Переместительное свойство умножения и сложения
Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.
Содержание
- 1 Переместительный закон умножения
- 2 Сочетательный закон
- 3 Распределительный закон
Переместительный закон умножения
Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей. Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:
3 + 2 = 5;
2 + 3 = 5.
Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.
Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:
Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:
a · b = b · a.
Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:
a · b · c = b · a · c
Применение переместительного закона умножения на практике
Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.
6 · 251 = ?
Записав пример столбиком, получим:
Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.
Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:
Быстро и просто. Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.
Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:
2 · 3 = 2 + 2 + 2
3 · 2 = 3 + 3.
Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506.
Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.
Сочетательный закон
Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:
- получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
- раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения. На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.
Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.
Распределительный закон
На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров. Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:
Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:
2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у
5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.
Распечатать памятку «Свойства умножения»
Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности. Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел. В этом случае распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания позволяет намного быстрее получить итог произведения натурального числа на смешанную дробь. Для этого нужно:
- целую часть умножить на натуральное число;
- дробную часть умножить на него же;
- сложить получившиеся числа и записать результат.
Правила умножения и деления
Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления. Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Формула коммуникативного свойства — Что такое формула коммуникативного свойства? Примеры
Формула коммутативного свойства имеет дело с перемещением чисел. Итак, математически мы можем определить любую бинарную операцию как коммутативную, если изменение порядка операндов не меняет результат операции. Давайте узнаем о формуле коммутативного свойства с несколькими решенными примерами в конце.
Что такое формула коммутативного свойства?
Коммутативное свойство говорит о том, что порядок операндов не меняет окончательный результат. Формулы коммутативных свойств для сложения и умножения приведены ниже.
Формула коммутативного свойства
Формула коммутативного свойства для сложения: Коммутативное свойство сложения говорит о том, что изменение порядка слагаемых не изменит значения суммирования.
A + B = B + A
Формула коммутативного свойства для умножения : Коммутативное свойство умножения говорит о том, что порядок, в котором мы умножаем числа, не меняет конечный продукт.
А × В = В × А
Проверка формулы коммутативности
Попробуем обосновать, как и почему формула коммутативности верна только для операций сложения и умножения. Мы применим формулу коммутативного свойства индивидуально к четырем основным операциям.
Для сложения : Общая формула коммутативного свойства для сложения выражается как a + b = b + a. Попробуем проверить то же самое. Например, (1 + 4) = (4 + 1) = 5. Мы говорим, что сложение является коммутативным для данного набора чисел.
Для вычитания : Общая формула коммутативного свойства для вычитания выражается как (A – B) ≠ (B – A). Попробуем проверить то же самое. Например, (1–4) ≠ (4–1), т. е. -3 ≠ 3. Мы говорим, что вычитание не является коммутативным для данного набора чисел.
Для умножения : для любого набора из двух чисел (A, B) коммутативность для умножения задается как A × B = B × A. Например, (2 × 4) = (4 × 2) = 8. Здесь мы находим, что умножение коммутативно для данного набора чисел.
Для подразделения : для любых двух чисел (A, B) коммутативность деления задается как A ÷ B ≠ B ÷ A. Например, (6 ÷ 3) ≠ (3 ÷ 6) = 2 ≠ 1/ 2. Вы обнаружите, что выражения с обеих сторон не равны. Таким образом, деление не является коммутативным для данных чисел.
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Примеры формулы коммутативного свойства
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять формулу коммутативного свойства.
Пример 1: Если (6 × 4) = 24, то докажите, что (4 × 6) также дает 24, используя формулу коммутативности
Решение:
Поскольку умножение удовлетворяет формуле коммутативности
Следовательно (6 × 4) = (4 × 6) = 24.
Пример 2: Мать Джеки спросила его, является ли x + y = y + x примером формулы коммутативного свойства. Можете ли вы помочь Джеки выяснить, является ли оно коммутативным или нет?
Решение:
Мы знаем, что формула коммутативного свойства для сложения утверждает, что изменение порядка слагаемых не изменит значение суммирования.
Итак, мы видим, что изменение порядка не изменит значение суммирования.
Следовательно, сумма остается прежней. Итак, это пример коммутативного свойства.
Ответ: x + y = y + x является примером свойства коммутативности.
Пример 3: Ринни прошла 5 миль на север, а затем 3 мили на восток. Окажется ли она в том же месте, если бы сначала прошла 3 мили на восток, а затем 5 миль на север?
Решение:
Мы пытаемся преобразовать это в координатную плоскость. Мы предполагаем, что мили, которые он прошел на север, являются координатой y, а мили на востоке — координатой x.
Используя простые правила сложения векторов, мы можем сказать, что конечное положение Ринни можно вычислить как:
Конечная позиция 1 = 5 миль на север + 3 мили на восток = (3,5)
Поэтому конечная координата = (3,5)
Теперь мы также можем сказать: конечное положение 2 = 3 мили на восток + 5 миль на север = (3,5)
.
Поэтому конечная координата = (3,5)
Таким образом, в обоих случаях наш ответ для конечной координаты позиции одинаков.
Ответ: Ринни окажется там же.
Часто задаваемые вопросы о формуле коммутативного свойства
Что такое формула коммутативного свойства для сложения?
Формула коммутативного свойства для сложения определяется как сумма двух или более чисел, которые остаются одинаковыми, независимо от порядка операндов. Кроме того, формула коммутативного свойства выражается как (A + B) = (B + A)
. Что такое формула коммутативного свойства для умножения?
Формула коммутативного свойства для умножения определяется как t произведение двух или более чисел, которые остаются одинаковыми, независимо от порядка операндов.
Для умножения формула коммутативного свойства выражается как (A × B) = (B × A).
Что такое формула коммутативного свойства для рациональных чисел?
Формула коммутативного свойства для рациональных чисел может быть выражена только для сложения и умножения. Общая форма задается как (P + Q) = (Q + P) или (P × Q) = (Q × P). Здесь значения P, Q представлены в виде a/b, где b ≠ 0.
Какие две операции удовлетворяют условию формулы коммутативного свойства?
Две операции, удовлетворяющие условию формулы коммутативности, – это сложение и умножение.
Определения коммутативных свойств, формулы, примеры
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что определенные операции не зависят от порядка их выполнения. Другими словами, свойство коммутативности говорит о том, что вы можете поменять порядок чисел или переменных в уравнении и все равно получить тот же результат. Коммутативное свойство чаще всего встречается в уравнениях сложения и умножения, но оно также может применяться к вычитанию и делению.
Это фундаментальное свойство, которое студенты усваивают в самом начале своей математической карьеры, и которое часто используется в процессе обучения математике. В этом сообщении блога мы более подробно рассмотрим свойство коммутативности. Мы дадим определение свойству и рассмотрим несколько примеров, чтобы помочь вам лучше понять, как оно работает. К концу этого поста вы должны хорошо понимать, что такое коммутативное свойство и как его можно применять в математических уравнениях.
Что такое коммутативное свойство?
При перемножении двух чисел результат будет одинаковым независимо от порядка множителей. Это называется коммутативным свойством умножения и выражается уравнением a × b = b × a.
Свойство коммутативности применимо и к сложению. При сложении двух чисел сумма будет одинаковой независимо от порядка сложения. Это представлено уравнением a + b = b + a.
Что такое коммутативность?
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что два числа можно сложить в любом порядке, и результат будет одинаковым.
Например, 3 + 5 и 5 + 3 равны 8. Коммутативное свойство может быть применено к сложению и умножению, но не к вычитанию или делению.
Свойство коммутативности представлено следующим уравнением: a + b = b + a.
Каковы некоторые примеры коммутативного свойства?
В математике коммутативность — это свойство бинарных операций, утверждающее, что порядок операндов не влияет на результат. Более формально он определяется следующим образом:
Для всех a и b в множестве S с бинарной операцией *, a * b = b * a.
Наиболее распространенными примерами бинарных операций, обладающих свойством коммутативности, являются сложение и умножение действительных чисел. То есть для любых двух действительных чисел x и y мы имеем x + y = y + x и xy = yx. Другие примеры включают матричное умножение и композицию функций.
Как можно использовать свойство коммутативности в математических уравнениях?
В математике коммутативность — это свойство, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым.
Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это потому, что при сложении двух чисел не имеет значения, какое число будет первым. Свойство коммутативности применимо и к умножению. Например, 2 x 4 = 4 x 2. Это потому, что при умножении двух чисел не имеет значения, какое число будет первым.
Свойство коммутативности можно использовать в математических уравнениях для их упрощения. Например, если вам дано уравнение 4x + 3y, вы можете использовать коммутативное свойство умножения, чтобы переписать его как 3y + 4x. Это потому, что 4x и 3y можно умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым.
Свойство коммутативности и сценарии реального мира
Свойство коммутативности — это математическое правило, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и ответ будет одинаковым. Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это правило применимо и к умножению, поэтому 2 х 4 = 4 х 2,
В реальном мире этот принцип можно применять во многих сценариях, где порядок не имеет значения.
Например, собирая чемодан в поездку, неважно, в каком порядке вы упаковываете одежду — пока все умещается, все хорошо! При составлении списка продуктов продукты можно перечислять в любом порядке, и вы все равно получите один и тот же список.
Этот принцип можно применить и к более сложным ситуациям. Например, при рассмотрении двух разных маршрутов, чтобы добраться до пункта назначения, не имеет значения, какой маршрут вы выберете — главное, чтобы вы в конце концов туда добирались, это все, что имеет значение. На самом деле, часто самый быстрый маршрут не всегда самый прямой.
Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с ситуацией, когда порядок не имеет значения, вспомните о свойстве коммутативности и действуйте в любом порядке!
Формулы, связанные с переместительным свойством
Есть несколько формул, связанных с переместительным свойством. Вот несколько примеров:
Если a и b любые два действительных числа, то a+b=b+a
Если a и b любые два положительных целых числа, то ab=ba
Эти формулы показывают, что порядок сложения или умножение не влияет на результат.
Что такое коммутативное свойство сложения?
Если вы когда-либо посещали уроки математики, вы, вероятно, знакомы с коммутативным свойством. Свойство коммутативности — это математическое правило, которое гласит, что два числа можно складывать в любом порядке, и результат будет одинаковым. Другими словами, порядок чисел не имеет значения, когда вы их добавляете. Например, 3 + 4 = 4 + 3. Может показаться, что это не имеет большого значения, но на самом деле это довольно важное понятие в математике.
Свойство коммутативности применимо и к умножению. Как и в случае сложения, порядок чисел не имеет значения, когда вы их умножаете. Например, 2 x 3 = 3 x 2.
Так почему свойство коммутативности важно? Ну, это помогает сделать математику проще и понятнее. Если бы у нас не было свойства коммутативности, нам пришлось бы запоминать множество различных фактов сложения и умножения (например, 6 + 5 = 11, но 5 + 6 = 12). Но с коммутативным свойством нам нужно запомнить только один факт сложения или умножения для каждого числа (например, 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11).
Что такое коммутативное свойство умножения?
Коммутативное свойство умножения гласит, что порядок умножения двух множителей не влияет на произведение. Другими словами, a×b=b×a. Например, 3×4=4×3=12. То же самое верно для более чем двух факторов. Например, 2×3×4=2×4×3=24.
Коммутативное свойство вычитания и деления
Коммутативное свойство вычитания и деления утверждает, что порядок, в котором числа вычитаются или делятся, не влияет на результат операции. Другими словами, вычитание или деление числа на другое число дает один и тот же результат независимо от порядка, в котором перечислены числа.
Это свойство представлено следующими символами:
a – b = b – a
a ÷ b = b ÷ a
Например, рассмотрим следующие два уравнения:
8 – 3 = 3 – 8 (верно )
16 ÷ 4 = 4 ÷ 16 (истина)
Как видите, в каждом случае изменение порядка чисел на обратный не меняет результат операции.
Коммутативное свойство против ассоциативного свойства
Часто путают коммутативное свойство и ассоциативное свойство.
Оба они являются свойствами математики, но они не одно и то же. Вот разбивка каждого из них:
Свойство коммутативности гласит, что при сложении, умножении или делении двух чисел порядок, в котором они выполняются, не имеет значения. Например, 3 + 5 = 5 + 3. Это также работает для умножения: 3 x 5 = 5 x 3.
Ассоциативное свойство гласит, что при сложении или умножении трех чисел порядок, в котором они выполняются, не имеет значения. . Например, (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7). Это также работает для умножения: (3 х 5) х 7 = 3 х (5 х 7).
Так какая разница? Коммутативное свойство применяется только к двум числам, а ассоциативное свойство применяется к трем числам. Вот и все! Но понимание этих свойств важно в математике, поэтому давайте подробнее рассмотрим каждое из них.
Заключение
Свойство коммутативности — это математическое правило, утверждающее, что два числа можно складывать или умножать в любом порядке, и результат будет одинаковым. Например, 3 + 4 = 7 и 4 + 3 = 7.