Решение вирусных школьных задач | Школьная математика. Блог
Две однотипные задачи, которые в разное время взбудоражили интернет. Сталкиваются титанические плиты мнений, летят волосы, брызжет слюна, ломаются карандаши и ручки, рушатся семьи… Последнее не точно, но всё может быть.
Проблема вирусных школьных задач
Я рассмотрю здесь последнюю нашумевшую вирусную задачу, а именно:
\(8\div 2(2+2)=?\)
Алгоритм чтения математических выражений такой:
- в первую очередь мы определяем порядок действий;
- после этого читаем и выполняем их, начиная с последнего.
Но тут появляется первый камень преткновения – это отсутствие знака умножения между числом 2 и открывающейся скобкой. Этот камень успешно преодолевают все: и те, кто из школьной математики помнят только, что знак умножения можно опускать, и те, которые знают, в каких случаях допускается пропуск знака умножения, а именно, пункт 3.
Правило опускания знака умножения в выражениях.
Знак умножения при записи математических выражений можно опустить в таких случаях:
1. между буквенными множителями;
2. между числовым и буквенным множителем;
3. между множителем и скобкой;
4. между выражениями в скобках.
То есть, нашу задачу мы можем записать так:
\(8\div 2\times (2+2)\).
Вторым камнем преткновения является определение порядка действия. Здесь царит настоящая чехарда! Одни представляют это выражение в виде произведения дроби \(\frac{8}{2}\) и суммы \(2+2\), что в итоге приводит их к результату 16. Другие, вспоминая школьное правило порядка действий, сперва находят сумму, заключенную в скобки, а потом выполняют действия одинаковой ступени (умножение и деление).
Вторые также делятся на два лагеря: на тех, которые помнят со школьной скамьи, что действия одной ступени выполняются по порядку слева направо, и получают \(8\div 2=4\), \(4\times 4=16\), и тех, которые утверждают, что действие умножения имеет приоритет над действием деления, поэтому \(8\div 8=1\).
Кто же из них прав?
Решение вирусных школьных математических задач с опущенным знаком умножения
Я не буду рассматривать все варианты, предложенные в интернете, а просто покажу, какими правилами необходимо руководствоваться при решении подобных вирусных математических задач.
Первым действием, с чем никто не спорит, находится выражение в скобках. Получаем:
1) \(2+2=4\).
А вот дальше начинается самое интересное. Загвоздка подобных задач, приводящая к их неоднозначному толкованию, заключается в опущенном знаке умножения.
Столкновение мнений происходит из-за того, что кто-то забыл, что означает пропущенный знак умножения между числом и скобкой, кто-то не понял это в свое время, а у кого-то это вообще прошло мимо.
Пункт 3 в списке случаев, когда возможно опустить знак умножений, нам говорит, что это допускается между множителем и скобкой. А если есть явное указание на существование одного из множителей, значит существует, как минимум, ещё один множитель, а именно: выражение в скобках.
Предположим, что в данной задаче главное – это последовательность совершения действий, на чем настаивают некоторые комментаторы задачи, и после вычисления суммы в скобках нужно выполнить действия второй ступени: сперва деление 8 на 2, потом умножение 4 на 4. Но тогда получается, что в записи \(8\div 2(2+2)\) знак умножения пропущен между делителем 2 и скобкой (2+2), что является нарушением правил опускания знака умножения, и такая трактовка условия некорректная. Для корректного представления частного \(8\div 2\), оно должно было быть заключено в скобки следующим образом: \((8\div 2)(2+2)\).
Следовательно, мы можем рассматривать 2 перед скобкой только как множитель, 8 – это, безусловно, делимое, а делителем выступает выражение, представленное произведением \(2 \times (2+2)\).
Само выражение \(8\div 2\times (2+2)\) при этом – это деление числа на произведение, где 2 – это первый множитель, а \((2+2)\) – это второй множитель.
Получается, полностью понятная запись этой задачи, тождественная исходной и не вызывающая разночтений, выглядит так:
\(8\div [2 \times (2+2)]\).
Корректность начального условия задачи и преобразования его при помощи скобок в такой вид я покажу чуть ниже.
А найти результат деления числа на произведение можно двумя способами:
1) делимое число разделить на результат произведения;
2) делимое разделить на первый множитель произведения, результат разделить на второй множитель и т.д.
Поэтому, второе действие решения этой задачи – нахождение произведения первого множителя 2 и второго, представляющего собой сумму выражения в скобках:
2) \(2\times 4=8\).
Остается только выполнить третье действие – найти частное от деления 8 на 8:
3) \(8\div 8=1\).
Итак, результат решения задачи:
\(8\div 2\times (2+2)=1\).
Подтверждением правильности исходной записи задачи и ее преобразования в полностью понятный вид является практика правописания алгебраических выражений: при записи деления числа на произведение, в котором были опущены знаки умножения, скобки, заключающие в делителе число, выраженное произведением, также обычно опускаются. То есть:
А в нашем случае мы имеем результат этой записи, то есть, в делителе, который выражен произведением с опущенным знаком умножения, были опущены скобки. И нам следует выполнить обратные действия, то есть: восстановить опущенные скобки и знак умножения. Тогда наш изначальный пример приобретет такой вид, тождественный начальному:
\(8\div [2\times (2+2)]\).
Да, вирусные примеры с опущенным знаком умножения специально записываются таким образом, который предполагает возникновение разночтения у людей с разной математической подготовкой.
И без знания правил и четкого их понимания выпутаться практически невозможно.
Проверка решения вирусных математических задач с опущенным знаком умножения
Получив результат выполнения действий, его нужно проверить.
Проверкой данной вирусной математической задачи с опущенным знаком умножения, а также еще одним способом ее решения, служат тождественные преобразования исходного выражения.
Итак, мы имеем выражение \(8\div 2(2+2)\). Можем ли мы его упростить, просто заменив выражение в скобках его суммой? Ответ: нет. Потому что в этом случае у нас получается опущен знак умножения между двумя числами, что противоречит правилу, рассмотренному выше.
Упростить выражение, не нарушив правило опущения знака умножения, мы можем, представив выражение в скобке в виде буквы:
пусть \(x=(2+2)\),
тогда выражение приобретает вид:
\(8\div 2x\),
что не противоречит правилу опущения знака умножения.
Идем далее:
\(8\div 2x=4\div x=4\div (2+2)= 4\div 4=1\).
Как видите, проверка показала правильность решения этой вирусной математической задачи.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.7 / 5. Количество оценок: 127
Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.
Вам также пригодится:
Раскрытие скобок
Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.
Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и про те правила которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.
Первое правило раскрытия скобок
Рассмотрим следующее выражение:
8 + (−9 + 3)
Значение данного выражения равно 2. Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения.
То есть после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) по прежнему должно быть равно двум.
Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:
При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.
Итак, мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:
Мы получили выражение без скобок 8−9+3. Данное выражение равно 2, как и предыдущее выражение со скобками было равно 2.
8 + (−9 + 3) = 2
8 − 9 + 3 = 2
Таким образом, между выражениями 8+(−9+3) и 8−9+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
2 = 2
Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками.
То, что было в скобках останется без изменений:
3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:
2 + (−1) = 2 − 1
В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?
В выражении 2 − 1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2 + (−1). Но если в выражении 2 + (−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2 − 1.
Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть избавить его от скобок и сделать проще.
Например, упростим выражение 2a + a− 5b + b.
Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:
Получили выражение 3a + (−4b).
В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
3a + (−4b) = 3a − 4b
Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b.
Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:
2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)
В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:
6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2
Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака.
Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам — перед двойкой будет стоять плюс.
На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3.
Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:
1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)
Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.
Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:
−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)
Перед скобками стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)
(−5) = −5
Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)
Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:
2a + (−6a + b) = 2a −6a + b
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)
В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками.
То, что было в скобках запишется без изменений:
5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d
Второе правило раскрытия скобок
Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.
Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.
Например, раскроем скобки в следующем выражении
5 − (−2 − 3)
Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:
Мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.
5 − (−2 − 3) = 10
5 + 2 + 3 = 10
Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:
5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
10 = 10
Пример 2.
Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:
6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5
Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
2 − (7 + 3) = 2 − 7 − 3
Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−3 + 4) = 3 − 4
Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9 − 2) нужно применить первое правило:
−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2
Пример 6.
Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(−a − 1) = a + 1
Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
−(4a + 3) = −4a − 3
Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15
Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:
a − (4b + 3) + 15 = a − 4b − 3 + 15
Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)
Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:
2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5
Пример 10.
Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)
Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:
−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15
Механизм раскрытия скобок
Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:
a(b + c) = ab + ac
На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)
3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Поэтому, если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки.
Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?
Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель.
В примере 3 × (4 + 5) общий множитель это 3. А в примере a(b + c) общий множитель это переменная a.
Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1, в зависимости от того, какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1. Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1.
К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b − 1). Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:
−(3b − 1) = −3b + 1
Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:
−1(3b −1)
Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице.
Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.
Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:
−1(3b −1) = −1( 3b + (−1) )
Далее умножаем общий множитель −1 на каждое слагаемое в скобках:
−1(3b −1) = −1(3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1
Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b + 1. Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:
−(3b − 1) = −3b + 1
Но не мешает знать, как эти правила работают.
В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач.
Например:
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
Здесь нужно выполнить два действия — сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:
1) Раскрываем скобки:
2) Приводим подобные слагаемые:
В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:
Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:
1) Раскроем скобки:
2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места, не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть
Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4
1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m, можно вынести в нём общий множитель m за скобки:
8m + 3m = m(8 + 3)
2) Находим значение выражения m(8 + 3) при m = −4.
Для этого в выражение m(8 + 3) вместо переменной m подставляем число −4
m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 2. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 3. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 4. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 5. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 6. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 7. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 8. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 9. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 10. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 11.
Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 12. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 13. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 14. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 15. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 16. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 17. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 18. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 19. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 20. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 21. Раскройте скобки в следующем выражении:
Показать решение
Задание 22. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в следующем выражении:
Показать решение
Задание 23.
Показать решение
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
— влияет ли отсутствие оператора умножения на порядок операций
спросил
Изменено 1 год, 3 месяца назад
Просмотрено 3к раз
$\begingroup$
Когда вы пишете такое математическое выражение:
$4:2(1+1)$,
имеет ли отношение к приоритету тот факт, что оператор умножения явно не написан? Каков порядок действий в этом случае?
Это:
$4:4=1$ (порядок: сложение в скобках, неявное умножение, деление )
или
$2(1+1)=4$ (порядок деление, сложение в скобках, неявное умножение ).
Если явный оператор не действует, это будет $4\div2\cdot(1+1)$ и вычисление слева направо (из-за отсутствия приоритета между делением и умножением). Тогда результат будет $4$.
- обозначение
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Неявное умножение принадлежит алгебре, а не арифметике. Я бы не ожидал увидеть неявное умножение в таком выражении, как ваше, где есть невычисленные операции с литеральными числами. Это явно может привести к путанице, поскольку мы могли бы надеяться упростить $4(2+2)$ до $4 4$, но это неотличимо от числа $44$.
Если уместно неявное умножение в алгебраических выражениях между числом и символом или между двумя символами, ни $:$, ни $\div$ не должны использоваться для выражения деления. Скорее деление должно быть показано с помощью горизонтальной линии. Это означает, что невозможно перепутать
$$\frac{a}{b}\left(c+d\right)$$
и
$$\frac{a}{b(c+d) }$$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Отвечу глупым примером:
$$2а:2а$$
Простое добавление знака неявного умножения приведет к этому результату, вычисляя слева направо:
$$2*а:2*а=а*а=а²$$
Для меня это смешно, я думаю, совершенно ясно, что ответ должен быть 1, потому что я думаю, что запись множителей вместе без знака умножения «связывает их» сильнее, чем это делают явные знаки умножения или деления.
Я прочитал это так: $$(2a):(2a)=1$$
Итак, мой ответ на ваш вопрос: Отсутствие знака умножения не должно изменить вычисление математических выражений, но иногда может. Однако эта путаница совершенно не нужна. Математика — это язык, и выражения, подобные тому, которое я написал, не существуют сами по себе, они являются продуктом человеческого общения, и запись выражения через дробную черту устранила бы всю двусмысленность, как указывает jwg.
Если имеется в виду 2а, разделенное на 2 и умноженное на а, следует написать $$\frac{2a}{2}*a$$ Если имеется в виду 2а, деленное на 2а, следует написать $$\frac{2a}{2a}$$ Если вам поручили решить выражение, подобное тому, что вы опубликовали, или тому, которое я упомянул, от вашего учителя или кого-то еще, вы можете критиковать их за плохую математическую коммуникацию.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Правильный способ сделать это, я думаю, будет следующим:
$$ 4 \div 2 (1 + 1) = 4 \div 2 \times (2) = 4 \div 2 \times 2 = (4 \div 2) \times 2 = 2 \times 2 = 4.
$$
Однако можно также поступить следующим образом: $$ 4 \div 2(1+1) = (4 \div 2) \times (1+1) = 2 \times (1+1) = 2 \times 2 = 4. $$
Обратите внимание, что скобки высший приоритет.
За исключением группирующих операций, таких как круглые скобки, умножение — независимо от того, выражено оно со знаком или без него — и деление имеют одинаковый приоритет, за которым следуют сложение и вычитание, которые также имеют одинаковый приоритет. Однако операторы (одного и того же приоритета) должны оцениваться слева направо.
Надеюсь, это поможет.
$\endgroup$
$\begingroup$
Когда вы пишете такое математическое выражение:
4:2(1+1),
Имеет ли отношение к приоритету тот факт, что оператор умножения явно не написан? нет Каков порядок действий в этом случае?
Если : означает деление, что я предполагаю, то 4 делится на выражение 2(1+1).
Это дробь. Тогда вы можете разделить 4 в числителе на 2, затем разделить на сумму 1+1, или , умножить на 2 через знаменатель (и получить 2+2), затем сложить, а затем разделить, или сначала прибавьте 1+1 перед умножением на 2. В любом случае вы получите 2/2 или 4/4 = 1.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Предварительное исчисление алгебры— Почему два термина, непосредственно примыкающие к «среднему», умножаются?
спросил
Изменено 8 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
В настоящее время я преподаю математический курс GED. Изучая порядок действий, ученики спросили, почему число в скобках означает умножение?
Я понимаю правило, согласно которому два термина рядом с каждым означают умножение этих двух терминов вместе, независимо от того, как эти термины выглядят. Но произошло ли это обозначение, которое мы все теперь понимаем, от стенографии? Или читать было легче? Или тут какая-то совсем другая причина?
Мы будем признательны за любое ваше мнение.
В моей жизни я бы очень разозлился на учителей, которые объясняли вещи словами, потому что так оно и есть. Если это так, то я, по крайней мере, хочу сказать им это честно.
- алгебра-предварительное исчисление
- нотация
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Я бы привел пример того, как мы описываем кратные, используя естественный язык. Когда я говорю: «У меня есть три коробки», мне не нужны никакие другие слова между «три» и «коробки». Точно так же «у меня есть три $x$» в сокращении становится просто $3x$.
Сравните это с дополнением: «У меня есть яблоко и два апельсина». «И» разделяет объекты, которые находятся вместе, но не обязательно имеют одинаковую форму. «У меня есть $x$ и два $y$s» становится $x+2y$.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Ответ Теофила интуитивно понятен, но что на самом деле стоит за всем этим?
Я считаю, что в конце концов все сводится к приоритету операций.
Скажите, что у вас есть выражение
$$2 \cdot x \cdot y + 3 \cdot x$$
Фактический смысл выражения: эти операнды — поэтому, если вы хотите кластеризовать операндов, т.е. если вы хотите сохранить запись, опуская некоторые из операторов, вы должны явно начать с самого нижнего уровня синтаксического дерева. Итак, вы пишете
$$2 x y + 3 x$$
Только представьте, что произойдет, если вместо этого вы попытаетесь опустить оператор $+$:
$$2 \cdot x \cdot y 3 \cdot x$$
Это полностью испортит синтаксис.
PS: синтаксическое дерево создано с помощью http://mshang.ca/syntree/
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Еще одна вещь, которую следует учитывать, но не упоминать, это то, что символ умножения $\times$ также очень похож на переменную $x$, особенно при написании их вручную.
Это одна из причин, по которой $\cdot$ иногда используется и для умножения. 9m$ как матрицы $m\times n$.
1 Что мне действительно не нравится в умножении сопоставления, так это то, как оно противоречит общему (т.е. нелинейному) применению функций. Очень естественно сократить $\sin(x)$ до $\sin x$ — в конце концов, круглые скобки ничего не группируют! Тем не менее, люди могут запутаться, если вы напишете $f\: x$ вместо $f(x)$ для некоторой общей функции $f$ и, возможно, примете это за что-то вроде $f(x)\cdot x$; особенно в физике, где принято опускать аргумент функции и предполагать, что вы поставите «обычный» символ.
$\endgroup$
$\begingroup$
Ответ Теофила великолепен.
Хочу добавить, что умножение — это «естественная» математическая операция, а не сложение, как некоторые думают. В группе есть умножение, но нет сложения. Сложение вводится только в кольцах, когда у нас уже есть умножение.