Умножение натуральных чисел в столбик: правила, примеры
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Арифметика Умножение двузначных, трехзначных и многозначных чисел столбиком
В данной публикации мы рассмотрим правила и практические примеры того, каким образом можно умножать столбиком натуральные числа (двузначные, трехзначные и многозначные).
- Правила умножения в столбик
- Примеры умножения в столбик
Правила умножения в столбик
Чтобы найти произведение двух натуральных чисел с любым количеством разрядов можно выполнить умножение в столбик. Для этого:
- Пишем первый множитель (начинаем с того, у которого больше разрядов).
- Под ним записываем второй множитель (с новой строки). При этом важно, чтобы одинаковые разряды обоих чисел были расположены строго друг под другом (десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.)
- Под сомножителями чертим горизонтальную линию, которая будет отделять их от результата.
- Начинаем выполнять умножение:
- Крайнюю правую цифру второго множителя (разряд – единицы) поочередно умножаем на каждую цифру первого числа (справа налево). При этом если ответ оказался двузначным, в текущем разряде оставляем последнюю цифру, а первую переносим в следующий, сложив со значением, полученным в результате умножения. Иногда в результате такого переноса в ответе появляется новый разряд.
- Затем переходим к следующей цифре второго множителя (десятки) и выполняем аналогичные действия, записывая результат со сдвигом на один разряд влево.
- Получившиеся числа складываем и получаем ответ. Правила и примеры сложения чисел в столбик мы рассмотрели в отдельной публикации.
Примеры умножения в столбик
Пример 1
Умножим двузначное число на однозначное, например 32 на 7.
Пояснение:
В данном случае второй множитель состоит только из одного разряда – единицы. Поочередно умножаем 7 на каждую цифру первого множителя.
При этом произведение чисел 7 и 2 равняется 14, следовательно, в ответе цифру 4 оставляем в текущем разряде (единицы), а один прибавляем к результату умножения 7 на 3 (7⋅3+1=22).
Пример 2
Найдем произведение двузначного и трехзначного чисел: 416 и 23.
Пояснение:
- Записываем множители друг под другом (в верхней строке – 416).
- Поочередно умножаем цифру 3 числа 23 на каждый разряд числа 416, получаем – 1248.
- Теперь умножаем 2 на каждую цифру 416, и полученный результат (832) записываем под числом 1248 со смещением на один разряд влево.
- Остается только сложить числа 832 и 1248, чтобы получить ответ, который равняется 9568.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
урок с примерами, карточками и видео
Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами.
Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.
Как правильно умножать столбиком
Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.
Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 — внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.
Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд — сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».
Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5.
Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.
Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу — получается 9.
Таким образом, ответ: 936.
Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителейТочно так же умножаются и другие многозначные числа.
Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.
Варианты карточек
Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности.
Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.
Фотогалерея: примеры карточек для урока
Видео: умножение чисел в столбик
Постоянная практика — залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.
- Автор: RobertN
Оцените статью:
(6 голосов, среднее: 4.
8 из 5)
Поделитесь с друзьями!
Большой сборник презентаций в помощь школьнику.
Эффективные стратегии обучения многозначному умножению
Многозначное умножение — сложная концепция для обучения. Давно прошли те времена, когда мы обучали одному методу, такому как длинное умножение, и просто *надеялись*, что все наши ученики поймут и смогут эффективно использовать этот метод. Сегодня мы знаем, как важно обучать многозначному умножению более стратегически. Это гарантирует, что каждый ученик в вашем классе сможет добиться успеха в той или иной степени. Это также гарантирует, что знания учащихся построены на стратегической основе и что они действительно ПОНИМАЮТ процесс многозначного умножения.
В качестве альтернативы, если вы ищете ресурс, где вся работа выполняется за вас, вас может заинтересовать эта Станция многозначного умножения, где учащиеся работают с различными стратегиями в своем собственном темпе, осваивая каждую из них по мере они идут.
Стратегии интегрированы стратегическим образом, гарантируя, что учащиеся постепенно наращивают свое понимание. См. Станцию многозначного умножения ЗДЕСЬ.
Итак, с чего начать обучение многозначному умножению?
Важно начать со стратегий, которые помогут учащимся решать многозначные уравнения в уме. Вместо того, чтобы сразу переходить к длинному умножению или эффективной альтернативе, начните со следующего:
1. Коммутативные и ассоциативные свойства . В первую очередь важно, чтобы учащиеся запомнили эти свойства. Свойство коммутативности утверждает, что порядок множителей не меняет произведения. Например, 4 × 3 и 3 × 4 равны 12. Ассоциативное свойство утверждает, что факторы могут быть сгруппированы по-разному. Например, (7×2)x5 дает тот же результат, что и (2×5)x7. Эти свойства помогают учащимся понять, что они могут манипулировать уравнениями, чтобы упростить их решение.
2. Использование коэффициентов. Это отличный способ научить учащихся тому, что числами можно манипулировать, чтобы упростить решение уравнения. Когда мы учим многозначному умножению, наша цель не всегда состоит в том, чтобы как можно быстрее получить правильный ответ. Иногда наша цель состоит в том, чтобы уметь мыслить творчески, когда дело доходит до чисел. Это один из таких случаев. Мы могли бы взять уравнение 4×15 и разбить 15 на его множители, 3 и 5. Теперь у нас есть это уравнение: 4×3×5. Теперь мы можем решить это так: (4×3)x5 ->
12×5 -> 60. Это просто для того, чтобы показать, что существует не только один правильный способ решения этого уравнения. 3. Умножение на 10, 100 и 1000, а также кратное 10, 100 и 1000. аккуратно, по частям. Когда вы обучаете этой концепции, важно сосредоточиться на правилах разрядности, прежде чем обучать таким приемам, как прием «добавление нулей». Например, когда учащиеся сталкиваются с уравнением 45×100, они должны понимать, что разрядные значения увеличиваются на 2 разряда, чтобы получилось 4500.
Точно так же при умножении уравнения типа 3×1000 разрядные значения увеличиваются на 3. мест, чтобы получить 3000. После того, как учащиеся усвоили эту концепцию, мы можем научить их тому, что когда в множителях есть 2 нуля, мы добавляем 2 нуля к произведению. Имейте в виду, что этим трюкам следует обучать только ПОСЛЕ того, как ученики отлично разбираются в математике, лежащей в основе концепции.
4. Разделение чисел. Это одна из самых полезных математических стратегий в уме. Он включает в себя разбиение одного из факторов, умножение на группы, а затем сложение этих групп вместе. Вот пример: в этом примере мы разбиваем 12 на 10 и 2, а затем умножаем на части. Таким образом, 12×30 становится (10×30) + (2×30). Это гораздо проще решить!
Мы также можем использовать эту стратегию для умножения больших чисел, например 103×9. Мы можем разбить 103 на 100 и 3, а затем умножить по частям, например так: (100×9) + (3×9).
5. Метод окна/окна.
Мне нравится метод «ящик/окно», потому что он использует расширенную форму каждого фактора, что делает его отличной стратегией для закрепления концепций восприятия чисел. Чтобы использовать эту стратегию, мы рисуем прямоугольник (количество столбцов и строк зависит от количества цифр в факторах), а затем записываем развернутые формы факторов сверху и сбоку. Затем мы умножаем каждую часть и складываем части вместе, когда закончим. Если вам нужно более подробное руководство по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.
6. Частичные продукты. Это одна из самых важных стратегий обучения в качестве альтернативы длинному умножению. В частичных произведениях уравнение настроено так же, как и в традиционном длинном умножении, но способ умножения отличается. Например, для уравнения 35×3 мы сначала умножаем 3×5, чтобы получить 15. Затем мы умножаем 3×30, чтобы получить 90. Обратите внимание, что мы умножаем на ТРИДЦАТЬ, а не на три.
Это потому, что 3 представляет 30. Это дает нам 90. Теперь мы складываем 15 и 9.0 вместе, чтобы получить 105. Если вам нужен более подробный учебник по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.
Стратегии, которые я изложил выше, являются НАИБОЛЕЕ важными для обучения многозначному умножению. Все эти стратегии делают упор на понимание чисел и гарантируют, что учащиеся действительно понимают, что означают числа в каждом уравнении. Но как насчет таких стратегий, как традиционное длинное умножение?
Это спорная тема. Некоторые учителя считают, что наше обучение должно быть сосредоточено ТОЛЬКО на чувстве числа, поэтому мы не обучаем стратегиям, которые не фокусируются на понимании числа. Эти учителя, как правило, используют такие стратегии, как частичные произведения, в течение всего года как очень эффективную альтернативу традиционному длинному умножению. Другие учителя считают, что мы должны учить так, как много лет назад учили умножению.
Я здесь не для того, чтобы говорить вам, какой способ лучше 🙂 Это зависит от вас и ваших учеников. Тем не менее, я скажу вам свое личное убеждение. Лично я склонен не впадать ни в одну крайность. Я большой сторонник стратегий, которые способствуют пониманию числа. Однако я также считаю, что для НЕКОТОРЫХ ваших учеников есть место традиционным методам. Вам придется быть судьей здесь. Если у вас есть ученики, которые борются с многозначным умножением, вы, вероятно, решите, чтобы они сосредоточились на частичных произведениях и коробках/окнах, и остановитесь на этом. Зачем добавлять еще больше путаницы? Они могут быть очень успешными с этими стратегиями. ОДНАКО, у вас могут быть ученики, которые отлично понимают то, чему вы учили до сих пор, и готовы к более сложной задаче! Эти учащиеся могут преуспеть в других, менее ориентированных на числа методах, поскольку они уже хорошо разбираются в математических концепциях.
Следующие стратегии в меньшей степени ориентированы на числовое восприятие, но они могут стать интересным способом умножения для тех учеников, которые готовы к испытаниям.
- Решеточное умножение. Это действительно забавный метод, который включает в себя рисование сетки и использование этой сетки для организации чисел. Некоторые учителя считают, что учащимся, использующим этот метод, легче переносить числа, потому что числа расположены диагональными рядами, поэтому легче увидеть, где их нужно добавить. Объяснение этой стратегии требует некоторого времени, поэтому, пожалуйста, просмотрите ЭТУ запись в блоге, которая также включает видеоурок по стратегии.
- Разделение пополам и удвоение. Это очень удобная стратегия при умножении на такие числа, как 5, 10, 25, 50 и т. д. Все, что вам нужно сделать, это разделить один множитель пополам и удвоить другой, чтобы изменить уравнение и упростить его решение. Например, если у нас есть уравнение типа 25×14, мы можем удвоить 25, чтобы получить 50, и разделить 14 пополам, чтобы получить 7. Теперь у нас есть 50×7, что НАМНОГО проще решить! Мы можем вычислить это в уме, очень быстро, и получить наше произведение 350. Для этой стратегии студенты должны понимать, что она хорошо работает только с определенными числами, и им потребуется много практики, чтобы знать, с какими уравнениями она хорошо работает.
- Традиционное длинное умножение. Это подводит нас к традиционному длинному умножению. Я не буду объяснять, как это сделать, потому что я думаю, что большинство из нас уже знает, но этому можно научить студентов, готовых к дополнительным испытаниям.
Например, если у нас есть уравнение типа 25×14, мы можем удвоить 25, чтобы получить 50, и разделить 14 пополам, чтобы получить 7. Теперь у нас есть 50×7, что НАМНОГО проще решить! Мы можем вычислить это в уме, очень быстро, и получить наше произведение 350. Для этой стратегии студенты должны понимать, что она хорошо работает только с определенными числами, и им потребуется много практики, чтобы знать, с какими уравнениями она хорошо работает.
Как умножать многозначные числа, используя метод прямоугольника и развернутую форму (без перегруппировки или переноса) — Цените знания выше оценок
Хотите, чтобы был более простой способ умножения?
Умножение многозначных чисел традиционным способом может оказаться немного сложным по нескольким причинам.
Один потому, что при переноске приходится переключаться с умножения на сложение, что я всегда забывал делать в школе, а иногда и сейчас делаю. Кроме того, со всеми этими пробелами, которые вы создаете внизу после каждого шага, трудно сказать, почему метод, который вы используете, действительно работает.
В этой статье и видео я покажу 5 примеров Коробочного метода умножения с использованием расширенной формы каждого числа, что поможет нам выполнять одну операцию за раз: умножать, затем складывать. И я буду использовать свой любимый метод для добавления «Значение в обратном порядке».
Метод Box также облегчает нагрузку, так что мы, по сути, выполняем одноразрядное умножение и просто записываем нули после этих произведений, когда это уместно.
Когда вы почувствуете, что освоили Box Method, попробуйте его самостоятельно, загрузив Практический лист с 3 вопросами из KOG Math Success Library с помощью бесплатной учетной записи.
Временные метки видео:
1:03 — Правила умножения методом Box
2:30 — 1 на 2 цифры Пример: 75 x 5
6:38 — 1 на 3 цифры Пример: 379 x 2
9:29 — 2 на 2 цифры Пример: 12 x 71
11:53 — 2 на 3 цифры Пример: 871 x 52
18:15 — 3 на 3 цифры Пример: 646 x 712
Правила игры
Нарисуйте сгруппированные прямоугольники со столбцами, соответствующими цифрам первого числа, и строками, соответствующими цифрам второго числа.
Запишите первое число в развернутом виде сверху, а второе сбоку, поместите каждое значение над квадратом.
Умножьте каждое верхнее число на каждое боковое число, вписав произведение в клеточку, где они встречаются.
Сложите все продукты вместе.
Словарь: Понимание математического языка
Цифра: одно из числительных от 0 до 9
Размеры [например. x-цифры на y-цифры]: единиц измерения, которые представляют длину, ширину, высоту и т. д., которые могут иметь единицы измерения в дюймах, футах, милях, метрах и т. д. В нашем случае размеры нашего сгруппированного поля диаграммы — длина и ширина в единицах «количества цифр в числе»
Place Value: значение цифры в числе, основанное на ее позиции и степени, кратной 10 (см. таблицу разрядов и примеры здесь).
Произведение: результат перемножения чисел
Коммутативное свойство умножения: В слово «коммутативный» входит слово «commute», что означает передвигаться или путешествовать.
Следовательно, это определение означает, что при умножении числа можно перемещать или переупорядочивать, и все равно получается один и тот же продукт.
Почему задействовано переместительное свойство?
При рисовании диаграмм сгруппированных блоков применяется то же правило.
Например, если у нас есть 17 x 439, будет работать как блочная диаграмма 2 на 3, так и блочная диаграмма 3 на 2. Его можно нарисовать любым способом:
Коммутативное свойство умножения позволяет нам умножать не по порядку, что позволяет нам рисовать наш метод ящика по-разному и получать один и тот же ответ.
Начнем умножать!
Пример 1:
75 x 5 (1 цифра на 2 цифры)Нажмите, чтобы посмотреть этот пример.
Я нарисовал сгруппированную диаграмму 1 на 2 цифры, которая отражает 5 x 75, и она будет такой же, если мы нарисуем диаграмму с группировкой 2 на 1, которая будет отражать 75 x 5.
Учитывая количество строк и столбцов, 5 имеет 1 цифру, которая соответствует количеству строк (1), а 75 имеет 2 цифры, которые соответствуют количеству столбцов (2). Число 75 было расширено до 70 + 5, и каждое значение места было написано над столбцом.
Я умножил каждое разрядное значение 75 (есть 2) на каждое разрядное значение 5 (есть 1).
70 x 5 = 350
5 x 5 = 25
Наконец, я сложил все продукты вместе, используя метод Backwards Place Value, чтобы не было перегруппировки или переноса.
350 + 25 = 375
Мой ответ: 375 🙂
Вы можете посмотреть, как я преподаю этот пример в моем видеоуроке, нажав ЗДЕСЬ.
Пример 2:
2 x 379 (1 цифра на 3 цифры) Нажмите, чтобы посмотреть этот пример.
Я нарисовал сгруппированную диаграмму 3 на 1 цифру, которая отражает 379 x 2. Это получится так же, если мы нарисуем сгруппированную диаграмму 1 на 3 цифры, которая будет отражать 2 x 379
Учитывая количество строк и столбцов, 379 имеет 3 цифры, которые соответствуют количеству строк (3), а 2 имеет 1 цифру, которая соответствует количеству столбцов (1).
Число 2 содержит только 1 разрядное значение (единицы), поэтому нет необходимости расширять его.
Число 379 содержит 3 разряда, поэтому оно было расширено до 300 + 70 + 9, и каждое разрядное значение было записано над столбцом.
Я умножил каждое разрядное значение 379 (есть 3) на каждое разрядное значение 2 (есть 1).
300 х 2 = 600
70 х 2 = 140
9x 2 = 18
Наконец, я сложил все продукты вместе, используя метод обратного размещения значений, чтобы не было перегруппировки или переноса.
И мой ответ 758 🙂
Вы можете посмотреть, как я преподаю этот пример в моем видеоуроке, нажав ЗДЕСЬ.
Пример 3: 1
2 x 71 (2 цифры по 2 цифры)Нажмите, чтобы посмотреть этот пример.
Я нарисовал сгруппированную диаграмму 2 цифры на 2 цифры, которая отражает либо 1 2 x 71 , либо 71 x 12 , поскольку оба числа являются двузначными.
Учитывая количество строк и столбцов, 12 имеет 2 цифры, соответствующие количеству строк (2), а 71 имеет 2 цифры, соответствующие количеству столбцов (2).
Я умножил каждое разрядное значение 12 (их 2) на каждое разрядное значение 71 (их 2).
70 x 10 = 700
70 x 2 = 140
1 x 10 = 10
1 x 2 = 2
Проштрась.
используя метод обратного размещения стоимости, чтобы не было перегруппировки или переноса.
используя метод обратного размещения стоимости, чтобы не было перегруппировки или переноса.И 852 мой ответ 🙂
Вы можете посмотреть, как я преподаю этот пример в моем видеоуроке, нажав ЗДЕСЬ.
Пример 4:
52 x 871 (2 цифры по 3 цифры)Нажмите, чтобы посмотреть этот пример.
Я нарисовал сгруппированную диаграмму 2 на 3 цифры, которая отражает 52 x 871 . Это будет то же самое, если мы создадим диаграмму с группировкой 3 цифры на 1 цифру, которая будет отражать 871 x 52. строки (2), а 52 имеет 2 цифры, соответствующие количеству столбцов (2).
Число 52 содержит 2 разрядных значения, поэтому оно было расширено до 50 + 2, и каждое разрядное значение было записано рядом с каждой строкой.
Число 871 содержит 3 разряда, поэтому оно было расширено до 800 + 70 + 1, и каждое разрядное значение было записано над столбцом.
Я умножил каждое разрядное значение 52 (всего 2) на каждое разрядное значение 871 (всего 3).
50 х 800 = 40 000
50 х 70 = 3 500
50 x 1 = 50
2 x 800 = 1 600
2 x 70 = 140
2 x 1 = 2
Прошерее. используя метод обратного размещения стоимости, чтобы не было перегруппировки или переноса.
40 000 + 3500 + 1 600 + 140 + 50 + 2 = 45 292
и 45,292 — мой ответ 🙂
Вы можете посмотреть, как я преподаю этот пример в моем видео, на клике.
Пример 5: 646
x 712 (3 цифры по 3 цифры) Нажмите, чтобы посмотреть этот пример.
Я нарисовал сгруппированную диаграмму 3 на 3 цифры, которая отражает либо 646 x 712 , либо 712 x 646 , поскольку оба числа являются трехзначными.
Учитывая количество строк и столбцов, 712 имеет 3 цифры, соответствующие количеству строк (3), а 646 имеет 3 цифры, соответствующие количеству столбцов (3).
Я умножил каждое разрядное значение 712 (всего 3) на каждое разрядное значение 646 (всего 3).
700 x 600 = 42,000
700 x 40 = 28,000
700 x 6 = 4,200
10 x 600 = 6,000
10 x 40 = 400
10 х 6 = 60
2 х 600 = 1200
2 х 40 = 80
2 х 6 = 12
Наконец, я сложил все продукты вместе, используя метод обратного размещения стоимости, чтобы не было перегруппировки или переноса.
