Законы умножения: переместительный, сочетательный и распределительный
- Переместительный закон умножения
- Сочетательный закон умножения
- Распределительный закон умножения
Переместительный закон умножения
Если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Это можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек представленных на рисунке:
3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4
Так как множимое и множитель можно менять местами их ещё называют сомножителями или просто множителями.
Таким образом, для любых натуральных чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительный закон умножения:
От перестановки сомножителей произведение не меняется.
Сочетательный закон умножения
Произведение чисел 3, 2 и 4 не изменится, если из них какие-нибудь два числа заменить их произведением:
3 · 2 · 4 = 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24,
3 · 2 · 4 = (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24.
Таким образом, для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательный закон умножения:
Произведение не изменится, если какую-либо группу сомножителей заменить их произведением.
Распределительный закон умножения
Для любых натуральных чисел верны равенства:
m · (a + b + …) = m · a + m · b + …
(a + b + …) · m = a · m + b · m + … ,
выражающие распределительный закон умножения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
Распределительный закон умножения можно легко проверить при подсчёте двумя способами числа звёздочек, представленных на рисунке:
Первый: в каждом ряду расположено 3 жёлтых и 5 зелёных звёздочек, то есть всего в каждом ряду (3 + 5) звёздочек.
В четырёх рядах всего (3 + 5) · 4 звёздочек.
Второй: жёлтые звёздочки расположены в четыре ряда по 3 звёздочки в каждом, то есть всего жёлтых звёздочек 3 · 4, а зелёных — 5 · 4. Всего звёздочек 3 · 4 + 5 · 4.
Кроме того, для любых натуральных чисел (если уменьшаемое больше или равно вычитаемому) верны равенства:
m · (a — b — …) = m · a — m · b — …
(a — b — …) · m = a · m — b · m — …
Например, 6 · (4 — 2) = 6 · 4 — 6 · 2.
Переход от умножения:
m · (a + b + …)
и
m · (a — b — …)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b + …
и
m · a — m · b — …
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b + .
..
и
m · a — m · b — …
к умножению:
m · (a + b + …)
и
m · (a — b — …)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Сочетательный закон сложения – правило
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 118.
Обновлено 11 Января, 2021
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 118.
Обновлено 11 Января, 2021
Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Сумма чисел
Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма.
Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.
Поэтому в математике старших классов используют другое определение. Сумма это движение числа по числовой прямой вправо. На самом деле, число может двигаться и влево, при сложении отрицательных чисел. Но принято говорить «вправо», поскольку такие суммы сначала преобразовываются в разность
Законы сложения
Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.
Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется».
Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не изменится. Если подумать, то это логично. Какая разница, высыпать в корзину 10 фруктов, а потом еще 8 или сначала 8, а потом 10.
Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание – это не аргумент. в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиомы и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения – это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.
Сочетательный закон
Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.
- Проще всего человеку складывать десятки. Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу. Например:
13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75
- Есть числа, которые складывать человеку тяжело в силу особенностей мышлений. Поэтому выполнения множества примеров направлено на то, чтобы значение сумм некоторых чисел запоминалось и выдавалось на автомате, как таблица умножения. Наиболее яркие примеры:
7+8=15
5+7=12
8+3=11
5+8=13- По аналогии с десятками, дроби нужно группировать так, чтобы получались единицы. В первую очередь складываются дроби с одинаковыми знаменателями и с знаменателями, к которым можно быстро найти НОК. После этого ищутся и группируются дроби, которые в сумме дают целое число. Это касается как обыкновенных, так и десятичных дробей:
3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.
3,72-5+5,28+17,8+9,2=3+0,72-5+5+0,28+17+0,8+9+0,2=(3+5-5+17+9)+(0,72+0,28)+(0,8+0,2)=(3+17+9)+1+1=20+9+2=29+2=31
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое сумма. Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.
Тест по теме
Доска почёта
Татьяна Ивановна
7/10
Данил Лазарев
7/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 118.
А какая ваша оценка?
Коммутативные свойства умножения | Наука
••• Liquidlibrary/liquidlibrary/Getty Images
Обновлено 25 апреля 2017 г.
Мишель Брюне
Проще говоря, свойство перестановочности умножения означает, что независимо от того, как вы упорядочиваете числа, которые вы умножаете, вы получите тот же ответ.
Сложение также разделяет коммутативное свойство с умножением, тогда как деление и вычитание — нет. Например, если вы умножите 3 на 5 или 5 на 3, вы получите тот же результат 15.
Основы коммутативных свойств
Корень слова «коммутативный» — «коммутирующий». Вы можете вспомнить значение коммутативного, подумав об определении «коммутировать», что означает передвигаться, менять места, путешествовать или обмениваться местами. Произведение будет одинаковым независимо от порядка множителей. В операции сложения, если вы сложите 5 и 3 или 3 и 5, вы получите ту же сумму 8. То же самое относится и к умножению: порядок множителей не имеет значения.
Примеры проблем
Примеры 3 x 5 = 15 и 5 x 3 = 15 являются числовыми примерами коммутативного свойства, связанного с умножением. Это также можно проиллюстрировать массивом. Нарисуйте на листе бумаги 15 кругов, но расположите их столбцами и рядами. Создали ли вы три ряда по пять кругов или пять рядов по три круга, оба варианта равны 15 кругам.
Та же логика применима к алгебраическим терминам, таким как ab = ba или (4x)(2y) = (2y)(4x).
Словесные задачи
Хотя и сложение, и умножение обладают свойством коммутативности, когда вы должны выполнять такие операции после чтения текстовых задач, их интерпретации несколько отличаются. Если вы читаете текстовую задачу, в которой нужно сложить 112 домов со 134 домами, смысл не изменится, в каком бы порядке вы ни складывали числа. Предположим, вас попросили определить общее количество цветов: если в словесной задаче указано, что есть пять групп по четыре цветка, вы должны интерпретировать уравнение как 5 х 4; если в задаче указаны четыре группы по пять, вы должны умножить 4 x 5. Хотя ответы одинаковы, стоит потратить время на медленное чтение задачи, чтобы понять точный вопрос. Вы даже можете нарисовать группы, прежде чем давать окончательный ответ.
Связанные свойства
Некоторые математические свойства идут рука об руку со свойством коммутативности.
Ассоциативное свойство также относится как к сложению, так и к умножению. При умножении, если у вас есть три или более множителя, порядок и группировка множителей не имеют значения — произведение всегда будет одним и тем же. Например, (2 x 3) x 4 равно (3 x 4) x 2, и каждое из них равно 24. Распределительное свойство относится только к умножению. Согласно этому свойству сумма двух чисел, умноженная на третье число, равна произведению каждого из добавляемых чисел на этот множитель. В алгебраических терминах это можно представить как x (y + z) = xy + xz.
Статьи по теме
Ссылки
- Йельский университет: Использование основных свойств для решения математических задач
- NRICH: Ряд умножения — Иллюстрация свойств чисел с помощью массивов
Об авторе Мишель Брюне опубликовал статьи в газетах и журналах такие как «Побережье», «Наши дети», «Искусство Востока», «Halifax Magazine» и «Atlantic Books Today». Она получила степень бакалавра наук в области экологических исследований в Университете Святой Марии и степень бакалавра образования в Университете Лейкхед.
Авторы фотографий
Liquidlibrary/liquidlibrary/Getty Images
Коммутативные, ассоциативные и распределительные законы
Горячая математика Коммутативные законы (или коммутативные свойства)коммутативные законы заявить, что порядок, в котором вы складываете или умножаете два вещественные числа не влияет на результат.
Коммутативный закон сложения:
а + б знак равно б + а
Пример:
3 + 5 знак равно 5 + 3 знак равно 8 20 + ( − 3 ) знак равно ( − 3 ) + 20 знак равно 17
Коммутативный закон умножения:
а б знак равно б а
Пример:
4 ⋅ 5 знак равно 5 ⋅ 4 знак равно 20 ( − 2 ) ( 8 ) знак равно ( 8 ) ( − 2 ) знак равно − 16
Ассоциативные законы (или ассоциативные свойства)
ассоциативные законы
Укажите, что при сложении или умножении любых трех действительных чисел группировка (или ассоциация) чисел не влияет на результат.
Ассоциативный закон сложения:
( а + б ) + с знак равно а + ( б + с )
Пример:
( 2 + 3 ) + 5 знак равно 5 + 5 знак равно 10 2 + ( 3 + 5 ) знак равно 2 + 8 знак равно 10Ассоциативный закон умножения:
( а б ) с знак равно а ( б с )
Пример:
( 5 ⋅ 7 ) ⋅ 6 знак равно 35 ⋅ 6 знак равно 210 5 ⋅ ( 7 ⋅ 6 ) знак равно 5 ⋅ 42 знак равно 210
Распределительный закон
Посмотрим, что произойдет, если мы сделаем 4 ( 7 + 3 ) :
4 ( 7 + 3 ) знак равно 4 ( 10 ) знак равно 40
Это следует
ПЕМДАС (англ.
Порядок операций
).
Но . . . 4 ( 7 ) + 4 ( 3 ) знак равно 28 + 12 знак равно 40 тоже, как видно на этой картинке:
| Это либо 4 × 10 прямоугольник из точек или 4 × 3 прямоугольник рядом с 4 × 7 . |
Давайте напишем это как
4
(
7
+
3
)
знак равно
4
(
7
)
+
4
(
3
)
.