На это умножить или сложить: на 6 больше это значит умножить или + — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Действия с натуральными числами — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете:

• Рассчитаться на раз-два-три! Какие числа мы используем при счете?
• Упрощаем: как разложить число на простые множители?
• Где могут пригодиться НОК и НОД?

Математика невозможна без чисел. Из них состоят примеры, задачи и модели. Чтобы случайно не наступить на математические грабли, нужно хорошо разбираться в действиях с натуральными числами, их свойствами и особенностями.

Действия с натуральными числами

Существует несколько множеств чисел: натуральные, целые, рациональные и так далее. Но какие же числа мы можем отнести к натуральным?  Может те, в которых нет ГМО, консервантов и красителей? 

Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете.

Натуральные числа начинаются  с 1 и образуются путем сложения некоторого количества единиц. Примерами натуральных чисел могут служить 1, 2, 3, 10, 1320, 130024, 1248640 и т. д. 

Рассчитаться на раз-два-три! Какие числа мы используем при счете? Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Они начинаются с единицы. Например, 1, 2, 3, 4, 5, 11, 123, 15964 и так далее.

Рассмотрим основные действия, которые проводятся с натуральными числами. 

Сложение

Сложение – это арифметическая операция, в результате которой объединяются единицы двух чисел.

Например, 2 + 3 = 5. 

2 состоит из двух единиц, 3 состоит из трех единиц, тогда (1 + 1) + (1 + 1 + 1) = 5.  

Допустим, вместо наших единиц будут апельсины. У Саши будет 4 апельсина, а у Маши 3 апельсина. Если девочки сложат апельсины в один пакет,  то получится 7 апельсинов. Это действие можно записать через сложение как 4 + 3 = 7.

Сложение можно записать как m + n = p, где m и n — слагаемые, p – сумма.

Свойства сложения: 

1 свойство. Переместительное свойство: a + b = b + a.
Иначе можно сказать, что от перемены слагаемых сумма не меняется. 

Например, 1 + 3 = 4 и 3 + 1 = 4. Если бы у Маши оказалось 4 апельсина, а у Саши 3, то вместе у них также останется 7 апельсинов.  

2 свойство. Сочетательное свойство: a + (b + c) = (a + b) + c.
При сложении чисел не имеет значения, какие из них складывать в первую очередь: сумма не изменится. 

Например, 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6 и (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6.

Вычитание

Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению.

Если при сложении мы ищем сумму через слагаемые, то в вычитании можем найти слагаемое через сумму и другое слагаемое. Например, 6 — 2 = 4. 

Вычитание можно записать как p — n = m, p — уменьшаемое, n – вычитаемое, m — разность.

Свойства вычитания:

1 свойство. а — (b + c) = a — b — c.
Если из числа нужно вычесть сумму других двух чисел, то можно вычесть эти числа последовательно. 

Например, 10 — (2 + 5) = 10 — 2 — 5 = 3. 

2 свойство. (a + b) — c = (a — c) + b.
Если из суммы чисел нужно вычесть другое число, то сначала можно вычесть число из любого слагаемого, а потом сложить получившийся результат и оставшееся число. 

Например, (8 + 2) — 3 = (8 — 3) + 2 = 7. 

Умножение

Умножение – это действие, в результате которого определенное слагаемое берется несколько раз.

Например, в записи 35 * 3, число 35 берется три раза: 35 + 35 + 35. 

Умножение можно записать как m * n = p, где m и n — множители, p – произведение.

Свойства умножения:

1 свойство. Переместительное. a * b = b * a.
От перестановки множителей произведение не изменяется.

Например, 3 * 4 = 4 * 3 = 12.

2 свойство. Сочетательное свойство умножения: a * (b * c) = (a * b) * c.
От изменения порядка умножения чисел произведение не меняется.

Например, 34 * (2 * 4) = (34 * 2) * 4 = 272. 

3 свойство. Распределительное свойство умножения: a * (b + c) = a * b + a * c.
При умножении числа на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое, а после сложить результаты. 

Например, 2 * (59 + 91) = 2 * 59 + 2 * 91 = 300. 

Деление

Деление – это действие, обратное умножению.

Например, 35 : 5 = 7. 

Деление можно записать как m : n = p, где m — делимое, n — делитель, p – частное.

Следует запомнить, что делить на 0 натуральные числа нельзя. 

Однако не всегда получается разделить число нацело, тогда при делении появляется остаток. Например, при делении 36 на 8 получается частное 4 и остаток 4. Иначе эту операцию можно записать так: 36 = 8 * 4 + 4.  

Деление с остатком можно записать как m = n * p + r, где m — делимое, n — делитель, p – частное и r – остаток.

Существуют признаки делимости, которые помогают сразу определить, делится ли число нацело или нет. Вот некоторые из них:

• Число делится на 2, если последняя цифра его записи четная или ноль. 
  Например, 1946032 будет делиться на 2, поскольку последняя цифра четная. 1946032 : 2 = 973016.

• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. 
  Число 951 будет делиться на 3, поскольку 9 + 5 + 1 = 15, 15 : 3 = 5. Поэтому 951 : 3 = 317. 

• Число делится на 4, если две его последние цифры кратны четырем или ноли. 
  45216 будет делиться на 4, поскольку 16 кратно 4, тогда 45216 : 4 = 11304. Так же 700 будет кратно 4, поскольку две последние цифры – ноли, тогда 700 : 4 = 175. 

• Число делится на 5, если последняя его цифра 0 или 5.  
  Например, 63795 : 5 = 12759, 25570 : 5 = 5114. 

• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. 
  Сумма цифр числа 927 равна 9 + 2 + 7 = 18, то есть кратна 9, поэтому 927 : 9 = 103.

• Число делится на 10, если последняя его цифра – ноль. 
  Например, 2561470 : 10 = 256147.

Заметим, что при сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа, тогда как при вычитании и делении не всегда получаются натуральные числа (результат будет зависеть от конкретного примера). Например, 7 — 14 = -7, где -7 – не натуральное число, 21 : 4 = 5,25, где 5,25 – не натуральное число. 

Возведение в степень

Возведение в степень очень похоже на умножение, но чтобы возвести число в степень нужно умножить его на само себя. Сколько раз число будет умножено на само себя, такая степень у него и будет. 

Например, 40⁵ = 40 * 40 * 40 * 40 * 40.  

Возведение в степень можно представить как mn = p, где m – основание степени, n – показатель степени.

Свойства степеней:

Извлечение корня

Извлечение корня – действие, обратное возведению в степень.

При извлечении корня мы узнаем, в какую степень нужно возвести число, чтобы получилось данное число. 

Извлечение корня можно записать как \(\sqrt[n]{m} = p\), где n – показатель корня, m – подкоренное выражение, p – корень.

Свойства корней:

О том, как не запутаться в корнях, смотри статью “Понятие корня”

Подведем итог:
Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать из них корень.

Разложение числа на простые множители

Для понимания дальнейших рассуждений необходимо ввести понятие простого числа.  

Простое число – это число, которое делится только на себя и на единицу.

Например, у числа 2 делителями будут только 2 и 1, у числа 17 – 17 и 1, у числа 151 – 151 и 1. 

Помимо простых чисел существуют и составные числа – это числа, у которых есть другие делители, кроме 1 и самого себя. 

Любое составное число можно разложить на простые множители (причем только одним способом).  Например, 6 = 2 * 3, где 2 и 3 – простые числа. 

Разложение на простые множители – это действие, в результате которого мы можем представить любое составное число в виде произведения нескольких простых множителей. 

Умение раскладывать числа на простые множители может пригодиться для анализа чисел и их свойств. 

Упрощаем: как разложить число на простые множители? Любое число состоит из нескольких простых множителей. Разложить число на простые множители значит представить это число в виде произведения нескольких его простых множителей. Например, 18 = 2 * 3 * 3

Чтобы разложить число на простые множители, необходимо последовательно делить его на простые множители, начиная с наименьшего возможного. 

Для примера разложим число 123896.

Первый подходящий делитель будет равен 2: 123896 = 61948 * 2.

61948 не является простым числом, поэтому продолжаем раскладывать, следующий делитель также равен 2: 123896 = 30974 * 2 * 2. 

Продолжаем раскладывать число до тех пор, пока справа не получится произведение только из простых чисел: 123896 = 2 * 2 * 2 * 17 * 911. Для удобства повторяющиеся числа можно записать в виде степеней: 123896 = 2³ * 17*911. 

Процесс разложения на простые множители можно записать в виде столбика, где слева будут получившиеся в результате деления числа, а справа множители. Для примера разложим число 156:

Разложение множителей удобно применять, если необходимо найти все делители числа. Например, в числе 156 мы можем выделить не только простые множители, но и составные: 2 * 2 * 3 = 12 (156 : 12 = 13) или 2 * 3 = 6 (156 : 6 = 26) и т. д. 

Любой делитель числа равен произведению нескольких его простых множителей.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

У любых двух составных чисел можно найти общие делители, то есть такие числа, на которые будут нацело делиться данные числа. 

Например, рассмотрим числа 150 и 315.

Разложим их на простые множители: 150 = 2 * 3 * 5², 315 = 3² * 5 * 7. 

У числа 150 можно выделить следующие делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

У числа 315: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315. 

Из них совпадают: 3, 5, 15. 

Совпадающие делители будут называться общими, а наибольший из них – наибольшим общим делителем (НОД). Он обозначается D(a,b). 

Если НОД чисел a и b  равен единице, то это взаимно простые числа. Взаимно простыми числами могут быть и составные, например, 15 и 16.  

Чтобы найти НОД чисел, необходимо: — Каждое из них разложить на простые множители;  — Определить, какие из них повторяются; — Умножить их друг на друга.

Найдем НОД  чисел 45 и 105:

• 45 = 3² * 5
• 105 = 3 * 5 * 7. 

Совпадающие простые множители: 3 и 5, тогда D(45, 105) = 3 * 5 = 15. 

У любых составных чисел можно найти наименьшее общее кратное (НОК). Это такое число, которое нацело будет делиться на данные числа. 

Например, рассмотрим числа 9 и 12. Числа, кратные 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и т.д. Числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 и т.д.  Среди этих чисел есть повторяющиеся 36 и 72, они будут общими кратными для чисел 9 и 12, а меньшее из них – это наименьшее общее кратное данных чисел (НОК). НОК обозначается как К(a, b). 

Чтобы найти НОК чисел, необходимо:  — Разложить их на простые множители; — Найти произведение всех получившихся простых множителей, при этом взять наибольший показатель степени у каждого.

Например, найдем НОК чисел 184 и 624. 

• 184 = 2³ * 23
• 624 = 2⁴ * 3 * 13

Тогда К(184, 624) = 2⁴ * 3 * 13 * 23 = 14352. 

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел будет равно произведению этих чисел.

К(а, b) = a * b, где a, b – взаимно простые числа. 

Между НОК и НОД существует следующая связь: произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению этих чисел.

D(a, b) * K(a, b) = a * b

Где могут пригодиться НОК и НОД? НОК и НОД активно используются в дробях.  С помощью НОД можно сразу сократить дробь. Например, D(228, 1650) = 6, следовательно дробь с такими числами сразу можно сократить на 6: \(\frac{228}{1650} = \frac{38}{275}\) С помощью НОК можно привести дроби к общему знаменателю. Например, К(6, 22) = 66, тогда дроби \(\frac{1}{6}\) и \(\frac{1}{22}\) можно привести к общему знаменателю и получить \(\frac{11}{66}\) и \(\frac{3}{66}\).

Рассмотренные операции являются основными для вычислений  в задачах. Применение описанных свойств облегчает и ускоряет счет, что даст дополнительное время на экзамене и сократит количество вычислительных ошибок. 

Фактчек

• Натуральные числа – это числа,  используемые при счете. 
• Натуральные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень,. При сложении и умножении натуральных чисел можно получить только натуральные числа, а при вычитании и делении – нет. 
• Существуют простые и составные числа: простые числа делятся только на единицу и само себя; составные числа имеют еще и другие делители. Каждое составное число можно разложить на произведение простых множителей, причем только одним способом. 
• У нескольких чисел можно найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Если НОД двух чисел равен 1, то это взаимно простые числа. НОК двух взаимно простых чисел будет равен произведению этих чисел.  
• Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению этих чисел. 

Проверь себя

Задание 1.
Какие числа называются натуральными? 

1. Числа, используемые при счете.
2. Все числа, которые существуют. 
3. Все положительные и отрицательные целые числа. 
4. Все четные числа. 

Задание 2. 
Ответь, не вычисляя, какое число делится на 3?

1. 113; 
2. 239; 
3. 158726; 
4. 26841. 

Задание 3. 
Ответь, не вычисляя, какое число делится на 4?

1. 7673438; 
2. 2850;
3. 526982; 
4. 264864. 

Задание 4. 
Какое число является составным?

1. 26;
2. 17;
3. 3;
4. 97.

Задание 5. 
Какое число является простым?

1. 39;
2. 91;
3. 59;
4. 93.

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 4 4. — 1 5. — 3

Математика Умножение числа на сумму

Материалы к уроку

Конспект урока

46. Умножение числа на сумму

 

Организационный этап   Итак, друзья, внимание: Вновь прозвенел звонок. Садитесь поудобнее – Начнем сейчас урок.

Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний   Ребята, давайте вспомним математические термины, которые нам пригодятся сегодня на уроке: Как называется результат сложения?             Результат сложения — это сумма А как называется результат вычитания?             Результат вычитания — это разность Вспомните, как называется результат умножения?             Результат умножения — это произведение Как называется результат деления?             Результат деления — это частное.

Устный счёт   Запишите  только ответы. Найдите произведение чисел 7 и 4             (28) Найдите частное чисел 45 и 9           (5) Найдите сумму чисел 73 и 16           (89) На сколько 40 больше 5?             (на 35) Делимое 81 делитель 9. Чему равно частное?            (9) Во сколько раз 4 меньше 28?              (в 7 раз) Первый множитель 6, второй множитель 8. Найдите произведение этих чисел            (48)   Задание Решите цепочку числовых выражений. 86 : 2 =… + 7 =…  : 10 = … · 1000 = Проверьте себя. 86 : 2 = 43 + 7 = 50 : 10 = 5 · 1000 = 5000 86 разделим на 2, получим 43, к 43 прибавим 7,  будет 50, 50 разделим на 10, получим 5 и увеличим в 1000 раз, получим 5000   Задание Четыре, восемь, двенадцать, шестнадцать    Определите закономерность и назовите следующие три числа        Это числа двадцать, двадцать четыре, двадцать восемь Следующее задание: Семь, четырнадцать, двадцать один, двадцать восемь             За ними следуют тридцать пять, сорок два, сорок девять Девять, восемнадцать, двадцать семь, тридцать шесть             Молодцы, ребята, дальше следуют сорок пять, пятьдесят четыре, шестьдесят три

Послушайте стихотворение и определите тему урока: Число на сумму мы умножим, Результат найти мы сможем. Как найти? Как посчитать? Надо нам скорей узнать! Выражение не сложное, Вычислить значенье можно.   Сегодня на уроке мы будем учиться умножать число на сумму разными способами.

Объяснение нового материала   Задание Петя нарисовал по 5 зеленых квадратов в три ряда, а Ира дорисовала по 2 красных квадрата в 3 ряда. Они посчитали, сколько всего получилось квадратиков. Вот что у них получилось: Петя посчитал так: Он нарисовал по пять зеленых квадратов в три ряда, да еще Ира нарисовала по два красных квадрата в три ряда. А Ира рассуждала иначе: Она посчитала, сколько  зеленых и красных квадратиков вместе в одном горизонтальном ряду и умножила на три таких ряда.   Как вы думаете, ребята, кто из них сосчитал квадратики правильно? Давайте посмотрим, какие ответы они получили при вычислении. Петя 5 умножил на три, получил пятнадцать, потом два умножил на три. Получил шесть. Сложил полученные произведения и получил двадцать один Ира сначала сложила пять и два, получила сумму равную семи. Семь умножила на три, получила двадцать один. Сравним полученные значения. Двадцать один равен двадцати одному. Значит, и левые части примеров тоже равны. Петя и Катя сосчитали квадратики разными способами. Значит, число можно умножить на сумму чисел разными способами: Первый способ: найти сумму чисел и умножить число  на полученный результат Второй способ: умножить число на каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить   Сделаем вывод: Чтобы умножить число на сумму, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные результаты сложить.   Такое свойство умножения называется распределительным. Закрепление материала   Давайте потренируемся в применении правила.   Заполните пропуски. 5 · (8 + 4) =       · 8 +      · 4 7 · (6 + 9) = 7 ·       + 7 · 14 · 3 = (10 +      ) · Проверяем. Чтобы умножить число на сумму, нужно каждое слагаемое умножить на это число, значит, в окошках запишем число пять, и полученные произведения сложим. Во втором примере нужно вставить слагаемые шесть и девять и полученные произведения сложить. В последнем примере вы видите, что нет суммы, поэтому число четырнадцать заменим суммой. Если первое слагаемое десять, значит второе слагаемое четыре. И опять повторяем правило, чтобы умножить число на сумму нужно каждое слагаемое умножить на это число, значит, в окошко вставляем число три.   Решите данные числовые выражения. Сверим ответы. 60, 105, 42   Задание Решим задачу. В школьную столовую привезли четыре ящика яблок по 6 килограммов в каждом, и столько же ящиков груш по пять килограммов в каждом. Сколько всего килограммов фруктов привезли в школьную столовую? Эту задачу можно решить двумя способами. Попробуем, используя рисунок объяснить каждый способ. В первом способе предлагается найти сначала, сколько весят один ящик яблок  и один ящик груш вместе, а затем умножить на количество таких пар. Все фрукты весят сорок четыре килограмма. 1 способ: 1) 6 + 5 = 11(кг) 2) 11 · 4 = 44 (кг) Если решать задачу вторым способом, то мы узнаем,  сколько весят все яблоки, затем, сколько весят все груши, и полученные результаты складываем. Получаем ответ сорок четыре килограмма,  как и в первом случае. 2 способ: 1) 6 · 4 = 24 (кг) 2) 5 · 4 = 20 (кг) 3) 24 + 20 = 44 (кг) Таким образом, распределительное свойство умножения помогает нам решать задачи разными способами.

Этап усвоения новых знаний   Умная Сова предлагает вам решить выражения двумя способами: 6 · (5 + 4) = 8 · (7 + 2) = 4 · (8 + 3) = Проверьте себя. 6 · (5 + 4) = первоначально выполним действия в скобках и найдем сумму чисел, она равна 9, данную сумму умножим на число и получим 6 · 9 = 54 Второй способ: чтобы умножить число на сумму нужно каждое слагаемое умножить на это число, значит: 6 · 5 + 6 · 4 = 30 + 24 = 54 Следующий пример. 8 · (7 + 2) Первый способ: найдем сумму чисел 7 и 2 получим 9, умножим число на полученный результат: 8 · 9 = 72 Второй способ: чтобы умножить число на сумму нужно каждое слагаемое умножить на это число, значит: 8 · 7 + 8 · 2 = 56 + 16 = 72 Следующий пример. 4 · (8  + 3) Первый способ: найдем сумму чисел8 и 3, равно 11, умножим число на полученный результат: 4 · 11 = 44 Второй способ: чтобы умножить число на сумму можно каждое слагаемое умножить на это число, значит: 4 · 8 + 4 · 3 = 32 + 12 = 44

Задание А сейчас попробуйте найти площадь большого прямоугольника разными способами. Давайте вспомним, как найти площадь прямоугольника?             Чтобы найти площадь прямоугольника нужно длину умножить на ширину Попробуйте выполнить задание самостоятельно. Проверьте себя. В первом случае мы находим длину большого прямоугольника, сложив четыре и два сантиметра, получаем 6 сантиметров. А потом умножаем полученный результат на ширину равную трём сантиметрам и получаем площадь равную восемнадцати квадратным сантиметрам. Во втором случае мы находим сначала площадь большего прямоугольника, для этого четыре сантиметра умножаем на три сантиметра и получаем двенадцать квадратных сантиметров. А потом находим площадь маленького прямоугольника, умножив два сантиметра на три сантиметра. Получаем шесть квадратных сантиметров. Складываем площади двух фигур, в результате площадь большого прямоугольника равна восемнадцати квадратным сантиметрам.

Задание Применяя распределительное свойство умножения, вычислите числовые выражения удобным способом: 18 · (4 + 6) В данном случае удобно сначала найти сумму равную десяти, а потом умножить восемнадцать на сумму. Получаем сто восемьдесят 25 · (10 + 4) В следующем выражении удобно сначала умножить число на каждое слагаемое, а затем полученные произведения сложить. Двадцать пять умножаем на десять, получаем двести пятьдесят, затем двадцать пять умножаем на четыре, получаем сто. Складываем двести пятьдесят и сто, получаем в ответе триста пятьдесят.

Задание Решите задачу разными способами. На аллею высадили 6 рядов берез по 7 деревьев в каждом ряду, и столько же рядов кленов по 5 деревьев в каждом ряду. На сколько деревьев стал город зеленее? Проверьте себя. 1 способ: найдем,  сколько берез и кленов посадили в одном ряду: 7 + 5  = 12 (д) Узнаем, сколько деревьев посадили в 6 таких рядах: 6 · 12= 72 (д.) 2 способ: узнаем, сколько посадили берез в 6 рядах: 6 · 7 = 42 (д. ) Вторым действием узнаем, сколько посадили кленов в 6 рядах: 6 · 5 = 30 (д.) Сложим полученные результаты и узнаем, сколько всего деревьев посадили: 42 + 30 = 72 (д.) Ответ: всего посадили 72 дерева

Задание Найдите значение выражений, представив второй множитель в виде суммы. Если правильно решите, то, подставив буквы в таблицу, прочитаете слово. 6 · 14 =            п 2 · 18 =            о 3 · 26 =            х 7 · 13=             с 9 · 12 =            е 4 · 17 =            в 5 · 15 =            у   75 91 84 108 78 36 68                 Мы желаем вам успехов в нелегком труде ученика.   Подведение итогов урока   Говорит сова: Вот и кончился урок, Он пошёл, надеюсь, впрок.   Пора нам подвести итог: Как число на сумму умножается? Давайте еще раз вспомним распределительное свойство умножения. При умножении числа на сумму можно сначала вычислить сумму и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

• Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

• Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

• Повысим успеваемость по школьным предметам

• Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитора

Когда сложение и умножение одинаковы

Когда сложение и умножение одинаковы Дэвид А. Уилер

Это еще одно небольшое эссе — упражнение в математических развлечениях; Надеюсь, вы найдете это забавным!

Когда сложение совпадает с умножением? Другими словами, когда верно следующее?

  х + у = х * у
 

Немного подумав, вы поймете, что {x,y} = {2,2} и {0,0} есть два решения проблемы, потому что:

 2 + 2 = 2 * 2 = 4
 0 + 0 = 0 * 0 = 0
 

Но есть ли другие решения? Чтобы это выяснить, нам нужно решить уравнение, используя небольшую алгебру:

  х + у = ху
  0 = ху - х - у
  0 = (x-1)(y-1) - 1 (Запутался? См. Постскриптум ниже)
  1 = (х-1)(у-1)
  1/(х-1) = у-1
  у = 1/(х-1) + 1
 

Итак, существует бесконечное количество решений для действительных чисел; найти заданный y, просто вычислите y = 1/(x-1)+1 (пока x не равен 1; в этом случае нет действительного числового решения). Например, пара {1.5,3} работает, потому что: 92 +1 или -1 = х-1 х = 0 или 2

Теперь вместо того, чтобы ограничиваться x=y, допустим любое значение x и y, но только если они оба являются целыми числами. Учитывая этот вариант, существуют ли какие-либо другие решения для целочисленных пар? Короткий ответ — нет — если вы ограничитесь целыми числами, 0 и 2 все что возможно. Вот почему. Поскольку целые числа являются подмножеством действительных чисел, уравнение приведенное выше применяется:

  у = 1/(х-1)+1
 

Итак, чтобы y было целым числом, 1/(x-1) должно быть целым числом. Чтобы дробь давала целое число, когда единица находится сверху, его знаменатель должен иметь абсолютное значение меньше единицы, поэтому:

  |х-1|
Это верно только для x = {0,1,2}. х не может быть 1, потому что
потребует, чтобы y был бесконечен.
Таким образом, 0 и 2 также являются единственными целочисленными решениями.
 

Итог: существует бесконечное количество пар действительных чисел, где
сложение и умножение пары даст тот же ответ.
Но если вам требуется, чтобы пара имела одинаковое значение или оба
быть целыми числами, есть только два ответа: {0,0} и {2,2}.
 
К сожалению, некоторые люди прислали мне сообщения,
просят меня объяснить, почему:
 
  ху - х - у
 
такой же как:
  (х-1)(у-1) - 1
 
 Тск, тск! Пожалуйтесь своим учителям алгебры, они
пропустил важный материал.
 Оказывается, это нетрудно показать;
просто начните с "(x-1)(y-1)" и умножьте его.
Это два тривиальных выражения; можно просто умножить
их так же, как вы перемножаете многозначные числа:
        х - 1
    * у - 1
   ===============
       -х + 1
    ху-у
   ===============
   ху-х-у + 1
 
 Итак, (x-1)(y-1) равно  почти  то же, что xy-x-y, за исключением того, что
у него есть дополнительный «+1». Нет проблем, просто вычтите единицу, и она у вас есть.
Что означает, что:
  ху - х - у = (х-1)(у-1) - 1
 
 Вот, если честно, я сразу же узнал "ху-ху-у" так же легко
переписано как «(x-1)(y-1)-1»; Мне не пришлось «разбираться».
Но если вы не видели этого раньше, надеюсь, это вас убедит.
 Если вам понравилась эта статья, вам могут понравиться мои статьи о
Задача четыре четверки или
странные базы.
 Не стесняйтесь видеть мой
домашняя страница на dwheeler.com.
  Дэвид А. Уилер, 10 сентября 2002 г. 
 Это Copyright (C) 2002-2005 Дэвид А. Уилер.
 

тензорный поток — Как считать операции умножения-сложения?

спросил 4 года, 4 месяца назад

Изменено 4 года, 4 месяца назад

Просмотрено 13 тысяч раз

Для заданной сверточной нейронной сети существует ли функция или метод вычисления количества операций умножения-сложения ?

Термин введен MobileNetV2 документ: https://arxiv.org/pdf/1801.04381.pdf.

Мы оцениваем компромисс между точностью и количеством операций измеряется умножением-сложением (MAAdd), а также фактической задержкой и количество параметров.

• тензорный поток
• deep-learning
• conv-neural-network

Подсчет операций Multiply-Add эквивалентен подсчету FLOP модели. Этого можно добиться с помощью профайлера от tensorflow.

 flops = tf.profiler.profile(граф,\
     options=tf.profiler.ProfileOptionBuilder.float_operation())
print('FLOP = ', flops.total_float_ops)
 

Обязательно ознакомьтесь с предостережениями, описанными в этом ответе. В основном:

• Расчетное количество FLOP может включать операции инициализации, такие как умножение-сложение, например, из инициализации ваших весов с распределением Гаусса, вам нужно заморозить график, чтобы управлять этими, возможно, нерелевантными операциями умножения-сложения,
• Расчеты Multiply-Add от TensorFlow являются приблизительными. Здесь открыта тема по этому поводу.

2

Я не уверен насчет функции, но этот веб-сайт должен помочь вам отслеживать операции MulAdd. Единственное предостережение: вам может понадобиться файл prototxt, но для популярных архитектур операции MulAdd уже перечислены

-https://dgschwend.