Умножение и деление алгебраических дробей
В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.
Как правильно делить и умножать алгебраические дроби
Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.
Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:
23·47=2·43·7=821
А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:
23:711=23·117=227=1121
Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами.
Сформулируем правило:
Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
В буквенном виде правило можно записать как ab·cd=a·cb·d . Здесь a, b, c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.
Определение 2Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.
Это правило можно также записать как ab:cd=ab·dc=a·db·c . Буквы a, b, c и d здесь означают многочлены, из которых a, b, c и d не могут быть нулевыми.
Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам.
Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a·b+1a3 дробь a3a·b+1 будет обратной.
Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей
В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.
Пример 1Условие: умножьте дробь 1x+y на 3·x·yx2+5 , а потом разделите одну дробь на другую.
Решение
Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:
1x+y·3·x·yx2+5=1·3·x·y(x+y)·(x2+5)
Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:
1·3·x·y(x+y)·(x2+5)=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y
Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x2+53·x·y :
1x+y:3·x·yx2+5=1x+y·x2+53·x·y
Приведем полученную дробь к стандартному виду:
1x+y·x2+53·x·y=1·x2+5(x+y)·3·x·y=x2+53·x2·y+3·x·y2
Ответ: 1x+y·3·x·yx2+5=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y ; 1x+y:3·x·yx2+5=x2+53·x2·y+3·x·y2 .
Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 29·38=672=112 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.
Пример 2Условие: перемножьте дроби x2+2·x+118·x3 и 6·xx2-1 .
Решение
Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:
x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1
У нас получилась дробь, которую можно сократить:
x+12·6·x18·x3·x-1·x+1=x+13·x2·(x-1)
О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.
Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:
x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2
Вот запись всего решения без пояснений:
x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1==x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2
Ответ: x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+13·x3-3·x2 .
В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.
Пример 3Условие: разделите 217·x-1 на 12·x7-x .
Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 217·x-1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:
217·x-1=7·27·17·x-1=14x-7
Видим, что знаменатель дроби 12·x7-x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями.
Изменив знаки числителя и знаменателя 12·x7-x , получим 12·x7-x=-12·xx-7 .
После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:
217·x-1:12·x7-x=14x-7:-12·xx-7=14x-7·x-7-12·x=14·x-7x-7·-12·x==14-12·x=2·7-2·2·3·x=7-6·x=-76·x
Ответ: 217·x-1:12·x7-x=-76·x .
Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен
Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x2+x−4 на x2+x−41 . Полученные выражения будут тождественно равны.
Пример 4Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x+45·x·y:x2-16 .
Решение
Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.
x+45·x·y:x2-16=x+45·x·y:x2-161=x+45·x·y·1×2-16==x+45·x·y·1(x-4)·x+4=(x+4)·15·x·y·(x-4)·(x+4)=15·x·y·x-4==15·x2·y-20·x·y
Ответ: x+45·x·y:x2-16=15·x2·y-20·x·y.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Отрицательные дроби. Действия с отрицательными дробями
- Сложение и вычитание
- Умножение и деление
Отрицательные дроби — это дроби, числитель или знаменатель которых является отрицательным числом.
Отрицательные дроби могут быть записаны по-разному. Например, рассмотрим два частных:
-2 : 7 и 2 : (-7),
каждое из них равно отрицательному числу
Каждое из данных частных можно записать в виде дроби, в которой дробная черта заменит знак деления:
| -2 : 7 | = | -2 | и | 2 : (-7) | = | 2 | . |
| 7 | -7 |
Следовательно, при записи отрицательных дробей знак минус
можно ставить перед дробью, перед числителем или перед знаменателем:
| — | 2 | = | -2 | = | 2 | . |
| 7 | 7 | -7 |
Сложение и вычитание
Чтобы сложить две отрицательные дроби, надо сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители по правилам сложения рациональных чисел.
Пример.
| — | 2 | + (- | 1 | ) | . |
| 5 | 4 |
Приведём дроби к общему знаменателю:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | . |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
Теперь сложим числители дробей по правилам сложения рациональных чисел:
| -8 | + | -5 | = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Таким образом:
| — | 2 | + (- | 1 | ) = | -8 | + | -5 | = |
| 5 | 4 | 20 | 20 |
| = | -8 + (-5) | = | -13 | = | — | 13 | . |
| 20 | 20 | 20 |
Для вычисления разности двух отрицательных дробей можно вычитание заменить сложением, взяв уменьшаемое со свои знаком, а вычитаемое с противоположным.
Пример.
| — | 5 | — (- | 11 | ) = | — | 5 | + (+ | 11 | ) = |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
| = | — | 5 | + | 11 | = | -5 + 11 | = | 6 | . |
| 12 | 12 | 12 | 12 |
Сложение и вычитание отрицательных дробей производится по правилам сложения обыкновенных дробей, то есть сначала идёт приведение к общему знаменателю, если это нужно, а затем производятся вычисления.
Умножение и деление
Чтобы найти произведение двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем перемножить дроби по правилу умножения дробей.
Пример.
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | -2 | · | -4 | = | -2 · (-4) | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
Так как при умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным, то данный пример можно решить сразу, отбросив оба минуса:
| — | 2 | · (- | 4 | ) = | 2 | · | 4 | = | 2 · 4 | = | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
При умножении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
Пример.
| — | 2 | · | 4 | = | — | 2 · 4 | = | — | 8 | . |
| 3 | 5 | 3 · 5 | 15 |
К отрицательным дробям можно применять любые законы умножения. Поэтому предыдущий пример можно переписать так:
| 4 | · (- | 2 | ) = | — | 4 · 2 | = | — | 8 | . |
| 5 | 3 | 5 · 3 | 15 |
То есть при умножении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным.
Чтобы найти частное двух отрицательных дробей, надо знаки минус перенести или в числители, или в знаменатели, а затем произвести вычисления.
Пример.
| — | 2 | : (- | 4 | ) = | -2 | : | -4 | = |
| 3 | 5 | 3 | 5 |
| = | -2 · 5 | = | -10 | = | 10 | . |
| 3 · (-4) | -12 | 12 |
Знак результата умножения или деления отрицательных дробей можно узнать по правилам знаков целых чисел.
Просмотр размножения Фракционных образовательных ресурсов
Целые рабочие личные листы.
Результаты фильтрации
By Grade
- Preschool
- Kindergarten
- 1st grade
- 2nd grade
- 3rd grade
- 4th grade
- 5th grade
- 6th grade
- 7th grade
- 8th grade
By Субъект
- Кодирование
- Изобразительное искусство
- иностранный язык
Математика
- Число 0018
- Addition
- Subtraction
- Multiplication
- Division
- Mixed Operations
Fractions
- Fraction Models
- Равные дроби
- Сравнение дробей
- Смешанные числа и неправильные дроби
- Сложение и вычитание дробей
Multiplying and Dividing Fractions
Multiplying Fractions
- Division with Unit Fractions
- Dividing Fractions
- Decimals
- Percents, Ratios, and Оценки
- Алгебра
- Геометрия
- Измерение
- 9009 Время 0010 Money Math
- Data and Graphing
- Math Word Problems
- Math Puzzles
по теме
- Праздники
Стандарт
.
0015 Common CoreДроби 4
Учебный урок
Дроби углубляются в изучение 9
3 Учащиеся будут применять предыдущие знания о нахождении эквивалентных дробей и преобразовании между дробями и смешанными числами, чтобы работать с дробями более сложными способами. Студенты будут продолжать использовать визуальные модели для обучения и практики сложения, вычитания, умножения и деления дробей.
5-й класс
Математика
Урок с пошаговыми инструкциями
Поиск Умножение дробей Образовательные ресурсы
Умножение дробей — отличная отправная точка для изучения арифметики, если ваш ребенок только начинает изучать арифметику. Этому навыку обычно обучают, начиная с четвертого класса, поэтому, если ваш ученик уже знаком с различными типами дробей, изучите наши ресурсы, чтобы помочь им освоить умножение дробей, прежде чем они перейдут к более сложным понятиям.
Узнайте больше об умножении дробей
Умножение дробей — одна из самых простых задач, потому что правил не так много. Ниже приведено пошаговое руководство по умножению правильных, неправильных и смешанных дробей.
Общие правила
Если обе дроби имеют числитель и знаменатель, правила очень просты:
- Умножить числители (верхние числа)
- Умножить знаменатели (нижние числа)
- Упростить, если необходимо0018
Чтобы узнать, как умножать числа, посетите нашу страницу Умножение.
Дроби и целые числа
Если вы пытаетесь умножить дробь на целое число, преобразуйте целое число в дробь, присвоив ей знаменатель, равный 1 (3 станет
Смешанные дроби
Чтобы умножать смешанные дроби, вы должны знать, как преобразовывать смешанную дробь в неправильную.
Если вашему ребенку нужна помощь с этой концепцией, взгляните на «Основы дробей» в нижней части страницы «Дроби» и поработайте с некоторыми рабочими листами.
- Преобразование смешанной дроби в неправильную
- Умножение дробей по общим правилам
- Преобразование произведения обратно в смешанную дробь
Используйте эти правила, чтобы работать с различными рабочими листами и упражнениями на этой странице, пока ваш ребенок не станет профессиональным умножителем дробей!
Как научить умножать дроби с помощью шаблонов — смешивание и математика
ДробиМатематические манипуляцииУмножение
Автор Бриттани Хеге
В первый год преподавания я унаследовала около 1 000 000 математических манипуляторов — пластиковые полные блоки узоров, плитки с дробями, игровые деньги, счетчики, геоборды, измерительные ленты и тысячи 1-дюймовых пластиковых плитка.
Молодой и нетерпеливый, я прыгнул вперед с манипуляторами. Мои ученики использовали почти все манипулятивные приемы на свете… за исключением шаблонных блоков.
«Что в мире могут делать ученики с блоками шаблонов в четвертом и пятом классе?» Интересно.
Если бы я только знал, какой невероятный инструмент для обучения дробям, эти блоки шаблонов нашли бы гораздо больше применения (и мои ученики поняли бы дроби намного лучше!).
Блоки с узорами теперь являются моим самым любимым способом изучения всех концепций дробей. Что делает их такими мощными, так это то, что учащиеся должны полагаться на свое понимание дробей как отношения часть часть весь . Кроме того, наличие разных форм помогает учащимся действительно увидеть, как одни части вписываются в другие. Поскольку на деталях нет меток дробей, возможности использования блоков шаблонов безграничны!
Хотя сейчас я использую блоки шаблонов для обучения всем понятиям дробей, моя любимая концепция дробей для обучения с блоками шаблонов — это умножение дробей.
Поскольку алгоритм умножения дробей выглядит таким простым, возникает соблазн дать учащимся «кратчайший путь» и пропустить построение концептуального понимания.
Но формирование концептуального понимания НАСТОЛЬКО важно, особенно с дробями!
Умножение дробей может быть трудной задачей для практического применения, но блоки шаблонов делают это простым (и очень увлекательным!). Давайте рассмотрим несколько примеров задач, чтобы вы могли применить это мощное упражнение в своем классе!
посмотреть видео…
Прежде чем мы перейдем к обучению умножению дробей с помощью блоков шаблонов, убедитесь, что вы (и ваши ученики!) понимаете, какую дробь представляет каждый блок шаблонов. Хотя вы можете сделать так, чтобы любая часть представляла собой единое целое, чаще всего я использую шестиугольник как единое целое.
На приведенном ниже рисунке показано значение каждой части блока рисунка, когда шестиугольник представляет собой одно целое.
В отношении блоков шаблонов важно отметить, что вы будете ограничены знаменателями половин, третей и шестых для задач, которые вы создаете! Они делают набор дополнительных блоков шаблона для четвертых и двенадцатых , если вы хотите дополнить блоки, которые у вас уже есть!
Теперь, когда вы знаете значение каждого блока шаблона, давайте углубимся в то, как учащиеся могут использовать блоки шаблона для моделирования различных типов задач на умножение дробей и смешанных чисел.
Задачи на несколько групп/равные группыСуществует четкая последовательность построения задач на умножение дробей. Первым шагом в прогрессии является умножение на нескольких групп или равных групп .
Просмотр умножения в виде нескольких групп относительно прост для понимания учащимися, поскольку он следует тому же принципу мышления, что и умножение целых чисел.
Для учащихся не составит большого труда перейти от понимания 2 групп по 3 (2 x 3) к пониманию 2 групп по ⅔ (2 x ⅔).
Однако потребуется много практических занятий, прежде чем учащиеся откроют для себя алгоритм умножения целого числа на дробь. (И они увидят это! Доверьтесь процессу и не навязывайте алгоритм, пока ученики не будут готовы!)
Вот пример задачи с несколькими группами:
Собака Стеллы съела 3 пакета собачьего корма последним неделя. Если в каждом пакете было ⅔ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
На математическом коврике ученики моделировали три группы по ⅔. Они могут назвать это 6/3 или переставить части в целые, чтобы увидеть, что ответ — два целых. На прошлой неделе собака Стеллы съела 2 фунта собачьего корма.
Задачи на несколько групп также могут включать смешанные числа в качестве множимого, например, 3 группы по 1 ½.
Пока множитель (количество групп) является целым числом, он будет моделироваться аналогично тому, как моделировалась последняя задача. Взгляните на рисунок ниже, чтобы увидеть, как вы будете моделировать 3 x 1 ½ с помощью блоков шаблона.
Для четвертого класса большинство государственных стандартов останавливаются здесь (конечно, проверьте свои собственные стандарты, чтобы быть уверенным!). Однако для пятого класса им нужно понять другой тип задачи на умножение дробей.
Задачи на частичные группыЦель этого шага в последовательности умножения состоит в том, чтобы учащиеся начали рассматривать умножение как масштабирование , в частности изменение размера, чтобы найти часть группы . Это может показаться большим отклонением от того, что ученики думают они знают об умножении, а именно: «умножение делает числа больше!»
Именно в этот момент они узнают, что умножение может привести к меньшему произведению, а это означает, что мы обязательно должны дать учащимся возможность смоделировать эту концепцию, , иначе это может показаться невероятно запутанным!
Часть целого Первый тип задачи на неполные группы — найти часть целого .
Давайте вернемся к нашей реальной ситуации с кормом для собак, чтобы посмотреть, как это выглядит.
На прошлой неделе собака Стеллы съела ⅔ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было 3 фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
Хотя уравнение для этой задачи такое же, как и для предыдущей задачи (⅔ x 3 против 3 x ⅔), процесс моделирования выглядит совсем по-другому. В этом случае учащиеся должны понимать, что они находят ⅔ группы из 3. Другими словами, это ⅔ из 3.
Ученикам нужно много возможностей с обоими типами задач, чтобы распознать их как умножение!
Чтобы смоделировать ⅔ из 3, учащиеся должны начать с 3 целых, а затем им нужно будет выяснить, как разделить их на трети (или три равные группы). Они увидят, что им нужно вложить одно целое в каждую из третей. Поскольку мы хотим знать, что такое ⅔ от 3, мы знаем, что ответ будет включать в себя две трети, что составляет два целых, потому что в каждой трети есть одно целое.
На рисунке ниже показано, как это смоделировать.
Давайте разовьем этот тип мышления в частичных группах немного дальше, рассмотрев, как моделировать дробь за дробью.
Часть частиСледующий тип частичной групповой задачи — часть части . Опять же, давайте воспользуемся нашим реальным контекстом, чтобы помочь нам понять, что это на самом деле означает.
Собака Стеллы съела ⅔ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете ½ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
Вместо того, чтобы найти часть группы, эта ситуация требует поиска части другой части… Что такое ⅔ из ½ фунта еды? Чтобы смоделировать это, им нужно будет немного обменяться, чтобы помочь им разыграть это. Мы знаем, что трапеция (1 половина) эквивалентна 3 треугольникам (или 3 шестым), а это значит, что учащиеся могут обменять трапецию на 3 треугольника. Это поможет нам, когда мы попытаемся выяснить, что такое 90 308 ⅔ 90 309 половины.
Посмотрите на рисунок ниже, чтобы увидеть, как учащийся поместит одну шестую в каждую из третьих частей, чтобы понять, что 2 трети половины равны двум шестым.
Самое интересное — самый последний шаг в этой последовательности умножения дробей. Теперь учащимся действительно сложно применить то, что они узнали!
Объединение кратных и неполных группПоследний шаг на пути к истинному пониманию умножения дробей — это сочетание кратных групп и неполных групп. Это означает, что множитель (количество групп) является смешанным числом, заставляющим учащихся думать о равном количестве групп и часть группы или часть.
Давайте посмотрим на пару примеров ниже, как это выглядит на самом деле!
В прошлом месяце собака Стеллы съела 2 ⅓ пакета собачьего корма. Если в каждом мешке 4 фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
В этой ситуации собака Стеллы съела 2 пакета корма (2 x 4 фунта — несколько групп) и ⅓ пакета корма (⅓ x 4 фунта — частичные группы).
Студенты должны объединить свое понимание обоих типов умножения дробей, чтобы успешно решить эту задачу.
Эта проблема смоделирована на рисунке ниже.
Объединив 2 группы по 4 и ⅓ по 4, вы увидите, что собака Стеллы съела в общей сложности 9 ⅓ фунтов собачьего корма.
Давайте рассмотрим еще одну задачу, где множимое (то, что умножается) является дробью!
Собака Стеллы съела 2 ⅓ пакета собачьего корма. Если в каждом пакете было ½ фунта собачьего корма, сколько фунтов корма съела собака Стеллы?
В этой ситуации собака Стеллы съела 2 группы по ½ фунта (несколько групп) и ⅓ по ½ (часть части). На графике ниже вы можете видеть, что если все это объединить, то собака Стеллы съела 1 ⅙ фунта собачьего корма.
В последней задаче, которую мы рассмотрим в этом посте, учащиеся решают задачу на умножение дробей, которая включает смешанное число на смешанное число.