порядок операций, где MDAS, где M означает умножение (x), D означает деление (÷), A означает сложение (+), S означает вычитание (–).
3. Символы группировки или скобки используются для обеспечения ясности в порядке операций, в котором несколько операций должны выполняться в математическом выражении.
4. Правила порядка операций: – 
   1. Всегда начинайте с вычисления всех выражений в скобках
   2. Упростите все показатели степени, такие как квадратные корни, квадраты, куб и кубические корни.
   3. Выполните умножение и деление, начиная слева направо.
   4. Наконец, аналогично выполните сложение и вычитание, начиная слева направо.
5. Скобки используются для ясности в порядке операций, в котором должны выполняться несколько операций в математическом выражении.
6. При написании математических выражений, состоящих более чем из одной скобки, в самой внутренней части используются круглые скобки, за которыми следуют фигурные скобки, и эти две скобки заключаются в квадратные скобки.

Порядок действий и группировка символов Рабочий лист по математике 5-го класса
Порядок действий (PEMDAS) (Тема работы на дому) Рабочие листы
Основные операции с целыми числами (Тема Дня всех святых) Рабочие листы по математике

Мы тратим много времени поиск и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!

Типы, использование, правило BODMAS, решенные проблемы и часто задаваемые вопросы

Первый вопрос, который задается учащемуся по этой теме: «Как мы можем определить скобки». При вычислении выражения, содержащего заключенное в квадратные скобки подвыражение, скобки обозначают тип группировки, операторы в подвыражении имеют приоритет над окружающими его. Кроме того, для различных скобок существует множество применений и определений.

Типы кронштейнов

Часто используемые типы кронштейнов:

• Parentheses ( )

• Square brackets [ ]

• Curly brackets { }

• Angle brackets ⟨ ⟩

Parentheses

Among the four different types of brackets used, parentheses являются наиболее часто используемым типом скобок. В математических задачах скобки в основном используются для группировки чисел. Используйте порядок операций для решения проблемы, когда мы видим несколько чисел и операций в скобках.

Скобки используются в математике по трем основным причинам:

Чтобы разделить числа для пояснения, можно использовать круглые скобки. Например, если у нас есть дополнительная проблема с отрицательным числом, чтобы различить два знака, будут использоваться круглые скобки. Чтобы отличить число от его показателей, также можно использовать круглые скобки. Как правило, это происходит, если мы поднимаем отрицательное число до контроля.

Квадратные скобки

В математике квадратные скобки [ ] используются в различных ситуациях:

• Квадратные скобки иногда используются вместо скобок (или в дополнение к ним) в очень сложных выражениях, особенно в качестве знака группы вне внутреннего набора скобок.

• Они могут означать то же, что и скобки, но предназначены для облегчения чтения. Все зависит от ситуации.

• Квадратные скобки используются для включения номера, который он охватывает при работе с включением.

• Их также можно использовать для обозначения наименьшего общего кратного 

Фигурные скобки (также известные как фигурные скобки)

Левые фигурные скобки и правые фигурные скобки используются вместе в математических выражениях. Их можно заменить квадратными скобками или круглыми скобками. Во вложенной фразе с тремя уровнями группировки круглые скобки обычно используются в самых внутренних группировках. В группе следующего более высокого уровня используются квадратные скобки, в то время как фигурные скобки используются в самых внешних группах (см. « Вложенные выражения » для примера).

Угловые кронштейны

Внутреннее произведение двух функций представлено угловой скобкой, состоящей из бра и кет (бра+кет = скобка). Поскольку угловые скобки напоминают знаки «меньше» и «больше», некоторым учащимся они могут показаться запутанными. Но вы освоитесь, как только начнете время от времени использовать их в своей математической практике.

Для чего нужны скобки?

Пример: 5 * (2 + 4) равно 30, (5 * 3) + 2 равно 30.

• Скобки часто используются в математических выражениях, чтобы обозначить группировку, где это уместно, чтобы предотвратить двусмысленность и повысить ясность.

• В декартовой системе координат скобки используются для обозначения координат точки.

Пример: (4,8) обозначает точки в системе координат x-y с координатой x, равной 4, и координатой y, равной 8.

Пример: f(x), g(x).

Пример: [0,8) обозначает полузамкнутый интервал, включающий все действительные числа, кроме 8 от 0 до 8.

• Широкие скобки вокруг двух чисел обозначают биномиальный коэффициент, один над другим.

• Как и в (a,b,c), круглые скобки вокруг набора из двух или более чисел обозначают набор из n чисел, которые связаны определенным образом.

• Матрица обозначается широкими скобками вокруг массива чисел.

• Для обозначения наибольшего общего делителя используются круглые скобки.

Правило BODMAS

Скобки находят свое основное применение в правиле BODMAS или PEMDAS, где последовательность операций должна выполняться при разрешении выражения. BODMAS или PEMDAS означает:

B — Скобки, P- Скобки

O — Порядок, E- Экспоненты

D — Деление

M — Умножение

A — Сложение

S — Вычитание

  9064SBO объясняет последовательность операций 9064SBO выполнять до тех пор, пока выражение не будет разрешено. Согласно закону БОДМАСА, если в выражении есть скобки ((), {},), мы сначала должны преодолеть или упростить скобку, а затем порядок, затем делить, умножать, складывать и вычитать слева направо. В неправильном порядке решение проблемы приведет к неправильному ответу.

Проще говоря, четыре операции имеют решающее значение для обучения арифметике, и подростки, которые не знают, в какой последовательности их выполнять, не смогут двигаться вперед с годами.

Еще одна причина, по которой BODMAS преподается на уроках математики, заключается в том, что учащимся намного легче запомнить, какую операцию выполнять при столкновении со сложными уравнениями.