Конгруэнтность это в геометрии: Конгруэнтность (геометрия) | это… Что такое Конгруэнтность (геометрия)?

О полупрямых (или лучах) (равенство vs конгруэнтность) : Геометрия

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Sasha2	О полупрямых (или лучах) (равенство vs конгруэнтность) 19. 11.2006, 04:49
21/06/06 1721	Интересно, вот я не нашел, ни в учебнике Кисилева, ни в учебнике Адамара, ни в учебниках Перепелкина и Анастасяна доказательство такого простого факта: Две любые полупрямые являются фигурами равными. Это сейчас рассматривается уже как аксиома? Или просто авторы не считают нужным доказывать это простенькое предложение? Или может быть не вводится вся аксиоматика (чтобы учащихся не перегружать) и опускается доказательство этого предложения.

незваный гость	19. 11.2006, 06:07
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Равными они не являются. Они являются конгруэнтными (согласно учебнику Колмогорова). Отвечу вопросом на вопрос, но не по злобе: а в каком из приведенных Вами учебников Вы видели доказательство конгруэнтности прямых? Это ведь не менее фундаментальный факт, а пожалуй что и более.

Sasha2	19. 11.2006, 07:13
21/06/06 1721	Извините пожалуйста, но они являются равными согласно определению (имеется в виду прямые), а именно Любая фигура равная прямой есть прямая: и обратно любая прямая может быть совмещена со всякой другой и притом таким образом, что любая точка первой может быть совмещена с любой точкой второй. (Адамар, Планиметрия) Это определение, откуда, между прочим следует любые две прямые являются фигурами равными, а неравных прямых вообще нет. Но вопрос встает не о прямых, а о полупрямых (или лучах) Что же касается Кисилева, то там тоже нет такого доказательства (и я здесь имею в виду как редакцию оригиналььную, так и несколько исправленную с участием Глаголева).

незваный гость	19.11.2006, 07:29
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Во-первых, понимаете ли Вы разницу между равенством и конгруэнтностью? К сожалению, многие учебники школьной геометрии смешивают эти понятия (Колмогоров — нет, но судя по приведенной Вами цитате, Адамар смешивает). Во-вторых, приведенная Вами цитата не есть определение. Это — утверждение, доказательство которого Адамар тактично опускает. Между прочим, поскольку Адамар говорит о совмещении, он, разумеется, имеет в виду конгруэнтность. В-третьих, говоря о совмещении, полезно указывать, какие преобразования считаются допустимыми. Иначе все подобные треугольники окажутся равными. И дальше уже не так далеко до топологии с непрерывными изоморфизмами. Что еще раз подтверждает необходимость доказательства этого факта (q.v. во-вторых). В-четвертых, для лучей проходит очень простая модификация доказательства для прямых. Для прямых надо в начале доказательства совместить две произвольные точки, а для лучей — обязательно их начала.

Sasha2	19. 11.2006, 07:52
21/06/06 1721	Ну давайте тогда так, я отвечу а Вы поправите, если я не прав. 1) Равные это те, которые могут быть совмещены друг с другом так, что совпадут во всех частях, иными словами две равные это фактически одна, но в другом месте. 2) Что касается конгруэнтности, то, наверно надо задать некоторое множество допустимых преобразований. Тогда если одна фигура может быть переведена в другую посредством эитх преобразований, то они конгруэнтны. Ну а если уж совсем отвлечься, то мне кажется, что это есть некое отношение эквивалентности на определенном множесстве фигур. (Однако — это мои домыслы и может быть я ошибаюсь)

незваный гость	19.11.2006, 10:35
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Если я правильно понимаю, Колмогоров называет две фигуры равными, если они равны в теоретико-множественном смысле (т. е. точка принадлежит одной из них тогда и только тогда, когда она принадлежит другой). К сожалению, понятие «совместить» выходит за рамки аксиоматики геометрии. Его необходимо определять. По сути, совместить — это задать отображение. Конгруэнтными называются фигуры, которые могут быть отображены одна в другую при помощи изометрии. Изометрией же называется отображение, сохраняющее расстояние. Это, впрочем, одно из определений (согласно Колмогорову). Система аксиом Гильберта вводит понятие конгруэнтности аксиоматически. Несколько ссылок: Конгруэнтность Аксиоматика Гильберта Систему аксиом по К. мне отыскать в Интернете не удалось. Придется искать старый учебник… Зато это, похоже, одна из немногих систем, определяющих конгруэнтности через движение, а не вводящая ее аксиоматически.

DMVN	19. 11.2006, 15:33
Заслуженный участник 09/07/05 210 МехМат МГУ	незваный гость , не стОит так цепляться к терминологии. В конце концов, можно говорить «равны», а подразумевать конгруэнтность, просто в геометрии гораздо чаще приходится пользоваться именно конгруэнтностью, а вместо «равны по колмогорову» я говорю обычно «совпадают». Кстати, если я всё правильно помню, то в учебнике Погорелова движение не есть аксиоматическое понятие, оно там вводится именно как преобразование плоскости, сохраняющее расстояние.

Someone	22.11.2006, 01:41
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	Термин «конгруэнтны» в школе появился при переходе с учебника Киселёва на Колмогорова, который протащил в школу теоретико-множественный подход. У Киселёва употреблялся термин «равны» — именно в смысле возможности наложения фигур путём движения фигуры как твёрдого тела, возможно, в комбинации с зеркальным отражением. Я не уверен, что в массовой школе необходима такая вещь, как полная аксиоматика геометрии. Учебники Киселёва, на мой взгляд, были великолепны. А те школьники, которые этим заинтересовались, могли использовать дополнительную литературу. Я, например, использовал.

незваный гость	22.11.2006, 01:47
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Someone писал(а): Я не уверен, что в массовой школе необходима такая вещь, как полная аксиоматика геометрии. Учебники Киселёва, на мой взгляд, были великолепны. А те школьники, которые этим заинтересовались, могли использовать дополнительную литературу. Я тоже не уверен. Но сейчас, оглядываясь назад, понимаю, что это был единственный достаточно формальный раздел. Единственный, демонстрировавший методологию математики. И, пожалуй, единственный, где это было возможно. Я хочу предложить: давайте примем терминологию «равны» как совместимые, и «совпадающие» как состоящие из одних и тех же точек. И вернемся к задачам: 1) Доказать, что все прямые равны. 2) Доказать, что два луча равны.

Sasha2	22. 11.2006, 10:29
21/06/06 1721	Между прочим, тоже хочу заметить, что в некоторых источниках я встречаю такое устверждение (иногда ее называют ну чтоли аксиомой объемности), а именно: Каждая геометрическая фигура может быть бесчисленным образом перемещена в пространстве без изменения своего внешнего вида совершенно также, как это может быть сделано с обычными твердыми телами. Вот эта аксиома вообщем то меня и устраивает (ну пока на данном типе понимания). Фактически ведь это то же самое как всякое преобразование, сохраняющее расстояния, между любыми двумя точками. И напрягаться особо не надо для сохранения логической связности.

Руст	22.11.2006, 10:36
Заслуженный участник 09/02/06 4370 Москва	Движения, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками, называются движениями без деформации или движениями твёрдого тела. Все они сводятся к переносу и вращению.

незваный гость	22.11.2006, 10:40
Заслуженный участник 17/10/05 3709	Руст писал(а): Движения, сохраняющие расстояния между любыми двумя точками, называются движениями без деформации или движениями твёрдого тела. Все они сводятся к переносу и вращению. Еще и зеркальная симметрия. Другое название — изометрия. Sasha2 писал(а): Каждая геометрическая фигура может быть бесчисленным образом перемещена в пространстве без изменения своего внешнего вида совершенно также, как это может быть сделано с обычными твердыми телами. Звучит уж больно неформально для аксиомы.

Руст	22.11.2006, 11:03
Заслуженный участник 09/02/06 4370 Москва	незваный гость писал(а): 👿 Еще и зеркальная симметрия. Другое название — изометрия. Зеркальная симметрия относится к классу преобразований, сохраняюших расстояния, однако неосуществимо как непрерывное движение.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 13 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Конгруэнтный треугольник — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Cтраница 1

Конгруэнтные треугольники являются, конечно, частным случаем, однако совсем по другим причинам; это особые подмЬожестна множества треугольников. Треугольная пирамида есть частный случай пирамиды, но не то же, что тетраэдр; иначе правильная треугольная пирамида была бы правильным тетраэдром, что, разумеется, неверно. Пожалуй, треугольная пирамида есть пара, состоящая из тетраэдра и одной из его вершин. Впрочем, я думаю, что в традиционной геометрии не пускаются в такие тонкости, ее язык, освященный двухтысячелет-ними традициями, кажется просто незыблемым.  [1]

Его профильной проекцией является конгруэнтный треугольник.  [2]

Разбиваем многоугольник на элементарные треугольники и строим в стороне конгруэнтный треугольник ЛВС, к стороне Л С пристраиваем треугольник ACD, к стороне AD пристраиваем треугольник ADE, и наконец, к стороне АЕ пристраиваем треугольник АЕМ. В результате получим две конгруэнтные фигуры.  [3]

CD, а это и значит, что все грани тетраэдра есть попарно конгруэнтные треугольники.  [4]

Чтобы доказать утверждения I, II, III и IV, соединим центр окружности с вершинами многоугольника, проведем перпендикуляры от центра к сторонам и выберем конгруэнтные треугольники.  [5]

В одной из своих работ, касающихся аксиом евклидовой плоскости, Н. Ф. Четверухин [2] показал, что система аксиом Молерупа ( в которой последний совершенно не пользуется конгруэнтностью углов) может быть получена из группы аксиом конгруэнтности ( Гильберта) при помощи подходяще выбранного определения конгруэнтности углов; если же конгруэнтными углами назвать соответственные — углы двух конгруэнтных треугольников, то, не нарушая системы Гильберта, можно в ней сделать некоторые сокращения.  [6]

Понятие конгруэнтности достаточно наглядно: два треугольника конгруэнтны, если они одинаковой формы и одного размера. Однако дети часто находят трудными те рассуждения с конгруэнтными треугольниками, которые применяются для доказательства теорем.  [7]

Правда, для этого окажется недостаточным ни параллельный сдвиг, совмещающий конгруэнтные треугольники, ни преобразование подобия, растягивающее или сжимающее геометрические фигуры, ни даже проектирование, переводящее окружность в эллипс. Наложить любые две буквы ( 1) друг на друга нам удастся лишь в том случае, если мы их непрерывно деформируем.  [8]

На плоскости V и W основание пирамиды проецируется в отрезки прямых, расположенные на осях ОХ и OY, а боковые, грани — в разные по величине треугольники. Боковые грани, наклоненные к плоскостям V и W под одинаковыми углами, проецируются на них в конгруэнтные треугольники.  [9]

Теперь ясно, что ответ на поставленный вопрос положителен: если многоугольники равновелики, то их равносоставленность может быть установлена при помощи движений, сохраняющих ориентацию. В самом деле, по теореме Бойяи — Гервина можно разбить два равновеликих многоугольника на соответственно конгруэнтные части, а потому — на соответственно конгруэнтные треугольники. Но два конгруэнтных треугольника либо получаются друг пз друга движением, сохраняющим ориентацию, либо же ( как на рис. 40) могут быть разбиты каждый на три части, получающиеся друг из друга движениями, сохраняющими ориентацию.  [10]

Если ребенок знает, что такое ромб или параллелограмм, то он может визуально определить свойства этих фигур. Многие из этих свойств ученики перечислят в свободной беседе: в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, противоположные углы равны, а соседние углы дополняют друг друга до развернутого; диагонали, пересекаясь, делятся пополам; параллелограмм имеет центр симметрии, его можно разложить на конгруэнтные треугольники, равными параллелограммами можно замостить плоскость — вот целая куча визуальных свойств, которые могут быть упорядочены. Я уже разъяснял, как здесь начинается дедуктивное построение; эти свойства не вводятся, а развертываются из локальных начал. Свойства параллелограмма должны быть дедуктивно связаны друг с другом; некоторые должны считаться исходными, из которых выводятся остальные. Так появляются определения; и тогда можно понять, почему квадрат является в то же время и ромбом, а ромб — параллелограммом. Так ребенок учится определениям и узнает, что определение — нечто большее, чем просто описание, что это — средство дедуктивного упорядочения свойств некоторой вещи.  [11]

Существуют еще два способа покрытия плоскости правильными многоугольниками. В одном из них используются правильные конгруэнтные треугольники, причем в каждой вершине сходятся по шесть треугольников, а в другом используются конгруэнтные квадраты, причем в каждой вершине сходятся по четыре квадрата. Из этих трех способов покрытия плоскости покрытие с помощью шестиугольников является наилучшим для упаковки вписанных единичных кругов внутри таких многоугольников. Мы вычислим эффективность такой упаковки, которую обозначим через Е, а также эффективность упаковки единичных кругов в квадраты, которую обозначим через Es, а эффективность упаковки третьего типа оставим в виде упражнения. Рассмотрим задачу упаковки равных кругов радиуса г 1 / 2 на плоскости таким образом, что каждый круг касается шести других кругов, как показано на фиг. Каждый такой круг можно рассматривать как круг, вписанный в правильный шестиугольник с тем же центром; эти шестиугольники заполняют плоскость.  [12]

Не думайте, что геометрия на поверхности шара целиком и полностью отличается от евклидовой. Большинство евклидовых теорем, которые не зависят от идеи параллельных прямых, остаются верными для сферической геометрии. Для нее сохраняются, например, и теория конгруэнтных треугольников, и свойство равенства углов при основании равнобедрещого.  [13]

Следовательно, А АВС Ш А ОаОьО и, конечно, конгруэнтные треугольники имеют одинаковые радиусы описанных вокруг них окружностей. Так как отрезок АР перпендикулярен отрезку OjOc, который параллелен отрезку ВС, то высотами треугольника АВС являются прямые АР, ВР и СР. Поэтому точка Р совпадает с точкой Н ( [ И ], стр.  [14]

Ни одна из перечисленных проблем не подходит для такого построения. Возможно, что допускается вычисление с помощью линейной алгебры пересечения сферы с плоскостью или двух сфер, однако для того, чтобы открыть, что эти пересечения являются окружностями, нужно знать, что такое реальная сфера в реальном пространстве. Разумеется, можно с помощью алгебраического доказательства убедиться, что радиус окружности равен длине стороны вписанного в нее правильного шестиугольника, однако такое доказательство может понравиться лишь тому, кто стремится затемнить все существенное. Линейная алгебра не только совершенно непригодна для того, чтобы открыть возможность замощения плоскости конгруэнтными треугольниками; с ее помощью это утверждение почти невозможно доказать. Можно было бы проиллюстрировать почти на всех разобранных выше примерах, насколько бессильны в них методы линейной алгебры.  [15]

Страницы:      1    2

Что такое Конгруэнтность? Определение, примеры, факты

Значение конгруэнтности

Если две фигуры можно расположить точно друг над другом, они называются конгруэнтными фигурами.

Если вы положите один ломтик хлеба на другой, вы обнаружите, что оба ломтика имеют одинаковую форму и размер.

Термин «конгруэнтный» означает в точности одинаковую форму и размер. Эта форма и размер должны оставаться одинаковыми, даже когда мы переворачиваем, поворачиваем или вращаем фигуры.

Примеры конгруэнтных фигур

Две бабочки, которые имеют одинаковую форму и размер

Два конфеты, которые представляют равную форму и размер

Два кирпичи Lego, которые представляют равную форму и размер

Символ конгресса

. символом — ‘ ≅ ‘

Поскольку конгруэнтность объектов подразумевает одинаковую форму и размер; символ конгруэнтности состоит из двух символов, расположенных один над другим. Есть символ тильда « » , что означает сходство по форме, и «=» , что означает равенство по размеру.

Следовательно, конгруэнтность представлена ​​символом ‘ ≅ ‘

Если два объекта A и B конгруэнтны друг другу, мы запишем это как: A ≅ B

Congruent Lines003 Поскольку конгруэнтность подразумевает одинаковую форму и размер, отрезки будут конгруэнтны, если их форма и размер одинаковы.

Внимательно посмотрите на изображение выше.  

Поскольку AB и PQ являются отрезками прямой, они имеют одинаковую форму. Длина отрезка AB равна 5 см и PQ также равна 5 см. Следовательно, длины обоих отрезков равны друг другу.

Итак, если две или более прямых равны по длине, говорят, что они конгруэнтны друг другу.

Следовательно, отрезки AB и PQ конгруэнтны друг другу.

Следовательно, он будет представлен в виде отрезка AB ≅ отрезка PQ.

Конгруэнтные углы

На приведенной выше диаграмме ∠ ABC = 40 °, , тогда как ∠ PQR = 40 °.

Если мы наложим или перекроем ∠ ABC на ∠ PQR, мы обнаружим, что оба угла равны друг другу.

Согласно правилу, два угла равны, если меры обоих углов равны друг другу.

Следовательно, ∠ ABC ≅ ∠ PQR 

Конгруэнтные окружности

На приведенной выше диаграмме радиус окружности A представлен радиусом OR, тогда как радиус окружности B представлен OP.

Оба круга имеют одинаковую форму и одинаковый размер, так как длина радиусов OR и OP равна 2 см каждый.

Согласно условию конгруэнтности, если радиусы двух окружностей равны по длине, то обе окружности конгруэнтны друг другу. Это также означает, что оба круга можно легко разместить друг над другом.

Таким образом, окружность A конгруэнтна окружности B и может быть записана как окружность A   ≅ окружность B.

Конгруэнтные треугольники

стороны и углы должны быть равны.

Заметим, что:

Сторона AC = EG, AB = EF и BC = FG,

и ∠ A = ∠ E, ∠ B = ∠ F и ∠ C = ∠ G

Следовательно, ABC   ≅ 900 EFG .

Всякий раз, когда два или более треугольника конгруэнтны, их соответствующие стороны и углы также конгруэнтны в соответствии с правилом соответствующих частей конгруэнтных треугольников (CPCT),

Разница между конгруэнтными рисунками и аналогичными рисунками

. Значительная разница между конгруэнтными рисунками и аналогичными рисунками состоит в том, что:

99999999

Конгресс фиг.

Похожие фиг.

Похожие рисунки

. углы и длины соответствующих сторон равны между собой.

На двух похожих фигурах формы выглядят одинаково. Это потому, что соответствующие углы равны. Однако длины соответствующих сторон не равны друг другу.

Согласно приведенной выше диаграмме, конгруэнтные фигуры представлены ABC и DEF, тогда как аналогичные фигуры представлены MNO и XYZ

Что касается конгруэнтных фигур, EF,

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E и ∠ C = ∠ F

Следовательно, ABC ≅  DEF, так как соответствующие углы и длины соответствующих сторон равны друг другу.

Принимая во внимание, что в отношении аналогичных фигур.

Равны только углы, которые равны ∠ M = ∠ X, ∠ N = ∠ Y и ∠ O = ∠ Z. 

Длины соответствующих сторон не равны друг другу.

Следовательно, MNO и XYZ подобны друг другу.

Однако они не конгруэнтны друг другу.

Решенные примеры

Пример 1. Два угла ∠ ABC и ∠ XYZ равны друг другу?

Решение:

Мера ∠ ABC = 40° и ∠ XYZ = 60°.

По правилу два угла равны, если величины обоих углов равны друг другу.

Мера ∠ ABC не равна мере ∠ XYZ.

Следовательно, ∠ ABC не конгруэнтно ∠ XYZ.

Пример 2: Два треугольника MNO и XYZ равны. Укажите соответствующие стороны и углы, которые будут равны.

Решение:

Дано, ∆MNO ≅ ∆XYZ

Согласно CPCT все три соответствующие стороны и углы конгруэнтных треугольников ∆MNO и ∆XYZ будут равны друг другу.

Следовательно,

MN = XY

NO = YZ

MO = XZ

также,

TM = ♂ x, T = потряно ниже фигуры похожи или конгруэнтны друг другу?

На приведенной выше диаграмме длина радиуса OL равна 2 см, тогда как OM равна 1 см.

Чтобы две окружности были конгруэнтны друг другу, длина радиуса обеих окружностей должна быть равна друг другу.

Следовательно, обе окружности подобны друг другу, но не конгруэнтны друг другу.

Заключение

Мы понимаем, что одинаковые формы и размеры называются конгруэнтными в геометрии. В конгруэнтных фигурах форма и размер должны оставаться одинаковыми, когда мы переворачиваем, поворачиваем или даже вращаем фигуры. И в конгруэнтной форме две фигуры могут быть размещены друг над другом.

С помощью SplashLearn ваш ребенок может в увлекательной форме изучить эту главу с помощью решенных примеров. SplashLearn является лучшей и самой надежной платформой для каждого ребенка, чтобы укрепить основы математики вашего ребенка. Эта образовательная онлайн-платформа делает обучение легким и увлекательным для вашего ребенка.

CTA

Вы ищете образовательную онлайн-платформу, которая одновременно является развлекательной и образовательной? Вы хотите, чтобы ваш ребенок изучал и практиковал математику, развлекаясь? Тогда не ждите слишком долго!

Зарегистрируйтесь в SplashLearn и повысьте уверенность своего ребенка в изучении математики.

Практические задачи

1 Найдите неверный ответ в случае двух конгруэнтных фигур. Конгруэнтные фигуры равны по размеру Конгруэнтные фигуры могут накладываться друг на друга Конгруэнтные фигуры не равны по форме Конгруэнтные фигуры можно поворачивать Правильный ответ: Конгруэнтные фигуры не равны по форме Ответ III. Конгруэнтные фигуры равны и по форме. 2 В случае двух конгруэнтных треугольников △ABC и △MNO, если угол A равен 55°, какова мера угла M, когда он соответствует углу A? 65° 55° 40° Ничего из вышеперечисленного Правильный ответ: 55° Ответ II, 55°. В случае двух равных треугольников соответствующие углы равны. △ABC и △MNO, если угол A равен 55°, угол M также будет равен 55°. 3 Если △ABC ≅ △PQR, то какой угол будет равен ∠ R? ∠B ∠C ∠A Ничего из вышеперечисленного Правильный ответ: ∠C Правильный ответ II. Если △ABC ≅ △PQR, то угол C будет равен соответствующему углу R.

Часто задаваемые вопросы

Когда можно сказать, что две фигуры равны?

Две фигуры можно назвать конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

Могут ли конгруэнтные фигуры быть разных размеров?

Нет, конгруэнтные фигуры не могут иметь разные размеры. Вместо этого фигуры называются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер. Фигуры одинаковой формы и разных размеров называются подобными.

Все ли конгруэнтные фигуры подобны?

Да, все конгруэнтные фигуры подобны.

Могут ли конгруэнтные формы или фигуры быть зеркальными отображениями?

Да, конгруэнтные фигуры можно рассматривать как зеркальные отражения, поскольку они имеют одинаковую форму и одинаковый размер.

Имеют ли конгруэнтные круги одинаковый диаметр?

Известно, что две окружности конгруэнтны, если их радиусы равны друг другу. Длина диаметра в два раза больше радиуса. Следовательно, конгруэнтные окружности имеют одинаковый диаметр.

Могут ли звезды быть конгруэнтными?

Две звезды могут считаться конгруэнтными только в том случае, если они обе имеют одинаковую форму и размер, даже если они перевернуты, повернуты или наложены друг на друга.

Конгруэнтные треугольники

Треугольники, имеющие одинаковые размеры и форму, называются конгруэнтными треугольниками. Символ конгруэнтности ≅. Два треугольника равны, если три стороны и три угла одного треугольника имеют те же размеры, что и три стороны и три угла другого треугольника. Треугольники на рисунке 1 являются конгруэнтными треугольниками.

Рисунок 1  Конгруэнтные треугольники.

Соответствующие детали

Части двух треугольников, имеющие одинаковые размеры (конгруэнтные), называются соответствующими частями. Это означает, что соответствующих частей конгруэнтных треугольников конгруэнтны (CPCTC). Конгруэнтные треугольники называются путем перечисления их вершин в соответствующем порядке. На рисунке Δ BAT ≅ Δ ICE .

Пример 1: Если Δ PQR ≅ Δ STU , какие детали должны иметь одинаковые размеры?

Эти части равны, потому что соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны.

Тесты на конгруэнтность

Чтобы показать, что два треугольника конгруэнтны, нет необходимости доказывать, что все шесть пар соответствующих частей равны. Следующие постулаты и теоремы являются наиболее распространенными методами доказательства конгруэнтности (или равенства) треугольников.

Постулат 13 (Постулат SSS): Если каждая сторона одного треугольника конгруэнтна соответствующей стороне другого треугольника, то треугольники конгруэнтны (рис. 2).

                                             

Рисунок 2  Соответствующие стороны (SSS)  двух треугольников конгруэнтны.

Постулат 14 (постулат SAS): Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 3).

Рисунок 3  Две стороны и угол между ними (SAS)  одного треугольника равны

соответствующих частей другого треугольника.

Постулат 15 (Постулат АСА): Если два угла и сторона между ними в одном треугольнике конгруэнтны соответствующим частям в другом треугольнике, то такие треугольники конгруэнтны (рис. 4).

Рисунок 4  Два угла и их общая сторона  (ASA)  в одном треугольнике конгруэнтны

соответствующих частей другого треугольника.

Теорема 28 (Теорема ААС): Если два угла и сторона, не заключенная между ними в одном треугольнике, конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны (рис. 5).

Рисунок 5  Два угла и сторона, противолежащая одному из этих углов  (ААС)  в одном треугольнике

равны соответствующим частям другого треугольника.

Постулат 16 (постулат HL): Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 6).

Рис. 6 Гипотенуза и катет (HL) первого прямоугольного треугольника равны

соответствующих частей второго прямоугольного треугольника.

Теорема 29 (Теорема HA): Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 7).

Рисунок 7  Гипотенуза и острый угол  (HA)  первого прямоугольного треугольника равны

к соответствующим частям второго прямоугольного треугольника.

Теорема 30 (Теорема LL): Если катеты одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники конгруэнтны (рис. 8).

Рисунок 8  Катеты  (LL)  первого прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям

второго прямоугольного треугольника.

Теорема 31 (Теорема LA): Если один катет и острый угол одного прямоугольного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники конгруэнтны (рис. 9).

Рисунок 9  Одна сторона и острый угол  (LA) первого прямоугольного треугольника конгруэнтны

соответствующих частей второго прямоугольного треугольника.

Пример 2: Основываясь на маркировке на рисунке 10, завершите оператор сравнения Δ ABC ≅Δ .

Рисунок 10  Конгруэнтные треугольники.

Δ YXZ , потому что A соответствует Y, B соответствует X и C соответствует Z .

Пример 3: Каким методом будет доказана конгруэнтность каждого из треугольников на рисунках с 11 (а) по 11 (i)?

Рисунок 11  Методы доказательства конгруэнтности пар треугольников.

• (а) САС.

• (б) Нет. Метода AAA не существует.

• (с) HL.

• (г) ААС.

• (e) ССС. Третья пара конгруэнтных сторон — это сторона, которая является общей для двух треугольников.

• (f) SAS или LL.

• (г) LL или SAS .

• (h) HA или AAS.

• (i) Нет. Метода SSA не существует.

Пример 4: Назовите дополнительные равные соответствующие части, необходимые для доказательства конгруэнтности треугольников на рисунках с 12 (a) по 12 (f) согласно указанному постулату или теореме.