Математические действия на английском языке
| Работаем с 10 до 21 без выходных!
Работаем с 10 до 21 без выходных! |
| Заказать звонок методиста |
Даже если ваша учеба, работа или сфера деятельности никак не связана с точными науками, простые математические действия на английском знать важно, т.к. они встречаются не только в академических источниках, но и в фильмах, книгах и в повседневной речи.
Само слово «математика» в английском языке может звучать двумя способами. Первый и самый главный – это термин mathematics [ˌmæθəˈmætɪks]. Такой вариант употребляется, если речь идет о научной дисциплине или предмете изучения.
Mathematics includes the study of many topics. — Математика включает в себя изучение многих тем.
А в разговорной речи более уместен сокращенный вариант – maths [maθs], который принято использовать в Великобритании, а в США широко распространено применение еще более укороченного варианта 
My son has always been good at maths [масс]. — Мой сын всегда был хорош в математике.
Основные математические действия на английском: сложение, вычитание, умножение и деление.В английском языке, как и в русском, существует 4 арифметических действия: сложение (addition), вычитание (subtraction), умножение (multiplication) и деление (division).
Для удобства можно разделить термины, употребляемые в этих действиях, в небольшие таблицы:
сложение (addition)
| складывать | to add |
слагаемое | summand/addend | |
сумма | sum | |
плюс | plus |
2+2=4 – Two plus two equals four.
вычитание (subtraction)
| вычитать | to subtract |
вычитаемое | subtrahend | |
уменьшаемое | minuend | |
разница | difference / remainder | |
минус | minus |
7-2=5 – Seven minus two equals five.
умножение (multiplication)
| умножать на | multiply by |
умножить, разг. | times | |
умножаемое | multiplicand | |
множитель | multiplier | |
произведение | product |
5×3=15 – Five times three is fifteen.
деление (division)
| делить на | divide by |
разделить | divided by | |
делимое | dividend / numerator | |
делитель | divisor / denominator | |
частное | quotient |
15:3=5 — Fifteen divided by three equals five
И термины, которые связаны с результатом действия:
равно | total, equals |
ответ | answer |
Знак равенства | equal mark |
решение | solution |
Часто вместо equals или is equal to говорят is или get:
23 – 3 = 20 — Twenty-three minus three is twenty.
9 ÷ 3 = 3 – 9 divided by 3 is 3.
6 Х 4 = 24 — Multiply 6 by 4 and you’ll get 24.
Дроби на английском языке.Простые дроби (common fractions) состоят из числителя (numerator) и знаменателя (denominator).
3/4 – three fourths.
1/8 – one eighth.
Смешанные дроби или смешанные числа (mixed numeral) включают в себя целое число и дробь, например, 2 ½.
1¼ – one and a quarter.
1½ – one and a half.
1¾ – one and three quarters.
Числитель в дроби выражается количественным числительным, а знаменатель порядковым. Наиболее употребляемые в речи дроби 1/2, 1/3, 1/4 имеют упрощенные названия: половина, треть, четверть:
1/2 – a half, one half.
1/3 – a third, one third.
1/4 – a quarter, one fourth.
В случаях, когда числитель больше одного, к окончанию добавляется -s, так как знаменатель используется во множественном числе (как и в русском: две третьих, три четвертых).
3/4– three fourths.
Существительное, которое определяется простой дробью, используется с предлогом of:
3/4 mile – Three fourths of a mile.
Существительное, определяемое смешанной дробью, используется без предлога, но во множественном числе:
2 ½ miles – Two and a half miles.
Десятичные дроби (decimal fractions, decimals) – дроби, где в английском языке разделителем между целой и дробной частью числа служит точка (point), в отличие от русской запятой. Ноль перед точкой называется zero или в британском варианте nought. Ноль после точки может называться oh (как буква “o”), zero, nought. Если целое число в дроби равно нулю, его часто опускают в речи, начиная говорить сразу с “point”.
1.25 – One point two five.
0.1 – Point one, zero point one.
Целое число читается как обычное количественное числительное, например,
45.
1 – forty five point one – сорок пять целых одна сотая.
А в дробной части каждая цифра читается отдельно тоже как количественное:
2.45 – two point four five (не two point forty five) – две целых сорок пять сотых.
Проценты в английском языкеСотые доли могут выражаться с помощью процентов, тогда используется стандартный значок % и слово percent, всегда использующееся в единственном числе.
1% – One percent.
10% – Ten percent.
17% – Seventeen percent.
Глагол в предложениях с процентами согласуется с существительным, которое употреблено после частицы of:
Единственное число:
The remaining twenty percent of the script has been rewritten — Оставшиеся 20% сценария были переписаны.
Множественное число:
Twenty percent of the students are present — 20% студентов присутствуют.
Возведение в степень в английском.Для обозначения степени используются выражения to the power of five, to the fifth power, raised to the power of five, raised to the fifth power.
Вторая и третья степень имеют упрощенные термины “в квадрате” (squared) и “в кубе” (cubed).
32 – Three squared, three to the second power.
33 – Three cubed, three to the third power.
104 – Ten to the fourth power, ten to the power of four.
3024 – Thirty to the power of twenty four.
Квадратный корень называется squareroot:
√25 = 5 – The square root of twenty five is five.
Математические выражения со скобками.Круглые скобки называются parentheses (ед. число parenthesis) или round brackets. Если выражение стоит в скобках, и к нему применяется операция, используется слово quantity.
(2+3)×4=24 – Two plus three quantity times four equals to twenty four.
(3+5)2=64 Three plus five quantity squared is sixty four.
Математические термины из этой статьи можно выучить с помощью PDF-карточек для распечатки.
Как решить один и тот же пример разными способами: китайский метод умножения, египетский, метод решетки — 20 января 2023
Привычные нам способы решения примеров далеко не единственно верные
Фото: Александр Подопригора / 161.RU
Поделиться
Складывать, вычитать, умножать и делить мы все научились еще в школьные годы. Многие даже неплохо сохранили эти навыки и до сих пор могут что-нибудь да умножить. В уме. Но что, если приходится умножать многозначные числа? Понятно, что проще всего воспользоваться калькулятором. Но мы не ищем легких путей — вместо них мы нашли несколько способов решить одни и те же примеры. Ими до сих пор пользуются в разных странах, и это не привычное нам умножение столбиком.
В качестве примера, решить который мы попробуем семью разными методами, мы взяли не самый сложный, но и не самый простой: 223 х 304.
Произведение этих множителей равняется 67 792. Нам было важно, чтобы числа были не двузначные и чтобы хотя бы в одном из них был ноль (потом объясним зачем). А теперь давайте посчитаем.
Чтобы решить наш пример этим способом, сперва запишем множители. После этого нужно представить число 223 в виде суммы степеней двоек — начинаем с единицы и умножаем на два, пока не получим число, которое будет больше, чем 223. Получится 256. Это уже много. А раз много, значит нам это не нужно. Остается 128.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Дальше нужно число 304 умножить на все получившиеся числа. Но понадобятся нам не все. Из чисел левого столбца нам нужно собрать число 223. Идем снизу вверх. Берем 128, прибавляем к нему 64. Получается 192. Если прибавить к этой сумме 32, получится 224, а это уже перебор. Поэтому 32 пропускаем и прибавляем все остальные. Выйдет наше 223.
На те числа, что остались (а это все, кроме 32), мы и будем умножать наше 304. Теперь суммируем всё, что у нас получилось. Сумма этих чисел окажется 67 792.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Если вам кажется, что умножать 304 на 128 в такой ситуации будет полнейшим безумием, воспользуйтесь хитростью и просто умножайте каждое предыдущее число на два — так будет проще.
Всё, что вам понадобится, чтобы решить любой пример с умножением этим крестьянским методом, — это уметь умножать и делить на два.
Для начала будем последовательно делить на два первое число, пока оно не превратится в единицу. Думаете, не получится в случае с числом 223? Только не в древнерусском способе! Если в результате будет получаться число с остатком, отбрасываем эти остатки куда подальше — они нам не пригодятся.
org/Person»>Схема: Виталий Калистратов / Городские порталыПоделиться
После этой нехитрой процедуры беремся за второй множитель — его будем на два умножать. Столько же раз, сколько делили первый множитель, пока он не достиг единицы. Умножили? Теперь вычеркивайте все строчки, в которых в левом столбце есть четное число. У нас такая строчка одна — с цифрой шесть.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Дальше — самая нелегкая задача этого метода: суммировать все числа, что стоят справа (включая 304). Сложно, но у древнерусских счетоводов не было другого выбора, и им приходилось всё считать вручную. У нас, к счастью, есть калькуляторы, так что мы с удовольствием воспользуемся этой возможностью. И калькулятор покажет 67 792. Если вы хотите проверить, действительно ли работает этот метод, можете поменять множители местами и всё пересчитать, но, забегая вперед, мы вам скажем, что от перестановки мест множителей произведение не меняется даже в этом случае.
Первым дело запишем наши числа одно над другим и подведем под ними черту. И умножим каждую цифру верхнего числа на каждую цифру нижнего. Если будут получаться двузначные числа, пишем их как есть, а вот однозначные пишем в виде «ноль и цифра» — например, 08 вместо просто 8.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Получив эту хитрую комбинацию, умножаем соседние цифры (2 на 0, 2 на 4) и в обратную стороны (2 на 3 и 3 на 0). Идем еще дальше и стараемся не запутаться — перемножаем первую верхнюю цифру на третью нижнюю, а третью верхнюю — на первую нижнюю. Умножение закончилось.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Давайте складывать то, что у нас получилось. А получилось у нас 67 792.
Выписываем наших героев и подводим под ними черту, как делали это в методе треугольника.
Затем перемножим крайние цифры — 2 и 4. Результат (его мы записываем как 08) будет первой строкой нашего решения. Следом за ними умножаем вторую цифру левого множителя на первую и третью — правого. Запишем их во вторую строку. Начало ромбу положено.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Ну а дальше умножаем друг на друга цифры из разряда сотен, десятков и единиц и так же записываем их в одну строку. Результат заносим в третью строчку.
Теперь берем вторую цифру во втором множителе и умножаем на первую и третью из первого. Четвертая строка решения готова. Последней, пятой строкой записываем произведение последней цифры первого множителя и первой цифры второго. Наш ромб готов. Осталось только суммировать цифры, расположенные друг над другом. Метод, конечно, красивый, но совсем не простой в применении.
org/Person»>Схема: Виталий Калистратов / Городские порталыПоделиться
Вот мы и добрались до того момента, где объясним, зачем нам понадобились трехзначные числа, да еще и с нулем. В китайском методе нам придется считать, чертить и рисовать. Так что для начала разберем принцип его работы на простом примере и умножим 34 на 62. Для этого нарисуем черты. Сперва три горизонтальные, потом, через промежуток, еще четыре. Это три десятка и четыре единицы нашего первого числа. А число 62 по такому же принципу превращается в шесть и две вертикальные черты. Теперь нам нужно разграничить зоны единиц, десятков и сотен.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
После этого считаем точки пересечения всех черточек. В зоне единиц их восемь, в зоне десятков — 30, в зоне сотен — 18. Теперь нужно это сложить: 1800+300+8 = 2 108. На калькуляторе, умножая 34 на 62, получится тот же результат.
Переходим к нашему изначальному примеру и умножим 223 на 304. Рисуем две, две и три горизонтальные линии, три вертикальные слева и четыре справа. Место посередине оказывается пустым, поэтому здесь у нас будет воображаемая линия. (Цифры у нас стали крупнее, поэтому и зон будет больше.) И считаем точки пересечения.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Складываем, начиная с единиц. Там, где получились двузначные числа, оставляем единицы, а десятки перекидываем в соседнюю область. То есть там, где стояли рядом 8 и 12, оказались 9 и 2, а соседство 6 и 17 превратилось в 7 и 7. Считаем, что у нас получилось, справа налево: 67 792.
Чтобы решить наш пример методом решетки (его еще называют древнеиндийским методом), первым делом надо нарисовать таблицу, у которой будет три столбца и три строки — по количеству цифр в умножаемых числах. Потом делим каждую ячейку по диагонали на две части.
Решетка готова.
Теперь по горизонтали выписываем цифры числа 223, а по вертикали — числа 304. И перемножаем каждое число сверху на каждое число справа. Результат вписываем в наши ячейки таким образом: сверху — десятки, снизу — единицы (если десятков нет, пишем ноль).
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Теперь складываем цифры, которые получились в наших диагоналях. По периметру, начиная с правого нижнего угла и поднимаясь до левого верхнего. Если число вышло двузначным, оставляем только единицу, а десятки плюсуются к единицам числа предыдущего — совсем как в сложении, к которому мы привыкли.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Выписываем ответ, начиная с левой стороны: 67 792. Что и требовалось доказать.
Этот метод похож на метод решетки, но есть отличия.
Здесь мы снова рисуем таблицу на три столбца и три строки, но ни на какие ячейки не делим. А наши числа записываем не в виде отдельных цифр, а сотнями, десятками и единицами.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Дальше начинаем умножать те цифры, что сверху, на те, что справа.
Схема: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Умножили? Осталось только всё сложить: 60 000 + 6000 + 900 + 800 + 80 + 12 = 67 792. Тот результат, который и получится, если умножить 223 на 304.
Разные способы решить один и тот же пример, к слову, далеко не единственная математическая причуда. На днях одна несложная на первый взгляд задачка рассорила весь интернет — скандал разгорелся из-за простого примера для 6-классников. И мы попробовали решить его с математиком.
Когда сложение и умножение одинаковы
Когда сложение и умножение одинаковы
УилерЭто еще одно небольшое эссе — упражнение в математических развлечениях; Надеюсь, вы найдете это забавным!
Когда сложение совпадает с умножением? Другими словами, когда верно следующее?
х + у = х * у
Немного подумав, вы поймете, что {x,y} = {2,2} и {0,0} есть два решения проблемы, потому что:
2 + 2 = 2 * 2 = 4 0 + 0 = 0 * 0 = 0
Но есть ли другие решения? Чтобы это выяснить, нам нужно решить уравнение, используя небольшую алгебру:
х + у = ху 0 = ху - х - у 0 = (x-1)(y-1) - 1 (Запутался? См. Постскриптум ниже) 1 = (х-1)(у-1) 1/(х-1) = у-1 у = 1/(х-1) + 1
Итак, существует бесконечное количество решений для действительных чисел; найти заданный y, просто вычислите y = 1/(x-1)+1 (пока x не равен 1; в этом случае нет действительного числового решения). Например, пара {1.5,3} работает, потому что: 92 +1 или -1 = х-1 х = 0 или 2
Теперь вместо того, чтобы ограничиваться x=y, допустим любое значение x и y,
но только если они оба являются целыми числами.
Учитывая этот вариант, существуют ли какие-либо другие решения для целочисленных пар?
Короткий ответ — нет — если вы ограничитесь целыми числами, 0 и 2
все что возможно.
Вот почему.
Поскольку целые числа являются подмножеством действительных чисел, уравнение
приведенное выше применяется:
у = 1/(х-1)+1Итак, чтобы y было целым числом, 1/(x-1) должно быть целым числом. Чтобы дробь давала целое число, когда единица находится сверху, его знаменатель должен иметь абсолютное значение меньше единицы, поэтому:
|х-1| Это верно только для x = {0,1,2}. х не может быть 1, потому что потребует, чтобы y был бесконечен. Таким образом, 0 и 2 также являются единственными целочисленными решениями. Итог: существует бесконечное количество пар действительных чисел, где сложение и умножение пары даст тот же ответ. Но если вам требуется, чтобы пара имела одинаковое значение или оба быть целыми числами, есть только два ответа: {0,0} и {2,2}.
К сожалению, некоторые люди прислали мне сообщения, просят меня объяснить, почему:ху - х - утакой же как:(х-1)(у-1) - 1Тск, тск! Пожалуйтесь своим учителям алгебры, они пропустил важный материал.
Оказывается, это нетрудно показать; просто начните с "(x-1)(y-1)" и умножьте его. Это два тривиальных выражения; можно просто умножить их так же, как вы перемножаете многозначные числа:
х - 1 * у - 1 =============== -х + 1 ху-у =============== ху-х-у + 1Итак, (x-1)(y-1) равно почти то же, что xy-x-y, за исключением того, что у него есть дополнительный «+1». Нет проблем, просто вычтите единицу, и она у вас есть. Что означает, что:
ху - х - у = (х-1)(у-1) - 1Вот, если честно, я сразу же узнал "ху-ху-у" так же легко переписано как «(x-1)(y-1)-1»; Мне не пришлось «разбираться». Но если вы не видели этого раньше, надеюсь, это вас убедит.
Если вам понравилась эта статья, вам могут понравиться мои статьи о Задача четыре четверки или странные базы.
Не стесняйтесь видеть мой домашняя страница на dwheeler.com.
Дэвид А. Уилер, 10 сентября 2002 г.
Это Copyright (C) 2002-2005 Дэвид А.
Уилер.
Умножение показателей — Правила | Умножение показателей
Перемножение двух членов с показателями степени называется умножением показателей степени . Умножение показателей степени включает определенные правила в зависимости от основания и степени. Иногда нам нужно умножать отрицательные показатели или умножать показатели с одинаковым основанием или с разными основаниями. Во всех этих случаях мы следуем разным правилам. Давайте узнаем больше об умножении показателей в этой статье.
| 1. | Что такое умножение показателей? |
| 2. | Умножение показателей степени с одинаковым основанием |
| 3. | Умножение показателей степени с разным основанием |
| 4. | Часто задаваемые вопросы по умножению показателей степени |
Что такое умножение показателей?
Прежде чем исследовать концепцию умножения показателей степени, давайте вспомним значение показателей степени.
Показатель степени можно определить как количество раз, когда величина умножается сама на себя. Например, когда 2 умножается трижды само на себя, это выражается как 2 × 2 × 2 = 2 3 . Здесь 2 — это основание , а 3 — степень или показатель степени . Читается как «2 в степени 3».
Теперь давайте обсудим, что означают показатели степени умножения. Когда любые два члена с показателями умножаются, это называется умножением показателей. Давайте рассмотрим различные случаи с помощью примеров, чтобы лучше понять концепцию.
Умножение показателей степени с одинаковым основанием
Рассмотрим два члена с одинаковым основанием, то есть н и м . Здесь основание равно «а».
Пример 1: Умножить 2 4 × 2 2
Решение: Здесь основание такое же, т.
е. 2. По правилу сложим степени, 2 4 × 2 2 = 2 (4+2) = 2 6 = 64.
Проверим ответ. 2 4 × 2 2 = (2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 6 = 64
Пример 2: Найдите произведение 10 45 и 10 39
Решение: В данном вопросе основание одно и то же, то есть 10. По правилу сложим степени, 10 45 × 10 39 = 10 (45+39) = 10 84 .
Будет ли правило оставаться прежним, если базы будут другими? Давайте посмотрим на это в следующем разделе.
Умножение показателей степени с разным основанием
Когда два числа или переменные имеют разное основание, мы можем умножать выражения, следуя некоторым основным правилам возведения в степень. Здесь у нас есть два сценария, как указано ниже.
Когда базы разные, а силы одинаковые.
Рассмотрим два выражения с разными основаниями и одинаковой степенью a n и b n . Здесь основания равны a и b, а мощность равна n. При умножении показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями сначала умножаются основания. Это можно записать математически как n × b n = (a × b) n
Пример: Найдите произведение 5 2 и 8 2
5 Решение:0067 Здесь базы разные, но силы одинаковые. Итак, применяя правило, мы сначала умножим основания, то есть 5
2 × 8 2 = (5 × 8) 2 = 40 2 = 1600Когда основания и степени другой.
Рассмотрим два выражения с разными основаниями и степенями a n и b m . Здесь основаниями являются a и b. Степени равны n и m. При перемножении выражений с разными основаниями и разной степенью каждое выражение вычисляется отдельно, а затем перемножается. Это может быть записано математически как N × B M = (A N ) × (B M )
Пример: Умножение выражений: 10 3 × 7 2
. базы и полномочия разные. Поэтому каждое условие будет решаться отдельно. 10 3 × 7 2 = 1000 × 49 = 49000.
Вспомним правила умножения показателей степени с одинаковым основанием и с разными основаниями на следующем рисунке.
Умножение отрицательных показателей
Отрицательные показатели говорят нам, сколько раз нам нужно умножить обратную величину основания. Другими словами, мы можем преобразовать отрицательную экспоненту в положительную, написав обратную величину данного члена, а затем мы можем решить его как положительный член. Например, 2
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
| Когда базы одинаковые. | a -n × a -m = a -(n+m) = 1/a {n+m} |
| Когда основания разные, а отрицательные степени одинаковы. | а -n × b -n = (a × b) -n = 1/(a × b) n |
| Когда основания и отрицательные степени различны. | а -n × b -m = (a -n ) × (b -m ) |
Теперь давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.
Пример 1: Найдите произведение 2 -3 и 2 -9
Решение: Здесь одно и то же основание, то есть 2. Степени отрицательны и различны. Таким образом, 2 -3 × 2 -9 = 2 -(3+9) = 2 -12 = 1/2 12 = 1/4096 ≈ 0,000244
Пример 2: Умножение 6 -3 × 3 -3
Раствор: ЗДЕСЬ. отрицательные силы одинаковы. Таким образом, 6 -3 х 3 -3 = (6 х 3) -3 = 18 -3 = 1/18 3 = 1/5832 ≈ 0,0001715
3
Пример 7
-2 × 6 -3Решение: Здесь разные основания и отрицательные степени. Таким образом, 7 -2 × 6 -3 = 1/7 2 × 1/6 3 = 1/(7 2 × 6 3 ). с переменными
Если основанием термина является переменная, мы используем те же правила умножения степени, что и для чисел.
Когда основания переменных одинаковы, степени складываются.
Пример: Найдите произведение 4 и 10
Решение: Переменное основание такое же, то есть «а». Итак, мы сложим показатели степени: .
Пример: Умножить a 17 × b 17
Решение: Переменные основания разные, а степени одинаковые, то есть a 17 × b 17 = (a × b) 17 = (ab) 17
Когда переменные основания и степени различаются, члены вычисляются отдельно, а затем перемножаются.
Пример: Найдите произведение x 8 и y 9 .
Решение: Переменные основания и степени различны, то есть x 8 × y 9 = x 8 y 9
Умножение показателей степени с квадратным корнем
В этом разделе мы рассмотрим умножение показателей степени, где основания имеют квадратный корень. Следует отметить, что правила экспоненты остаются теми же, если основаниями являются квадратные корни.
Кроме того, следует помнить один важный момент: мы можем преобразовать радикалы в рациональные показатели, а затем умножить данные выражения. Например, квадратный корень из положительного числа √a можно выразить в виде рационального показателя следующим образом. √а = а 1/2 . Теперь, когда нам нужно переписать данный экспоненциальный член как рациональный показатель, мы умножаем существующую степень на 1/2. Например, если нам нужно перепишем √5 3 как рациональный показатель, мы сначала преобразуем радикал √5 в 5 1/2 , затем умножим степень 3 на 1/2, что составит 3/2.
Теперь радикал √5 3 преобразуется в рациональный показатель и записывается как 5 3/2 .
Правила умножения показателей степени с квадратным корнем
Теперь давайте воспользуемся правилами умножения показателей степени, применимыми к выражениям, в которых основанием являются квадратные корни.
Когда основания квадратного корня совпадают, степени складываются.
Пример: Найдите произведение (√5) 2 и (√5) 7 .
Решение: Основания квадратного корня одинаковы. Таким образом, (√5) 2 × (√5) 7 = (√5) 2+7 = (√5) 9 = (5) 1/2 × 9 = (5) 9/2
Если основания квадратного корня разные, а степени одинаковые, сначала умножаются основания.
Пример: Умножить (√5) 3 × (√7) 3
Решение: Основания квадратного корня разные, а степени одинаковые.
Таким образом, (√5) 3 и (√7) 3 = (√5 ×√7) 3 = [√(5×7)] 3 = (√35) 3 = ( 35) 3/2
Когда основания квадратного корня и степени различаются, показатели степени вычисляются отдельно, а затем перемножаются.
Пример: Найдите произведение (√5) 3 и (√7) 4
Решение: Основания квадратного корня и степени различны. Таким образом, (√5) 3 × (√7) 4 = 11,18 × 49 ≈ 547,82
Правила умножения показателей степени на дроби
Если основанием выражения является дробь, возведенная в степень, мы используйте те же правила экспоненты, которые используются для оснований, являющихся целыми числами. Обратите внимание на следующую таблицу, чтобы увидеть различные сценарии.
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
Когда основания дробей одинаковы. | (a/b) n × (a/b) m = (a/b) n+m |
| Когда основания дробей разные, а степени одинаковые. | (a/b) n × (c/d) n = (a/b × c/d) n |
| Когда основания дробей и степени различны. | (a/b) n × (c/d) m = (a n × c m )/(b n × d m ) |
Давайте рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы лучше понять это.
Пример 1: Найдите произведение (2/3) 2 и (15/8) 2
Решение: Здесь дробные основания разные, но степени одинаковы. Таким образом, применяя указанное выше правило, (2/3) 2 × (15/8) 2 = (2/3 × 15/8) 2 = (5/4) 2 = 5 2 /4 2 = 25/16
6
Пример 2: Умножить (2/3) 2 × (2/3) 5 Решение: Здесь основания дробей одинаковы.
(2/3) 2 × (2/3) 5 = (2/3) 2+5 = Таким образом, (2/3) 7 = 2 7 /3 7 = 128/2187.
Пример 3: Умножить (3/4) 2 × (2/3) 3
Решение: Здесь дробные основания и степени разные. Итак, сначала будем решать каждое слагаемое отдельно, а потом двигаться дальше. (3/4) 2 × (2/3) 3 = Таким образом, (3 2 × 2 3 )/(4 2 × 3 3 ) = (9 × 8)/ (16 × 27) = 1/6.
Как умножать дробные степени?
Если термин имеет дробную степень, он называется дробным показателем. Например, 2 3/5 — дробный показатель. Давайте разберемся с правилами, применяемыми для умножения дробных показателей, с помощью следующей таблицы.
| Чемоданы | Правила |
|---|---|
Когда базы одинаковые. | а н/м × а к/к = а н/м+к/к |
| Когда основания разные, но дробные степени одинаковы. | a н/м × b н/м = (a×b) н/м |
| Когда основания и дробные степени разные. | а н/м × b к/к = (а н/к ) × (б к/к ) |
Давайте разберемся в этих правилах с помощью следующих примеров.
Пример 1: Умножить 2 1/2 и 2 3/2
Решение: Здесь базы одинаковые. Таким образом, 2 1/2 × 2 3/2 = 2 1/2+3/2 = 2 4/2 = 2 2 = 4
Пример 7. Найдите произведение 906. числа 2 1/2 и 3 1/2
Решение: Здесь основания разные, но дробные степени одинаковы. Таким образом, 2 1/2 × 3 1/2 = (2×3) 1/2 = 6 1/2 = √6
Пример 3: Умножьте 4 2/3 × 2 1/3
Решение: Здесь основания и дробные степени разные.
Таким образом, 4 2/3 × 2 1/3 ≈ 2,52 × 1,26 = 3,1752
. ☛ Похожие темы Часто задаваемые вопросы о умножении показателей степени
Как работает умножение показателей степени?
Умножение показателей означает нахождение произведения двух членов, имеющих показатели степени. Поскольку существуют разные сценарии, такие как разные базы или разные силы, для их решения применяются разные правила экспоненты. Ниже приведены некоторые основные правила, которые используются почти во всех случаях.
- При перемножении членов с одинаковым основанием степени складываются, т.
е. - Чтобы умножить члены с разными основаниями и одинаковыми степенями, сначала умножаются основания. Математически это можно записать как
- При перемножении терминов с разными основаниями и разной степенью каждый термин оценивается отдельно, а затем перемножается. можно записать как n × b m = (a n ) × (b m )
е.Можно ли умножать показатели степени с разными коэффициентами?
Да, выражения с разными коэффициентами можно перемножать. Коэффициенты умножаются отдельно, как показано в примере. Например, 3a 2 × 4a 3 = (3 × 4) × (a 2 × a 3 ) = 12a 5 .
При умножении степеней вы складываете степени?
При умножении показателей степени с одинаковыми основаниями степени складываются. Например, 3 4 × 3 5 = 3 ( 4+5) = 3 9
Как умножать степени с разными основаниями?
Для умножения показателей степени с разными основаниями и одинаковыми степенями основания умножаются, а степень записывается вне скобок.
а n × b n = (a × b) n . Например, 2 2 × 3 2 = (2 × 3) 2 = 6 2 = 36. Однако, когда мы умножаем показатели степени с разными основаниями и разными степенями, каждый показатель степени решается отдельно, а затем они умножаются. n × b м = (a n ) × (b м ). Например, 2 2 × 5 4 = (2) 2 × (5) 4 = 4 × 625 = 2500.
Что означает умножение показателей степени с одинаковым основанием?
Умножение степеней с одинаковым основанием означает, что основания одинаковы, а степени разные. В этом случае основание остается общим, а разные степени добавляются, т.е.0103 . Например, 2 3 × 2 4 = 2 (3 + 4) = 2 7 = 128
Как умножать числа в скобках?
Когда показатели степени умножаются на скобки, степень вне скобок умножается на каждую степень внутри скобок.
Например, (2a 2 b 3 ) 2 = 2 2 × a (2 × 2) × b (3 × 2) = 4a 4 b 9.
Каковы правила умножения показателей степени?
Существуют разные правила умножения показателей степени. Основные правила умножения показателей приведены ниже.
- При перемножении выражений с одинаковым основанием степени складываются, т.е.
- При перемножении выражений с разными основаниями и одинаковыми степенями общая степень записывается вне скобок, т. е. a n × b n = (a × b) п
- При перемножении выражений с разными основаниями и разными степенями каждый член вычисляется отдельно, а затем умножается, т.е.
Как умножать степени с отрицательными степенями?
Умножение показателей с отрицательными степенями следует тому же набору правил, что и умножение показателей с положительными степенями. Единственная разница здесь в том, что мы должны быть осторожны со сложением и вычитанием целых чисел для него.