Свойства умножения рациональных чисел (6 класс, математика)
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 140.
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 140.
Свойства умножения рациональных чисел важны не только при решении примеров 6 класса, но и в уравнениях высшей математики. Практически вся высшая математика строится на буквенных выражениях, а они состоят из численных и буквенных частей, перемноженных между собой. Понимание действий, которые можно производить с такими выражениями, значительно упрощает учебу.
Что такое умножение?
Умножение это математическая операция, смысл которой заключается в том, чтобы сложить число само с собой определенное количество раз. Количество раз определяется вторым множителем, а изначальное число первым.
6*9=54 – число шесть 9 раз сложили само с собой и получили 36.
Многие свойство умножения повторяют свойства сложения. Поэтому, если вы хорошо знаете свойства или законы сложения, то никаких проблем при изучении свойств умножения не возникнет.
Переместительное свойство
Переместительное свойство умножения гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Так же, как в свойствах сложения мы говорили о том, что при перемене мест слагаемых сумма не изменится.
Действительно, нет разницы:
6*3*4=72 –посчитать так. Или так:
3*4*6 =72
Сочетательное свойство
Сочетательное свойство говорит о том, что при перемножении 3 чисел, можно первое умножить на второе, а затем результат умножить на третье. Порядок действий можно менять, главное: удобство вычислений:
6*3*4=6*12=72
6*3*4=18*4=72
6*3*4=6*4*3=24*3=72
Как видно, разницы в результатах нет.
Распределительное свойство
Распределительное свойство часто называют распределительным относительно сложения, потому что применяется оно чаще всего при умножении числа на сумму. В этом случае можно сначала найти сумму, а затем ее умножить на число, а можно умножить каждый множитель на слагаемое, а потом сложить получившиеся произведения.
6*(3+4)=6*7=42
6*(3+4)=6*3+6*4=18+24=42
Правило знаков
Правило знаков не имеет аналогов в сложении, но крайне важно при умножении рациональных чисел.
Правило знаков обычно записывают тремя утверждениями:
- Умножение отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат. Иначе: «Минус на минус будет плюс»
- Умножение отрицательного числа на положительное дает отрицательный результат. Иначе: «Минус на плюс будет минус»
- Умножение положительных чисел дает положительный результат. Иначе: «Плюс на плюс будет плюс»
Что мы узнали?
Мы поговорили об основных свойствах умножения. Выделили аналоги этих свойств в сложении и обсудили правило знаков. Привели общепринятую и упрощенную формулировки правила знаков.
Тест по теме
Доска почёта
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.
7
Всего получено оценок: 140.
А какая ваша оценка?
Свойства умножения: переместительное, сочетательное и распределительное
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a — b) = m · a — m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a — b) · m = a · m — b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a — b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a — m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a — m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a — b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Ассоциативное свойство умножения? Определение, примеры
Умножение — одно из самых основных элементарных арифметических действий, которым учащиеся учат в процессе взросления. В элементарной математике умножение — это более сложный способ многократного сложения числа. Сама основа умножения лежит в концепции многократного сложения, и, следовательно, операция умножения обладает теми же свойствами, что и оператор сложения. Одним из таких свойств является ассоциативное свойство умножения.
Что такое ассоциативное свойство умножения?
«Ассоциировать» означает соединиться или присоединиться к чему-либо. Ассоциативное свойство умножения говорит о том, что при умножении трех чисел, независимо от способа группировки чисел, конечный результат всегда будет одним и тем же.
Попробуем понять ассоциативность умножения на примере:
Попробуем умножить числа 2, 3 и 5.
Теперь мы можем умножать эти числа по-разному.
Мы могли бы сначала умножить 2 и 3, а затем умножить их произведение на 5.
Или мы могли бы сначала умножить 3 и 5, а затем умножить произведение этих двух чисел на
2.
Как мы видим, произведение в обоих случаях одинаково. Это свойство, при котором порядок умножения трех чисел не влияет на результат, называется ассоциативным свойством умножения.
Поскольку сложение лежит в основе умножения, за ассоциативным свойством следуют только сложение и умножение. Закон ассоциативности не распространяется на операции вычитания и деления.
Связанные игры
Решенные примеры
Пример 1. Решите выражение $6 \times 7 \times 8$ двумя разными способами.
Решение:
Группировка первых двух членов выражения
Группировка двух вторых членов в выражении0003
$= 336$
Пример 2: Проявляет ли данное уравнение ассоциативность умножения?
$2 х 3 х 4 = 3 х 2 х 4$ Данное уравнение представляет собой умножение 3, 2 и 4.
Порядок чисел в обратном порядке дает тот же ответ, то есть 24. Таким образом, оно демонстрирует ассоциативное свойство.
Пример 3. Используйте ассоциативное свойство умножения, чтобы найти a и b в уравнении,
$(3 x a) x 9 = 3 x (4 x b)$
Решение: If уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена по обе стороны уравнения должны быть одинаковыми. 3 присутствует с обеих сторон. Отсюда следует, что $a = 4$ и $9 = 6$.
Связанные рабочие листы
Практические задачи
1
Что из следующего не демонстрирует ассоциативного свойства умножения?
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
$(p \times q) \times r = a \times (b \times c)$
$( c \times e) \times d = c \times (e \times d)$
$(m \times n) \times o = m \times (n \times o)$
Правильный ответ: $( p \times q) \times r = a \times (b \times c)$
Члены слева не совпадают с членами справа от уравнения.
Ассоциативное свойство допустимо только для группировки терминов.
2
Учитывая, что $(10 \times m) \times 2 = 10 \times (5 \times 2)$, при каком значении m уравнение будет верным?
20
10
5
100
Правильный ответ: 5
Чтобы уравнение было верным, оно должно следовать ассоциативному свойству умножения. Три члена слева — это 10, m и 2, а справа — 10, 5 и 2. Отсюда ясно, что $m = 5$.
3
Если следующее уравнение следует ассоциативному свойству умножения, найдите p и q. $(8 \times p) \times 6 = 8 \times (11 \times q)
$p = 11, q = 6$
$p = 6, q = 11$
$p = 8, q = 11$
$p = 11, q = 8$
Правильный ответ: $p = 11, q = 6$
Если уравнение следует ассоциативному свойству умножения, хотя и сгруппировано по-разному, три члена с обеих сторон уравнения должны быть одинаковыми. 8 присутствует с обеих сторон. Отсюда естественным образом следует, что $p = 11$ и $q = 6$, чтобы гарантировать наличие 8, 11 и 6 с обеих сторон.
4
Что из нижеперечисленного не обладает свойством ассоциативности?
Сложение
Умножение
Вычитание
Ничего из вышеперечисленного
Правильный ответ: Вычитание
Ассоциативное свойство применимо к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению. Группировка трех или более терминов, умноженных или добавленных, не влияет на результат.
Часто задаваемые вопросы
В чем преимущество использования ассоциативного свойства умножения?
Ассоциативное свойство умножения помогает быстрее умножать числа. Вместо того, чтобы умножать список чисел в том порядке, в котором они написаны, сгруппируйте их иначе, чтобы умножать в удобном для вас порядке. В выражении $5 \times 5 \times (8)$ было бы разумно умножить 5 и 8, чтобы получить 40, а затем умножить 5, чтобы получить 200.
$(5 \times 5) \times (8)$
$= (5 \times 8) \times (5)$
$= 40 \times 5$
$= 200$
Отдельно из ассоциативного свойства, за какими другими свойствами следует умножение?
Арифметическая операция умножения следует двум другим свойствам, в том числе коммутативности и дистрибутивности.
В чем разница между коммутативным и ассоциативным свойством умножения?
Коммутативное свойство связано с порядком чисел, тогда как ассоциативное свойство связано с группировкой чисел. В обоих случаях на результат не влияет.
Коммутативный: $4 \times 5 = 5 \times 4$
Ассоциативный: $2 \times (4 \times 5) = 5 \times (4 \times 2)$
Свойство коммутативности можно применить к двум терминам. Поскольку для группировки требуется более двух чисел, для применения свойства ассоциативности должны присутствовать три или более члена.
Свойства умножения — определение, факты, примеры, часто задаваемые вопросы
свойства умножения — это определенные правила, которые используются при умножении чисел. Эти свойства помогают легко упростить выражения и, следовательно, играют важную роль в решении всех видов математических выражений, будь то алгебраические выражения, дроби или целые числа. Эта статья дает представление о различных типах свойств умножения.
| 1. | Каковы свойства умножения? |
| 2. | Ассоциативное свойство умножения |
| 3. | Коммутативное свойство умножения |
| 4. | Распределительное свойство умножения |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о свойствах умножения |
Каковы свойства умножения?
Свойства умножения — это те функции, которые используются при умножении двух или более чисел в выражении. Различные свойства умножения имеют различные типы правил, как описано в следующих разделах.
Ассоциативное свойство умножения
В соответствии с ассоциативным свойством умножения изменение группировки чисел не влияет на произведение чисел. Например, (4 × 6) × 3 = 4 × (6 × 3) = 72. Для выражения этого свойства используется следующая формула: (a × b) × c = a × (b × c)
Коммутативное свойство умножения
Коммутативное свойство умножения гласит, что любое изменение порядка множителей не влияет на произведение.
Распределительное свойство умножения
Распределительное свойство умножения применяется к сложению и вычитанию. Это представлено как (b + c) = ab + ac; и а(Ь — с) = аб — ас. Согласно этому свойству, когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, указанных в скобках, мы можем решить это число, умножая это число на оба слагаемых по отдельности, а затем их произведения складываются вместе. Этот продукт будет таким же, если мы умножим число на сумму двух слагаемых. Например, давайте решим 5(2 + 4), используя обычные правила упрощения, где мы сначала раскрываем скобки, а затем умножаем число на результат. Это означает, что 5(2 + 4) = 5 × 6 = 30. Теперь, когда мы применим распределительное свойство умножения, мы будем умножать число вне скобок на первое слагаемое внутри скобок, а затем умножать число на второе слагаемое в скобках. Это означает, что 5(2 + 4) = (5 × 2) + (5 × 4) = 10 + 20 = 30.
Свойство идентичности умножения
Свойство идентичности умножения, также известное как мультипликативное свойство идентичности, утверждает, что при умножении числа на 1 произведение всегда является самим числом. Он представлен как а × 1 = а. Например, 5 × 1 = 5 или 1 × 17 = 17.
Нулевое свойство умножения
Согласно нулевому свойству умножения, когда число умножается на 0, произведение всегда равно 0. Оно представляется как , a × 0 = 0. Например, 42 × 0 = 0 или 0 × 23 = 0,
☛ Статьи по теме
- Свойства натуральных чисел
- Свойства матриц
- Свойства целых чисел
- Свойства рациональных чисел
- Свойства дополнения
Примеры свойств умножения
Пример 1. Какой оператор является примером свойства Identity умножения?
а.
) 98 × 1 = 98б.) 5 × 7 = 35
в.) 5 × 4 = 4 × 25
г.) (9 × 8) × 7 = 9 × (8 × 7) )
Решение: Используя свойства умножения, мы можем сказать, что вариант (a.) 98 × 1 = 98 является примером свойства идентичности умножения, потому что когда 98 умножается на 1, получается число 98 сам.
Пример 2: Используйте свойства умножения, чтобы заполнить пропущенное число: 435 × 56 × 12 = 12 × ___ × 56
Решение: Согласно переместительному свойству умножения мы можем заключить, что недостающее число равно 435.
Пример 3: Заполните пропущенное число, используя свойства умножения: (456 × 212) × 10 = 456 × (___ × 10)
Решение: Используя ассоциативное свойство умножения, мы можем сказать, что отсутствует номер 212.
) 98 × 1 = 98перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите построить прочную основу в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними.
Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по свойствам умножения
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о свойствах умножения
Каковы свойства умножения?
свойства умножения — это те наборы правил, которые помогают упростить выражения. Есть 5 основных свойств умножения.
- Ассоциативное свойство умножения: (a × b) × c = a × (b × c)
- Коммутативное свойство умножения: a × b = b × a
- Свойство идентичности умножения: a × 1 = a
- Распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac; и а(Ь — с) = аб — ас
- Нулевое свойство умножения. а × 0 = 0
Что такое распределительное свойство умножения над сложением?
Распределительное свойство умножения над сложением означает, что когда число умножается на сумму двух или более слагаемых, оно дает тот же результат, если мы умножаем каждое слагаемое в отдельности на число, указанное вне скобок.
Например, давайте решим 10 (5 + 8). Если мы решим его обычным способом, то получим 10 × 13 = 130. Теперь, если мы применим свойство распределения, мы умножим 10 на 5 и 8 по отдельности, а затем сложим их произведения вместе. Это приведет к 10 (5 + 8) = (10 × 5) + (10 × 8) = 50 + 80 = 130,
Как применить свойства умножения?
Свойства умножения можно применять при умножении целых чисел, дробей, десятичных дробей или даже алгебраических выражений. Например, тождественное свойство умножения говорит, что любое число, умноженное на 1, дает само число. Точно так же ассоциативное свойство умножения говорит нам, что изменение группировки чисел не влияет на произведение чисел. Точно так же все остальные свойства умножения могут быть применены для облегчения вычислений.
В чем разница между коммутативными и ассоциативными свойствами умножения?
Коммутативное свойство умножения гласит, что если мы изменим порядок делителей числа, произведение останется прежним. Например, 7 × 20 = 20 × 7 = 140.