Законы умножения: переместительный, сочетательный и распределительный
- Переместительный закон умножения
- Сочетательный закон умножения
- Распределительный закон умножения
Переместительный закон умножения
Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:
3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4
Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.
Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительный закон умножения:
От перестановки сомножителей произведение не меняется.
Сочетательный закон умножения
Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:
3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24,
3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.
Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательный закон умножения:
Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.
Распределительный закон умножения
Для любых натуральных чисел верны равенства:
m · (a + b + …) = m · a + m · b + …
(a + b + …) · m = a · m + b · m + … ,
выражающие распределительный закон умножения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:
Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек.
В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.
Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.
Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:
m · (a — b — …) = m · a — m · b — …
(a — b — …) · m = a · m — b · m — …
Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.
Переход от умножения:
m · (a + b + …)
и
m · (a — b — …)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b + …
и
m · a — m · b — …
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b + .
..
и
m · a — m · b — …
к умножению:
m · (a + b + …)
и
m · (a — b — …)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Сочетательный закон сложения – правило
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 125.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 125.
Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Сумма чисел
Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма. Примерно так объясняют сумму в младших классах, иногда приводя примеры на сложение фруктов, конфет или канцелярских принадлежностей.
Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.
Поэтому в математике старших классов используют другое определение. Сумма это движение числа по числовой прямой вправо. На самом деле, число может двигаться и влево, при сложении отрицательных чисел. Но принято говорить «вправо», поскольку такие суммы сначала преобразовываются в разность
Законы сложения
Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.
Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не изменится.
Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание – это не аргумент. в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиомы и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения – это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.
Сочетательный закон
Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.
- Проще всего человеку складывать десятки.
Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу. Например:
Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу. Например:13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75
- Есть числа, которые складывать человеку тяжело в силу особенностей мышлений. Поэтому выполнения множества примеров направлено на то, чтобы значение сумм некоторых чисел запоминалось и выдавалось на автомате, как таблица умножения. Наиболее яркие примеры:
7+8=15
5+7=12
8+3=11
5+8=13
- По аналогии с десятками, дроби нужно группировать так, чтобы получались единицы. В первую очередь складываются дроби с одинаковыми знаменателями и с знаменателями, к которым можно быстро найти НОК. После этого ищутся и группируются дроби, которые в сумме дают целое число. Это касается как обыкновенных, так и десятичных дробей:
3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.
3,72-5+5,28+17,8+9,2=3+0,72-5+5+0,28+17+0,8+9+0,2=(3+5-5+17+9)+(0,72+0,28)+(0,8+0,2)=(3+17+9)+1+1=20+9+2=29+2=31
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое сумма. Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Татьяна Ивановна
7/10
Данил Лазарев
7/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 125.
А какая ваша оценка?
Коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойство? (Видео и практика)
СтенограммаЧасто задаваемые вопросыИнформационный бюллетеньПрактика
Как вы, возможно, уже поняли за годы занятий по математике и домашних заданий, математика по своей природе является последовательной, а это означает, что каждое понятие основано на предыдущей работе.
Арифметические навыки необходимы для овладения алгебраическими понятиями, которые затем развиваются для дальнейшего использования в вычислениях и так далее. По мере того, как вы со временем выстраиваете эти концепции, математический процесс может стать автоматическим, но причина или оправдание работы могут быть давно забыты.
В этом видео мы вернемся к основам, чтобы рассмотреть коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства действительных чисел, которые учитывают математическую механику алгебры и не только.
Коммутативное свойство
Имена свойств, которые мы собираемся рассмотреть, помогают расшифровать их значения. Рассмотрим слово , коммутативное . О чем вы думаете, когда видите это слово? Когда я смотрю на это слово, я вижу слово «коммутировать». Это слово напоминает мне о «перемещении», которое свойство коммутативности позволяет вам делать при сложении или умножении алгебраических членов. Коммутативность математически выглядит следующим образом: 9{2}\) и так далее.
Чтобы доказать, что перемещение или перестановка терминов допустимы, давайте рассмотрим несколько примеров использования свойства коммутативности в задачах на сложение.
Пример 1
Если мы сложим \(5+3\), то получим \(8\). Но если мы поменяем наши условия и сделаем это \(3 + 5\), мы все равно получим \(8\). Итак, \(5+3=3+5\).
Пример 2
Давайте немного изменим один из наших терминов для следующего примера. \(5+(-3)=2\) и \((-3)+5=2\). Итак, \(5+(-3)=(-3)+5\). Обратите внимание, что существует очень важное различие между сложением отрицательного целого числа и операцией вычитания. Важно отметить это различие, потому что свойство коммутативности не применяется к операции вычитания. Например, \(5-3\) не дает того же, что и \(3-5\). Это свойство также не относится к делению. \(100\дел 2\neq 2\дел 100\).
\(100\div 2=50\)
\(2\div 100=\frac{1}{50}\)
Пример 3
Однако свойство коммутативности применимо к умножение.
{2}\)
\(3+10+3=10+3+3\)
\(16=16\)
После сложения каждой стороны у нас останется 16 с обеих сторон, что верно. . \(16=16\).
Следующее свойство, которое мы рассмотрим, это ассоциативное свойство.
Ассоциативное свойство
Опять же, название дает полезный намек на его значение. Что приходит на ум, когда вы слышите слово , ассоциативное с ? Для меня выделяется слово , ассоциированное с , которое могло бы также навести на мысль о слове группа . Соответственно, свойство ассоциативности позволяет нам группировать термины, которые соединяются сложением или умножением различными способами. Скобки используются для группировки терминов и устанавливают порядок операций. Работа внутри скобок всегда выполняется в первую очередь. Математически это свойство выглядит так:
Ассоциативность сложения : \((a+b)+c=a+(b+c)\)
Ассоциативность умножения : \(( а\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
Давайте рассмотрим пример использования этого свойства в задаче на сложение.
Пример 1
Этот пример покажет, что добавление сначала двух последних терминов или добавление первых двух терминов просто не имеет значения. Давайте посмотрим на \(3+(4+5)=(3+4)+5\). Итак, сначала делаем то, что в скобках. \(4+5=9\) и \(9+3=7\).
\(3+9=7+5\)
\(3+9=12\) и \(7+5=12\)
\(12=12\)
Итак \(12=12\), потому что это обе стороны уравнения. Точно так же не имеет значения и порядок, в котором мы выполняем умножение.
Пример 2
Допустим, у нас есть \((3\cdot 4)\cdot 5=3\cdot (4\cdot 5)\).
\(12\cdot 5=3\cdot 20\)
\(60=60\)
Перестановочное свойство умножения показывает, что при умножении допустимо переставлять члены. Напротив, ассоциативное свойство умножения перемещает скобки в порядке умножения.
Распределительное свойство
Наконец, последнее свойство, которое мы рассмотрим, это свойство распределения, которое выглядит следующим образом: \(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)
Нотация, опять же, диктует, что это свойство применимо только к операциям умножения и сложения.
В частности, если термин умножается на выражение в круглых скобках, то умножение выполняется для каждого из терминов. Вот пример, доказывающий, что этот алгебраический ход оправдан. \(2(3+7)=2\cdot 3+2\cdot 7\)
Скобки слева говорят нам сначала добавить 3+7.
\(2(10)=6+14\)
\(20=20\)
Сумма произведений в правой части уравнения дает тот же результат, что и умножение в левой.
Обзор
Хорошо, теперь, когда мы рассмотрели три свойства, давайте проверим вашу память. Для каждой проблемы укажите свойство (коммутативное, ассоциативное или дистрибутивное), которое оправдывает утверждение. Идите вперед и приостановите видео, если вам нужно больше времени.
Задача 1:
9{2}\)\(5\cdot (2\cdot x)=(5\cdot 2)\cdot x\)
Думаю, вы поняли? Давайте посмотрим! Ответ для числа 1 является ассоциативным свойством, потому что скобки перемещаются в порядке умножения.
Ответом на вопрос номер два является распределительное свойство, потому что 3 умножается на оба члена в скобках. Это оставляет нас с ответом на вопрос номер три, являющимся коммутативным свойством, потому что мы просто переставили члены.
Как видно из нашей работы в этом видео, вы использовали коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства в течение довольно долгого времени, даже не задумываясь над тем, «почему». Вас попросят снова подумать об этих концепциях на курсах математики более высокого уровня, когда некоторые из этих свойств просто не выдерживают критики! До тех пор продолжайте уверенно использовать эти правила, чтобы управлять своей работой и мыслительными процессами.
Надеюсь, этот отзыв был вам полезен. Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Часто задаваемые вопросы
Q
Что такое свойство коммутативности в математике?
A
Свойство коммутативности применимо к сложению и умножению. В свойстве указано, что термины могут «перемещаться» или перемещаться, и на результат это не повлияет.
Это выражается как \(a+b=b+a\) для сложения и \(a×b=b×a\) для умножения. Коммутативное свойство не применяется к вычитанию или делению.
Q
Каковы 2 примера коммутативного свойства?
A
Свойство коммутативности применимо к сложению и умножению. Например, если у вас есть 4 монеты в левом кармане и 5 монет в правом кармане, всего у вас будет 9 монет, независимо от того, в каком кармане вы считаете первым.
\(a+b=b+a\)
\(4+5=5+4\)
То же самое справедливо и для умножения. Например, в лотке для кубиков льда с 2 рядами по 10 кубиков всего будет 20 кубиков, независимо от того, как вы их считаете. Подсчет 2 строк по 10 или подсчет 10 строк по 2 дадут одинаковый результат.
\(a×b=b×a\)
\(2×10=10×2\)
Q
Как проверить свойство коммутативности?
A
Свойство коммутативности можно проверить с помощью сложения или умножения. Это связано с тем, что порядок членов не влияет на результат при сложении или умножении.
Например, при умножении 5 и 7 порядок не имеет значения. \((5)\times(7)=35\) и \((7)\times(5)=35\). Умножение 5 стульев в ряду на 7 рядов даст вам всего 35 стульев, а умножение 7 стульев в ряду на 5 рядов также даст вам 35 стульев.
Точно так же порядок терминов не имеет значения при добавлении. Например, \((5)+(7)=12\) и \((7)+(5)=12\). Если я добавлю 7 синих шариков жвачки к 5 красным шарикам жвачки, у меня будет всего 12 шариков жевательной резинки. И если я добавлю 5 синих жевательных резинок к 7 красным, у меня все равно будет 12 круглых жевательных резинок.
Q
Является ли деление коммутативным свойством?
A
Свойство коммутативности не распространяется на деление. Например, \(500\div2=250\), но \(2\div500=0,004\). Когда термины «ездят на работу» или меняют местоположение, ответ меняется. При делении порядок членов имеет значение.
Q
Что такое пример ассоциативного свойства?
A
Ассоциативное свойство указывает, что при добавлении или умножении трех или более чисел и использовании символов группировки результат не изменится независимо от того, где расположены символы группировки.
Например, если у вас есть 5 зеленых, 9 желтых и 4 синих шарика, всего у вас будет 18 шариков, независимо от того, какие два цвета вы объедините первыми.
\((а+б)+с=а+(б+с)\)
\((5+9)+4=5+(9+4)\)
\((14)+4=5+(13)\)
\(18=18\)
Аналогично, группировка символы также несколько произвольны при умножении. Например, при вычислении объема прямоугольной призмы длиной 5 дюймов, шириной 4 дюйма и высотой 3 дюйма порядок умножения не влияет на результат. Умножение длины и ширины, а затем высоты даст тот же результат, что и умножение ширины и высоты, а затем длины.
\((a×b)×c=a\times(b×c)\)
\((5×4)×3=5×(4×3)\)
\((20)×3= 5×(12)\)
\(60=60\)
Q
Что такое формула ассоциативного свойства?
A
Ассоциативное свойство указывает, что при сложении или умножении символы группировки можно перемещать, не влияя на результат. Формула для состояний сложения \((a+b)+c=a+(b+c)\) и формула для состояний умножения \((a×b)×c=a×(b×c)\).
Q
В чем разница между ассоциативным свойством и распределительным свойством?
A
Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении символы группировки можно переставлять, и это не повлияет на результат. Это указано как \((a+b)+c=a+(b+c)\). Распределительное свойство — это метод умножения, который включает умножение числа на все отдельные слагаемые другого числа. Это указывается как \(a(b+c)=ab+ac\).
Q
Что такое распределительное свойство в математике?
A
Распределительное свойство — это метод умножения, при котором каждое слагаемое умножается отдельно. Например, вместо умножения \(5\times46\) мы можем разбить 46 на отдельные слагаемые \((40+6)\) и умножить 5 на каждую часть отдельно. \(5\times46\) становится \(5\times40\) плюс \(5\times6\). По сути, 5 «распределяется» по каждому дополнению. Распределительное свойство часто используется в алгебре при упрощении выражений или уравнений.
2+10x\).
Q
Что такое формула коммутативного свойства?
A
Формула коммутативного свойства применяется к сложению и умножению. Формула сложения утверждает, что \(a+b=b+a\), а формула умножения утверждает, что \(a×b=b×a\). Эти формулы используются для описания концепции, согласно которой при сложении или умножении термины могут «перемещаться» или перемещаться, а результат не изменится.
Q
Что такое распределительное свойство в математике 3-го класса?
A
Распределительное свойство является полезным методом умножения многозначных чисел. Например, \(3\times4{,}562\) на первый взгляд может показаться сложной задачей. Однако, если разбить 4562 на \(4{,}000+500+60+2\), с ними будет гораздо легче справиться. Теперь мы можем умножить 3 на каждую из этих «кусочков». Распределительное свойство часто делает многозначное умножение более управляемым.
«Распределить» 3 на все слагаемые (умножить).
\(3\times4{,}000=12{,}000\)
\(3\times500=1{,}500\)
\(3\times60=180\)
\(3\times2=6\)
Теперь сложим части.
Всего 13 686.
Информационный бюллетень
Загрузить информационный бюллетень
Практические вопросы
Вопрос № 1:
Какое из следующих определений ассоциативного свойства является правильным?
Если термин умножается на выражение в скобках, то умножение производится над каждым из членов
При сложении или умножении чисел не имеет значения, как сгруппированы числа
Любое число, умноженное на 1, само является
При сложении или умножении чисел вы можете свободно перемещать термины
Показать Ответ
Ответ:
не имеет значения, как сгруппированы числа, то есть не имеет значения, где вы ставите скобки.
Скрыть ответ
Вопрос № 2:
Что из следующего является правильным примером ассоциативного свойства?
\((8-11)-2=8-(11-2)\)
\((17+2)-3=17+(2-3)\)
\((4+3 )+(7+11)=4+(3+7)+11\)
\((21+3)-11=(3+21)-11\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: \((4+3)+(7+11)=4+(3+7)+11\).
Ассоциативное свойство говорит о том, что не имеет значения, как сгруппированы добавленные термины. Поскольку все эти термины добавляются друг к другу, скобки можно ставить в любом месте.
Скрыть ответ
Вопрос №3:
К какой из следующих операций применимо свойство ассоциативности?
Сложение и умножение
Сложение и вычитание
Умножение и деление
Вычитание и деление
Показать Ответ
Ответ:
Правильный ответ — сложение и умножение. Ассоциативность относится к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению. Вычитание и деление — это операции, которые требуют выполнения в очень определенном порядке, в отличие от умножения и деления.
Скрыть ответ
Вопрос № 4:
Какой из следующих способов не является правильным способом перезаписи выражения \(4×11×21÷3÷7\)?
\((4×11×21)÷3÷7\)
\((4×11)×21÷3÷7\)
\(4×(11×21)÷3÷7\ )
\(4×11×21÷(3÷7)\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: \(4×11×21÷(3÷7)\).
Ассоциативное свойство применяется к умножению, но не к делению, поэтому разделенные термины нельзя перегруппировать.
Скрыть ответ
Вопрос № 5:
Что из следующего является правильным примером ассоциативного свойства?
\(4÷(3÷7)=(4÷3)÷7\)
\(4×3×7=7×3×4\)
\(4×(3×7)= (4×3)×7\)
\(4÷3÷7=7÷3÷4\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: \(4×(3×7) )=(4×3)×7\). Ассоциативное свойство говорит, что вы можете перегруппировать умноженные термины любым способом. Перестановка умноженных членов является примером коммутативного свойства. Ни одно из этих свойств не применимо к делению.
Скрыть ответ
Вопрос № 6:
Какое утверждение лучше всего иллюстрирует свойство коммутативности?
\(4×3=12\)
\(6+5=5+6\)
\(34-2=2-34\)
\(6×6=5×5\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ \(6+5=5+6\).
Коммутативное свойство утверждает, что значения можно перемещать или менять местами при сложении или умножении, и результат не изменится. По сути, порядок не имеет значения при сложении или умножении.
Скрыть ответ
Вопрос № 7:
Используйте свойство перестановочности, чтобы найти пропущенное значение:
\(45+44+43=43+44+\)_____
4 9004 43 00043 90
45
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: 45. Коммутативное свойство позволяет складывать или умножать числа в любом порядке.
Скрыть ответ
Вопрос №8:
Используйте свойство коммутативности, чтобы найти недостающие значения:
\(4+6+\) ____\(=6+\)____ \(+8\)
\(4+6+\mathbf6=6+\mathbf4 +8\)
\(4+6+\mathbf4=6+\mathbf4+8\)
\(4+6+\mathbf8=6+\mathbf4+8\)
\(4+6+ \mathbf4=6+\mathbf5+8\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: \(4+6+\mathbf8=6+\mathbf4+8\).
Помните, что с коммутативным свойством порядок чисел не имеет значения при сложении и умножении.
Скрыть ответ
Вопрос № 9:
Если \(x=2\), \(y=5\) и \(z=1\), что из следующего верно в отношении этого уравнения :
\(2x+4y+9z=9z+4y+2x\)
Обе стороны равны 44.
Обе стороны равны 33.
Левая часть равна 33, а правая часть равна 44.
Левая часть равна 44, а правая сторона равна 33.
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: Обе стороны равны 33.. Несмотря на то, что термины перечислены в другом порядке, левая и правая часть уравнения равны 33,
Скрыть ответ
Вопрос №10:
Перепишите выражение \(45+6+19\), используя свойство коммутативности.
\(6-19-45\)
\(45+19-6\)
\(6+45+19\)
\(45-19+6\)
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: \(6+45+19\). Выражение \(45+6+19\) эквивалентно \(6+45+19\), потому что изменение порядка добавления не влияет на результат.
Скрыть ответ
483176418491296190
Объяснение коммутативных, ассоциативных и дистрибутивных свойств
Коммутативные, ассоциативные и дистрибутивные свойства или законы лежат в основе алгебры и впервые знакомятся с детьми, в очень общих чертах, в начальной школе. В нашем руководстве для родителей мы объясняем, как ваш ребенок начнет понимать основы высшей математики.
или Зарегистрируйтесь, чтобы добавить к своим сохраненным ресурсам
Что такое коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное свойство?
Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность используются в алгебре для решения задач с числами.
Свойство коммутативности, объясненное для родителей
Слово «коммутативность» происходит от «коммутировать» или «перемещаться», поэтому свойство коммутативности относится к способности перемещать числа внутри числовых предложений .
Например: 2 + 3 дает ответ 5, и если мы переставим числа так, чтобы получилось 3 + 2, мы все равно получим ответ 5. Точно так же с умножением: 6 x 4 = 24, так же как 4 x 6 = 24.
В алгебре свойство коммутативности можно записать так:
- a + b = b + a
- a × b = b × a
Свойство коммутативности применимо к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.
Дети начальной школы вряд ли услышат слова «переместительное свойство», но детей 2-го класса учат, что сложение чисел можно выполнять в любом порядке, а вычитание чисел нельзя .
Объяснение ассоциативного свойства для родителей
Ассоциативное свойство говорит о том, что когда мы складываем или умножаем числа, не имеет значения, как мы их группируем.
Это правило применяется к числам, сгруппированным в скобки, например: 2 + (3 + 4) или 5 х (2 х 3).
Мы заключаем расчеты в скобки, если хотим, чтобы кто-то первым сделал эти расчеты. Однако, когда речь идет о группе чисел, которые нужно добавить, не имеет значения, куда идут скобки, ответ все равно будет тот же. Точно так же и с группой чисел, которые нужно перемножить, ответ будет одинаковым вне зависимости от того, как сгруппированы числа.
В алгебре ассоциативное свойство записывается следующим образом:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- (a × b) × c = a × (b × c)
ассоциативное свойство относится к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.
Маловероятно, что дети услышат термин «ассоциативное свойство» в начальной школе, но их могут попросить решить задачу, например следующую, где применяется правило:
Три друга собрали сосновые шишки и собирают их в контейнер.
Мэри и Пол собирают по 20 сосновых шишек. Джон добавляет в коллекцию еще 15. Сколько их всего?
При решении приведенной выше задачи со словами (20 + 20) + 15 = 20 + (20 + 15)
Распределительное свойство, объясненное для родителей .
Например: если мы хотим выполнить следующее умножение 2(5 +3), это означает, что мы вычисляем, сколько будет 2 лотов по 5, плюс 2 лота по 3, так что 2x можно «распределить» по 5 + 3 в 2 x 5 и 2 x 3. Это можно записать в виде следующей формулы:
- a × (b + c) = a × b + a × c
Опять же, термин «распределительное свойство» не будет использоваться в начальной школе явно, однако детей могут попросить решить аналогичную задачу на следующий:
В классе «Березка» 25 детей, в классе «Каштан» 28 детей.
Каждый ребенок в обоих классах должен принести пару перчаток в школу в понедельник. Сколько всего индивидуальных перчаток будет доставлено?
Здесь ребенку нужно понять, что он может решить это как:
- 25 + 28 = 53
- 2 x 53 = 106
Or they could do:
- 2 x 25 = 50
- 2 x 28 = 56
- 50 + 56 = 106
Как преподается алгебра в KS2
Дети начнут изучать алгебру в 6 классе, где они узнают, как использовать простые формулы и находить пропущенные числа в уравнениях.
В национальной учебной программе не указано, что дети KS2 должны знать об использовании скобок в вычислениях. Однако возможно, что более способные дети 6-х классов познакомятся с использованием скобок; правила о порядке выполнения вычислений преподаются как BODMAS (скобки, прочее/индексы, деление, умножение, сложение и вычитание).