Сложение и вычитание десятичных дробей – правило (5 класс, математика)
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 115.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 115.
Сложение и вычитание десятичных дробей не самая сложная тема в курсе математики 5 класса. Но особую сложность представляет правильный перенос запятой. Чтобы ни у кого не возникало проблем с этой операцией, рассмотрим алгоритм сложения и вычитания дробей.
Десятичная дробь и ее знаменатель
Дробь в общем случае это незаконченная операция деления. Что это значит? Очень часто в вычислении не получится вычислить деление в точности до последнего знака. Поэтому для повышения точности в математике придумали заменять деление на дробь. Так получаются обычные дроби.
Но обычные дроби хорошо подходят для математических вычислений. В сложных вычислениях, которые применяются, к примеру, в бухгалтерском учете, использовать такие дроби слишком сложно.
Почему?
Обратите внимание, знаменатель должен быть кратным 10. А это не только число 10, но и 100, 1000 и так далее. Количество нулей в десятичной дроби равняется количеству знаков после запятой.
Именно на количестве знаков после запятой и прячется основная доля ошибок. Дело в том, что для правильного сложения дробей нужно знак запятой перенести ,чтобы превратить дробь в обычное число. После выполнения операции запятая переносится обратно. При обратном перенесении запятой очень важно не ошибиться с количеством знаков после запятой, иначе получится ошибка. Но обо всем по порядку.
Сложение и вычитание десятичных дробей
Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется с помощью переноса запятой. Для того, чтобы правильно перенести запятую, нужно посмотреть на число с наибольшим количеством знаков после запятой.
В числе значащей цифрой называют все цифры, кроме нуля. Значащие цифры иногда подсчитывают по порядку слева направо.
В нашем случае это должна быть первая и единственная значащая цифра. Приведем пример использования правила сложения и вычитания десятичных дробей:
30,0598=300598*0,0001 – в этом примере искомым числом будет 0,0001. Как видно, количество знаков после запятой равняется количеству знаков после запятой в изначальном числе. Благодаря вынесению множителя мы смогли передвинуть запятую.
Теперь, нужно вспомнить распределительное свойство умножения и воспользоваться им. Распределительное свойство выглядит так:
а*(в+с)=а*в+а*с – только свойством мы воспользуемся наоборот.
Решим пример: 30,0598+0,783 – обратите внимание, что количество знаков после запятой у каждого числа разное, поэтому нужно выбирать число, у которого знаков после запятой больше.
Вынесем множитель:
30,0598+0,783=0,0001*(300598+…. – здесь очень интересный момент. Дело в том, что знаков после запятой в числе 0,783 меньше. Значит, для того, чтобы понять, какое число получится после вынесения множителя, нужно решить небольшое уравнение:
0,783=0,0001*х
$$Х={0,783\over{0,0001}}=0,783*10000 = 7830$$ – обратите внимание, что мы просто перенесли запятую вправо на то же количество знаков, какое содержится в общем множителе. Поэтому в условиях урока не нужно решать уравнение, достаточно просто переносить запятую нужным образом.
В итоге мы получим следующий пример:
30,0598+0,783=0,0001*(300598+7830)=0,0001*308428=30,8428 – вот и весь пример.
После выработки навыка все дополнительные операции будут выполняться сами собой в уме. Нужно просто запастись терпением и решать как можно больше примеров.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое десятичные дроби и как с ними работать.
Обучились базовым навыкам сложения и вычитания десятичных дробей. Разбили эти операции на отдельные шаги, чтобы никогда не допускать досадных ошибок по неправильному перенесению запятой.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Руслан Лунин
10/10
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 115.
А какая ваша оценка?
как выполнить в столбик, алгоритм, формула, примеры с ответами
Сложение десятичных дробей в математике
Определение 1Дробью в математике называют такое число, которое состоит из одной или нескольких равных частей единицы.
Дробь можно записать двумя способами:
- обычная форма, например, ab,13;
- десятичная дробь, как 0,6.
Десятичная дробь обладает важной особенностью. Ее знаменатель состоит из единицы и одного или нескольких нулей, к примеру, 10, 100, 1000 и так далее.
Десятичная дробь — вид дроби, метод записи чисел, которые являются действительными: ±dm…d1d0,d-1d-2….
Здесь ± является знаком дроби в виде плюса или минуса;
, — десятичная запятая, играет роль разделителя, отделяет целую от дробной части;
dk являются десятичными цифрами.
Пример 1Десятичные дроби:
0,7
1,42
11,256
910=0,9
18100=0,18
671000=0,067
В процессе сложения десятичных дробей нужно выполнять действия, как с натуральными числами без учета запятых. При записи ответа запятую нужно приписать под запятыми в начальных дробях.
Когда складывают десятичные дроби с разным числом знаков после запятой, необходимо дробь с минимальным числом десятичных знаков увеличить на нужное количество нулей. В результате число знаков после запятой в таких дробях сравняется.
Пример 2В качестве примера можно рассмотреть формулу сложения пары десятичных дробей:
0,678 + 13,7 =
В первую очередь нужно сделать так, чтобы число знаков после запятой было одинаковым.
Для этого добавим пару нулей с правой стороны числа 13,7:
0,678 + 13,700 =
Запишем десятичные дроби в столбик:
Источник: math-prosto.ru
В итоге: 0,678 + 13,7 = 14,378
Алгоритм действий при сложении десятичных дробей:
- уравнивание числа знаков после запятой;
- запись десятичных дробей в столбик;
- сложение, согласно правилам сложения натуральных чисел методом «в столбик»;
- запись запятой в ответе под запятыми.
Способы, описание алгоритмов
Десятичные дроби складывают несколькими способами. Основными из них являются:
- Приведение десятичных дробей к виду обычных дробей и вычисление их суммы.
- Сложение в столбик.
Алгоритм сложения десятичных дробей с помощью перевода в обыкновенные:
- сравнение числа десятичных знаков, которые имеют десятичные дроби;
- когда число знаков одинаковое, требуется перевести десятичные дроби в обыкновенные и выполнить их сложение;
- при разном числе знаков уравнивают их количество путем добавления с правой стороны необходимого количества нулей в десятичной дроби.
Предположим, что имеются десятичные дроби, которые нужно сложить:
3,1 и 4,7
Заметим, что число десятичных знаков у дробей не отличается. В этом случае нужно перевести их в обыкновенные дроби и найти сумму:
3,1=3110
4,7=4710
3,1+4,7=3110+4710=31+4710=7810=7,8
Пример 4Требуется найти сумму двух десятичных дробей:
3,45 и 7,368
Заметим, что число знаков после запятой в дробях отличается. Поэтому необходимо уравнять их. Добавим с правой стороны к числу 3,45 один ноль. Таким образом:
3,45=34501000
7,368=73681000
3,45+7,368=3,450+7,368=34501000+73681000=3450+73681000=108181000=10,818
Сложение десятичных дробей столбиком:
- Записать числа в столбик таким образом, чтобы цифры одинаковых разрядов располагались друг под другом. Аналогично должны быть расположены запятые, то есть друг под другом.
- Когда число десятичных знаков у дробей отличается, нужно дописать к дроби, которая имеет минимальное количество знаков после запятой нули.
- Сложить дроби без учета запятых.
- В сумму приписать запятую так, чтобы эта запятая располагалась под запятыми слагаемых.
Предположим, что требуется найти сумму самостоятельных чисел:
3,1 и 4,7
Согласно стандартному алгоритму, выполним сложение столбиком:
Источник: izamorfix.ru
Выполним сложение чисел:
3,45 и 7,368
После добавления к первой десятичной дроби нуля в конце запишем слагаемые в столбик:
Источник: izamorfix.ru
Правило 1При сложении десятичной дроби с натуральным числом нужно прибавить к заданному натуральному числу целую часть десятичной дроби. Дробная часть при этом не меняется.
Пример 4Рассмотрим пример, когда требуется сложить числа:
14,3 и 29
Упростить задачу можно путем представления натурального числа в виде десятичной дроби. В процессе требуется записать запятую после разряда единиц и добавить после нее необходимое число нулей. Далее дроби складывают столбиком:
Источник: izamorfix.
ru
При сложении десятичных дробей с обыкновенной дробью требуется привести десятичную дробь к виду обыкновенной дроби и найти сумму.
Пример 4Предположим, что имеются две дроби, сумму которых требуется найти:
0,28 и 13
Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
28100=28÷4100÷4=725
Затем можно найти сумму дробей:
0,28+13=725+13=2175+2575=21+25754675
Разряды в десятичных дробях
Десятичные дроби обладают своими разрядами:
- разряды десятых;
- разряды сотых;
- разряды тысячных.
Начало разрядов совпадает с запятой. Они идут после нее. Первой цифре, которая следует за запятой, соответствует разряд десятых, второй — разряд сотых, третьей — разряд тысячных.
С помощью разрядов можно получить информацию о дроби. Например, определить количество десятых, сотых и тысячных частей в десятичной дроби.
В качестве примера можно рассмотреть десятичную дробь 0,345:
Источник: spacemath.xyz
В результате можно сделать вывод, что десятичная дробь 0,345 имеет три десятых 310, четыре сотых 4100 и пять тысячных 51000:
310+4100+51000=0,345
Источник: spacemath.
xyz
Примеры решения задач для 5 класса
Задача 1Даны десятичные дроби, сумму которых нужно найти:
0,678 + 13,7
Решение
Руководствуемся стандартным алгоритмом. Нужно сравнять число знаков после запятой путем добавления к 13,7 пары нулей. Получим 13,700. Запишем дроби столбиком и выполним сложение:
0,678
+
13,700
Таким образом:
13,7 + 0,678 = 13,700 + 0,678 = 14,378
Ответ: 14,378
Задача 2Требуется найти сумму:
16 и 4,256
Решение
В первую очередь нужно сделать так, чтобы после запятой у чисел было одинаковое число знаков, то есть к 16 требуется приписать 3 нуля. Получим 16,000. Выполним поразрядное сложение и запишем запятую под запятой.
16,000 + 4,256 = 20,256
Ответ: 20,256
Задача 3Сложить числа:
5,12 + 3,75 + 5,25 + 4,88
Решение
Используя сочетательный и переместительный законы сложения, получим:
(5,12 + 4,88) + (3,75 + 5,25) = 10 + 9 = 19
(9,37+13,6) + 6,4
Тогда:
9,37 + (13,6 + 6,4) = 9,37 + 20 = 29,37
Ответ: 29,37
Задача 4Путем замены десятичной дроби на обыкновенную нужно вычислить сумму чисел:
734+2,25
Решение
Переведем десятичную дробь 2,25 в смешанное число:
225100=214
Далее сложим полученное число с дробью:
734+2,25=734+225100=734+224=10
Ответ: 10
Задача 5С помощью замены обыкновенной дроби на десятичную нужно найти сумму чисел:
6,09+2125
Решение
Запишем дробную часть из 2125 в виде дроби со знаменателем 100 путем умножения числителя и знаменателя на 4.
В результате получится 24100, или 2,04. Выполним сложение:
6,09+2125=6,09+24100=6,09+2,04=8,13
Ответ: 8,13
Задача 6Теплоход движется с собственной скоростью 23,8 км/ч. Река течет со скоростью 1,6 км/ч. Требуется определить, какова скорость теплохода, когда он движется по течению.
Решение
Зная собственную скорость теплохода и реки, рассчитаем скорость теплохода по течению с помощью сложения этих скоростей. Получим:
23,8 + 1,6 = 25,4
Ответ: 25,4 км/ч
Задача 7Баба Яга приобрела новую избу. Площадь одного помещения в ней равно 18,2м2. Эта комната на 4,8м2 меньше по сравнению со второй. Нужно определить общую площадь двух комнат.
Решение
Определим, какова площадь второго помещения. Для этого нужно к площади первой комнаты прибавить разницу в 4,8м2:
18,2 + 4,8 = 23
Далее можно рассчитать общую площадь этих комнат:
18,2 + 23 = 41,2
Ответ: 41,2м2
Задача 8Имеется некий треугольник, стороны которого равны 490 мм, 48 см, 4,7 дм.
Требуется определить периметр этой геометрической фигуры.
Решение
Известно, что периметр является суммой всех сторон треугольника. В первую очередь следует перевести все величины в дм для удобства расчетов:
490 мм = 4,9 дм
48 см = 4,8 дм
Суммируем полученные значения сторон:
4,9 + 4,8, +4,7 = 14,4
Ответ: 14,4 дм.
Как складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби
| |
Наша система счисления основана на десятичной системе счисления, что означает, что она основана на десяти цифрах: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Одиннадцатая цифра — это двойка. число, начинающееся с единицы за один десять плюс ничего, 10, а двадцать первая цифра — это двузначное число, начинающееся с двух за два десятка, 20.
Когда мы доходим до десяти десятков, у нас есть трехзначное число 100. Это должно звучит очень похоже на обсуждение ранее о стоимости места.
Одна тысяча, 1000, это 10 х 10 х 10. Таким образом, мы можем быстро увидеть, что, умножая еще на десять, мы получаем 10 000 и так далее.
Обратите внимание, что число, которое меньше единицы и не содержит целых чисел, обычно имеет ноль на месте целого числа слева от десятичной точки.
Существуют системы счисления, основанные на различном количестве цифр. Наиболее известной является двоичная система, которую используют многие компьютерные системы. Он основан на двух цифрах («би-» означает «два»), нуле (0) и единице (1). Этот курс охватывает только операции с основанием десять.
| Перемещение десятичной точки для умножения или деления на число, кратное десяти |
Любое число, не являющееся смешанным, можно легко разделить или умножить на 10, просто переместив десятичную точку в числе.
Все числа имеют десятичную точку, даже если вы ее не видите! Если это целое число или целое число, например 6, десятичная точка ставится после числа, например 6. Если это ровно 6, его можно записать как 6,0. Если бы вам нужно было умножить его на 10, вы бы переместили десятичную точку на один разряд вправо, потому что в 10 стоит один ноль. Таким образом, 10 x 6,0 будет 60,9.0003
Чтобы разделить на десять или кратное десяти, вы перемещаете десятичную точку влево на такое же количество знаков, сколько нулей или десятичных знаков в числе, на которое вы делите.
Если у вас есть число 475 и вам нужно разделить его на десять, вы можете использовать деление в длину, и это будет выглядеть так:
Однако вскоре после выполнения нескольких таких задач вы обнаружите, что при делении на десять вы просто переместили десятичную точку на один разряд влево.
Хотите узнать больше? Пройдите онлайн-курс по базовой математике.
Если в числе уже есть десятичная точка, начните с этой десятичной точки и переместите ее вправо при умножении и влево при делении.
| Преобразование дробей в десятичные и десятичных дробей |
В данном случае запятая выходила даже на тысячных. Для этого курса дроби будут четными десятичными, или вам скажут, сколько знаков нужно выразить. Вам нужно будет выработать десятичную дробь на один разряд больше, чтобы правильно округлить.
В приведенном выше примере вам могли бы предложить округлить до сотых.
В этом случае вы бы доработали задачу до тысячных, где у вас 5. Поскольку это 5 или больше, вы округлили бы сотые до одного разряда и выразили ответ как 0,13. Если бы вас попросили выразить ответ с точностью до десятых, вы бы обработали его с точностью до сотых. Затем, поскольку сотые доли — это 2 (меньше 5), вы бы оставили это как 2 — даже если вы знаете, что следующим местом будет 5 или больше. Округлив до десятых: 0,1.
Ноль — это заполнитель справа от десятичной точки. Если бы мы не использовали ноль в качестве заполнителя, число было бы 0,625, что означало бы, что 16 входит в 10 шесть раз! Вместо этого он дошел до 100 шесть раз. Поэтому будьте осторожны, всегда используйте ноль в качестве заполнителя, если делитель не входит в делимое и вам нужно сбить еще одну цифру.
Сложение и вычитание десятичных знаков
Сложение и вычитание десятичных дробей не слишком отличается от сложения и вычитания любых чисел.
Очень важно, чтобы вы записывали свои десятичные дроби так, чтобы десятичные точки совпадали, иначе вы обнаружите, что прибавляете десятые к единицам или вычитаете сотые из десятых.
Пока каждое из чисел, которые вы добавляете или вычитаете, имеет одинаковое количество знаков после запятой, сложение или вычитание довольно легко.
В первой задаче вам нужно будет поставить десятичную точку после пяти, а затем поставить нулевые заполнители в десятых и сотых местах. Очевидно, что тогда вам нужно будет одолжить одно целое из пяти, чтобы получить 10 десятых, а затем одолжить одну из десятых, чтобы получить 10 сотых, прежде чем вы сможете вычесть 5 сотых или 2 десятых.
Умножение и деление десятичных дробей |
При умножении десятичных дробей не выравнивайте десятичные точки.
Просто выровняйте числа вдоль правой части задачи. Затем умножьте так же, как если бы все числа были целыми числами, и прибавьте в конце. После этого подсчитайте, сколько знаков после запятой имеют два множителя (начните с правого края каждого числа), а затем дайте ответ, сколько знаков после запятой.
Для деления десятичных дробей всегда используйте длинное деление. Если делитель имеет десятичную дробь, вам нужно будет переместить десятичную точку в делителе и делимое на количество знаков после запятой в делителе, чтобы делитель стал целым числом. Возможно, вам придется добавить нули в качестве заполнителей в делимом. Затем поместите десятичную запятую для частного непосредственно над последней десятичной запятой в делимом и будьте осторожны, чтобы выровнять все цифры в правильных значениях места при делении.
Это полный урок с инструкцией и упражнениями для 5-го класса по умножению десятичных дробей на десятичные дроби. В видео ниже я объясняю правило умножения десятичных дробей (поставьте в ответе столько десятичных цифр, сколько их в множителях). Я объясняю, откуда взялось это правило, используя умножение дробей. Урок продолжается под видео.
1. Запишите как умножение с использованием десятичной дроби и
решать. Помните, что «из» переводится как «×». Используйте верхнюю задачу
2. Решить. Используйте верхнюю задачу в каждом блоке, чтобы Помогите решить нижний.
3. Ответ. Вам не нужно рассчитывать. а. Вы узнали, что 0,1 ×
246 означает одну десятую
246. б. Кроме того, 0,1 × 0,8 означает одну десятую
0,8. в. Будет ли результат 1,9 × 928 больше или меньше 928?
4. Палка в процессе усадки . Сколько это будет в пикселях? Сравните проблемы.
5. Красная палочка 50 пикселей длинный. Это расширенный или сжатый . Заполнить бланки.
6. Сообщите, получена ли палочка после «умножения» будет короче или длиннее оригинала.
7. Заполните аргументацию Аниты.
8. Умножить сначала как будто там были НЕТ десятичных точек. Затем добавьте к ответу десятичную точку.
9. Умножить.
10. Решить.
11. Найдите общую стоимость. Напишите умножение. а. Лента стоит 1,10 доллара за метр, а вы покупаете 0,4. метров. б. Гайки стоимость 8 долларов за фунт. Вы покупаете 0,3 фунта. c. Телефон звонок стоит 7 долларов в час. Вы разговариваете 1,2 часа. d. Кружево стоит 2,20 доллара за метр, и вы покупаете 1,5 метров. Здесь вы можете сделать рабочие листы для десятичного умножения. Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Decimals 2 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторское право © Мария Миллер. Он соответствует Общему базовому стандарту для 5-го класса 5.NBT.7. Math Mammoth Decimals 2 Учебник для самообучения для 5-6 классов, который охватывает четыре действия с десятичными знаками до трех десятичных цифр, уделяя особое внимание десятичному умножению и делению. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интерпретация умножения десятичного числа на десятичное состоит в том, чтобы думать об этом как о взятии дробной части десятичного числа (символ × переводится как «из»). Урок сравнивает умножение на десятичную дробь с масштабированием и сжатием палочки. Наконец, он показывает распространенный способ десятичного умножения (умножить, как если бы десятичных точек не было; в ответе столько десятичных знаков, сколько множителей в сумме).0003
Вместо этого, когда вы умножаете десятичные дроби или дроби, подумайте об этом.
как нахождение 
одна десятая от 700
Найти 0,01 × 800 _________
0,9 ×
= 
1,5 × «=»
0,4 × 0,08 =
________
0,4 × 4
× 0,2 =
_________
0,4 × 0,5 =
_______
