На это сложить или умножить: РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Правила умножения числа на ноль

Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда. Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.

Содержание:

Правила умножения любого числа на ноль

Что такое ноль

Из истории

Какие действия в математике можно выполнять с нулём

Умножение на ноль, правило математики

Деление на ноль, правило математики

Подведём итоги

Всем нам в школе учителя прочно вбили в голову простейшее правило: «Любое число, умноженное на ноль, равняется нулю!». И все мы хорошо его запомнили и применяем в жизни, не задаваясь вопросом: «Почему?». Но вот мы выросли, у нас появились дети, и пришло время объяснять им те самые простейшие правила так, чтобы было понятно и запомнилось навсегда.

Как это сделать? Какие слова подобрать? Будем разбираться.

Что такое ноль

Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Число 0 занимает особое место в математике, даже несмотря на то, что оно буквально означает «ничто», «пустота». Ноль — это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех цифр, стоящих левее, на разряд — десяток, сотню и так далее. Например, если рядом с 5 ставим 0, получаем 50, если рядом с 50 ставим 0, получаем 500. А ещё ноль — это число, отделяющее положительные цифры от отрицательных на числовой прямой. Сам ноль при этом знака + / — не имеет.  

Какие действия в математике можно выполнять с нулём

С нулём выполняются все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. При выполнении сложения и вычитания с нулём обычно проблем и сложностей не возникает. Здесь всё просто. 

Если к любому числу добавить 0, это означает, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй.

‍

 

‍

То же самое будет, если отнять ноль. 

Если ноль разделить на любое ненулевое число, то в результате тоже получится ноль. 

А вот операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на 0 получается 0. Именно умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в нём содержатся некоторые нюансы. А заодно поговорим немного и о делении на ноль.

Умножение на ноль, правило математики

Чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел друг на друга, нужно для начала понять определение умножения в целом. Умножение — одно из основных действий в математике. Умножение — это арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз. В этом действии участвуют два составляющих компонента — множимое и множитель. Результат их умножения называют произведением. То есть для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.        

                            a ⋅ b = a + a + … + a} b

Так, пример 4 х 3 = 12 можно заменить следующим выражением: 4 + 4 + 4 = 12. То есть число 4 было взято 3 раза. 

А можно ли умножать на ноль? Можно, только это бессмысленно и бесполезно. Ведь ноль — это ничто, пустота. А какой смысл умножать на пустоту? Тут, как ни крути, всё равно будет получаться ноль. 

Как на примере объяснить это правило детям? Попробуем вот так:

‍

• если съесть пять раз по два яблока, получится 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, то есть в итоге будет съедено 10 яблок;
• если съесть по два яблока трижды, получится 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6, в итоге будет съедено 6 яблок;
• если съесть по два яблока ноль раз, то 2 * 0 = 0 * 2 = 0 + 0 = 0, в итоге не съедено ни одного яблока.

Ведь съесть ноль раз — это означает не съесть ни одного. Ноль — это ничего, а когда у вас нет ничего, то на сколько его ни умножай, всё равно будет ноль.

Правда, иногда выдвигаются следующие возражения: предположим, у человека в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся у него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Да, яблоки действительно из руки никуда не денутся. Но ведь в примере мы считаем именно съеденные яблоки, то есть те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке человека. А в последнем случае они туда не попали. Поэтому человек съел ноль яблок. 

Итак, основное правило гласит: при умножении числа на ноль и при умножении нуля на число в ответе всегда будет получаться ноль.

a ⋅ 0 = 0

0 ⋅ a = 0

Это правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел: положительных, отрицательных, целых, дробей, разрядных, рациональных, иррациональных. В любом случае произведение будет нулевым.

Для лучшего запоминания правила приведём примеры умножения на ноль:

0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0

0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

756 ⋅ 0 = 0

293 ⋅ 0 = 0

Деление на ноль, правило математики

А что же с делением на 0? Мы со школы помним правило: на ноль делить нельзя. Все это заучивают, не требуя лишних доказательств. Нельзя так нельзя. Большинство людей действительно не делит на ноль только исходя из этого правила, не пытаясь найти ответ, по которому станет понятен этот запрет. А почему, собственно, нельзя? 

Деление в математике — действие, обратное умножению, также состоящее из двух компонентов — делимого и делителя. Результат деления называют частным. Также иногда результат деления называют отношением. Если умножение для натуральных чисел заменяет многократное сложение, то, соответственно, деление будет заменять многократное вычитание.

Чтобы было понятнее, рассмотрим на примерах.

• Разделим число 8 на число 2 (8 : 2). Из действия вычитания мы находим, что число 2 содержится в 8 четыре раза. В данном случае 8 — делимое, 2 — делитель, 4 — частное.
• Теперь разделим 0 на 2 (0 : 2). Чтобы 0 разделить на 2, надо найти число, при умножении которого на 2 получится 0. Это ноль, так как 0 ⋅ 2 = 0. Значит, 0 ⋅ 2 = 0. При делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. 
• А теперь попробуем разделить 4 на 0 (4 : 0). Данное выражение можно представить и в виде уравнения: 0 ⋅ x = 4. Следовательно, чтобы разделить 4 на ноль, необходимо найти такое число, при умножении на которое получится 4, а это невозможно исходя из того, что мы выяснили ранее.

Следовательно, делить на 0 нельзя, так как такого числа, при умножении которого на ноль получится 4, не существует. И всё-таки лучше всего это правило просто запомнить и никогда не нарушать. Для лучшего запоминания предложите своему ребёнку выучить небольшое стихотворение:

Расскажу тебе, позволь, 

Чтобы не делил на 0! 

Режь 1, как хочешь, вдоль, 

Только не дели на 0!

Таким образом, с нулём возможно совершать любые арифметические действия: прибавлять и вычитать любые числа, умножать на значения, не равные нулю, возводить в степень, не равную нулю. Единственное ограничение — ноль не может быть делителем для любого действительного числа. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.

Подведём итоги

Итак, сегодня мы выяснили, что за цифра такая — ноль. Мы узнали историю её возникновения. А также разобрались, чем отличается умножение числа на 0 от умножения других чисел друг на друга, а также почему на ноль нельзя делить. Чтобы закрепить полученные новые знания, важно отработать их на практике. Поэтому для закрепления и лучшего запоминания предложите своему ребёнку решить примеры:

7 * 0 

15 * 0

0 * 9

0 * 346

72 : 9 * 0

Конечно же, во всех этих примерах ответ будет 0:

7 * 0 = 0

15 * 0 = 0

0 * 9 = 0

0 * 346 = 0

72 : 9 * 0 = 0

Закрепляем тему «Умножение на ноль»

Закрепить эту и многие другие изученные темы по математике можно на образовательной платформе iSmart. С помощью онлайн-тренажёров дети в  увлекательной форме наработают вычислительную беглость в решении примеров с умножением на ноль.  

Вот так, например, выглядят задания для второго класса:

А так выглядит сам каталог заданий по математике образовательной платформы iSmart: 

Образовательная платформа iSmart разработана учителями и специалистами в области детской психологии в соответствии с требованиями ФГОС. Она предлагает программы подготовки по всем изучаемым в школе предметам, пакеты заданий для подготовки к контрольным работам, тестам, ВПР, олимпиадам, а также изучение дополнительных предметов, не вошедших в школьную программу.

Регистрируйте своего ребёнка и начинайте заниматься прямо сейчас!

‍

Умножение одночленов и многочленов | Математика

Если числа обозначены различными буквами, то можно лишь обозначить из произведение; пусть, напр., надо число a умножить на число b, – мы можем это обозначить или a ∙ b или ab, но не может быть и речи о том, чтобы как-нибудь выполнить это умножение. Однако, когда имеем дело с одночленами, то, благодаря 1) присутствию коэффициентов и 2) тому обстоятельству, что в состав этих одночленов могут входить множители, обозначенные одинаковыми буквами, является возможность говорить о выполнении умножения одночленов; еще шире такая возможность при многочленах. Разберем ряд случаев, где возможно выполнять умножение, начиная с простейшего.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями. Пусть, напр., требуется a³ ∙ a⁵. Напишем, зная смысл возведения в степень, то же самое подробнее:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Рассматривая эту подробную запись, мы видим, что у нас написано a множителем 8 раз, или, короче, a⁸. Итак, a³ ∙ a⁵ = a⁸.

Пусть требуется b⁴² ∙ b²⁸. Пришлось бы написать сначала множитель b 42 раза, а затем опять множитель b 28 раз – в общем, получили бы, что b берется множителем 70 раз. т. е. b⁷⁰. Итак, b⁴² ∙ b²⁸ = b⁷⁰. Отсюда уже ясно, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без перемены, а показатели степеней складываются. Если имеем a⁸ ∙ a, то придется иметь в виду, что у множителя a подразумевается показатель степени 1 («a в первой степени»), – следовательно, a⁸ ∙ a = a⁹.

Примеры: x ∙ x³ ∙ x⁵ = x⁹; a¹¹ ∙ a²² ∙ a³³ = a⁶⁶; 3⁵ ∙ 3⁶ ∙ 3 = 3¹²; (a + b)³ ∙ (a + b)⁴ = (a + b)⁷; (3x – 1)⁴ ∙ (3x – 1) = (3x – 1)⁵ и т. д.

Иногда приходится иметь дело со степенями, показатели которых обозначены буквами, напр., xn (x в степени n). С такими выражениями надо привыкнуть обращаться. Вот примеры:

Поясним некоторые из этих примеров: b^{n – 3} ∙ b⁵ надо основание b оставить без перемены, а показатели сложить, т. е. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Конечно, подобные сложения должно научиться выполнять быстро в уме.

Еще пример: x^{n + 2} ∙ x^{n – 2}, – основание x надо оставить без перемены, а показатель сложить, т. е. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Можно выше найденный порядок, как выполнять умножение степеней с одинаковыми основаниями, выразить теперь равенством:

a^m ∙ aⁿ = a^{m + n}

2. Умножение одночлена на одночлен. Пусть, напр., требуется 3a²b³c ∙ 4ab²d². Мы видим, что здесь обозначено точкою одно умножение, но мы знаем, что этот же знак умножения подразумевается между 3 и a², между a² и b³, между b³ и c, между 4 и a, между a и b², между b² и d². Поэтому мы можем здесь видеть произведение 8 множителей и можем перемножить их любыми группами в любом порядке. Переставим их так, чтобы коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями оказались рядом, т. е.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Тогда мы сможем перемножить 1) коэффициенты и 2) степени с одинаковыми основаниями и получим 12a³b5cd².

Итак, при умножении одночлена на одночлен мы можем перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, а остальные множители приходится переписывать без изменения.

Еще примеры:

3. Умножение многочлена на одночлен. Пусть надо сначала какой-нибудь многочлен, напр., a – b – c + d умножить на положительное целое число, напр. , +3. Так как положительные числа считаются совпадающими с арифметическими, то это все равно, что (a – b – c + d) ∙ 3, т. е. a – b – c + d взять 3 раза слагаемым, или

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

т. е. в результате пришлось каждый член многочлена умножить на 3 (или на +3).

Отсюда вытекает:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

т. е. пришлось каждый член многочлена разделить на (+3). Также, обобщая, получим:

и т. п.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на положительную дробь, напр., на +. Это все равно, что умножить на арифметическую дробь , что значит взять части от (a – b – c + d). Взять одну пятую часть от этого многочлена легко: надо (a – b – c + d) разделить на 5, а это уже умеем делать, – получим . Остается повторить полученный результат 3 раза или умножить на 3, т. е.

В результате мы видим, что пришлось каждый член многочлена умножить на или на +.

Пусть теперь надо (a – b – c + d) умножить на отрицательное число, целое или дробное,

т. е. и в этом случае пришлось каждый член многочлена умножить на –.

Таким образом, какое бы ни было число m, всегда (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Так как каждый одночлен представляет собою число, то здесь мы видим указание, как умножать многочлен на одночлен – надо каждый член многочлена умножить на этот одночлен.

4. Умножение многочлена на многочлен. Пусть надо (a + b + c) ∙ (d + e). Так как d и e означают числа, то и (d + e) выражает какое-либо одно число.

Поэтому

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(мы можем объяснить это и так: мы вправе d + e временно принять за одночлен).

Далее, выполняя ряд полученных умножений (одночлена на многочлен), получим:

= ad + ae + bd + be + cd + ce

В этом результате можно изменить порядок членов.

Получим:

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

т. е. для умножения многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Удобно (для этого и был выше изменен порядок полученных членов) умножить каждый член первого многочлена сперва на первый член второго (на +d), затем на второй член второго (на +e), затем, если бы он был, на третий и т. д.; после этого следует сделать приведение подобных членов.

В этих примерах двучлен умножается на двучлен; в каждом двучлене члены расположены по нисходящим степеням буквы, общей для обоих двучленов. Подобные умножения легко выполнять в уме и сразу писать окончательный результат.

Напр.:

От умножения старшего члена первого двучлена на старший член второго, т. е. 4x² на 3x, получим 12x³ старший член произведения – ему подобных, очевидно, не будет. Далее мы ищем, от перемножения каких членов получатся члены с меньшею на 1 степенью буквы x, т. е. с x². Легко видим, что такие члены получатся от умножения 2-го члена первого множителя на 1-й член второго и от умножения 1-го члена первого множителя на 2-ой член второго (скобки внизу примера это указывают). Выполнить эти умножения в уме и выполнить также приведение этих двух подобных членов (после чего получим член –19x²) – дело нетрудное. Затем замечаем, что следующий член, содержащий букву x в степени еще на 1 меньшей, т. е. x в 1-ой степени, получится только от умножения второго члена на второй, и ему подобных не будет.

Еще пример: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Также в уме легко выполнять примеры, вроде следующего:

Старший член получается от умножения старшего члена на старший, ему подобных членов не будет, и он = 2a³. Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a² – от умножения 1-го члена (a²) на 2-ой (–5) и от умножения второго члена (–3a) на 1-ый (2a) – это указано внизу скобками; выполнив эти умножения и соединив полученные члены в один, получим –11a². Затем ищем, от каких умножений получатся члены с a в первой степени – эти умножения отмечены скобками сверху. Выполнив их и соединив полученные члены в один, получим +11a. Наконец, замечаем, что младший член произведения (+10), вовсе не содержащий a, получается от перемножения младшего члена (–2) одного многочлена на младший член (–5) другого.

Еще пример: (4a³ + 3a² – 2a) ∙ (3a² – 5a) = 12a⁵ – 11a⁴ – 21a³ + 10a².

Из всех предыдущих примеров мы также получим общий результат: старший член произведения получается всегда от перемножения старших членов множителей, и подобных ему членов быть не может; также младший член произведения получается от перемножения младших членов множителей, и подобных ему членов также быть не может.

Остальным членам, получаемым при умножении многочлена на многочлен, могут быть подобные, и может даже случиться, что все эти члены взаимно уничтожатся, а останутся лишь старший и младший.

Вот примеры:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a⁴ – b⁴ (пишем только результат)
(x⁴ – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x⁵ + 1 и т. п.

Эти результаты достойны внимания и их полезно запомнить.

Особенно важен следующий случай умножения:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
или (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
или (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 и т. п.

Во всех этих примерах, применяясь к арифметике, мы имеем произведение суммы двух чисел на их разность, а в результате получается разность квадратов этих чисел.

Если мы увидим подобный случай, то уже нет нужды выполнять умножение подробно, как это делалось выше, а можно сразу написать результат.

Напр., (3a + 1) ∙ (3a – 1). Здесь первый множитель, с точки зрения арифметики, есть сумма двух чисел: первое число есть 3a и второе 1, а второй множитель есть разность тех же чисел; потому в результате должно получиться: квадрат первого числа (т. е. 3a ∙ 3a = 9a²) минус квадрат второго числа (1 ∙ 1 = 1), т. е.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Также

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 и т. п.

Итак, запомним

(a + b) (a – b) = a² – b²

т. е. произведение суммы из двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Умножение показателей — Правила | Умножение показателей

Перемножение двух членов с показателями степени называется умножением показателей степени . Умножение показателей степени включает определенные правила в зависимости от основания и мощности. Иногда нам нужно умножать отрицательные показатели или умножать показатели с одинаковым основанием или с разными основаниями. Во всех этих случаях мы следуем разным правилам. Давайте узнаем больше об умножении показателей в этой статье.

1.	Что такое умножение показателей?
2.	Умножение показателей степени с одинаковым основанием
3.	Умножение показателей степени с разным основанием
4.	Часто задаваемые вопросы по умножению показателей

Что такое умножение показателей?

Прежде чем исследовать концепцию умножения показателей степени, давайте вспомним значение показателей степени. Показатель степени можно определить как количество раз, когда величина умножается сама на себя. Например, когда 2 умножается трижды само на себя, это выражается как 2 × 2 × 2 = 2 ³ . Здесь 2 — это основание , а 3 — степень или показатель степени . Читается как «2 в степени 3».

Теперь давайте обсудим, что означают показатели степени умножения. Когда любые два члена с показателями умножаются, это называется умножением показателей. Давайте рассмотрим различные случаи с помощью примеров, чтобы лучше понять концепцию.

Умножение показателей степени с одинаковым основанием

Рассмотрим два термина с одинаковым основанием, то есть ^н

и ^м . Здесь основание равно «а». При перемножении членов с одинаковым основанием степени складываются, т. е. a ^m × a ⁿ = a ^{m+n}

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как добавляются силы.

Пример 1: Умножить 2 ⁴ × 2 ²

Решение: Здесь основание то же, то есть 2. По правилу сложим степени, 2 ⁴ × 2 ² = 2 ⁽⁴⁺²⁾ = 2 ⁶ = 64.

Проверим ответ. 2 ⁴ × 2 ² = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ⁶ = 64

Пример 2: Найдите произведение 10 ⁴⁵ и 10 ³⁹

Решение: В данном вопросе основание одно и то же, то есть 10. По правилу сложим степени, 10

45 × 10 ³⁹ = 10 ^(45+39) = 10 ⁸⁴ .

Будет ли правило оставаться прежним, если базы будут другими? Давайте посмотрим на это в следующем разделе.

Умножение показателей степени с разным основанием

Когда два числа или переменные имеют разное основание, мы можем умножать выражения, следуя некоторым основным правилам возведения в степень. Здесь у нас есть два сценария, как указано ниже.

Когда базы разные, а силы одинаковые.

Рассмотрим два выражения с разными основаниями и одинаковой степенью a ⁿ и b ⁿ . Здесь основания равны a и b, а мощность равна n. При умножении показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями сначала умножаются основания. Это можно записать математически как ⁿ × b ⁿ = (a × b)

n

Пример: Найдите произведение 5 ² и 8 ²

5 Решение:0004 Здесь базы разные, а силы одинаковые. Итак, применяя правило, мы сначала умножим основания, то есть 5 ² × 8 ² = (5 × 8) ² = 40 ² = 1600

Когда основания и степени разные.

Рассмотрим два выражения с разными основаниями и степенями a ⁿ и b ^m . Здесь основаниями являются a и b. Степени равны n и m. При перемножении выражений с разными основаниями и разной степенью каждое выражение вычисляется отдельно, а затем перемножается. Это может быть записано математически как ^N × B ^M = (A ^N ) × (B ^M )

Пример: Multiply Экспрессии: 10 ³ × 7 ²

. базы и полномочия разные. Поэтому каждое условие будет решаться отдельно. 10

3 × 7 ² = 1000 × 49 = 49000.

Вспомним правила умножения показателей степени с одинаковым основанием и с разными основаниями на следующем рисунке.

Умножение отрицательных показателей

Отрицательные показатели говорят нам, сколько раз нам нужно умножить обратное основание. Другими словами, мы можем преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, написав обратную величину данного члена, а затем мы можем решить его как положительный член. Например, 2 ^-3 можно записать как 1/2 ³ . Для умножения отрицательных показателей нам необходимо следовать определенным правилам, которые приведены в следующей таблице.

Чемоданы	Правила
Когда базы одинаковые.	a -n × a -m = a -(n+m) = 1/a {n+m}
Когда основания разные, а отрицательные степени одинаковы.	a -n × b -n = (a × b) -n = 1/(a × b) n
Когда основания и отрицательные степени различны.	а -n × b -m = (a -n ) × (b -m )

Теперь давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.

Пример 1: Найдите произведение 2 ^-3 и 2 ^-9

Решение: Здесь одно и то же основание, то есть 2. Степени отрицательны и различны. Таким образом, 2 ^-3 × 2 ^-9 = 2 ^-(3+9) = 2 ^-12 = 1/2 ¹² = 1/4096 ≈ 0,000244

Пример 2: Умножение 6 ^-3 × 3 ^-3

Раствор: Здесь, базовые и различные, а также -это отличные, а также -это различные, а также -и отрицательные силы одинаковы. Таким образом, 6 ^-3 × 3 ^-3 = (6 × 3) ^-3 = 18 ^-3 = 1/18 ³ = 1/5832 ≈ 0,0001715

Пример 7 ^-2 × 6 ^-3

Решение: Здесь разные основания и отрицательные степени. Таким образом, 7 ^-2 × 6 ^-3 = 1/7 ² × 1/6 ³ = 1/(7 ² × 6 ³ ) ≈ 9.45 × 10 ^-5

. with Variables

Если основанием термина является переменная, мы используем те же правила умножения степени, что и для чисел.

Когда основания переменных одинаковы, степени складываются.

Пример: Найдите произведение ⁴ и ¹⁰

Решение: Переменное основание такое же, то есть «а». Итак, мы сложим показатели: .

Пример: Умножить a ¹⁷ × b ¹⁷

Решение: Переменные основания разные, а степени одинаковые, то есть a ¹⁷ × b ¹⁷ = (a × b) ¹⁷ = (ab) ¹⁷

Когда переменные основания и степени различны, члены вычисляются отдельно, а затем перемножаются.

Пример: Найдите произведение x ⁸ и y ⁹ .

Решение: Переменные основания и степени разные, то есть x ⁸ × y ⁹ = x ⁸ y ⁹

Умножение показателей степени с квадратным корнем

В этом разделе мы рассмотрим умножение показателей степени, где основания имеют квадратный корень. Следует отметить, что правила экспоненты остаются теми же, если основаниями являются квадратные корни.

Помимо этого, следует помнить один важный момент: мы можем преобразовать радикалы в рациональные показатели, а затем умножить данные выражения. Например, квадратный корень из положительного числа √a можно выразить в виде рационального показателя следующим образом. √а = а ^1/2 . Теперь, когда нам нужно переписать данный экспоненциальный член как рациональный показатель, мы умножаем существующую степень на 1/2. Например, если нам нужно перепишем √5 ³ как рациональный показатель, мы сначала преобразуем радикал √5 в 5 ^1/2 , затем умножим степень 3 на 1/2, что составит 3/2. Теперь радикал √5 ³ преобразуется в рациональный показатель и записывается как 5 ^3/2 .

Правила умножения показателей степени с квадратным корнем

Теперь давайте воспользуемся правилами умножения показателей степени, применимыми к выражениям, в которых основанием являются квадратные корни.

Когда основания квадратного корня совпадают, степени складываются.

Пример: Найдите произведение (√5) ² и (√5) ⁷ .

Решение: Основания квадратного корня одинаковы. Таким образом, (√5) ² × (√5) ⁷ = (√5) ²⁺⁷ = (√5) ⁹ = (5) ^{1/2 × 9} = (5) ^9/2

Если основания квадратного корня разные, а степени одинаковые, сначала умножаются основания.

Пример: Умножить (√5) ³ × (√7) ³

Решение: Основания квадратного корня разные, а степени одинаковые. Таким образом, (√5) ³ и (√7) ³ = (√5 × √7) ³ = [√(5×7)] ³ = (√35) ³ = ( 35) ^3/2

Когда основания квадратного корня и степени различаются, показатели степени оцениваются отдельно, а затем перемножаются.

Пример: Найдите произведение (√5) ³ и (√7) ⁴

Решение: Основания квадратного корня и степени различны. Таким образом, (√5) ³ × (√7) ⁴ = 11,18 × 49 ≈ 547,82

Правила умножения показателей степени на дроби

Если основанием выражения является дробь, возведенная в степень, мы используйте те же правила экспоненты, которые используются для оснований, являющихся целыми числами. Обратите внимание на следующую таблицу, чтобы увидеть различные сценарии.

Чемоданы	Правила
Когда основания дробей одинаковы.	(а/б) н × (а/б) м = (а/б) н+м
Когда основания дробей разные, а степени одинаковые.	(a/b) n × (c/d) n = (a/b × c/d) n
Когда основания дробей и степени разные.	(a/b) n × (c/d) m = (a n × c m )/(b n × d m )

Давайте рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы лучше понять это.

Пример 1: Найдите произведение (2/3) ² и (15/8) ²

Решение: Здесь основания дробей разные, но степени одинаковы. Таким образом, применяя указанное выше правило, (2/3)

2 × (15/8) ² = (2/3 × 15/8) ² = (5/4) ² = 5 ² /4 ² = 25/16

5 Пример 2: Умножить (2/3) ² × (2/3) ⁵

Решение: Здесь основания дробей одинаковы. (2/3) ² × (2/3) ⁵ = (2/3) ²⁺⁵ = Таким образом, (2/3) ⁷ = 2 ⁷ /3 ⁷ = 128/2187.

Пример 3: Умножить (3/4) ² × (2/3) ³

Решение: Здесь дробные основания и степени разные. Итак, сначала будем решать каждое слагаемое отдельно, а потом двигаться дальше. (3/4) ² × (2/3) ³ = Таким образом, (3 ² × 2 ³ )/(4 ² × 3 ³ ) = (9 × 8)/ (16 × 27) = 1/6.

Как умножать дробные степени?

Когда термин имеет дробную степень, он называется дробным показателем. Например, 2 ^3/5 — дробная экспонента. Давайте разберемся с правилами, применяемыми для умножения дробных показателей, с помощью следующей таблицы.

Чемоданы	Правила
Когда базы одинаковые.	а н/м × а к/й = а н/м+к/й
Когда основания разные, но дробные степени одинаковы.	a н/м × b н/м = (a×b) н/м
Когда основания и дробные степени разные.	а н/м × b к/дж = (а н/м ) × (б к/дж )

Давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.

Пример 1: Умножить 2 ^1/2 и 2 ^3/2

Решение: Здесь базы одинаковые. Таким образом, 2 ^1/2 × 2 ^3/2 = 2 ^1/2+3/2 = 2 ^4/2 = 2 ² = 4

Пример 2: 90 числа 2 ^1/2 и 3 ^1/2

Решение: Здесь основания разные, но дробные степени одинаковы. Таким образом, 2 ^1/2 × 3 ^1/2 = (2×3) ^1/2 = 6 ^1/2 = √6

Пример 3: Умножьте 4 ^2/3 × 2 ^1/3

Решение: Здесь основания и дробные степени разные. Таким образом, 4 ^2/3 × 2 ^1/3 ≈ 2,52 × 1,26 = 3,1752

Советы по умножению показателей степени:

• Ноль в любой степени (кроме 0) равен 1,77.
• Любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1.
• Показатель степени — это способ выражения многократного умножения.

☛ Похожие темы

• Экспоненциальные уравнения
• Иррациональные Показатели
• Экспоненциальная функция
• Операции с экспоненциальными членами

Часто задаваемые вопросы по умножению показателей степени

Как работает умножение показателей степени?

Умножение показателей означает нахождение произведения двух членов, имеющих показатели степени. Поскольку существуют разные сценарии, такие как разные базы или разные силы, для их решения применяются разные правила экспоненты. Ниже приведены некоторые основные правила, которые используются почти во всех случаях.

• При умножении членов с одинаковым основанием степени складываются, т.е. a ^m × a ⁿ = a ^(m+n)
• Чтобы умножить члены с разными основаниями и одинаковыми степенями, сначала умножаются основания. Математически это можно записать как
• При перемножении терминов с разными основаниями и разной степенью каждый термин оценивается отдельно, а затем перемножается. можно записать как ⁿ × b ^м = (a ⁿ ) × (b ^м )

Можно ли умножать показатели степени с разными коэффициентами?

Да, выражения с разными коэффициентами можно перемножать. Коэффициенты умножаются отдельно, как показано в примере. Например, 3a ² × 4a ³ = (3 × 4) × (a ² × a ³ ) = 12a ⁵ .

При умножении степеней вы складываете степени?

При перемножении показателей степени с одинаковыми основаниями степени складываются. Например, 3 ⁴ × 3 ⁵ = 3 ^{( 4+5)} = 3 ⁹

Как умножать степени с разными основаниями?

Для умножения показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями основания умножаются, а степень записывается вне скобок. а ⁿ × b ⁿ = (a × b) ⁿ . Например, 2 ² × 3 ² = (2 × 3) ² = 6 ² = 36. Однако, когда мы умножаем показатели степени с разными основаниями и разными степенями, каждый показатель степени решается отдельно, а затем они умножаются. ⁿ × b ^м = (a ⁿ ) × (b ^м ). Например, 2 ² × 5 ⁴ = (2) ² × (5) ⁴ = 4 × 625 = 2500.

Что означает умножение показателей степени с одинаковым основанием?

Умножение степеней с одинаковым основанием означает, что основания одинаковы, а степени разные. В этом случае основание остается общим, а разные степени добавляются, т. е. a ^m × a ⁿ = a ^(м+н) . Например, 2 ³ × 2 ⁴ = 2 ^{(3 + 4)} = 2 ⁷ = 128

Как умножать числа в скобках?

Когда показатели степени умножаются на скобки, степень вне скобок умножается на каждую степень внутри скобок. Например, (2a ² b ³ ) ² = 2 ² × a ^{(2 × 2)} × b ^{(3 × 2)} = 4a ⁴ b 9 b

Каковы правила умножения показателей степени?

При умножении показателей степени используются разные правила. Основные правила умножения показателей приведены ниже.

• При перемножении выражений с одинаковым основанием степени складываются, т.е.
• При перемножении выражений с разными основаниями и одинаковыми степенями общая степень записывается вне скобок, т. е. a ⁿ × b ⁿ = (a × b) ^п
• При перемножении выражений с разными основаниями и разными степенями каждый член вычисляется отдельно, а затем умножается, т. е.

Как умножать степени с отрицательными степенями?

Умножение показателей с отрицательными степенями следует тому же набору правил, что и умножение показателей с положительными степенями. Единственная разница здесь в том, что мы должны быть осторожны со сложением и вычитанием целых чисел для него. Например, 2 ^-3 × 2 ^-9 = 2 ^-(3+9) = 2 ^-12 = 1/2 ¹² = 1/4096 ≈ 0,000244

Чтобы умножить показатели степени на переменные, мы используем те же правила, что и для чисел. Например, давайте умножим y ⁵ × y ³ . По экспоненциальному правилу умножения с одинаковым основанием складываем степени. Это означает, что будет y ⁵ × y ³ = y ^{5 + 3} = у ⁸ .

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа — Delta Learning

Свойства номераРуководство для учащихся

11 августа

Автор Линдси Гатлин

Прочная основа в числовых свойствах помогает создать прочную основу для всех математических концепций. Понимание того, как взаимодействуют числа, может помочь вам предсказать результаты решения проблемы, лучше понять уравнения и проверить проделанную работу.

Это пособие для учащихся посвящено положительным и отрицательным числам. Мы обсудим сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел, умножение и деление положительных и отрицательных чисел, а также правила для положительных и отрицательных чисел.

Это пятая статья в нашей серии «Свойства чисел». Если вы не видели наши первые четыре поста, посмотрите эти ссылки!

Множители и простые множители

Кратные и наименьшие общие кратные

Правила делимости

Четные и нечетные числа

Что такое положительные и отрицательные числа?

Каждый день мы работаем и взаимодействуем с положительными числами. Это потому, что существует так много случаев, когда нам приходится считать вещи или выполнять какие-либо важные операции (сложение, вычитание, умножение и деление). Но не каждое число является положительным. Даже если мы этого не осознаем, отрицательные числа играют важную роль во многих математических темах. Например, в классе отрицательные числа обычно встречаются в функциях, а за пределами класса это обычная тема в финансах.

Числовая строка

Прежде чем мы углубимся в операции с положительными и отрицательными числами, очень важно сначала понять числовую прямую и то, где на числовой прямой находятся различные числа.

По мере того, как мы идем влево по числовой прямой, наши числа становятся меньше. Например,

-7 < -5

По мере продвижения вправо по числовой прямой наши числа становятся больше. Например,

5 < 7

Число ноль (0) не является ни положительным, ни отрицательным. Итак, когда мы движемся по числовой прямой, прежде чем перейти от отрицательного к положительному или наоборот, мы должны помнить, что нужно считать число ноль.

Как только мы привыкнем к числовой прямой и сравниваем различные числа, мы можем попрактиковаться в том, как эти числа взаимодействуют друг с другом. Эти взаимодействия происходят посредством математических операций.

Мы можем использовать числовую линейку, чтобы решать задачи на сложение и вычитание. Как правило, когда мы вычитаем, мы двигаемся влево по числовой строке, а когда мы складываем, мы двигаемся вправо по числовой строке.

Давайте рассмотрим некоторые взаимодействия с числами и начнем с того, как складывать и вычитать положительные и отрицательные числа.

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Когда мы складываем или вычитаем положительные и отрицательные числа, мы можем задать себе эти два вопроса.

1. С какого числа мы начинаем на числовой прямой?

2. В каком направлении мы будем двигаться по числовой прямой?

Эти вопросы помогают нам понять, с чего начать и что происходит в ходе операции.

Давайте рассмотрим некоторые из этих взаимодействий более подробно.

Положительное число плюс положительное число

Когда мы складываем два положительных числа, сумма этих чисел дает большее положительное число. Например,

5 + 7 = 12  

Когда мы складываем вместе два или более положительных числа, наша сумма будет большим положительным значением.

Отрицательное число плюс отрицательное число

Когда мы складываем (или суммируем) два отрицательных числа, ответом будет меньшее отрицательное число. Например,

-5 + -7 = -12

Но мы также должны помнить, что эту задачу можно записать несколькими способами. Например, это также может быть записано как эта задача на вычитание ниже.

-5 – 7 = -12

Каждый раз, когда мы видим задачу на сложение двух отрицательных чисел, мы можем переписать ее так, чтобы она больше походила на задачу на вычитание. Если вы студент, читающий это, вы должны решить, с какой из них вам больше нравится работать, и постараться, чтобы все задачи выглядели одинаково.

-5 – 7 = -12

Даже без плюса посередине проблема остается той же. Мы бы решили это, как и любую другую задачу на вычитание. Мы начинаем с -5 на числовой прямой и идем налево семь раз, пока не получим наш ответ -12.

Положительное число минус положительное число

Когда мы вычитаем два числа, мы должны уделять больше внимания порядку задачи. Возьмем пример:

7 – 5 = 2

Поскольку первое число 7 больше второго числа 5, результат будет положительным. Мы можем рассмотреть это более внимательно на числовой прямой.

вычитание-положительных-отрицательных-чисел-1

Представление в числовой строке, показывающее, как вычитать, 7-5=2

вычитание-положительных-отрицательных-чисел-2

Представление в числовой строке, показывающее, как вычитать, 5-7 = -2

Но если порядок чисел изменить на обратный, мы получим ответ с другим знаком.

5 – 7 = -2

При решении задач на вычитание мы можем задавать себе те же вопросы, что и раньше.

1. С какого числа мы начинаем на числовой прямой?

2. В каком направлении мы будем двигаться по числовой прямой?

 

Во втором случае первое положительное число 5 меньше второго числа 7, что означает, что наш ответ будет отрицательным.

(Совет: Эту задачу можно записать и так: 5 + -7 = -2)

Отрицательное число минус отрицательное число

Для задач с более отрицательными знаками мы должны быть осторожны с нашими операциями и вычислениями. Важным правилом для положительных и отрицательных чисел является , когда мы вычитаем отрицательное число, мы превращаем его в задачу на сложение. Например,

-5 – (-7) →  -5 + 7

-5 + 7 = 2

Когда мы вычитаем отрицательное число, мы делаем следующее,

1. Первое число оставить прежним

2. Заменить знак минус на знак плюс

3. Изменить знак второго числа (добавить наоборот)

Аналогично любой другой пример вычитания, мы должны обратить пристальное внимание на порядок проблемы, чтобы сообщить нам наш результат. Если мы изменим порядок, проблема теперь станет такой:

-7 – (-5) → -7 + 5

-7 + 5 = -2

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел  

Когда мы умножаем и делим положительные и отрицательные числа, самое главное — отслеживать количество отрицательных знаков в задаче. Одно из правил умножения и деления положительных и отрицательных чисел состоит в том, что ответ будет положительным, когда мы умножаем или делим два отрицательных числа.

Давайте рассмотрим несколько задач.

 

Положительное число, умноженное на положительное число

Если в задаче на умножение нет отрицательных знаков, мы можем решить ее как обычно. При отсутствии отрицательных знаков наш продукт будет положительным. Например,

• 2 x 5 = 10

• 4 x 6 = 24

Положительный номер, умноженное на отрицательное число

, а положительный номер увеличился на отрицательный номер

. отрицательное число, произведение будет отрицательным. Например,

• 2 x -5 = -10

• -4 x 6 = -24

Когда мы умножаем и делим положительное и отрицательное числа, не имеет значения. Однако ответ или произведение будет отрицательным, если мы умножим одно положительное число на одно отрицательное число.

 

Отрицательное число, умноженное на отрицательное число

В этом сценарии мы умножаем два отрицательных числа. Как гласит правило, умножение двух отрицательных чисел даст положительное число. Например,

• -2 x -5 = 10

• -4 x -6 = 24  

При умножении (и делении) число в произведении одинаково, несмотря ни на что, но мы должны обращать внимание на знак нашего произведения.

 

Мы также можем развить наше первое правило умножения и деления на один шаг дальше: при наличии нечетного числа отрицательных знаков ответ будет отрицательным. С другой стороны, когда присутствует четное количество отрицательных знаков, ответ будет положительным.

 

Теперь, когда мы рассмотрели несколько задач на умножение с положительными и отрицательными числами, давайте рассмотрим несколько задач на деление.

Положительное число, деленное на положительное число

Когда мы делим два положительных числа, мы можем просто разделить, и ответ останется положительным. Например,

• 10 ÷ 5 = 2

• 24 ÷ 6 = 4

Независимо от знака фактическая операция остается неизменной. Таким образом, нам нужно только обратить более пристальное внимание на количество присутствующих отрицательных знаков, чтобы узнать знак нашего ответа или частного.

Положительное число, деленное на отрицательное число

Когда мы складывали и вычитали, расположение знака минус играло решающую роль в определении нашего окончательного ответа. Размещение не так важно при делении и умножении, как количество отрицательных чисел. Например,

• -10 ÷ 5 = -2

• 10 ÷ -5 = -2

• -24 ÷ 6 = -4

09

9000 24 = 40004

9
• -24 ÷ 6 =

• -24 ÷ 6 =

• -24 24. 4

Отрицательное число, деленное на отрицательное число

Этот сценарий будет очень похож на то, что мы видели при умножении двух отрицательных чисел. Мы точно так же делим, но мы должны следить за нашими отрицательными числами и помнить правило, что когда мы разделим два отрицательных числа, ответ будет положительным. Например,

• -10 ÷ -5 = 2

• -24 ÷ -6 = 4

Ключевые выводы:

• Для задач на сложение и вычитание помните, с какой позиции мы начинаем на числовой прямой и в каком направлении хотим двигаться.