Примеры в столбик умножение: Онлайн калькулятор. Умножение столбиком

Умножение натуральных чисел столбиком, примеры, решения, умножение в столбик, 15 умножить на 50

Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется «умножение в столбик» (или «умножение столбиком»). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

В этом материале мы расскажем, как считать с помощью данного способа. Все пояснения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Основы умножения столбиком

Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a·0=0 (a – любое натуральное число).

Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

Как записывать множители при подсчете столбиком

Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

Пример 1

Например, чтобы вычислить и 71, 550·45 002 и 534 000·4 300, запишем такие столбики:

Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

Как умножить столбиком многозначное число на однозначное

Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

Пример 2

Условие: вычислить 45 027·3.

Решение

Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7·3=21.

Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10, то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2·3, это будет 6. Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21, как мы помним): 6+2=8. Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

Здесь нужно умножить 3 на 0. Согласно правилам умножения, результат будет равен 0. Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10. Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

Осталось умножить 5·3 и получить 15. Результат больше 10, пишем пятерку и запоминаем десяток:

Нам осталось только перемножить 4·3, это будет 12. Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10, пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

Ответ: 45 027·3 = 135 081.

Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

Пример 3

Условие: подсчитать, сколько будет 4 502 700·3.

Решение

Cначала запишем числа нужным способом.

После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

Ответ: 4 502 700·3 =13 508 100.

Как перемножить столбиком два многозначных натуральных числа

Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

Пример 4

Условие: вычислить, сколько будет 207·8 063.

Решение

Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063, а под ним 207. Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7. Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0, то сразу переходим к следующему этапу.

3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10, и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063·207 = 1 669 041.

Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

Пример 5

Условие: умножьте 297 на 321.

Решение

Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

1. Первый этап – умножаем 297 на 1, которая стоит в разряде единиц второго множителя.

2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2, что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение:

3. Далее умножаем на значения сотен, т.е. 297 на 3:

4. У нас получилось три неполных произведения, которые надо сложить (для этого желательно повторить, как правильно складывать столбиком три числа и более). Считаем:

Ответ: 297·321 = 95 337.

Еще один пример приведем без пояснений.

Пример 6

Условие: вычислите 210 627·30 105.

Решение

Весь процесс вычислений указан в записи ниже.

Ответ: 210 627·30 105 = 6 340 925 835.

В целом можно сказать, что если вы отлично владеете способностью умножать однозначные числа и умеете складывать столбиком, то процесс умножения многозначных натуральных чисел указанным методом не будет представлять для вас никакого труда.

У нас остался еще один момент, который мы хотели бы пояснить. Как быть, если один из множителей или оба сразу имеет в конце нуль (или несколько нулей)? Для наглядности возьмем такую задачу и решим ее.

Пример 7

Условие: вычислите 50 600·390.

Решение

Все, что нам надо сделать, – это записать множители так, чтобы друг под другом оказались цифры, отличные от нуля.

После этого мы можем просто провести все вычисления по указанному выше алгоритму, игнорируя нули. Т.е. в данном примере нам нужно просто умножить 506 на 39. Получаем два неполных произведения и складываем их:

Нам осталось все лишь дописать к результату оставшиеся нули. Мы добавляем их столько, сколько указано справа у обоих множителей. В нашем примере к готовому числу надо написать три нуля:

Это и будет корректный ответ.

Ответ: 50 600·390 = 19 734 000.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями — РОСТОВСКИЙ ЦЕНТР ПОМОЩИ ДЕТЯМ № 7

Содержание

Умножение в столбик | интернет проект BeginnerSchool.

ru

Умножение многозначных или многоразрядных чисел удобно производить письменно в столбик, последовательно умножая каждый разряд. Давайте разберем, как это делать. Начнем с умножения многоразрядного числа на одноразрядное число и постепенно увеличим разрядность второго множителя.

Для того чтобы умножить в столбик два числа, разместите их одно под другим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сравните два множителя и меньший разместите под большим. Затем начинайте умножать каждый разряд второго множителя на все разряды первого множителя.

Пишем однозначное число под единицами многозначного.

Умножаем 2 последовательно на все разряды первого множителя:

Умножаем на единицы:

8 × 2 = 16

6 пишем под единицами, а 1 десяток запоминаем. Для того, чтобы не забыть пишем 1 над десятками.

Умножаем на десятки:

3 десятка × 2 = 6 десятков + 1 десяток(запоминали) = 7 десятков. Ответ пишем под десятками.

Умножаем на сотни:

4 сотни × 2 = 8 сотен. Ответ пишем под сотнями. В результате получаем:

438 × 2 = 876

Умножим трехзначное число на двухзначное:

924 × 35

Пишем двухзначное число под трехзначным, единицы под единицами, десятки под десятками.

1 этап: находим первое неполное произведение, умножив 924 на 5.

Умножаем 5 последовательно на все разряды первого множителя.

Умножаем на единицы:

4 × 5 = 20             0 пишем под единицами второго множителя, 2 десятка запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 5 = 10 десятков + 2 десятка (запоминали) = 12 десятков, пишем 2 под десятками второго множителя, 1 запоминаем.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 5 = 45 сотен + 1 сотня (запоминали) = 46 сотен, пишем 6 под разрядом сотен, а 4 под разрядом тысяч второго множителя.

924 × 5 = 4620

2 этап: находим второе неполное произведение, умножив 924 на 3.

Умножаем 3 последовательно на все разряды первого множителя. Ответ пишем под ответом первого этапа, сдвинув его на один разряд влево.

Умножаем на единицы:

4 × 3 = 12             2 пишем под разрядом десятков, 1 запоминаем.

Умножаем на десятки:

2 десятка × 3 = 6 десятков + 1 десяток (запоминали)  =  7 десятков, пишем 7 под разрядом сотен.

Умножаем на сотни:

9 сотен × 3 = 27 сотен, 7 пишем в разряд тысяч, а 2 в разряд десятков тысяч.

3 этап: складываем оба неполных произведения.

Складываем поразрядно, учитывая сдвиг.

В результате получаем:

924 × 35 = 32340

Умножим трехзначное число на трехзначное:

Возьмем первый множитель из предыдущего примера, а второй множитель тоже из предыдущего, но больше на 8 сотен:

924 × 835

Итак, два первых этапа такие же, как в предыдущем примере.

3 этап: находим третье неполное произведение, умножив 924 на 8

Умножаем 8 последовательно на все разряды первого множителя. Результат пишем под вторым неполным произведением со сдвигом влево, в разряд сотен.

4 × 8 = 32, пишем 2 в разряд сотен, 3 запоминаем

2 × 8 = 16 + 3 (запоминали) = 19, пишем 9 в разряд тысяч, 1 запоминаем

9 × 8 = 72 + 1 (запоминали) = 73, пишем 73 в разряды сотен и десятков тысяч соответственно.

4 этап: складываем три неполных произведения.

В результате получаем:

924 × 835 = 771540

Итак, сколько разрядов во втором множителе, столько и будет слагаемых в сумме неполных произведений.

Возьмем два множителя с одинаковой разрядностью:

3420 × 2700

При умножении двух чисел оканчивающихся нулями пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

Теперь умножаем два числа, не обращая внимания на нули:

342 × 27 = 9234

Общее количество нулей приписываем к получившемуся произведению.

В результате получаем:

3420 × 2700 = 9234000

Подведем итог. Для того чтобы письменно в столбик умножить два числа друг на друга, надо:

1. Сравнить два числа и меньшее написать под большим, единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Если числа с нулями, то пишем одно число под другим так, чтобы нули обоих множителей остались в стороне.

2. Умножаем последовательно каждый разряд второго множителя, начиная с единиц, на все разряды первого множителя. На нули внимания не обращаем

3. Неполные произведения пишем друг под другом, сдвигая каждое неполное произведение на один разряд влево. Сколько во втором множителе значащих разрядов (не 0), столько будет неполных произведений.

4. Складываем все неполные произведения.

5. К полученному результату приписываем нули из обоих множителей.

Вот и все, спасибо, что Вы с нами!

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями.

1.

Мотивация.    (самоопределе ние к учебной деятельности).   Цель: Мотивация учащихся к учебной деятельности на личностно-значимом уровне

Создаёт условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность. У: Добрый день ребята! Садитесь. Я приглашаю вас на урок «Математики». Ребята, для того, чтобы вы поверили в свои силы и вам легко работалось на уроке, повторите за мной следующие слова: Я на уроке математики Я все знаю Я все умею У: Повернитесь лицом к соседу, скажите ему: Я желаю тебе добра Если тебе будет трудно, я помогу.   Cегодняшний урок я хочу начать словами французского философа Ж.Ж. Руссо.  «Вы талантливые дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели и стремиться к их достижению. ..» Я желаю вам уже сегодня на уроке убедиться в этих словах. Вы готовы к работе? Тогда в путь.

Включаются в учебную деятельность. Слушают учителя.     Садятся за парты.         Хором повторяют.                                       Поддерживают диалог.

Личностные УУД: самоопределение

2.

Актуализация знаний. Цель: Готовность мышления и осознания потребности к построению нового способа действий.

Ведёт подводящий диалог. ( Активизирует у учащихся мыслительные операции, внимание, память) 1. Проверка домашнего задания. — С домашним заданием все справились?   2. – Откройте тетради. Запишите число. Классная работа. Минутка чистописания. У вас на столах листы самоконтроля. По мере выполнения заданий вы будете себя оценивать.   3. Устный счет. Работа в парах. Заполните таблицу.   υ t S ? 4ч 120км 6м/с 10с ? 70 м/мин ? 560 м  Проверка. Слайд 1 -Как найти скорость? -Как найти расстояние? -Как найти время?     — Посмотрите внимательно на экран и предложите работу, которую мы можем выполнить.   Исследуйте первое выражение.  -Какую закономерность вы установили.   -Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения. 1)6·9= 54     2) 26·3                   3) 139·0 4) 264·10   5) 92· 100    6) 532·300 ( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения) (Слайд 2)

Участвуют в диалоге.                 Все правильно выполнено — +; Одна ошибка – V; Больше ошибок — —.         Во время проверки таблицы вспоминают взаимосвязь между величинами: скорость, расстояние, время.                   — Можно  посчитать треугольники. — Можно выявить закономерность.       Вспомнить название чисел при умножении. 1) табличное умножение 2) внетабличное умножение       ( разбиваем на разрядные слагаемые) 3) умножение на нуль 4) увеличение числа в 10 раз,  приём умножения  на 10 5) приём умножения на 100 6) затрудняются

Познавательные УУД: — Общеучебные; — Логические;   Коммуникативные УУД: — умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

3.

Постановка учебной задачи. Создание проблемной ситуации. Цель: Выявление места и причины затруднения, постановка цели урока.

1. Ведёт побуждающий диалог. — Почему вы затрудняетесь назвать произведение в 6 треугольнике? Побуждает к осознанию темы и цели урока.   — Как вы думаете, какова же тема нашего урока?   — Я предлагаю вам два  варианта решения данной проблемы. 2. Стимулирует к деятельности. — Первый: Сама покажу вам приём умножения.    Второй – на основе ранее полученных знаний попробуете решить сами. — Какой вариант выберете вы и почему?

Участвуют в диалоге. — Не можем, так как с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение на числа, оканчивающееся нулями) Формулируют тему  урока. —Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.                 Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД: — постановка и формулирование проблемы — поиск и выделение необходимой информации   Регулятивные УУД: — целеполагание; Коммуникативные: — умение выражать свои мысли;

4

« Открытие» детьми нового знания. Цель: Построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению.

1. Организует деятельность. (Слайд 3) — Великий Сократ говорил о том, что научиться играть на флейте можно только, играя самому. —Так и вы можете научиться умножать такие числа, думая только своей головой и пытаясь решить самостоятельно. — У кого есть предположения, как можно его вычислить?  Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний?   — Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно? — Какой закон математики вы применили?             ( Слайд 4) — Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть большими? — Какой способ мы можем ещё использовать? — Умеем мы это правильно делать? — Дайте более точную формулировку темы нашего урока. ( Слайд 5)     — Какую учебную задачу вы поставите перед собой?       2.- Запишите пример столбиком и самостоятельно решите его.   — Где мы можем проверить правильность наших рассуждений? — Откройте учебники на стр.13, внимательно рассмотрите образец и сравните со своим решением. — Я прошу поднять руку тех ребят, которые выполнили умножение так, как показано в учебнике. — Молодцы. Значит, вы умеете применять ранее полученные знания. — Открытые вами знания позволили найти произведение в 6 треугоьнике? ( Слайд 6)   — Сейчас объясним приём умножения на доске. 3. Вызывает к доске ученика, верно решившего пример.     — У кого другая запись?   4. Организует работу в парах по составлению алгоритма умножения. — Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения. — Что такое алгоритм? — Сейчас мы его составим. У вас на партах конверты с карточками, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке.   Выводит алгоритм на экран. (Слайд 7)

Выдвигают гипотезы: — устно — на калькуляторе — столбиком. -Нет.     Объясняют приём умножения. 532·300= 532·(3·100)= 532·3·100=159600 — Сочетательный закон.   — Не всегда.     — Решение столбиком. -Нет. Дети формулируют тему и учебную задачу урока. — Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями. — Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа /в столбик/ на числа, которые оканчиваются нулями.   Пытаются решить пример самостоятельно.   — В учебнике.   Дети открывают учебники и сравнивают своё решение с образцом.               Называют произведение в треугольнике.   Объясняют приём умножения. — Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится во втором множителе.               — Пошаговое выполнение действий.   Открывают конверты. Располагают карточки в нужном порядке. Одна пара зачитывает. 1. Второй множитель записываю так, чтобы нули остались в стороне. 2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули. 3.К полученному результату приписываю нули. 4.Читаю ответ.

Познавательные УУД: — построение логической цепи рассуждений; — самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера; Коммуникативные УУД: — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

5.

Первичное закрепление с проговарива- нием. Цель: Зафиксировать способ письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями.

1.Организует работу по закреплению нового знания. — Закрепим полученные знания, выполнив письменное умножение с объяснением на доске.     ( с.13 №40 – 1 строчка) (К доске вызывает сначала                                      « сильного» ученика, затем «слабого».) — Понятен ли вам этот вычислительный приём? — Как проверить, что вы его усвоили?   (Учитель даёт инструктаж по выполнению задания.) -Давайте проверим. — У каждого из вас имеется карточка. На ней записаны примеры.                                                                            ( 735 ·500    6307 · 40) Предлагаю спрогнозировать предполагаемый результат:  в верхнем углу карточки вы видите круг. Закрасьте его зелёным цветом, если вы уверены в своих силах. Жёлтым цветом – если сомневаетесь. Красным цветом – если вам нужна помощь. Кому нужна помощь, обращайтесь к алгоритму.  А теперь приступим. — Передайте карточку соседу. Выводит ответы к заданию  на экран. ( Слайд 8) — Если  нет ошибок, закрасьте нижний круг зелёным цветом, если есть ошибки – жёлтым. — Верните карточку владельцу. — Совпал ли ваш прогноз с результатом?

Два ученика работают у доски, остальные в тетради.     — Решить примеры самостоятельно.               Прогнозируют результат и выполняют задание.                                       Взаимопроверка по готовым ответам с доски.   — Ответы детей / Мой прогноз совпал с результатом, был уверен и правильно выполнил. — Мой прогноз не совпал с результатом, я был уверен, что справлюсь, но допустил ошибку./

КоммуникативныеУУД: Умение выражать свои мысли;  Регулятивные УУД: Овладение алгоритмом умножения;

8.

Включение нового  в систему знаний и повторения.    Цель: — закрепить умение решать текстовые задачи; — применение нового способа действия; — создание ситуации успеха.

Организует  индивидуальную работу с последующей проверкой в группе и самопроверкой по эталону.   1.                                Внимание на экран. ( Слайд 9)                                           Перед вами 4 задания.   — Какое из них далеко от темы нашего урока?   А) 736·300    6 324· 50 Б) 6 895+ 72 456 + 658 В) 784 · 600 + 2 907 · 30 Г) х· 4= 432·30             Осталось 3 задания. — Выберите себе то, которое для вас  более интересно и которое вы можете выполнить. Выполните его. / Учитель проходит по классу, наблюдает, какой уровень выбрал каждый из учащихся и кладёт рядом с его работой фишку (цвет фишки – уровень сложности выбранного задания)/ — А теперь, ребята, попрошу вас собраться в группы в соответствии с выполненным заданием. Проверьте своё решение с решением товарищей. — Садитесь на свои места, посмотрите внимательно на экран и сверьте свою работу с образцом. (слайд 10-12)

Анализируют и делают вывод, что лишнее задание Б. — Лишнее задание Б, так как оно не подходит к теме нашего урока. Оно подошло бы к теме – сложение многозначных чисел. Формулируют уровень сложности заданий  и конкретизируют их. А – выполнить умножение столбиком В- вспомнить порядок действий и вычислить. Г- решить уравнение.   Выбирают и выполняют задание.               Собираются в группы по цвету фишек с целью взаимопроверки.   Сверяют решение с образцом на слайдах. Исправляют ошибки и фиксируют затруднения.

Познавательные УУД: — анализ с целью выделения главных признаков; — умение осознанно строить речевое высказывание  в устной форме; — выделение и поиск необходимой информации;   Коммуникативные УУД: — умение достаточно полно и чётко выражать мысли;   -интегрирование в группы и продуктивное взаимодействие.   Регулятивные УУД: — планирование; — контроль; — коррекция; — самооценка.

9.

Рефлексия учебной деятельности. Цель: — Оценить результаты собственной деятельности;   — Осознание метода построения границ применения нового знания.

Благодарит ребят за работу. Вы все очень постарались. — Огромное трудолюбие и ваша тяга к знаниям помогла нам сделать на уроке открытие. Эта удача приблизила ещё на один шаг каждого из вас к успеху. — Какая тема нашего урока?     — Какую учебную задачу мы ставили перед собой?   — Чему новому научились?     — Достигли мы успеха? На память о нашем уроке, чтобы вы ничего не забыли: домашнее задание, запишите в дневник. (Слайд 14) Проводит инструктаж домашнего задания. стр.13 № 40 (нижняя строчка)– обязательное для всех № 42 – предлагаю тем, кто не боится трудностей. Оценивание работы учащихся ВЫСТАВЛЕНИЕ ОЦЕНОК (по листу самоконтроля) — Где и в каких случаях знания, полученные на уроке, могут пригодиться в жизни?

Дети вспоминают тему и учебную задачу урока.  — Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями. — Научиться письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.   — Научились письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.   -Достигли.         Записывают задание в дневники.         Тот, кто поднялся, анализирует и оценивает свою работу на уроке.

Регулятивные: — оценка того, что усвоено, осознание качества и уровня усвоения. Познавательные: — умение структурировать знания;   Коммуникативные УУД: — аргументировать свои высказывания;

Письменное умножение многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями

Класс: 4 Предметная область: математика, УМК « Школа России» Составила учитель начальных классов: Завалищина Т. Ю.

Чкаловская школа – интернат московской области

Тип урока: урок «открытия» новых знаний. Первый урок в изучении темы.

Тема: «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями».

Цели: формировать у учащихся умения овладеть письменным приёмом умножения на числа, оканчивающиеся нулями; использовать данный прием в системе ране изученных знаний; совершенствовать вычислительные навыки, умение решать задачи.

Учебные задачи, направленные на достижение личностных результатов обучения:

— принятие и освоение социальной роли обучающегося, развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения.

Учебные задачи, направленные на достижение метапредметных результатов обучения:

— овладение способностью принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, поиска средств её осуществления;

— готовность анализировать, сравнивать, делать выводы, составлять алгоритм решения и пользоваться им; слушать собеседника и вести диалог; готовность признавать возможность существования различных точек зрения, излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения; готовность оценить свою работу.

Учебные задачи, направленные на достижение предметных результатов обучения:

— Формирование умения выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями; составлять краткую запись и рассуждать по ней; решать текстовые задачи, уравнения, определять части круга, переводить одни единицы времени (длины) в другие; выполнять и строить алгоритм; представлять, анализировать данные.

Оборудование урока: ПК, презентация к уроку, раздаточный материал (карточки с заданиями, алгоритм  умножения на карточках). Учеб

ник: М.И.Моро « Математика» 4 класс, часть 2.

Прогнозируемые результаты:        

Предметные. В конце урока ученики должны знать: 1. Алгоритм письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями.

2.Уметь письменно умножать на числа, которые оканчиваются нулями.

Метапредметные

1.Умеют ставить учебную задачу и самостоятельно формулировать выводы.

2.Умеют слушать собеседника, излагать своё мнение и аргументировать свою точку зрения.

Личностные. Должны уметь сотрудничать с учителем и сверстниками

№ п./п

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД (называть виды с расшифровкой)

I.

Организационный

момент (1 мин)

Цель:

мотивация учащихся к учебной деятельности на личностно-значимом уровне

Создаю условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность.

Прозвенел звонок – начинается урок.  

Чтоб урок прошёл прекрасно,              

Хорошо, отлично, классно                    

Наберитесь вы терпенья,

Лень отбросьте  и тогда, все получится, друзья!

Хором дополняют реплику учителя.

Садятся за парты

Личностные УУД:

Самоорганизация на учебную деятельность.

II

Этап подготовки

к активному, сознательному усвоению знаний.

/5 мин./

1.Устный счет: 9000 х 7; 2500 х 3; 4700 х 2

2.Проверка домашнего задания (Вычислить результаты удобным способом. № 36(с. 12))

— Проверим первый и четвертый примеры.

12 х (5 х7)

— Назовите значение выражения.

— Какой способ вам помог найти результат?

— Поднимите руку, кто выбрал такой же способ?

17 х (4 х 10)

— Почему?

— Каким свойством пользовались при вычислениях?

9 сот. х 7 = 63 сот. = 6300

Объясняют свой выбор

(420) (Ученик: «Я считаю, что удобно (12х5) х7, т. к. в первом действии получаю круглые десятки, а их легко умножить на 7)

(Все)

17 х (4 х 10) – способ выбрал 1 ребенок

(17х4)х10 – остальные ребята

Это удобнее, т.к. двузначное число легче умножать на однозначное нежели на трехзначное

-Применяли свойство умножения числа на произведение.

Актуализировать знания для проведения простейших математических вычислений

Развитие навыков формулировки личной оценки, аргументирования своего мнения

Познавательные УУД:

— Общеучебные;

— Логические;

III.

Постановка темы и задач урока

(3мин)

1.)Самоопределение к деятельности.  

Коммуникативные УУД:

— умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

Создание проблемной ситуации. 

/Цели:

выявление места и причины затруднения, постановка цели урока;

.

 

6·9=

26·3 139·0

    264·10   

92· 100

532·300

Веду подводящий диалог.

— Посмотрите внимательно на экран и предложите работу, которую мы можем выполнить.

-Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения.

( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения)

(Слайд 3)

Участвуют в диалоге, объясняют приемы умножения.  

— Можно  посчитать фигуры. (Считают)

— Можно назвать доли круга. (Называют)

— Можно найти значения выражений.

1) табличное умножение

2) внетабличное умножение       

( разбиваем на разрядные слагаемые)

3) умножение на нуль.

4) умножение на 10 (умножить на 1 и добавить 0)

5) умножение на 100 (приписать к 92 два нуля)

6) В ¼ круга — такие примеры не решали

Цель:

активизировать у учащихся мыслительные операции, внимание, память и побудить к осознанию темы

2. Постановка темы и учебной задачи

Ведёт побуждающий диалог.

— Почему вы затруднились назвать произведение в 1/4 круга?

Побуждаю к осознанию темы и цели урока.

— Как вы думаете, какова же тема нашего урока? 

Какие варианты   решения данной проблемы вы можете предложить?

Используйте ранее полученные знания, попробуете решить сами. 

— Какой вариант выберете и почему?

Участвуют в диалоге.

— Потому что с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение на числа, оканчивающееся нулями, где первая цифра частного больше единицы)

Формулируют тему  урока.

-Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.

Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД:

— постановка и формулирование проблемы

— поиск и выделение необходимой информации

Регулятивные УУД:

— целеполагание;

Коммуникативные:

— умение выражать свои мысли;

IV

.

«Работа по теме»

(Всего 15 мин)

1. « Открытие» детьми нового знания. 

/5 мин./

Цель:

построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению

2. Составление алгоритма письменного умножения многозначного числа на число, которое оканчивается нулями (3 мин)

1. Организует деятельность.

— У кого есть предположения, как можно его вычислить?

— Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно?

— Какой закон математики вы применили?             ( Слайд 4)

— Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний?

— Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть достаточно большими?

— Какой способ мы можем ещё использовать?

— Умеем мы это правильно делать?

— Дайте более точную формулировку темы нашего урока. 

— Какую учебную задачу вы поставите перед собой? ( Слайд 5)

2.Предлагаю записать пример столбиком самостоятельно и решить его.

— Где мы можем проверить правильность наших рассуждений?

— Откройте учебники на стр.13, внимательно рассмотрите образец и сравните со своим решением.

— Я прошу поднять руку тех ребят, которые выполнили умножение так, как показано в учебнике.

— Молодцы. Значит, вы умеете применять ранее полученные знания. 

— Сейчас объясним приём умножения на доске.

3. Вызывает к доске ученика, верно решившего пример.

— Сделаем вывод

— Открытые вами знания позволят сформулировать алгоритм письменного умножения многозначного числа на числа, оканчивающиеся нулями.

4. Организую работу в парах по составлению алгоритма умножения.

— Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения.

— Что такое алгоритм?

— Сейчас мы его составим. 

У вас на партах карточки, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке.

        

Вывожу алгоритм на экран. (Слайд 6)

Выдвигают гипотезы:

1- устно 532 х (3 х 100) =(532 х 3) х100

— Сочетательный закон

2 — на калькуляторе

-Нет. ( Представьте, что нет источника питания)

3 — столбиком.

Дети формулируют тему и учебную задачу урока.

— Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями.

— Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа

/в столбик /на числа, которые оканчиваются нулями.

Пытаются решить пример самостоятельно.

— В учебнике.

Дети открывают учебники и сравнивают своё решение с образцом.

(8 человек решили так:

_х 532

300

159600

2 человека решили так:

_х 532

300

159600

Называют произведение в ¼ круга.

Объясняют приём умножения.

— 532 х 300

3х100, значит (опираясь на свойства умножения)

я сначала _х532

3_

и получу 1596, а затем

умножу на 100, (умножу на 1 и добавлю 00)

и получу 159600

— Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится во втором множителе.

— Пошаговое выполнение действий.

Открывают конверты. Располагают карточки в нужном порядке.

Одна пара зачитывает. 

1.Второй множитель записываю так, чтобы нули остались в стороне.

2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули.

3.К полученному результату приписываю нули.

4.Читаю ответ.

Познавательные УУД:

— построение логической цепи рассуждений;

— самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера;

Коммуникативные УУД:

— инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

Познавательные УУД:

— построение логической цепи рассуждений;

— самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера;

Умение сравнивать, анализировать, давать оценку своим действиям

Создание алгоритма деятельности при решении проблемы.

V.

3. Первичное закрепление с проговарива-

нием. 

/4 мин./

Цель:

Зафиксировать способ письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями в решении примеров.

4. Самостоятельная работа (3мин)

Включение нового  в систему знаний и повторения.    

/Всего13 мин./

1.Работа по карточками с прогнозированием результатов.

Закрепление новых знаний и повторение (3 мин)

Задачи перед детьми: прогнозировать свои результаты; сравнивать прогноз и результат; объяснять причину ошибки

Организую работу по закреплению нового знания.

1)Фронтальная работа с проговариванием вслух.

— Закрепим полученные знания, выполнив письменное умножение с объяснением на доске.     ( С.13 №40 – 1 строчка)

 

— Понятен ли вам этот вычислительный приём?

— Как проверить, что вы его усвоили?

2) Самостоятельная работа (с.13 №40 – 2 строчка)

Даёт инструктаж по выполнению задания.

1)Работа с карточкой

— У каждого из вас имеется карточка. На ней записаны 2 задания: первое в виде теста, а второе — задача                                                                            

1. Укажи произведение чисел 154 х 500

7700 77000 77200

2*. Пол в коридоре нужно покрыть прямоугольным куском линолеума длина которого 2м , а ширина 8 дм 5 см. Какова его площадь?

Предлагаю спрогнозировать предполагаемый результат:  в верхнем углу карточки и около второго задания вы видите овалы.

— Закрасьте их зелёным цветом, если вы уверены в своих силах. Жёлтым цветом – если сомневаетесь. Красным цветом – если вам нужна помощь.

— Кому нужна помощь, обращайтесь к алгоритму. ( А тем, кто запутался с задачей предлагаю карточку с частичным планом решения)

 — Критерий оценки – правильность счёта, безошибочность. А теперь приступим.

— Передайте карточку соседу.

Вывожу ответы к заданию  на экран.

 ( Слайд 7)

— Если  нет ошибок, закрасьте нижний треугольник зелёным цветом, если есть ошибки – жёлтым.

— Верните карточку владельцу.

— Совпал ли ваш прогноз с результатом?

Два ученика работают у доски, остальные в тетради.

— Решить примеры самостоятельно.

Решают. Выполняют взаимопроверку и, если понадобится, оказываю помощь друг другу.

Прогнозируют результат и выполняют задание.

        

Взаимопроверка по готовым ответам с со слайда.

— Ответы детей / Мой прогноз совпал с результатом, был уверен и правильно выполнил.

— Мой прогноз не совпал с результатом, я был уверен, что справлюсь, но допустил ошибку./

Решают.

Проверяют и сравнивают, закрашивают.

Делают вывод и, если надо, исправляют ошибки.

КоммуникативныеУУД:

Умение выражать свои мысли;

 Регулятивные УУД:

Овладение алгоритмом умножения;

Регулятивные УУД:

Самоконтроль;

Коррекция

Взаимопроверка

Прогнозирование результатов.

Сравнение прогноза и результата

Коммуникативные УУД:

Учебное сотрудничество;

Физминутка

(2 мин) 

Музыкальная пауза

;

2.Какое из заданий не отвечает теме нашего урока?

/5 мин. /

Цель: учить анализировать с целью выделения новогоприема умножения среди материала для повторения..

Тренировать способность к самоконтролю по эталону и самооценке.

Учить работать в группах и четко выражать свои мысли.

3. Работа над задачей в учебнике

(5 мин)

Цель: создать условия для индивидуального рассуждения над ходом решения задачи, используя совместно составленную таблицу.

1) Организую  индивидуальную работу с последующей проверкой в группе и самопроверкой по эталону.

-Внимание на доску. Перед вами 4 задания. 

— Какое из данных заданий не отвечает теме нашего урока?

— обычное

а) 6 324· 50 — 736·300  

б) х : 4= 432·200  — сложное

в)6 895+ (72 456 — 658)

г) 2сут. =_______мин — самое сложное

Осталось 3 задания. 

— Выберите себе то, которое для вас  более интересно и которое вы в силах выполнить.

— Выполните его.

/ Прохожу по классу, наблюдаю, какой уровень выбрал каждый из учащихся и кладу рядом с его работой фишку (цвет фишки – уровень сложности выбранного задания)/

— Ребята, попрошу вас собраться в группы в соответствии с выполненным заданием. Проверьте своё решение с решением товарищей.

— Посмотрите внимательно на доску и сверьте свою работу с образцом.

2) Организую работу над задачей.

— Вернёмся к учебнику. Задача № 43 (с. 13)

— Прочитайте задачу.

— О чём говорится в задаче?

— Что известно?

— Как звучит вопрос задачи?

— Как удобнее записать условие задачи?

— Правильно, в виде таблицы.

/В ходе работы составляется таблица/                                                      

— Обведите главный вопрос задачи.

— Можем ли мы сразу ответить на вопрос задачи?

-. Каких данных не хватает во второй строчке, чтобы ответить на этот вопрос?

— Что еще необходимо знать, чтобы найти количество фломастеров, если известно общее количество предметов?

— Какая строчка таблицы поможет найти число карандашей?

-Кто может провести свое рассуждение по таблице?

— Кто может рассказать ход решения задачи?

— Кто затрудняется? (Индивидуальный подход)

Предлагаю решить задачу в тетрадях.

Ответ обсуждаем всем классом.

Взаимоконтроль с проверкой по эталону. 

/3 мин./

Цель:

-Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.

— Проверить способность к умножению многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями.

Анализируют и делают вывод, что лишнее задание в).

— Лишнее задание в), так как оно не подходит к теме нашего урока. Оно подошло бы к теме – сложение многозначных чисел и порядок действий.

Формулируют уровень сложности заданий  и конкретизируют их.

а) – обозначить порядок действий, выполнить умножение и сложение столбиком

в)- решить уравнение

г) – перевести одни единицы времени в другие

Выбирают и выполняют задание.

Собираются в группы по цвету фишек с целью взаимопроверки.

Сверяют решение с образцом на доске

Исправляют ошибки.

    

Дети отвечают на вопросы учителя по содержанию задачи.

Кол-во в 1 кор.

Кол-во кор.

Всего штук

карандаши

12шт.

40 к.

?

560

   

фломастеры

? шт.

10 к.

?

1 ученик  записывает решение задачи на доске.

(Количество фломастеров в одной ко-ке)

(- Нет)

(- Количество фломастеров в 10 кор-ках)

(- Надо знать количество карандашей в 40 коробках)

(- Первая)

Один из учеников рассказывает ход решения задачи.

Рассуждение начинают так: -Из первой строки таблицы могу найти количество карандашей в 40 коробках (40 х 12) – эту сумму вычту из 560 и найду недостающее число в 3 столбике, т. е. общее число фломастеров. Осталось ответить на главный вопрос.

( Решают.) Оценивают свою работу

Познавательные УУД:

— анализ с целью выделения главных признаков;

— умение осознанно строить речевое высказывание  в устной форме;

— выделение и поиск необходимой информации.

Коммуникативные УУД:

— умение достаточно полно и чётко выражать мысли;

-интегрирование в группы и продуктивное взаимодействие.

Регулятивные УУД:

— планирование;

— контроль;

— коррекция;

— самооценка.

10.

11.

12

Итог урока

1 мин

Рефлексия учебной деятельности.

/ 2 мин./

Цель:

— Оценить результаты собственной деятельности.

Домашнее задание

(1 мин)

— Какая тема нашего урока?

— Какую учебную задачу мы ставили перед собой?

— Что надо помнить, выполняя умножение чисел, оканчивающихся нулями, столбиком?

— Поднимите руку кто уверен в том, что понял новое правило письменного умножения?

— Какой этап урока вам больше понравился? Оцените свою работу на уроке.

Провожу инструктаж домашнего задания.

С. 14 № 47

Дети вспоминают поставленную цель и учебную задачу урока.

 — Умножение многозначных чисел на числа, которые оканчиваются нулями.

— Научиться письменно умножать на числа, оканчивающиеся нулями.

— Выполнять умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписывать столько нулей, сколько содержится во втором множителе.

Ответы детей

Анализируют и оценивают свою работу на уроке.

 .

Записывают задание в дневники.

Регулятивные: 

— оценка того, что усвоено, осознание качества и уровня усвоения.

Познавательные: 

— умение структурировать знания;

Коммуникативные УУД:

— аргументировать свои высказывания;

                                             

Цель:

— закрепить умение решать текстовые задачи;

— применение нового способа действия;

— создание ситуации успеха.

Б) Умножение на числа, оканчивающиеся нулями — Мегаобучалка

Следует отметить, что при изучении умножения, многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями, вычисления обязательно опираются на случаи умножения и деления на числа 10, 100,1000. Эти случаи умножения и деления уже рассматривались с детьми при изучении еще нуме­рации многозначных чисел. Теперь к этим случаям умножения и деле­ния обязательно следует вернуться. Причем их не целесообразно разде­лять, как это предлагают авторы учебников.

Теоретической основой вычислительного приема, используемого при умножении на числа, оканчивающиеся нулями, является правило умно­жения числа на произведение. Это правило является для детей новым. Его рассмотрению следует уделить внимание. Однако, по сравнению с другими правилами, при раскрытии его сути достаточно использовать только числовой материал.

Приведем вариант разговора с детьми, который может быть таким.

Учитель. Прочитайте выражение и вычислите его значение 2 • (3 • 4)

Дети. Число 2 умножить на произведение чисел 3 и 4. Чтобы вычис­лить значение, надо найти произведение (выполнить действие в скоб­ках), получаем 12, а затем 2 умножить на 12, получим 24.

Учитель. Давайте запишем.

2 •(3•4) = 2 • 12=24.

А теперь давайте попробуем умножить число 2 на произведение чисел 3 и 4 по-другому. Умножим вначале число 2 на первый множитель 3. А затем, что надо сделать?

Дети. Полученный результат умножить на второй множитель 4.

Учитель. Верно, то есть, 2 • (3 • 4) = (2 • 3) • 4 = 6 • 4 = 24.

Ответ мы получили один и тот же. О чем это говорит?

Дети. Рассуждения ведем верно.

Учитель. А теперь давайте попробуем число 2 умножить на второй множитель:

2 • (3 • 4) = (2 • 4) • 3 = 8 • 3 = 24.

Видим, что результат один, значит, рассуждали верно. Давайте обоб­щим и сделаем вывод, как можно умножать число на произведение.

Дальнейшая работа над правилом продолжается в том же плане, как и для всех других:

— формируем умение применять все три способа вычислений;

— учим выделять удобный способ;

— учим применять правило для вычислений.

Затем переходим к рассмотрению случаев умножения многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями. Начинаем с устного приема, чтобы показать ход рассуждений. Например:

12 • 40 = 12 • (4 • 10) = (12 • 4) • 10 = 48 • 10 = 480.

Подводим детей к выводу, что фактически умножаем 12 на 4 и при­писываем столько нулей, сколькоих во втором множителе. Затем дается задание объяснить решение примера:

306 • 90 = 306 • (9 • 10) = (306 • 9) • 10 = 2754 • 10 = 27 540.

После этого переходим к рассмотрению письменного умножения на числа, оканчивающиеся нулями, т.е. к записи в столбик.

Предлагаем решить пример. 583 • 70. Выясняем, что устно решить трудно, Надо записать столбиком. Как это сделать? Это покажет ход рассуждений. 583 • 70 = 583 • (7 • 10) = (583 • 7) • 10 = 4081 • 10 = 40810.

Значит, 583 будем умножать на 7, а полученный результат умножим на 10. Отсюда запись: второй множитель 70 пишем так, чтобы цифра 7 стояла под цифрой 3.

583 583

Х х

7 70

4 081 41 810

Рассуждения: 583 умножим на 7, получим 4081 и приписываем ноль, получаем 40 810.

Отдельно выделяется и рассматривается случай, когда оба множителя оканчиваются нулями. Начинаем опять с устного приема, чтобы уяснить ход рассуждений.

30 • 50 = 3 дес. • (5 • 10) = (3 дес. • 5) • 10 = 150 дес. = 1500.

800 • 60 = 8 сот. • (6 • 10) = 48 сот. • 10 = 48 000.

2600 • 60 и т.д.

Подмечаем с детьми, что практически надо перемножить значащие час­ти чисел и приписать столько нулей, сколько их в двух множителях вместе.

Такие примеры записываются в строчку и решаются устно. При пись­менном умножении запись делается в столбик, причем эта запись долж­на отражать ход рассуждений.

2600 4250 1860

^х 80 ^х 70 х 300

208000 297500 558000

Следует обратить внимание на тот факт, что после ознакомления с новым приемом вычисления, где надо один из множителей представлять в виде произведения, учащиеся начинают путать этот прием умножения числа на произведение с приемом умножения числа на сумму.

1. Чтобы предупредить такие ошибки надо предлагать учащимся упраж­нение на сравнение соответствующих приемов вычисления. Например:

15 • 60= 15•(б • 10) = (15 •6) • 10 = 90 •10=900.

15 • 14 =15•(10+4)== 15• 10 + 15 • 4 = 150 + 60 = 210.

В) Умножение на двузначное и трехзначное число

Теоретическая основа вычислительных приемов, используемых при рассмотрении этих случаев умножения — правило умножения числа на 4 сумму, которое предварительно изучается.

Рассмотрение случаев умножения на двузначное число полезно на­чать с устного приема, чтобы показать ход рассуждений:

14•13 =14•(10+3)= 14 • 10 + 14 • 3 = 140 + 42 = 182.

Затем целесообразно усложнить задание. 67 • 45 = 67 • (40 + 5) = 67 • 40 + 67 • 5 = 2680 + 335 =3015.

Устно выполнить трудно, можно предложить сделать вычисления письменно.

67 67 2680

х х +

40 5 335

2680 335 3015

В ходе этих рассуждений подводим детей к выводу, что надо найти два неполных произведения и их сложить, то есть данное число умножа­ем на число десятков второго множителя; затем это число умножаем на число единиц второго множителя. Полученные результаты складываем. Если устно умножать трудно, лучше записать столбиком. Умножать на­чинаем с единиц. Показываем ход рассуждений при этом.

Х 45

+2680

Умножаем 67 на 5, получим 335 единиц. Теперь умножим 67 на 40. Для этого умножаем 67 на 4 и полученное число умножим на 10, получаем 2680. Обращаем внимание, что 335 и 2680 — это неполные произведения. Число 3015 — полное произведение, или окончательный результат.

Обращаем внимание учащихся на то, что второе неполное произведение — это результат умножения на круглые десятки, поэтому всегда в нем на месте единиц стоит 0, его обычно не пишут. Это неполное произведение указывает на количество десятков в нем, его и начинают записывать под десятками пер­вого неполного произведения.

Таким образом, рассуждения ведем так: 67 умножим на 5 единиц, получаем 335 единиц — первое неполное произведение. Теперь 67 умно­жим на 4 десятка, получаем 268 десятков — второе неполное произведе­ние. Складываем.

При умножении на трехзначное число следует подвести детей к вы­воду, что рассуждения в принципе те же, только здесь будет добавляться только третье неполное произведение, а значит, третье слагаемое — ка­кое-то количество сотен. Третье неполное произведение начинаем записывать под сотнями первого неполного произведения.

Практика показывает, что для того чтобы выработать прочные навыки безошибочных вычислений, нужно прорешать значительно количество упражнений и необходима достаточная тренировка. Кроме того, успех зависит и от того, насколько прочны знания учащихся таб­лицы умножения и как уверенно дети овладели навыками сложения двух-трех чисел.

После того как рассмотрены общие случаи умножения на двузначное и трехзначное число, рассматриваются частные случаи умножения, а имен­но случаи умножения чисел с нулями в середине второго множителя, Фактически здесь учащиеся встречаются с тем же самым приемами вы­числений, но с некоторыми особенностями.

Например, 829 • 703. Для первого такого примера целесообразно пока­зать детям более подробную запись:

829

х

703

+

После обсуждения дети подводятся к выводу, что второе неполное произведение здесь можно убрать. Отсюда приходим к записи:

Х 703

+5803

Такой подход позволит предупредить возникновение у детей ошибок в записи второго неполного произведения для аналогичных случаев.

Умножение на числа, выходящие за пределы трехзначных (4-хзначные, 5-значные и др.) по существу не отличаются от умножения на трехзнач­ное число. Поэтому, овладев навыками умножения на трехзначное число, ученики смогут овладеть умением умножать многозначные числа на лю­бое число.

И опять после рассмотрения всех случаев умножения многозначных чисел вводится умножение составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах. Здесь умножение целесообразно выполнять одним способом: составное именованное число заменяется простым, выполня­ют действие над отвлеченными числами, а затем полученное простое име­нованное число заменяют составным.

7 м 85 см·18 = 141 м 30 см 4 ц 90 кг • 26 = 127ц 40 кг

 

Х 18

+785

См)

При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо до­биться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных навыков. А для этого надо своевремен­но и разумно сокращать объяснение решения и переходить к кратким пояснениям. Большее значение в этом имеет тщательно подобранная си­стема тренировочных упражнений.

Умножение чисел,запись которых оканчивается нулями.

2.

Актуализация знаний . /5 мин./ Цель: Готовность мышления и осознания потребности к построению нового способа действий.

Веду подводящий диалог. ( Активизирую у учащихся мыслительные операции, внимание, память) — Посмотрите внимательно на экран. Перед вами числовые выражения. -Какую закономерность вы установили, исследуя первое выражение. ? -Предлагаю, прежде чем вы назовёте произведение, объяснить приём умножения. 1)6·9= 54 2) 26·3 3) 139·0 4) 264·10 5) 92· 100 6) 500·5 ( По мере поступления ответов на экране появляются результаты рассуждения)

Участвуют в диалоге. — Можно выявить закономерность. 1) табличное умножение 2) внетабличное умножение ( разбиваем на разрядные слагаемые) 3) умножение на нуль 4) увеличение числа в 10 раз, приём умножения на 10 5) приём умножения на 100 6) затрудняются

Познавательные УУД: — Общеучебные; — Логические; Коммуникативные УУД: — умение вступать в диалог и участвовать в коллективном обсуждении проблемы;

3.

Постановка учебной задачи. Создание проблемной ситуации. /5 мин/ Цель: Выявление места и причины затруднения, постановка цели урока.

1. Веду побуждающий диалог. — Почему вы затруднились назвать произведение в 6 снежинке? Побуждаю к осознанию темы и цели урока. — Как вы думаете, какова же тема нашего урока? — Я предлагаю вам два варианта решения данной проблемы. 2. Стимулирую к деятельности. Предлагаю два варианта: — Первый : Сама покажу вам приём умножения. Второй – на основе ранее полученных знаний попробуете решить сами. — Какой вариант выберете вы и почему

Участвуют в диалоге. — Не можем, так как с этим приёмом умножения ещё не знакомы (умножение числа, оканчивающегося нулями) Формулируют тему урока. -Умножение чисел, запись которых оканчивается нулями. Дети предпочитают « открывать» новое знание сами.

Познавательные УУД: — постановка и формулирование проблемы — поиск и выделение необходимой информации Регулятивные УУД: — целеполагание; Коммуникативные: — умение выражать свои мысли;

4

. « Открытие» детьми нового знания. /9 мин./ Цель: Построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению.

1. Организую деятельность. — Великий Сократ говорил о том, что научиться играть на флейте можно только, играя самому. -Так и вы можете научиться умножать такие числа, думая только своей головой и пытаясь решить самостоятельно. — У кого есть предположения, как можно его вычислить? — Хорошо, если вычислим на калькуляторе, получим готовый ответ, мы пополним копилку наших знаний? Как будем выполнять? — Вы предложили устно выполнить вычисления. Как именно? Может кто-то из вас сможет объяснить, как можно умножить 500 на 5? 5 сот. · 5 = 25 сот. = 2500 18000* 3 =18 тыс. * 3 = 54 тыс.= 54 000 Сколько нулей в первом и втором множителях? (2) А в произведении?(2) Какой вывод можно сделать? — Всегда ли устно можно быстро и правильно выполнить умножение многозначного числа, учитывая то, что числа могут быть достаточно большими? — Какой способ мы можем ещё использовать? — Умеем мы это правильно делать? — Дайте более точную формулировку темы нашего урока. — Какую учебную задачу вы поставите перед собой? 2.Предлагаю записать пример столбиком самостоятельно и решить его. А сейчас научимся записывать столбиком. Обратите внимание на запись. Что вы заметили? Где пишем второй множитель? 380 .9 8400 .7 69000 . 4 380 8400 69000 9 7 4 3420 58800 276000 Многозначное число, в записи которого есть нули, мы умножаем также как и без нулей. Только в конце решения сносим столько нулей, сколько их в множителе. — Сейчас объясним приём умножения на доске. 3. Вызываю к доске ученика, верно решившего пример. 8400 * 7 — У кого другая запись? 4. Организую работу в парах по составлению алгоритма умножения. — Чтобы правильно решать такие примеры, нужно знать алгоритм решения. — Что такое алгоритм? — Сейчас мы его составим. У вас на партах карточки, на которых напечатаны действия алгоритма. Работая и обсуждая в парах, вы разложите карточки в нужном порядке. Вывожу алгоритм на экран.

Выдвигают гипотезы: — устно — на калькуляторе — столбиком. -Нет. -устно. Объясняют приём умножения. Умножаем числа без нулей, а потом их приписываем. — Не всегда. — Решение столбиком. Дети формулируют тему и учебную задачу урока. — Письменное умножение чисел, запись которых оканчивается нулями. — Мы должны научиться письменно умножать многозначные числа /в столбик Пытаются решить пример самостоятельно. Под первой цифрой справа отличной от нуля. Объясняют приём умножения. — Выполняем умножение, не глядя на нули, а затем к результату приписываем столько нулей, сколько содержится в множителе. — Пошаговое выполнение действий. Располагают карточки в нужном порядке. Одна пара зачитывает. 1.Второй множитель подписываю под первой цифрой справа, чтобы нули остались в стороне. 2.Умножаю многозначное число на число, не обращая внимания на нули. 3.К полученному результату приписываю столько нулей, сколько их на конце первого множителя. 4.Читаю ответ.

Познавательные УУД: — построение логической цепи рассуждений; — самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера; Коммуникативные УУД: — инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации со сверстниками и учителем;

Конспект урока «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями»

Тема урока «Письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями»

1. Орг. момент

— На этом уроке мы рассмотрим письменное умножение на числа, оканчивающиеся нулями. Узнаем, как правильно умножать подобные числа в столбик, как можно использовать правило умножения числа на произведение чисел для облегчения умножения. Решим несколько примеров обеими способами. Пример 1

Рассмотрим выражение: . Воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 20 на произведение чисел 2 и 10, получим:

Удобно сначала умножить 134 на первый множитель, а затем получившийся результат умножить на второй множитель, ведь второй множитель – круглое число.

Умножение данного выражения можно записать столбиком. Для этого число 20 запишем таким образом, чтобы цифра 2 оказалась под единицами первого множителя:

Число 20 – это 2, умноженное на 10, умножим сначала число 134 на 2, не обращая внимания на ноль. 4 единицы умножить на 2 – 8 единиц, 3 десятка умножить на 2 – 6 десятков, и 1 сотня умножить на 2 – 2 сотни, получаем результат:

Умножим его теперь на второй множитель 10 и получим ответ:

Ответ: 2680.

Пример 2

Рассмотрим выражение: . Воспользуемся правилом умножения числа на произведение чисел, для этого заменим число 400 произведением чисел 4 и 100:

При умножении числа на произведение чисел можно умножить сначала число на первый множитель, а затем получившийся результат умножить на второй множитель.

При записи вычислений в столбик запишем число 400 так, чтобы цифра 4 была под цифрами единиц первого множителя.

Умножим 316 на 4, не обращая внимания на нули.

, 4 записываем, 2 десятка запоминаем.

Далее, , и еще два запоминали, записываем .

И сотни: .

Теперь умножим результат на второй множитель 100, для этого достаточно приписать два нуля:

Ответ: 126 400.

Пример 3

Рассмотрим частный случай умножения, когда оба множителя заканчиваются нулями.

530 – это 53 десятка. Заменим число 300 на произведение чисел 3 и 100:

Умножим 53 десятка на первый множитель 3, а затем получившийся результат умножим на второй множитель 100, получим:

При записи умножения в столбик запишем число 300 таким способом, чтобы цифра 3 оказалась под цифрой десятков первого множителя.

Умножим 53 на 3, не обращая внимания на нули.  – это единицы,  – это десятки.

То есть, 53 дес. умножили на 3 и получили 159 дес. Теперь умножим на второй множитель 100. Для этого припишем два нуля.

Получили 15 900 дес. Перенесем один ноль, получим 159 000:

Ответ: 159 000.

Заключение

Мы сегодня учились выполнять письменное умножение чисел, оканчивающихся нулями.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

2. Myshared.ru (Источник).

3. Infourok.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Выполните умножение в столбик:

Познакомимся с письменным приёмом умножения на числа, оканчивающиеся нулями

Познакомимся с письменным
приёмом умножения на числа,
оканчивающиеся нулями.
Открой учебник на стр. 115.
Рассмотри решение примеров нового вида.
Обрати внимание на запись цифры 0.
Какой пример верный у меня?
423·300=12
423·30=12 690
690
Запишите и самостоятельно реши данное выражение столбиком.
423·30= 423
× 30
Проверь себя!
423
× 30
12690
Запишите и самостоятельно реши данное выражение столбиком.
423·300=423
× 300
Проверь себя!
423
× 300
126900
Алгоритм записи и решения
умножения на однозначное число.:
1) Записываем первый множитель.
2) Второй множитель записываем так, чтобы нули
остались в стороне.
3) Умножаем многозначное число на число, не
обращая внимания на нули.
4) К полученному результату приписываем нули.
5) Читаем ответ.
Самостоятельно реши числовые выражения,
записывая в тетрадь вычисления столбиком.
585·70=
1)
2)
3)
4)
5)
646·30=
Записываем первый множитель.
Второй множитель записываем так, чтобы нули остались в стороне.
Умножаем многозначное число на число, не обращая внимания на нули.
К полученному результату приписываем нули.
Читаем ответ.
Проверь себя .
585·70=40 950 646·30=19380
585
646
× 70
× 30
40950
19380
Проверь себя .
585·70=40 950 646·30=19380
585
646
× 70
× 30
40950
19380
718·300=
718
× 300
1)
2)
3)
4)
5)
2406·30=
2406
×
30
Записываем первый множитель.
Второй множитель записываем так, чтобы нули остались в стороне.
Умножаем многозначное число на число, не обращая внимания на нули.
К полученному результату приписываем нули.
Читаем ответ.
Приготовься самостоятельно
Записывать решения задач в тетрадь.
Вычисления делай столбиком.
Скорость моторной лодки 15 км/ч.
Сколько времени ей понадобится,
чтобы преодолеть расстояние в 90 км?
Запиши решение задачи в свою тетрадь.
Для записи ответа переведите часы в минуты.
Такой получился ответ?
240 мин
МОЛОДЕЦ!
А что нам помогло справиться
с трудностями?
Что было легко?
Как умножали на число
оканчивающееся нулями?

Умножение чисел с нулями

В сегодняшнем посте мы узнаем, как умножить чисел, после которых идут нули.

Вы можете перемножить их, как любое другое число, но у нас есть способ научить вас, и этому легко научиться!

Самое важное, когда вы изучаете трюк, — это помнить, почему он работает именно так; Итак, давайте начнем, и вы увидите, что вы узнаете это в кратчайшие сроки и запомните навсегда.

Пример # 1:

Первая задача умножения, которую мы рассмотрим, это…

Давайте решим задачу, как обычно, поместив числа в столбцы:

Посмотрите на проблему.После того, как вы хорошо его рассмотрите, продолжайте читать.

А теперь перейдем к чему-нибудь посложнее:

Если мы разместим числа в столбцах, мы увидим, что:

Подумайте, что происходит с нулями? Давайте попробуем поставить нули после 3…

Еще раз введем числа в столбцы:

Внимательно посмотрите на все решенные нами задачи умножения.Что случилось с нулями? Нули из 5 и 3 «перескочили» к окончательному ответу, верно? Теперь убери все нули из задач. Какие числа действительно нужно умножать?

Тогда вам просто нужно посчитать количество нулей и прибавить их к 15!

Давайте посмотрим на другие примеры:

Подводя итог, чтобы перемножить числа, после которых идут нули…

Здесь у нас есть задача умножения с числами, за которыми следуют нули:

Давайте выполним следующие шаги:

1. Определите нули и сосчитайте их:

В этом примере у нас пять нулей, два позади 6 и три позади 8 .

2. Умножение ненулевых чисел:
3. Окончательным ответом будет число, полученное на шаге 2, за которым следуют нули, которые мы подсчитали на шаге 1:

Итак, осталось:

Что вы думаете? Это просто!

Нам нужно знать , как умножить , чтобы выполнить шаг 2, поэтому мы подготовили несколько ссылок, которые могут вам помочь:

Также не стесняйтесь зарегистрироваться в Smartick, чтобы продолжить изучение математики !!

Подробнее:

Команда по созданию контента.
Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создавать максимально качественные математические материалы.

Что означает ноль при многозначном умножении?

В течение последних двух недель я требовал от своих учеников проходить проверку вычислений каждый день, потому что, даже если они, возможно, усвоили навык, они плохо владеют ни одной из 4 операций. Каждый день ученики решают 4 вычислительных задачи, относящиеся к одной из 4 операций.Первая задача — это всегда вычитание с нулями, вторая задача — умножение двух цифр на две цифры, третья задача — деление, а последняя задача — вычитание с нулем в середине. Я ежедневно оцениваю задачи, чтобы ученики могли сразу же получить обратную связь, которая побудит их сделать лучше на следующий день.

С тех пор, как я выполнял проверку вычислений каждый день, я заметил, что некоторые из моих учеников более высокого уровня, которые очень хорошо решают задачи, испытывают трудности с вычислениями.Это стало настоящим открытием для меня, а также для этих студентов, потому что я стараюсь не обращать на них такого пристального внимания, потому что они не требуют такого внимания, как другие студенты. Что ж, этот один конкретный студент боролся с вычислениями до такой степени, что он постоянно получал 50 за каждый день. Итак, я решил привести его в свой класс вместе с другими учениками для репетиторства. Когда я обучаю двухзначному умножению на двузначное, я учу своих учеников видеть проблему как две отдельные задачи, потому что им легче увидеть ее таким образом; это помогает им разделить проблему на части вместо того, чтобы рассматривать ее как одну гигантскую проблему, состоящую из множества частей.Пока мы работали над проблемой, указанной ниже, студент спросил: «Могу ли я переставить 2?» Я ответил: «Вы можете переместить 2, но вам нужно добавить ноль, потому что 2 находится в разряде десятков, а вы фактически умножаете на 2 десятки, что составляет 20.»

Этот вопрос заставил меня понять, почему он был так сбит с толку, потому что я обучал каждому навыку в контексте значения места, но когда я обучал этому навыку, я не делал связи для студентов, явно говоря, что 2 в разряде десятков — это 2 десятки, что на самом деле 20.

На следующий день в классе я спросил студентов, почему мы ставим ноль на единицу, когда умножаем на десятки? Руки начали подниматься, но прежде, чем я позвал ученика, я сказал классу, что ответ был не ноль, а место. По всей комнате можно было видеть, как руки медленно опускаются. Это заставило меня понять, что многих моих студентов учили, что ноль — это заполнитель, и поэтому он НЕ имеет значения в системе счисления. Я не думаю, что учителя начальной школы понимают, что когда ученика учат, что ноль — это заполнитель, он посылает ученикам сообщение о том, что ноль всегда занимает место, и не укрепляет понимание того, что если ноль находится в числе, в этом нет ничего место.

Мой подход к обучению операциям с числами, имеющими ноль, изменился, потому что теперь я понимаю, что многие из моих учеников должны усвоить, что ноль имеет значение, даже если значение нуля — ничто.

Умножение на целые десятки и сотни

Это полный урок с инструкциями и упражнениями для четвертого класса об умножении на целые десятки и сотни. В уроке объясняется, как работает ярлык, а также объясняется, почему он работает.Он содержит множество упражнений для студентов, в том числе словесную задачу. Мы изучили ЯРЛЫКИ для умножения любого числа на 10, 100 или 1000: Чтобы умножить любое число на 10 , просто тег ОДИН ноль на конце. Умножить любое число на 100 , всего помечают ДВА нуля на конце. Чтобы умножить любое число на 1000 , просто тег ТРИ нуля на конце. 10 × 481 = 4,810 100 × 47 = 4700 1000 × 578 = 578 000 Обратите особое внимание на то, что происходит, когда число, которое вы умножаете, уже заканчивается на ноль или нули. Правило работает так же; вам все равно нужно пометить ноль или нули. 10 × 800 = 8000 100 × 6,600 = 660,000 1000 × 40 = 40 000 1.Умножить. а. 10 × 315 = _______ 3,560 × 10 = _______ 35 × 100 = _______ г. 100 × 6200 = _______ 10 × 1200 = _______ 100 × 130 = _______ г. 1000 × 250 = _______ 38 × 1000 = _______ 10 × 5000 = _______ SHORTCUT для умножения на 20 или 200 (Вы наверно догадываюсь!) Что такое 20 × 14? Представьте себе проблему без нуля. Тогда получается 2 × 14 = 28. Затем просто отметьте цифрой ноль 28, которые у вас есть, и получится 280. Так, 20 × 14 = 280. Что такое 200 × 31? Представьте себе проблему без нулей. Тогда это будет 2 × 31 = 62. Затем просто отметьте двумя нулями к полученному результату, так что вы получите получить 6200. Другими словами, 200 × 31 = 6200. 2.А теперь попробуйте! Умножьте на 20 и 200. а. 20 × 8 = _______ 4 × 20 = _______ 20 × 5 = _______ б. 200 × 7 = ________ 5 × 200 = ________ 11 × 200 = ________ г. 20 × 12 = _______ 35 × 20 = _______ 200 × 9 = _______ г. 20 × 16 = _________ 42 × 200 = ________ 54 × 20 = _________ Почему работает ярлык? Он основан на том, что умножать можно в любом порядке. При умножении на 20 мы можем заменить 20 на 10 × 2. Например: 20 × 14 = 10 × 2 × 14 В этой задаче сначала умножьте 2 × 14 = 28. Тогда задача принимает вид 10 × 28, что, как мы знаем, равно 280. 20 × 14 = 10 × 2 × 14 = 10 × 28 = 280 Вот и все! Попробуем то же самое с 200. Например, 200 × 31 = 100 × 2 × 31 В этой задаче сначала умножьте 2 × 31 = 62. Теперь задача принимает вид 100 × 62, что составляет 6200: . 100 × 2 × 31 = 100 × 62 = 6200 3.Попробуй сам! Заполните. а. 20 × 7 = ______ × 2 × 7 = 10 × ______ = ________ г. 20 × 5 = ______ × 2 × 5 = 10 × ______ = ________ г. 200 × 8 = ______ × 2 × 8 = 100 × ______ = ________ г. 200 × 25 = ______ × 2 × 25 = 100 × ______ = ________ 4. Сарай Марка имеет размеры 20 на 15 футов. Какова его площадь? Напишите число приговор. «А» означает площадь. А = __________________________________ 5. Напишите числовое предложение и найдите область подъездной дороги Марка. А = __________________________________ 6.Марку сказали, что ему нужно четыре грузовика гравия, чтобы покрыть подъездную дорожку. Один грузовик стоит 5 × 20 долларов плюс 30 долларов за доставку. Как много будет стоило ему засыпать подъездную дорожку гравием? КОРОБКА для умножения на целые десятки и целые сотни Тот же принцип работает, если умножить на целые десятки (30, 40, 50, 60, 70, 80 или 90): просто умножьте 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9, а затем поставьте ноль в конечный результат. Аналогично, если умножить на какое-то целое сто, ПЕРВЫЙ умножить без эти два нулей, а затем пометьте два нуля к конечному результату. 50 × 8 = 400 90 × 11 = 990 300 × 8 = 2400 12 × 800 = 9 600 7. Умножить. а. 40 × 3 = ______ 8 × 20 = ______ г. 70 × 6 = _______ 50 × 11 = ______ г. 80 × 9 = _______ 30 × 15 = _______ г. 60 × 11 = _______ 12 × 40 = _______ эл. 200 × 9 = ______ 7 × 400 = ______ ф. 700 × 6 = ______ 600 × 11 = ______ г. 200 × 12 = ______ 15 × 300 = ______ ч. 3 × 1100 = ______ 8 × 900 = ______ и. 11 × 120 = ______ 8 × 300 = ______ Это даже работает так: Чтобы умножить 40 × 70, просто умножьте 4 × 7 и отметьте результат двумя нулями: 40 × 70 = 2 800 Чтобы умножить 600 × 40, просто умножьте 6 × 4, и отметьте результат тремя нулями: 600 × 40 = 24 000 Чтобы умножить 700 × 800, просто умножьте 7 × 8 и отметьте четыре нуля результат. 700 × 800 = 560 000 8. Умножение. а. 20 × 90 = _________ 70 × 300 = ________ г. 60 × 80 = ________ 30 × 900 = ________ г. 400 × 50 = ________ 200 × 200 = ________ г. 80 × 800 = ________ 200 × 500 = ________ эл. 100 × 100 = _______ 40 × 30 = ________ ф. 800 × 300 = ________ 90 × 1100 = ________ Напишите числовое предложение для каждого вопроса. 9.В одном часе ______ минут. Сколько минут в 12 часах? Сколько минуты в 24 часах? 10. В одном часе ______ минут, а в одном в минуте ______ секунд. Сколько секунд в часе? 11. Эд зарабатывает 30 долларов в час. а. Сколько он будет зарабатывать за 8-часовой рабочий день? г. Сколько он будет зарабатывать за 40-часовую рабочую неделю? г. Сколько дней ему нужно будет работать, чтобы заработать больше 1000 долларов? 12. Найдите недостающий фактор. Думайте «задом наперед»! Сколько нулей тебе нужно? а. _______ × 3 = 360 _______ × 50 = 450 г. 40 × _______ = 320 5 × ________ = 600 г. ________ × 40 = 400 ________ × 2 = 180 г. _______ × 30 = 4800 _______ × 200 = 1,800 эл. 40 × ________ = 2,000 6 × _________ = 4200 ф. ______ × 800 = 56 000 _______ × 20 = 12 000 Джон хотел доказать, что 40 × 70 — это действительно 2800 на . разбивая умножение на более мелкие части.Он написал 40 как 4 × 10 и 70 как 7 × 10, а затем умноженные в другом порядке: 40 × 70 = 4 × 10 × 7 × 10 = 10 × 10 × 90 238 (4 × 7) = 100 × 28 = 2,800. Вы делаете то же самое, и докажите, что 600 × 50 действительно 30 000. Этот урок взят из книги Марии Миллер «Math Mammoth Multiplication 2», размещенной на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Если умножить на 10, просто прибавишь ноль? Ужасы!?!

Мы спрашиваем, мы слушаем, мы учимся — одна из первых моих статей в блоге. (Я разместил его 5 января 2015 года.) Пост включает интервью нескольких студентов, ответивших на вопрос: Сколько будет 12,6 x 10?

В одном из видеоклипов Маллика Скотт берет интервью у Наташи, которая объясняет, как она решила дать неправильный ответ — 12. 60. Наташа объясняет: «Любое число, умноженное на 10, вы можете добавить ноль в конце».

Несмотря на то, что я написал блог более трех лет назад, Уэстли Янг недавно опубликовал комментарий, который частично касается стратегии «добавить ноль»:

Уэстли (который пишет в Твиттере как @Cukalu) поднял вопросы, которые давно меня беспокоят. Одной из проблем является мое беспокойство по поводу того, что ученики начальных классов замечают шаблон для умножения целых чисел на 10, а затем ошибочно применяют этот шаблон к десятичным, как это сделала Наташа.

Моя вторая проблема — это мои затруднения с тем, что делать со своими проблемами.

В элементарной математике учащиеся имеют опыт поиска закономерностей. Это может быть хорошо. Они изучают алгоритмы. Это тоже может быть хорошо. Их язык часто неточен. Это не так уж и хорошо, но они в процессе обучения, и обучение идет беспорядочно. Обучение тоже беспорядочное.

Многие мысли проносятся в моей голове, когда я размышляю над этим видеоклипом Наташи и над комментарием Уэстли. Что я должен делать как учитель? Как я могу помочь Наташе и похожим на нее ученикам передумать?

Моя первая мысль
Что, если бы я сказал что-то вроде этого Наташе:

Если Наташа ответила «да», я бы хотел услышать, почему она думала, что это правда.(Я думаю, что важно попросить студентов объяснить свои рассуждения, даже если они верны. Может быть, даже особенно, когда они правы.) Затем я мог бы сказать что-то вроде: «Интересно, как я могу умножить число на 10 и перевернуть и получите такой же ответ, как и число до того, как я умножил «. Может ли это помочь? Куда это могло привести?

Моя вторая мысль
Что, если бы я сказал Наташе что-то вроде этого:

Ура, тогда я попал бы в семантическую дыру, которая больше стимулирует закатывание глаз у студентов, чем глубокое математическое мышление. Наташа добавляла ноль не в том смысле, что она выполняла операцию сложения; вместо этого она писала / прикрепляла / добавляла (или как бы вы это описали) ноль к числу. Для 8 x 10 она сделает это и получит 80. Для 12,6 она сделала это и получила 12,60.

Моя третья мысль
Что, если бы я сказал что-то вроде этого Наташе:
Это идея, которую я хотел бы, чтобы студенты поняли, как указал Уэстли в своем комментарии. В классной обстановке, возможно, я напишу это на доске, предложу ученикам сначала поговорить с партнером, а затем попросить учеников поделиться своими идеями с классом о том, почему то, что я сказал, является математически верным.Думаю, они согласятся.

Что ж, предположим, студенты согласны со всеми этими утверждениями. Поможет ли это им по-другому подумать об умножении на 10? Я не уверен. Судя по моему опыту преподавания, обучение через рассказ часто неэффективно. Мои утверждения могут быть мне понятны, но подобные утверждения слишком часто являются математическим бла-бла для студентов.

Когда я прочитал это, я сказал себе: «Да!»

Роль контекстов
Хорошо, еще одна мысль. Марк Чабб (который пишет как @ MarkChubb3) написал блог под названием The Importance of Contexts and Visuals .В разделе об использовании контекстов он написал:

Когда я прочитал это, я сказал себе: «Да!»

И тут мне вспомнился еще один клип из того же интервью с Малликой и Наташей. Через несколько вопросов после того, как Наташа решила 12,6 x 10, Маллика попросила ее решить задачу со словами: Одна ручка стоит 1,39 доллара. Сколько стоят десять ручек?

Здесь Наташа снова сталкивается с умножением на 10. Она повторяет то, что она сказала при умножении 12,6 x 10: «Каждый раз, когда вы умножаете число на 10, вы просто добавляете ноль в конец.Но здесь, в контексте покупки ручек, она получает правильный ответ — 13,90 доллара. Подумав о том, что написал Марк, контекст проблемы побудил Наташу дать разумный ответ, а не то, что она сделала с проблемой голого числа. Взглянуть.

Где мои мысли?
Я все еще думаю. Как писал Марк, при умножении десятичных чисел на 10, если мы обосновываем опыт учащихся в контексте, у них будет больше шансов применить рассуждения, чтобы придать смысл, чем применять шаблон, который они выучили для целых чисел.(Было бы интересно поговорить со студентами о том, почему «закрепка на нуле» работает с целыми числами, а не с десятичными. Но это будет позже.)

Кроме того, в ответ на комментарий Уэстли о важности того, что на самом деле происходит с математической точки зрения, когда мы умножаем целые числа на 10, я думаю, что мне нужно признать, что учащиеся узнают шаблон, но продолжать помогать им понять шаблон математически. Слишком многие ученики считают умножение на 10 чистой удачей, особенно когда им не так легко умножать на другие числа.

Я знаю, что не касался другой части комментария Уэстли о том, что студенты «перемещают десятичную точку» как стратегию умножения десятичных чисел на 10. Я тоже слышал это объяснение и согласен с тем, что десятичная дробь на самом деле не перемещается. Может еще один блог?

Я все еще думаю. Приветствую твои мысли.

Постскриптум
Я понимаю, что один пример мало что доказывает. Вот видеоклипы двух других студентов, Дженнифер и Серджио, которые отвечают на те же два вопроса, что и Наташа.Для 12,6 x 10 Серхио попросил пропустить его, заявив, что не может понять ответ без бумаги и карандаша, в то время как Дженнифер дала неправильный ответ — 120,6. На контекстную проблему покупки 10 ручек по 1,39 доллара каждая Серхио и Дженнифер получают правильный ответ, каждый из которых рассуждает по-своему.

Стратегии умножения — Метод коробки

Когда я перешла в 3/4 класс, мне на колени оказался совершенно новый мир учебной программы. Поскольку я никогда раньше не учил умножению двойных и тройных цифр, я, естественно, начал учить своих учеников делать это именно так, как я научился. В методе алгоритма определенно нет ничего плохого, но со временем я обнаружил, что очень полезно изучить несколько других методов решения этих проблем. Этот пост посвящен моему новому фавориту…. Коробочный метод!

Первый шаг метода коробки — нарисовать коробку. Если вы умножаете две цифры на две цифры, ваше поле должно состоять из двух строк на два столбца. Для задачи три цифры на две цифры потребуются три строки и два столбца или две строки на три столбца (в любом случае работает из-за свойства коммутативности).

Затем вы расширяете каждый из факторов в соответствии с числовой стоимостью. Таким образом, 24 становится 20 + 4, а 35 становится 30 + 5. Каждая часть расширенной записи написана либо сверху, либо сбоку поля.

Шаг третий — умножить числа в сетке. Это похоже на магический квадрат. Умножьте верхнее число на число сбоку и поместите ответ в поле, где пересекаются строка и столбец. На этом этапе я учу детей умножать числа, оканчивающиеся на ноль.Я заставляю их полностью игнорировать нули для начала. Поэтому вместо того, чтобы беспокоиться о 20 x 30, они просто работают с 2 x 3. После того, как они написали 6, они подсчитывают, сколько нулей они проигнорировали в первую очередь (2), и складывают их, получая 600. Это действительно дает смысл для них, и он охватывает еще один математический стандарт в процессе!

Последний шаг — сложить все числа в поле.

Вот и все! Как только дети поймут, как установить коробку, они отлично справятся с этой стратегией.При обучении методу ящика я сначала позволяю детям использовать таблицу умножения, чтобы помочь им. Меня больше беспокоит их понимание процесса умножения двух или трех цифр. Как только они получают процесс, я даю им задачи обойтись без диаграммы, но я придерживаюсь цифр от 0 до 5 во всех местах. Они лучше пропускают счет с меньшими числами и, как правило, знают эти таблицы с меньшим умножением. Последний «уровень» — это ввести в места более крупные цифры. Как только они смогут решать задачи типа 89 x 76, я знаю, что они понимают процесс и хорошо разбираются в своих таблицах умножения.

Вот еще несколько полных примеров:

Я планирую посвятить несколько постов другим стратегиям умножения и деления, которые я изучил за последние пару лет. Следующим будет…. Частичные продукты!

Определение нулевой матрицы

Нулевая матрица

Что такое нулевая матрица?

Вспомните из нашего урока по записи матриц, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Для нулевой матрицы все упрощается, поскольку вам действительно не нужно беспокоиться о числах, содержащихся в прямоугольном массиве этой нотации, как и говорит название, есть только одно число, которое может содержаться внутри этих матриц, поскольку все его записи.

Таким образом, нулевая матрица — это матрица любых размеров, в которой все элементы ее элементов равны нулю. Математически нулевую матрицу можно представить выражением:

Уравнение 1: Математическое выражение для нулевой матрицы размеров mxn

Где m представляет количество строк, а n количество столбцов, содержащихся в матрице. Следовательно, если мы должны записать нулевые матрицы разных размеров, нам просто нужно определить m и n в каждом случае и заполнить все записи внутри скобок матриц нулями.

Примеры нулевых матриц можно увидеть ниже:

Уравнение 2: Примеры нулевых матриц различных размеров

Из приведенных выше примеров записи нулевой матрицы обратите внимание, что эти матрицы могут иметь любой размер и комбинацию измерений, и они не обязательно являются квадратными матрицами. Таким образом, вы можете иметь нулевую матрицу с любым количеством строк или столбцов, но помните, что для любого заданного размера можно получить только одну нулевую матрицу (что имеет смысл, поскольку есть только один способ иметь все нули в качестве записей в матрица определенного размера или размерной комбинации).

Не путайте нулевую матрицу с тем, что люди могут назвать «нулевой диагональной матрицей». Такая нулевая диагональная матрица обычно относится к полой матрице, где все диагональные элементы внутри нее равны нулю, а остальные ее элементы могут быть любым числом. Сходство между обычной нулевой матрицей и пустой матрицей происходит от их следа (сложения элементов на их диагоналях), поскольку у обоих есть все нулевые элементы, которые нужно добавить, чтобы получить след, равный нулю. Таким образом, оба этих типа матриц представляют собой то, что мы называем матрицей нулевого следа.

Важные замечания о нулевой матрице

После того, как мы изучили определение нулевой матрицы, давайте поговорим о некоторых особых характеристиках этой матрицы.

• Каков ранг нулевой матрицы?
  Помните, что ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов внутри матрицы. Мы можем определить ранг матрицы, вычислив ее форму эшелона строк, а затем подсчитав левые ненулевые строки, цель которых состоит в том, чтобы найти размерность векторного пространства для рассматриваемой матрицы.
  Итак, если мы говорим о разрешимой системе линейных уравнений, преобразованной в матричную запись, определение ранга такой матрицы позволяет нам увидеть максимальное количество независимых переменных и, таким образом, размерные плоскости, для которых система может быть представлена ​​графически.
  Как же тогда получить это для нулевой матрицы? Для этого нам сначала нужно спросить себя, являются ли векторы внутри нулевой матрицы линейно независимыми друг от друга? Не совсем, все они одинаковые, и все они нулевые векторы.Так случилось ли, что они представляют собой какую-либо плоскость измерения? Нет. Можете ли вы на самом деле свести его к форме эшелона строк? Нет. Таким образом, если задуматься, нулевая матрица содержит нулевое количество линейно независимых столбцов и нулевое количество ненулевых строк, поэтому наш окончательный вывод состоит в том, что ранг нулевой матрицы должен быть равен нулю.
  Если вы подумаете об этой идее более глубоко, вы поймете, что любая ненулевая матрица не может иметь ранг меньше единицы, другими словами, чтобы любая матрица имела ранг нуля, она должна содержать все нулевые элементы внутри, Итак, мы пришли к выводу, что только нулевые матрицы имеют нулевой ранг.
• Обратима ли нулевая матрица?
  Для практических целей мы оставим полное объяснение того, как узнать, является ли матрица обратимой или нет, и как инвертировать те, которые для наших следующих уроков будут говорить об обратимой матрице 2×2. А пока прямо скажем, что нулевая матрица необратима.
  Есть несколько правил, которые могут доказать это, например, ее определитель равен нулю, а если матрица квадратная, то ее ранг меньше, чем ее размерность. Опять же, мы поговорим об этом немного больше в наших следующих уроках об инвертировании матриц.Но давайте задумаемся над этой идеей на минуту: если мы упомянули ранее, что для любой матрицы определенного размера или размеров существует только одна конфигурация, в которой все ее элементы равны нулю, поэтому не может быть другого способа, которым вы можете переставить нули, чтобы получить обратную матрицу тех же размеров. Если все записи одинаковы, матрица будет точно такой же, нет «обратного» или «противоположного» от этого.
• Можно ли диагонализовать нулевую матрицу?
  Мы все еще немного далеки от нашего урока по диагонализации, но пока мы можем сказать, что да, нулевая матрица диагонализуема, поскольку ее нулевые элементы могут легко содержать линейно независимые собственные векторы. Подробнее о диагонализации в последующих уроках.

Пустое пространство нулевой матрицы

Поскольку нулевая матрица сама по себе является небольшой и конкретной концепцией, которую можно использовать во многих наших уроках линейной алгебры, теперь мы вынуждены еще раз вернуться к теме следующего урока: нулевое пространство матрицы.

Давайте еще раз упростим и скажем, что для того, чтобы вектор был частью нулевого пространства матрицы, умножение такой матрицы на упомянутый вектор должно приводить к нулевому вектору, таким образом давая «нулевой» результат.
Если рассматриваемая матрица представляет собой матрицу с именем A, которая умножается на вектор u, мы говорим, что u находится в нулевом пространстве A, если выполняется следующее условие:
Уравнение 3: Условие для того, чтобы вектор u был частью нулевого пространства A

Если мы возьмем то, что мы знаем из наших уроков о представлении линейной системы в виде матрицы и матричного уравнения Ax = b, мы можем заметить, что при таком умножении умножаемый вектор фактически представляет собой набор решений, заданных однородной системой.

Теперь, как это можно применить к нулевой матрице?
Ну, любая нулевая матрица, умноженная на вектор, будет иметь в результате нулевой вектор. То есть, если размеры матрицы и вектора соответствуют правилам умножения матриц, другими словами, если умножение может быть определено, то результатом обязательно будет нулевой вектор.
Причина этого в том, что, учитывая, что нулевая матрица содержит только нулевые элементы, любая запись, умноженная на любой элемент в векторе, приведет к нулевому компоненту, который будет частью результирующего вектора.Итак, условие для нулевого пространства выполнено, и это приводит нас к чему-то важному, о котором мы до сих пор не упоминали: нулевая матрица — это то, что мы называем нулевой матрицей, и это можно ясно увидеть, следуя процессу, описанному выше, поскольку нет независимо от того, какой вектор к нему умножается, результат всегда будет содержать только нулевые элементы.

Сложение, вычитание и скалярное умножение нулевой матрицы

В этом разделе мы сосредоточимся на демонстрации примеров операций либо с нулевыми матрицами внутри, над которыми работают, либо с проблемами, приводящими к решениям с нулевыми матрицами. Для этого давайте сразу перейдем к примерам упражнений:

Пример 1

Начнем с добавления, содержащего нулевую матрицу. Это довольно простая операция, поэтому давайте начнем с добавления следующего вида:

Уравнение 4: сложение с нулевой матрицей Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем все соответствующие элементы в обе матрицы, чтобы получить результирующую матрицу (которая имеет те же размеры, что и те, из которых она была получена). Итак, результат выглядит так: Уравнение 5: Решение сложения с нулевой матрицей Этот первый пример задачи показывает нам важное свойство нулевой матрицы: когда нулевая матрица либо добавляется, либо вычитается из другой матрицы с такими же размерами, эта матрица остается неизменной и равна результату операции.
Пример 2
Чтобы продолжить наш следующий пример, мы работаем над вычитанием матриц, где нулевая матрица вычитается из другой матрицы равного размера. Уравнение 6: вычитание с нулевой матрицей Операция следует тем же принципам, что и сложение в примере 1. Таким образом, решая эту операцию, мы получаем: Уравнение 7: Решение вычитания с нулевой матрицей Как мы уже упоминали в нашем уроке о сложении и вычитании матриц, хотя сложение матриц является коммутативным (вы можете изменить порядок матриц, и результат не изменится), вычитания матриц нет, и это хорошо видно на этом примере.
Если бы у вас была нулевая матрица справа от знака минус в уравнении 6, то результат был бы равен другой матрице, участвующей в операции. Но поскольку нулевая матрица была первой, результат операции оказывается отрицательным по сравнению с ненулевой матрицей.
Пример 3
В этом примере мы добавляем следующие две следующие матрицы: Уравнение 8: сложение противоположных матриц Заметили что-то особенное из приведенных выше матриц? Они представляют собой отрицательные матрицы друг друга, или, другими словами, если вы возьмете первую матрицу и умножите ее на отрицательную, вы получите вторую матрицу.Следовательно, эта конкретная операция эквивалентна вычитанию матрицы из самой себя. Чтобы показать это, давайте определим первую матрицу как A: Уравнение 9: Матрица A Затем мы записываем эквивалентную операцию, которую мы объяснили минуту назад: Уравнение 10: Преобразование сложения матриц в вычитание Обратите внимание, что скалярное умножение минус один на A было упрощено, чтобы просто записать его как вычитание двух матриц, которые к настоящему времени являются A, и поэтому то, что мы имеем в уравнении 10, можно просто записать как: что, очевидно, имеет нулевой результат.Но поскольку здесь речь идет не только о числах, а о матрицах, нулевой результат должен быть массивом тех же размеров, что и A, и поэтому: Уравнение 11: вычитание самой матрицы Обратите внимание, что субиндексы в правой части уравнения обозначают размеры нулевой матрицы, что означает, что результирующая нулевая матрица должна иметь «m из A» (такое же количество строк, что и A) и «N из A». «(такое же количество столбцов, как у A). Давайте получим результат двумя разными способами: добавлением исходной матрицы, показанным в уравнении 8, и вычитанием матрицы, найденным в конце уравнения 10, чтобы показать, как мы получим тот же результат: нулевую матрицу, чтобы доказать уравнение 11. Уравнение 12: Окончательное решение, полученное двумя разными способами Вывод из этой проблемы состоит в том, что всякий раз, когда вы вычитаете матрицу из самой себя, вы получаете нулевую матрицу с теми же размерами, что и ваши исходные матрицы. Пример 4
В этом примере мы увидим вычитание двух равных матриц, которые оказываются векторами-столбцами. Уравнение 13: вычитание двух равных векторов-столбцов Здесь снова используется принцип, объясненный в предыдущем упражнении: при вычитании двух равных матриц (которые в данном случае оказываются двумя векторами-столбцами, поскольку каждая из матриц состоит только из одного столбца), результатом является нулевая матрица того же размера. как оригинальные: Уравнение 14: Решение вычитания двух равных векторов-столбцов Пример 5
Вычислите следующее скалярное умножение матрицы: Уравнение 15: Скалярное умножение матрицы на ноль В этом конкретном случае должно быть ясно, что результат будет равен нулю, поскольку все, что вы умножаете на ноль, приведет к нулю. Интересная часть здесь связана с тем фактом, что вы умножаете матрицу, и поэтому каждый элемент будет умножен на скаляр снаружи, в данном случае ноль, и что произойдет, вместо того, чтобы получить просто ноль в результате, это умножение даст матрицу, в которой все ее элементы равны нулю, и, таким образом, результатом будет нулевая матрица: Уравнение 16: Результат скалярного умножения матрицы на ноль Что также можно записать как: Уравнение 17: нулевая матрица с размерами 3 x 2 Пример 6
Вычислить следующее скалярное умножение, содержащее нулевую матрицу Уравнение 18: Скалярное умножение нулевой матрицы Как и в случае с прошлыми проблемами, мы можем интуитивно записать ответ в виде нулевой матрицы, поскольку каждый элемент в матрице равен нулю, не имеет значения, умножаете ли вы на них любой другой скаляр, результат всегда будет равен нулю в каждом дело.Чтобы расширить операцию, вот как это происходит: Уравнение 19: Результат скалярного умножения нулевой матрицы Пример 7
Давайте изменим режим наших задач, теперь вам даны матрицы, показанные ниже: Уравнение 20: матрицы B и 0 Имея это в виду, верны ли следующие матричные уравнения? Если нет, поправьте их.

1. B + 0 = B
   Этот случай соответствует тому, что мы видели в примере 1: наличие двух матриц с одинаковыми размерами, одна из которых является нулевой матрицей, а другая — ненулевой матрицей, когда вы складываете их вместе, результат равна ненулевой матрице, поскольку нулевая матрица ничего не вносит при добавлении каждого соответствующего элемента в две матрицы, участвующие в операции.Следовательно, это выражение ПРАВИЛЬНО.
2. 0 — B = B
   В этом случае мы можем взглянуть на пример 2 и понять, что это выражение НЕПРАВИЛЬНО. При вычитании матрицы из нулевой матрицы той же размерности результат равен отрицательному значению ненулевой матрицы.
   Следовательно, правильным выражением будет 0 — B = -B
3. B — B = 0
   Это выражение ПРАВИЛЬНО и соответствует тому, что мы видели в примерах 3 и 4: если вы вычитаете матрицу сама по себе, это приводит к записи путем вычитания записи самого числа, и, таким образом, результирующей матрицы в котором все его входные элементы будут равны нулю (нулевая матрица 0).
4. 0 + 0 = B
   Вышеприведенное выражение НЕПРАВИЛЬНО. При добавлении нуля плюс ноль результат всегда равен нулю. Это случай для каждого элемента результирующей матрицы при добавлении нулевой матрицы и другой равной нулевой матрицы, результатом будет равная нулевая матрица. Таким образом, правильное выражение: 0 + 0 = 0.
5. 0 ⋅ \ cdot⋅ B = 0
   Это выражение ПРАВИЛЬНО. Результатом умножения каждого элемента на элемент в результате этой операции будет ноль, в результате чего получится матрица с нулевыми элементами, то есть нулевая матрица 0.
6. B ⋅ \ cdot⋅ 0 = 0
   Как и в случае e), это выражение ПРАВИЛЬНО, поскольку каждый соответствующий элемент из ненулевой матрицы будет умножен на ноль из нулевой матрицы.

Случаи e) и f) приводят к важному выводу: умножение матриц не коммутативно, если одна из двух матриц не является нулевой матрицей. Независимо от того, в каком порядке вы умножаете элементы каждой матрицы, одна из них имеет все нулевые элементы, производящие умножения, которые все приводят к нулю.
Как упоминалось ранее, нулевая матрица — это очень конкретная концепция, поэтому на этом уроке действительно нечего сказать о ней, но это не значит, что она не будет использоваться во многих областях линейной алгебры. Так же, как число ноль в математике, нулевая матрица предоставляет нам представление нулевого пространства, которое мы все еще можем характеризовать, другими словами, она может содержать нулевые элементы, но ее качества остаются там, чтобы мы могли использовать их по своему усмотрению с другими матрицами.
Чтобы завершить наш урок, мы просто предоставим две дополнительные ссылки на случай, если вы захотите посетить их и посмотреть, как они определяют нулевую матрицу, и предоставим простой пример добавления с нулевой матрицей.На сегодня все, до встречи на следующем уроке!

macos — умножение AWK дает ноль

Я немного новичок в использовании awk. Моя цель — создать функцию bash формы:

 значение столбца файла myfunction
  

Берет заданный номер столбца в файле, умножает его на значение и перезаписывает файл. А пока я написал следующее:

 function multiply_column {
 файл = $ 1
 столбец = 2 доллара США
 значение = 3 доллара США
 awk -F "" '{print $ col * mul}' col = $ column mul = $ value $ file
}
  

Мой файл выглядит так:

 0.400000E + 15 0,168933E + 00 -0,180294E-44 0,168933E + 00
   0,401000E + 15 0,167689E + 00 -0,181383E-44 0,167689E + 00
   0,402000E + 15 0,166502E + 00 -0,182475E-44 0,166502E + 00
   0,403000E + 15 0,165371E + 00 -0,183569E-44 0,165371E + 00
   0,404000E + 15 0,164298E + 00 -0,184666E-44 0,164298E + 00
   0,405000E + 15 0,163284E + 00 -0,185766E-44 0,163284E + 00
   0,406000E + 15 0,162328E + 00 -0,186868E-44 0,162328E + 00
   0,407000E + 15 0,161431E + 00 -0,187972E-44 0,161431E + 00
   0.408000E + 15 0,160593E + 00 -0,189080E-44 0,160593E + 00
   0,409000E + 15 0,159816E + 00 -0,1E-44 0,159816E + 00
   0,410000E + 15 0,159099E + 00 -0,191302E-44 0,159099E + 00
   0,411000E + 15 0,158442E + 00 -0,192416E-44 0,158442E + 00
   0,412000E + 15 0,157847E + 00 -0,193534E-44 0,157847E + 00
   0,413000E + 15 0,157312E + 00 -0,194653E-44 0,157312E + 00
   0,414000E + 15 0,156840E + 00 -0,195775E-44 0,156840E + 00
   0,415000E + 15 0,156429E + 00 -0,196899E-44 0,156429E + 00
   0. 416000E + 15 0,156081E + 00 -0,198026E-44 0,156081E + 00
   0,417000E + 15 0,155796E + 00 -0,199154E-44 0,155796E + 00
   0,418000E + 15 0,155573E + 00-0,200285E-44 0,155573E + 00
   0,419000E + 15 0,155413E + 00 -0.201418E-44 0,155413E + 00
   0,420000E + 15 0,155318E + 00 -0,202554E-44 0,155318E + 00
   0.421000E + 15 0.155285E + 00 -0.203691E-44 0.155285E + 00
   0,422000E + 15 0,155318E + 00 -0,204831E-44 0,155318E + 00
   0,423000E + 15 0,155414E + 00 -0,205973E-44 0,155414E + 00
   0.424000E + 15 0,155575E + 00 -0,207116E-44 0,155575E + 00
   0,425000E + 15 0,155802E + 00 -0,208262E-44 0,155802E + 00
  

Мне удалось просто напечатать первый столбец, но когда я умножаю его на свое значение, awk дает мне 0. Я пробовал свою функцию с другими файлами, где данные были отформатированы по-другому, и она работала отлично. Я тоже пытался совместить это с bc, безуспешно.

Кто-нибудь понимает, почему в этом случае awk дает 0?

Заранее спасибо!

######### РЕДАКТИРОВАТЬ

Я только что узнал, что если в моем файле данных используются запятые, а не точки (т.

Умножение 3х значного в столбик. Как умножать столбиком? Как объяснить ребенку умножение столбиком? Умножение на однозначное число, двузначное число, трехзначное число: алгоритм умножения чисел

С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

Учить таблицу умножения — игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Результат: 0 очк.

Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.

Умножение прямо на сайте (онлайн)

*

· =

Таблица умножения (числа от 1 до 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Как умножать числа столбиком (видео по математике)

Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

Перемножать большие числа, записывая их в строку, рано или поздно становится довольно сложным и утомительным процессом. Гораздо проще воспользоваться специальным алгоритмом по умножению в столбик: вам не придется держать числа в своей голове и что-либо запоминать. Вы можете делать пометки над столбиком, чтобы всегда видеть, как числа вам нужно перенести. Если вы пытаетесь обучить такому способу ребенка, то очень важно, чтобы таблица умножения отскакивала у него от зубов, иначе, процесс затянется надолго, а сам малыш совершит много ошибок, которые вереницей потянутся по всему примеру. Внимательно прочитайте статью и возьмите такой алгоритм себе на вооружение.

Запишите пример в строчку и посмотрите: какой из множителей меньше? Меньший окажется ниже в записи умножения в столбик, а большой множитель будет стоять наверху.

Запишите пример по такому принципу, как указано на картинке ниже.

• Сверху напишите большее число.
• Слева поставьте знак умножения в виде крестика.
• Снизу запишите меньшее число.
• Проведите прямую черту под примером.

Если в примере есть множитель, который оканчивается на ноль или несколько нолей, то его следует записывать так:

• Ноли нужно выносить за пример.
• Числа пишите под числами.

В таком случае, вы просто переносите это количество нолей сразу в ответ. Если ноли имеются и у первого множителя, и у второго, то сложите их количество и запишите в ответ.

Теперь начинайте расчёт по такому принципу:

• Всё верхнее число вы умножаете на последнюю цифру нижнего. Помните, что на последние ноли умножение не производится.
• Чтобы вам было удобнее, записывайте числа, которые нужно перенести, сверху над всем примером. Позднее вы можете их просто стереть, зато в процессе вам не придется запоминать числа переноса.
• Как только вы закончите расчет, запишите полученное число под чертой.

Как только вы перемножите верхнее число на последнюю цифру нижнего и запишите свой ответ, начинайте перемножать следующее.

По такому же принципу умножьте всё верхнее число на вторую с конца цифру нижнего. Также записывайте числа переноса, однако, ответ вам следует записать под первым решением, но сдвинув запись на одну клеточку левее. У вас получится столбик с выступающей влево строкой.

Как вы уже догадались, вам нужно перемножить верхнее число на все цифры нижнего, начиная с конца. Каждый раз запись ответа переносится на одну клетку левее.

Перемножьте таким образом все числа между собой. Теперь снова проведите черту под столбиком. Между всеми решениями поставьте знак сложения.

Теперь вам осталось выполнить сложение в столбик, которое вы уже должны уметь делать:

• Складывайте все числа, находящиеся на одной вертикальной линии.
• Если число получается двухзначным, то число десятков вы переносите в следующую вертикальную полосу.

Под некоторыми числами вовсе не будет других – в таком случае, вы просто записываете это число в ответ. Не забывайте переносить в ответ все нули, которые стоят в конце множителей.

Выполнять умножение в столбик очень удобно и быстро, особенно, если требуется перемножить большие числа. Вы легко можете проверить правильность умножения, просто разделив ответ на один из множителей. Для этого используйте калькулятор, либо способ деления уголком. На первых порах такое умножение занимает значительную долю времени, но с опытом, всё действие происходит всего за пару секунд.

Если нам по ходу решения задачи требуется перемножить натуральные числа, удобно использовать для этого готовый способ, который называется «умножение в столбик» (или «умножение столбиком»). Это очень удобно, поскольку с его помощью можно свести умножение многозначных чисел к последовательному перемножению однозначных.

Основы умножения столбиком

Для ведения вычисления в столбик нам будет нужна таблица умножения. Важно помнить ее наизусть, чтобы считать быстро и эффективно.

Также потребуется вспомнить, какой результат мы получим при умножении натурального числа на нуль. Это часто встречается в примерах. Нам потребуется свойство умножения, которое в буквенном виде записывается как a · 0 = 0 (a – любое натуральное число).

Чтобы лучше понять, как умножать столбиком, рекомендуем вам повторить аналогичный метод сложения. Один из этапов подсчетов будет представлять собой именно сложение промежуточных результатов, и знание этого метода при складывании чисел нам пригодится.

Также важно, чтобы вы умели сравнивать натуральные числа и помнили, что такое разряд.

Как всегда, начнем с того, как правильно записать исходные числа. Нам нужно взять два множителя и записать их один под другим так, чтобы все цифры, отличные от нуля, были расположены друг под другом. Проведем под ними горизонтальную линию, отделяющую ответ, и добавим знак умножения с левой стороны.

Пример 1

Например, чтобы вычислить и 71 , 550 · 45 002 и 534 000 · 4 300 , запишем такие столбики:

Далее нам нужно разобраться с процессом умножения. Для начала посмотрим, как правильно умножать многозначное натуральное число на однозначное, а потом посмотрим, как перемножать между собой многозначные числа.

Если нам для решения задачи требуется выполнить умножение двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а второе многозначное, то мы можем использовать способ столбика. Для этого выполняем последовательность шагов, которую будем объяснять сразу на примере. Сначала возьмем задачу, в которой многозначное число имеет в конце цифру, отличную от нуля.

Пример 2

Условие: вычислить 45 027 · 3 .

Решение

Запишем множители так, как это предполагает метод умножения столбиком. Поместим однозначный множитель под последним знаком многозначного. Мы получили такую запись:

Далее нам надо выполнить последовательное перемножение разрядов многозначного числа на указанный множитель. Если у нас получается число, которое меньше десяти, мы сразу вносим его в поле ответа под горизонтальной чертой, строго под вычисляемым разрядом. Если же результат составил 10 и больше, то указываем под нужным разрядом только значение единиц из полученного числа, а десятки запоминаем и добавляем на следующем шаге к более старшему разряду.

На конкретных числах процесс будет выглядеть так:

1. Умножаем 7 на 3 (семерку мы взяли из разряда единиц первого многозначного множителя): 7 · 3 = 21 . Мы получили число больше десяти, значит, записываем с правого края число 1 (значение единичного разряда числа 21), а двойку запоминаем. Наша запись принимает вид:

2. После этого мы перемножаем значения десятков первого множителя на второй и прибавляем к результату двойку, оставшуюся от предыдущего этапа. Если после этого получается меньше 10 , то вносим значения под соответствующий разряд, если больше – вносим значение единицы и переносим десятки дальше. В нашем примере нужно умножить 2 · 3 , это будет 6 . Добавляем оставшиеся с прошлого умножения десятки (от числа 21 , как мы помним): 6 + 2 = 8 . Восьмерка меньше десятки, значит, в следующий разряд переносить ничего не надо. Записываем 8 на нужное место и получаем:

3. Дальше действуем аналогично. Теперь нам надо умножить значения разряда сотен в первом многозначном множителе на исходный однозначный. Порядок действий тот же: если запоминали число на предыдущем этапе, плюсуем его к результату, сравниваем с десяткой и записываем в правильное место.

Здесь нужно умножить 3 на 0 . Согласно правилам умножения, результат будет равен 0 . Прибавлять ничего не будем, так как на предыдущем этапе число было меньше 10 . Получившийся нуль также меньше десятки, поэтому пишем его на место под горизонтальную черту:

4. Переходим к следующему разряду – умножаем тысячи. Продолжаем подсчеты по алгоритму до тех пора, пока не кончатся цифры в многозначном множителе.

Осталось умножить 5 · 3 и получить 15 . Результат больше 10 , пишем пятерку и запоминаем десяток:

Нам осталось только перемножить 4 · 3 , это будет 12 . Добавляем к результату единицу, взятую из предыдущего подсчета. 13 больше 10 , пишем 3 на нужное место и сохраняем единицу.

У нас больше не осталось разрядов, которые надо перемножить, однако единица в запасе все еще есть. Мы просто запишем ее под горизонтальную черту с левой стороны от всех уже имеющихся там цифр:

Процесс подсчета с помощью столбика на этом завершен. Мы получили шестизначное число, которое и является верным решением нашей задачи.

Ответ: 45 027 · 3 = 135 081 .

Чтобы было более понятно, мы представили алгоритм умножения многозначного натурального числа на однозначное в виде схемы. Здесь верно отражена самая суть процесса подсчета, однако не учтены некоторые нюансы:

Как быть, если в условии задачи стоит многозначное число, которое заканчивается нулем (или несколькими нулями подряд)? Рассмотрим на примере пошагово. Чтобы было проще, позаимствуем цифры из предыдущей задачи и просто допишем к исходному многозначному множителю пару нулей.

Решение

Cначала запишем числа нужным способом.

После этого проводим подсчеты, не обращая внимания на нули справа. Возьмем результаты из предыдущей задачи, чтобы не считать еще раз:

Финальный шаг решения – переписать имеющиеся в многозначном числе нули под горизонтальную черту в область результата. У нас нужно внести 2 дополнительных нуля:

Это число и будет ответом нашей задачи. На этом умножение столбиком завершено.

Ответ: 4 502 700 · 3 = 13 508 100 .

Этот способ вполне подходит и для тех случаев, когда оба множителя представляют собой многозначные натуральные числа. Разберем процесс сразу на примере, как и раньше. Сначала возьмем числа без нулей в конце, а потом рассмотрим и записи с нулями.

Пример 4

Условие: вычислить, сколько будет 207 · 8 063 .

Решение

Начнем, как всегда, с правильной записи множителей. Более удобным является способ записи, при котором множитель с большим количеством знаков стоит сверху. Так что запишем сначала 8 063 , а под ним 207 . Если число знаков в множителях совпадает, то порядок записи не имеет значения. В нашей задаче нам надо разместить цифры первого множителя под цифрами второго справа налево:

Начинаем последовательно перемножать значения разрядов. При этом у нас будут получаться результаты, которые называются неполными произведениями.

1. Первый шаг состоит в том, что нам надо перемножить между собой значения единиц в первом и втором множителе. В нашем случае это 3 и 7 . Все делаем так же, как мы уже объясняли в предыдущем пункте (если нужно, прочитайте его еще раз). В итоге у нас получится первое неполное произведение, которое является промежуточным результатом:

2. Второй шаг заключается в перемножении значений десятков. Умножаем столбиком первый множитель на значение разряда десятков второго множителя (при условии, что он не равен 0). Записываем результат под чертой под разрядом десятков. Если же во втором множителе на месте десятков стоит 0 , то сразу переходим к следующему этапу.

3. Последующие шаги выполняем аналогично, перемножая по очереди значения нужных разрядов (если они не равны 0). Вносим результаты под черту.

Итак, нам надо умножить 8 063 на значения сотен в 207 (т.е. на два). Мы получили второе неполное произведение, запишем его так:

У нас получились все нужные нам неполные произведения. Их количество равно числу разрядов во втором множителе (кроме 0). Последнее, что нам осталось сделать, – это сложить два произведения в столбик, используя ту же запись. Мы никуда не переписываем цифры: они остаются с тем же сдвигом влево. Подчеркнем их дополнительной горизонтальной чертой и поставим слева плюс. Складываем согласно уже изученным правилам сложения в столбик (запоминаем десятки, если число получилось больше 10 , и прибавляем их на следующем этапе). В нашей задаче получится:

Получившееся под чертой семизначное число – это и есть нужный нам результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063 · 207 = 1 669 041 .

Процесс умножения двух многозначных чисел столбиков также можно представить в виде наглядной схемы:

Чтобы лучше закрепить материал, приведем решение еще одного примера.

Пример 5

Условие: умножьте 297 на 321 .

Решение

Начинаем с правильной записи множителей. Количество знаков в них одинаковое, так что порядок записи особого значения не имеет:

1. Первый этап – умножаем 297 на 1 , которая стоит в разряде единиц второго множителя.

2. Потом умножаем таким же образом первый множитель на 2 , что стоит в десятках второго множителя. Получаем второе неполное произведение.

Онлайн игра-тренажёр «Умножение столбиком» помогает научиться умножать двух- и трёхзначные числа. Эта игра ориентирована на детей от 7 до 10 лет. Умножение чисел столбиком — это программа математики за 3 класс школы. Но в этом действии нет ничего сложного, поэтому освоить умножение в столбик можно и раньше.

Как научиться умножать столбиком?

В игре представлены три уровня: умножение двузначного числа на двузначное (числа от 10 до 99), умножение трёхзначного числа на трёхзначное (числа от 100 до 999) и микс. В миксе трёхзначное число умножается на двузначное или двузначное умножается на трёхзначное.

Чтобы правильно умножать двух- и трёхзначные числа надо хорошо знать и .

Надеюсь, ты помнишь, что числа, которые умножаются друг на друга называются множителями: первый множитель, второй множитель и так далее. Результат умножения называется произведением. Также полагаю, что тебе известно, что в числах есть разряды: единицы (самый маленький), десятки, сотни, тысячи…

Итак, приступим. Начать умножение в столбик надо с того, что расположить множители таким образом, чтобы друг под другом оказались числа одинаковых разрядов: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. На следующем шаге берём цифру из разряда единиц второго множителя и умножаем её по очереди на каждую цифру первого множителя. Результат умножения каждой пары цифр записываем в верхнюю строку под соответствующим разрядом.

За каждый правильный ответ начисляется 1 балл. За неправильный — отнимается 3 балла.

Если тебе понравилась эта игра, обязательно поделись ею со своими друзьями. Ведь им она тоже может понравиться:-)

Эта игра предназначена и чрезвычайно полезна для мальчиков и девочек от 7 до 10 лет.

Умножение в столбик позволяет быстро выдавать решение примеров даже с многозначными числами. Для счёта нужно только знать наизусть таблицу умножения.

Как правильно умножать столбиком

Как и в случае со сложением и вычитанием в столбик, при умножении числа записываются друг под другом. Каждый разряд на своём месте: единицы под единицами, десятки под десятками и т. д. Внизу рисуется горизонтальная черта, ответ пишется под ней.

Возьмём числа 78 и 12. Для лучшего понимания: пишем 78 наверху, 12 — внизу. Начинаем с единицы нижнего числа, то есть с цифры 2.

Сперва считаем 8×2=16. Число получилось больше 10, значит, как и в сложении, пишем последнюю цифру (6), а единицу держим в уме. Теперь переходим к десятку, то есть считаем 7×2=14. Единицу мы держали в уме, значит, сейчас прибавляем её к результату, получается 14+1=15. Цифра 5 пишется под десятками, а 1 переходит в новый разряд — сотни. Другими словами, под горизонтальной чертой должно быть написано «156».

Переходим к следующему разряду. Теперь наш ответ будет записываться иначе: последняя цифра ответа должна быть ровно под верхними десятками, то есть под цифрой 5. Получается, что каждое последующее промежуточное число смещается на 1 разряд влево.

Считаем 8×1=8. Цифра меньше 10, пишем 8 под пятёркой в числе «156». Считаем 7×1=7. Семёрка переходит в разряд сотен, то есть она должна быть написана под единицей в ответе «156». Под шестёркой ничего не написано, для удобства туда можно поставить ноль.

Полученное выражение складываем в столбик: 156+78. К 6 ничего не прибавляется (0), значит, переписываем её в прежнем виде. Затем считаем 5+8=13, пишем 3, один в уме. Наконец, 1+7=8, прибавляем единицу — получается 9.

Таким образом, ответ: 936.

Тренироваться лучше на листе в клеточку, чтобы привыкнуть к расположению разрядов множителей

Точно так же умножаются и другие многозначные числа.

Если в множителях есть нули, они не перемножаются, а просто переносятся в правую часть окончательного ответа.

Варианты карточек

Для наглядности можно распечатать карточки с примерами разного уровня сложности. Так детям будет проще запомнить принцип счёта. Примеры для практики можно использовать и при первом изучении умножения, и для повторения после каникул.

Поначалу решение примеров будет занимать много времени, но постепенно скорость повысится. Даже при наличии калькулятора лучше считать вручную: это развивает умственную деятельность.

Фотогалерея: примеры карточек для урока

Видео: умножение чисел в столбик

Постоянная практика — залог успеха, и со временем можно научиться перемножать в уме даже большие числа. Но начинать, конечно, лучше с простых примеров, постепенно увеличивая уровень сложности.

Деление в столбик 3 класс. Примеры для тренировки и объяснения. Блог Кувырком

Таблица умножения – это не самое трудное, с чем сталкивается младший школьник. Гораздо сложнее освоить деление в столбик. Многие дети без помощи родителей не могут понять этот процесс. Давайте разберёмся, как легко и без лишней нервотрёпки обучить ребёнка делить в столбик.

Что нужно знать, чтобы научиться делить в столбик?

Деление столбиком школьники обычно начинают изучать на уроках математики в третьем классе. Чтобы понять процесс деления и начать использовать его на практике, школьник должен уметь следующее:

•   без труда решать примеры на сложение и вычитание;
•   знать наизусть таблицу умножения;
•   знать разряды чисел;
•   уметь быстро считать в уме.

Если в этих знаниях у ребёнка есть пробел, ему трудно будет научиться делить столбиком. Поэтому перед началом обучения нужно обязательно повторить пройденный ранее материал, особенно таблицу умножения.

Учимся считать и считать вместе с КУВЫРКОМ

С чего начать учить ребёнка делению?

Прежде всего, объясните школьнику суть этого математического действия. Он должен понять, что деление – это процедура обратная умножению. Когда школьник усвоит, что эти два действия взаимосвязаны друг с другом, научиться делить будет несложно.

Учить проще всего на практических, понятных детям примерах. Выдайте сыну или дочери конфеты и предложите разделить их между членами семьи. Вместо конфет можно использовать разрезанный на куски пирог. Главное, чтобы школьник уяснил суть действия: раздать угощение так, чтобы все получили поровну и без остатка.

Проявите фантазию, придумывая разные примеры, а затем запишите ваши действия в тетради, чтобы ребёнок увидел, как выглядит математическая запись деления (пока что не столбиком, а в строку). 

Теперь возьмите таблицу умножения и выберите оттуда любой пример. Покажите сыну или дочери, что, если произведение разделить на один из множителей, результат такого действия будет равен второму множителю. Поэкспериментируйте с разными примерами из таблицы, чтобы школьник наглядно увидел эту закономерность.

Играем вместе с КУВЫРКОМ

Алгоритм деления в столбик

Для решения любых примеров на деление используется следующий алгоритм

:

1. Найдите в примере делимое (число, находящееся слева от знака деления, то есть число, которое нужно разделить) и делитель (число, находящиеся справа от знака, то есть число, на которое нужно разделить).
2. Запишите первое число – делимое – слева, а второе – делитель – справа, а между ними нарисуйте «уголок».
3. Определите неполное делимое, то есть часть первого числа, которую можно взять для первичного деления. Сначала возьмите первую цифру. Если она не подходит для деления, добавьте к ней следующую и т. д.
4. Посчитайте, сколько раз второе число (делитель) помещается в неполном делимом.
5. Для проверки правильности действия умножьте делитель на полученное число и запишите результат умножения под выбранную часть делимого. Это будет неполное частное.
6. Вычислите разницу – это будет остаток.
7. Повторяйте эти действия до тех пор, пока в остатке не получится 0.

Некоторые числа нельзя разделить так, чтобы в остатке получился 0. Примеры, в которых остаток больше нуля, называются делением с остатком.  

Играем вместе с КУВЫРКОМ

Деление в столбик без остатка

Теперь применим этот алгоритм к конкретному примеру. Возьмём простой пример 35:5=?

Запишите делимое и делитель и нарисуйте между ними «уголок».

Попросите школьника найти неполное делимое – часть делимого, на которую можно разделить число 5 (делитель). Первая цифра в делимом – 3. Спросите у него, сколько пятёрок поместится в число 3? Ребёнок скажет, что ни одной. Значит, добавляем к тройке следующую цифру из делимого – пятёрку и получаем 35 (наше полное делимое).  

Спросите у ребёнка, сколько троек поместится в число 35? Школьник, знающий таблицу умножения, без труда посчитает, что в 35 помещается 7 пятёрок. Число 7 записываем под «уголок». Это и будет ответ.

Это очень простой пример деления двузначного числа на однозначное без остатка. Результат можно проверить с помощью таблицы умножения. Потренируйтесь на подобных примерах, чтобы ребёнок хорошо усвоил алгоритм действий.

Теперь попробуйте решить пример с трёхзначным делимым. Возьмём пример 372:6=?

Запишите пример в столбик.

Попросите ребёнка определить неполный делитель. Первое число в делимом – 3. Сколько шестёрок (шестёрка – делитель) помещается в тройку? Ни одной. Значит добавляем к тройке следующее число из делимого – семерку. Получаем 37. Теперь смотрим, сколько шестёрок поместится в 37. Ребёнок, вспомнив таблицу умножения, без труда вычислит, что в 37 поместится шесть шестёрок и единица останется в остатке.

Запишите неполное частное (6) под делитель, а число 36 под делимое. Вычтите из 37 число 36. Получится 1 (это остаток). Запишите. 

Теперь посмотрите, сколько шестёрок поместится в остаток (1)? Ни одной. Теперь добавьте к единице число, оставшееся в делимом – 2. Получилось 12. Сколько шестёрок поместится в 12? Две шестёрки. Добавьте двойку к уже имеющемуся у нас неполному частному 6. Получится 62. Из 12 вычтите 12. Получится 0. Запишите.

Предложите ребёнку попробовать решить примеры с четырёх-, пяти-, шестизначными делимыми, а также с двузначными делителями. Независимо от величины чисел принцип действий будет одинаковым.

Деление в столбик с остатком

Расскажите ребёнку, что некоторые числа нельзя разделить без остатка. Для лучшего понимания продемонстрируйте это действие на наглядном примере. Дайте сыну или дочери пять конфет и попросите разделить их между ним и вами. Ребёнок даст вам и себе по две конфеты и останется ещё одна.

Объясните ему, что так произошло потому, что число 5 не делится на 2 поровну. Остаётся одна конфета, которая и является в данном случае остатком. Дайте ребёнку больше конфет и снова попросите его разделить на троих, четверых, пятерых. Снова обратите внимание на то, что далеко не всегда конфеты можно разделить поровну.

После того как ребёнок поймёт суть такого деления, переходите к решению примеров в столбик. Решаются они по тому же принципу, только вместо нуля в остатке получается какое-либо другое число.

Почему ребёнку сложно освоить деление в столбик?

Деление – это наиболее сложное арифметическое действие из четырёх основных. Многие дети прекрасно справляются со сложением, вычитанием, умножением, но буксуют, когда дело доходит до деления. Проблема здесь заключается в том, что ребёнок не понимает сам принцип деления. Постарайтесь объяснить ему алгоритм этого математического действия как можно доходчивее. Если не получается, обратитесь за помощью к учителю.

Если же ребёнок не умеет быстро считать в уме и плохо знает таблицу умножения, то с делением у него обязательно возникнут проблемы. В этом случает важно до автоматизма отточить навык сложения и вычитания и хорошо выучить таблицу умножения. На первых порах обучения делению столбиком можно держать таблицу при себе и изредка подсматривать в неё.

Не ругайте ребёнка, если у него не получается быстро освоить деление столбиком. Вспомните себя в его возрасте – наверняка у вас тоже были подобные проблемы. Наберитесь терпения и объясняйте правила столько раз, сколько требуется. Не ставьте цель научить сына или дочь делить столбиком за один вечер. Избыток информации утомит ребёнка и снизит его обучаемость. Занимайтесь в комфортном для него темпе и вскоре он научится решать примеры самостоятельно, без вашей помощи. Не забывайте хвалить и вознаграждать школьника за старание – это повысит его мотивацию.

Сайт vpr-klass.com — впр-класс.ком : гдз, решебник, гиа, егэ, решение задач, задания, варианты, подготовка к экзамену, тесты, презентации.

Error in links file

 Сайт vpr-klass.com — впр-класс.ком : гдз, решебник, гиа, егэ, решение задач, задания, варианты, подготовка к экзамену, тесты, презентации. Образовательный сайт vpr-klass.com (впр-класс.ком) — готовые решения задач!

У нас вы найдете много учебных материалов: решебники, ГДЗ, тестовые задания, видео уроки, генераторы задач, решения упражнений гиа и егэ.

 Расскажи друзьям Ищи САЙТ в Яндексе и Google по слову: vpr-klass или впр-класс Сохрани сайт в закладки — нажми Ctrl+D Презентации Детские презентации Презентации по математике Презентации по астрономии Демо-варианты: ЕГЭ Математика Русский язык Физика Обществознание Английский язык Информатика История Биология Химия Литература География ГИА (ОГЭ) Математика Русский язык

Разделы сайта vpr-klass. com (впр-класс) Последние новости ГИА и ЕГЭ 2017. ГИА по математике. ЕГЭ по математике. КДР по математике. Математика 1-4 класс. Математика 5-6 класс. Алгебра и геометрия 7-9 класс. Алгебра и геометрия 10-11 класс. ГДЗ, решебники по математике, алгебре, геометрии. Онлайн калькуляторы по математике. Генераторы случайных примеров и задач по математике. Презентации. Другие школьные предметы. Новое на сайте: Сайт Vpr-klass.com — это учебный-образовательно-познавательный сайт для школьников! Приветствуем на уникальном сайте помощи всем ученикам 1-11 классов. На образовательном ресурсе полно полезной, учебной информации от способов решения заданий по математике до разных генераторов задач по алгебре и онлайн калькуляторов по геометрии, которые облегчат жизнь школьника. В частности, сделан больший уклон на решебники и ГДЗ, ведь правильная домашняя работа — это хорошие оценки и учеба в школе. Также имеется достаточно материалов, которые пригодятся к экзаменам в 9-ых и 11-ых классах. Есть много готовых решенных задач ЕГЭ (ГИА, ОГЭ) и упражнений для отличной самоподготовки к экзаменам. Имеются демонстрационные варианты разных лет и онлайн тесты на основе КИМов для качественной самопроверки знаний. Также есть уникальные генераторы заданий, которые помогут учителям создать карточки для учеников. Есть разделы посвещенные контрольным и самостоятельным и проверочным работам для 3-4-ых и 5-6 классов. Помимо прочего имеются полезные презентации для учителей по разным школьным предметам — биология, обж, информатика, кубановедение, химия и другие. Кроме того есть обучающие видео уроки по математике (ЕГЭ, ГИА, КДР) и информатике (ОГЭ), которые принесут огромную пользу старшеклассникам в подготовке к экзаменам 2018 учебного года.

 Интересно ГИА (ОГЭ) по математике Много разных решений Тесты ГИА онлайн. Видео — ГИА 2013: геометрия Видео — ГИА 2012 Видео — Демо-вариант 2012. Решение Демо-варианта 2013 года (2014 года). Задача №1, Вычислить. Задача №2, Числа и прямая. Задача №3, Сравнение чисел. Задача №4, Уравнения. Задача №5, Графики и формулы. Задача №6, Прогрессии. Задача №7, Упростить выражение. Задача №8, Неравенства, системы неравенств. Задача №9, Задания по геометрии. Генератор вариантов ГИА 2014 ЕГЭ по математике Много разных решений. Онлайн тесты. Видео уроки ЕГЭ по математике. Генератор вариантов ЕГЭ 2014 Книги, справочники Решение демо варианта ЕГЭ по математике 2014 Задания B1, задача. Задания B2, диаграммы. Задания B5, уравнения. Задания B8, производная. Задания B10, вероятность. ОГЭ по информатике Видео уроки

Copyright © 2017 vpr-klass.com | Если какой-либо из материалов нарушает ваши авторские права, просим немедленно связаться с Администрацией!!! Наш e-mail: [email protected] | Правообладателям | sitemap. 2

3 способа понять умножение матриц | by Glenn Henshaw

Развивайте свою интуицию в матричном умножении с нуля

Photo by Markus Spiske на Unsplash

Когда я впервые узнал о матричном умножении, я был удивлен тем, как трудно мне было развить интуицию в отношении этой операции. Обычное определение матричного умножения скрывает множество интересных фактов, которые легче распознать, если посмотреть с разных точек зрения. В этом посте я опишу умножение матриц с трех точек зрения: столбцы, строки и их комбинации. Я также расскажу о некоторых простых фактах, которые помогут проверить вашу интуицию. Мы надеемся, что после прочтения вы получите более глубокое представление об умножении матриц, строках и столбцах. Этот пост был вдохновлен курсом линейной алгебры, который вел великий Гилберт Странг (MIT) .

В этом посте перечислены три способа интерпретации умножения матриц. Для каждой из этих интерпретаций мы обсудим следующее.

1. Интерпретация: Что это значит?
2. Почему это работает?: Как эта интерпретация возникает из определения умножения матриц?
3. Проверьте свою интуицию: Список фактов, которые вы можете использовать, чтобы проверить свою интуицию для интерпретации, которую мы рассматриваем.

Иногда я упоминаю понятия линейной комбинации , линейной зависимости, линейной независимости, скалярного произведения . Если вы хотите быстро освежить свою память по этим темам, посмотрите мою статью 3 основных понятия в линейной алгебре.

Пример. Допустим, у нас есть три завсегдатая: Ларс, Фатима и Джорджия. На вечеринке Ларс купил 2 пива и 1 коктейль, Фатима купила 1 пиво и 2 коктейля, а у Джорджии было 4 пива и никаких коктейлей. Пиво стоит 7 долларов, а коктейли — 10 долларов. Мы можем смоделировать их расходы на ночь с помощью матричного умножения.

Как были вычислены числа справа?

Наша цель — понять свойства матричного умножения в более общем виде, поэтому в этом посте мы будем рассматривать произведение матрицы 3×3 A и матрицы 3×2 B . Результатом будет матрица 3×2 C .

Жак Филипп Мари Бине … признан первым, кто вывел правило умножения матриц в 1812 году. — Оливер Книлл

Обычный способ определить умножение матриц — это суммирование или, более компактно, скалярное произведение строк A и столбцов B. Скалярное произведение строки 1 A и столбца 1 B даст первую запись C.

В общем случае ij-я запись C представляет собой i-ю строку A , разделенную точками с j-м столбцом B .

Пример. Найдите третью строку и второй столбец произведения C .

Ответ: (1)(1)+(2)(2) +(3)(1) = 8. Попробуйте использовать определение, чтобы найти остальные элементы С .

Интерпретация: Запись C является скалярным произведением строки A и столбца B . Нулевые записи в C соответствуют строке A и столбцу B , которые ортогональны (под прямым углом друг к другу).

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Количество столбцов A должно равняться количеству строк B . В противном случае суммы в определении не будут определены.
• Произведение AB будет матрицей с тем же количеством столбцов, что и A , и тем же количеством строк, что и B.
• соответствует ряду A и столбец B ортогональны. Ортогональные векторы линейно независимы . Но не все пары линейно независимых векторов ортогональны.

Первое, на что следует обратить внимание относительно AB = C , это то, что столбцы матрицы C связаны со столбцами матрицы A важным образом.

Интерпретация Каждый из столбцов C является матрицей A , умноженный на колонку B. Влияние этого заключается в том, что Колонны C являются линейными сочетаниями из колонн A с весами, принесенные весами из колонн A с весами. столбцы B.

Почему это работает? Чтобы понять, почему столбцы C являются линейными комбинациями столбцов A , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первый столбец C.

Проверьте свою интуицию: С этой точки зрения некоторые факты становятся яснее .

• Матрица, умноженная на вектор, Ax , представляет собой просто линейную комбинацию столбцов a с элементами x. Таким образом, столбцы A линейно независимы тогда и только тогда, когда уравнение Ax = 0 имеет только нулевое решение.
• Мы можем просмотреть столбцы C как результат применения линейного преобразования, определенного B , к столбцам A .
• Предположим, что столбцы A линейно независимы. Тогда, если C имеет столбец нулей, B также должен иметь столбец нулей.
• Если столбцы C линейно зависимы и столбцы B линейно независимы, тогда столбцы A зависимы. Это следует из того факта, что если x является нетривиальным решением Cx = 0 , затем BX -нетривиальное решение из AX = 0,
• Если уравнение Ax = b не имеет решения, то уравнение ABx = Cx = b не имеет решения. Ведь столбцы C — это просто комбинации столбцов A .
• Пролет колонн C содержится в пролете колонн A . Следовательно, ранг(AB) ≤ ранг(A) .
• Если B обратим с обратным B’ , то столбцы A и AB имеют одинаковый диапазон. Мы можем доказать это из предыдущего факта, ранг(AB) ≤ ранг(A) в сочетании с тем фактом, что ранг(A) = ранг(AI) = ранг(ABB’) ≤ ранг(AB).

Итак, умножение матриц с точки зрения столбцов. Теперь перейдем к рядам?

Интерпретация Строки C являются строками A , умноженными на матрицу B . Следовательно, строки C являются линейными комбинациями строк B с весами, указанными в строках A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему строки C являются линейными комбинациями строк B , давайте внимательно посмотрим, как мы вычисляем первую строку C , используя определение умножения матриц.

Проверьте свою интуицию: Еще раз перечислим некоторые факты о строках, которые выводятся из этой интерпретации умножения матриц.

• Для AB = C , если строки C линейно независимы, то строки B линейно независимы. Предупреждение: обратное не обязательно верно.
• Если A имеет ряд нулей, то AB имеет ряд нулей.
• Диапазон строк B содержит диапазон строк C .
• Если Е — обратимая матрица n×n , а B — любая матрица n×m . Тогда EB имеет то же место в строке, что и E . В частности, элементарные операции со строками сохраняют пространство строк.

Мы можем использовать интерпретацию строки и столбца, чтобы помочь набросать доказательство интересного результата о размерности пространства строки и пространства столбца m×n матрица. Размерность размаха столбцов матрицы называется ее рангом . Размер промежутка строк называется rowrank .

Претензия: Ранг и Rowrank из M × N Матрица C — равны.

Есть много m×r матриц A и r×n матрицы B такие, что C = AB. Выберите A и B так, чтобы r было минимальным. The R Колонны из A SPAN The Column Пространство C. R 9005 C. R 9005 C. 9005 R 9005 C. 9005 R 9005 C. 9005 R C. C. 0043 строк B охватывают пространство строк C. Поскольку мы выбрали r как наименьшее такое число, rank(C) = rowrank(C) = r.

Претензия: , если A и B — квадратные матрицы, а AB = I , затем BA = I. Следовательно, B — это обратно A.

Мы имеем . АВ = I . Поэтому столбцы A линейно независимы. Следовательно, уравнение Ax = 0 имеет только тривиальное решение. умножьте первое уравнение справа на A , чтобы получить ABA = A . Тогда АВА-А = А(ВА-I)=0 . Следовательно, ВА = I .

Наша последняя интерпретация дает нам способ разложить произведение двух матриц на сумму матриц.

Интерпретация Матрица C представляет собой сумму матриц, состоящих из столбцов A , умноженных на строки B. Матрицы, составляющие сумму, имеют столбцы, скалярно кратные столбцу A.

Почему это работает? Чтобы понять, почему это так, рассмотрим, что происходит, когда вы записываете матрицу A как сумму матриц и вычисляете AB путем распределения B .

Проверь свою интуицию:

• Каждая из матриц в слагаемом имеет одномерные столбцы.
• Вы можете поменять местами два столбца A и получить тот же продукт AB , если вы поменяете местами соответствующие строки B .

Мы говорили о трех разных способах понимания умножения матриц.

1. Матрица, умноженная на столбцы
2. Строки, умноженная на матрицы
3. И столбцы, умноженные на строки

Мы использовали эти различные интерпретации для обзора некоторых основных фактов о матричном умножении, независимости и интервале.

Как умножить столбец на число в Excel (2 простых способа)

Хотя Excel является мощным инструментом анализа данных, многие пользователи используют его для основных арифметических операций.

Одним из распространенных требований является умножение всего столбца на число (постоянное значение).

В этом уроке я покажу вам два простых способа кратно целому столбцу с заданным номером .

Итак, приступим!

Это руководство охватывает:

Умножить столбец на число с помощью формулы (жестко закодировать значение в формуле)

Предположим, у меня есть набор данных, как показано ниже, где у меня есть имена торговых представителей в столбце A и их текущие значения продаж в столбце B.

Я хочу рассчитать их план продаж на следующий год, который будет на 10% выше их текущих продаж.

По сути это означает, что я хочу увеличить все значения в столбце B на 10% (т. е. умножить эти значения на 1,1 или 110%)

Жесткое кодирование значения в формуле

Ниже приведена формула для умножения 110% на значения во всем столбце B2 (используйте эту формулу в ячейке C2):

 =B2*110% 

Приведенная выше формула даст вам результат умножения значения в ячейке B2 на 110%.

Но мы также хотим получить результат, когда все значения в столбце B умножаются на одно и то же число.

Для этого выделите ячейку C2, поместите курсор в правую нижнюю часть выделения, зажмите левую клавишу мыши и перетащите вниз. Это скопирует одну и ту же формулу для всех ячеек в столбце C.

Кроме того, вы также можете скопировать ячейку C2 и вставить ее в ячейки под ней (подойдет простое сочетание клавиш Control +C и Control + V).

Обратите внимание, что результат формулы является динамическим. Поэтому, если вы измените значения в столбце B, результат соответственно обновится. Если вы не хотите, чтобы это было динамически, а вместо этого хотите статические значения, вы можете преобразовать формулу в значения.

Умножить весь столбец на значение в ячейке

В приведенном выше примере я жестко закодировал значение 110% в формуле.

Другой вариант — разместить значение, на которое я хочу умножить весь столбец, в отдельной ячейке и использовать ссылку на ячейку вместо жесткого кодирования фактического значения в формуле.

Преимущество этого метода в том, что если я изменю значение в ячейке, формулы автоматически обновятся.

Ниже у меня есть тот же набор данных, и у меня есть новый целевой процент продаж в ячейке E2.

Ниже приведена формула, которая даст мне новый план продаж:

 =B2*$E$2 

Чтобы умножить весь столбец, нужно скопировать ячейку с формулой и вставить ее во все ячейки столбца. Это также скопирует формулу и даст вам правильный результат.

Как это работает?

Хитрость этого метода заключается в использовании знака доллара в ссылке на ячейку, содержащую число, на которое мы хотим умножить весь столбец (в данном примере это $E$2).

Когда вы добавляете знак доллара перед номером строки и алфавитом столбца, это гарантирует, что при копировании этой формулы в другие ячейки ссылка не изменится.

В нашей формуле часть формулы $E$2 не изменится, в то время как A2 станет A3, если формула будет скопирована в ячейку C3, и станет A4, если формула будет скопирована в ячейку C4, и так далее.

Примечание. Если вы используете Excel для Microsoft 365, где у вас есть доступ к динамическим массивам, вы можете просто использовать формулу =B2:B13*E2. Не нужно копировать для всего столбца, сама формула рассыпает результат на весь диапазон.

Несколько столбцов с номером с использованием специальной вставки

Еще один метод, который можно использовать для быстрого умножения целого столбца на заданное число, — это использование специальной техники вставки.

Предположим, у вас есть набор данных, как показано ниже, где я хочу умножить число в ячейке E2 на весь набор данных в столбце A.

 Ниже приведены шаги для этого:

1. Скопируйте все значения в столбце B и вставьте его в столбец C. Мы делаем это, поскольку умножение специальной вставки будет применено к столбцу C, и мы также сохраним исходные значения в столбце B.

2. Скопируйте ячейку E2 (вы можете выбрать ее и использовать Control + C, или вы можете щелкнуть ее правой кнопкой мыши, а затем нажать Копировать.

3. Выделите все ячейки в столбце A, с которыми вы хотите умножить число

4. Щелкните правой кнопкой мыши на выбранных ячейках и выберите опцию «Специальная вставка»

5. В открывшемся диалоговом окне «Специальная вставка» выберите параметр «Умножение» в разделе «Операции»

6. Нажмите «ОК»

   Приведенные выше шаги мгновенно изменят все значения в столбце A и дадут вам результат после умножения этих чисел на значение в ячейке E2.

   В результате вы получаете статические значения (по сравнению с формулой, которую вы получаете в методе до этого)

   Когда вы закончите с умножением, вы можете удалить значение в ячейке E2 (если хотите).

   При использовании этого метода важно отметить, что когда вы умножаете весь столбец с помощью специального метода вставки, он также копирует форматирование из ячейки E2. Поэтому, если вы зададите цвет ячейки для ячейки E2 и используете этот метод, все ячейки в столбце A также будут скопированы в него. Чтобы избежать этого, вы также можете выбрать параметр «Значение» в диалоговом окне «Специальная вставка» на шаге 4 9.0003

   Вот два простых метода, которые можно использовать для умножения целого столбца на число в Excel.

   Надеюсь, этот урок был вам полезен.

   Другие учебные пособия по Excel, которые могут оказаться полезными:

   • Как копировать и вставлять формулы в Excel без изменения ссылок на ячейки
   • Как применить формулу ко всему столбцу в Excel (5 простых способов)
   • Как выделить весь столбец Столбец (или строка) в Excel — ярлык
   • Применить условное форматирование на основе другого столбца в Excel
   • Как скопировать и вставить столбец в Excel?

   Умножение матриц и векторов — Math Insight

   Произведение матрицы на вектор

   Для определения умножения между матрицей $A$ и вектором $\vc{x}$ (т. е. произведение матрицы на вектор), нам нужно просмотреть вектор как матрица-столбец. Определим матрично-векторное произведение только для случая, когда число столбцов в $A$ равно количеству строк в $\vc{x}$. Итак, если $A$ матрица $m \times n$ (т.е. с $n$ столбцами), то произведение $A \vc{x}$ определено для $n \times 1$ векторов-столбцов $\vc{x}$. Если мы пусть $A \vc{x} = \vc{b}$, тогда $\vc{b}$ — столбец $m \times 1$ вектор. Другими словами, количество строк в $A$ (которое может быть что угодно) определяет количество строк в произведении $\vc{b}$.

   Общая формула для матрично-векторного произведения: \начать{выравнивать*} А\ВК{х}= \оставил[ \begin{массив}{cccc} а_{11} и а_{12} и \ldots и а_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} х_1\\ х_2\\ \vdots\\ х_n \конец{массив} \Правильно] знак равно \оставил[ \начать{массив}{с} a_{11}x_1+a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n} x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n} x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn} x_n\\ \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*} Хотя поначалу это может показаться запутанным, процесс матрично-векторного умножение на самом деле очень просто. Берется скалярное произведение $\vc{x}$ с каждой строкой $A$. (Вот почему число столбцов в $A$ должно быть равно количеству компонентов в $\vc{x}$.) первый компонент матрично-векторного произведения является скалярным произведением $\vc{x}$ с первой строкой $A$ и т. д. На самом деле, если $A$ имеет только один row, произведение матрицы на вектор на самом деле является замаскированным точечным произведением.

   Например, если \начать{выравнивать*} А = \ влево[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \Правильно] \конец{выравнивание*} и $\vc{x} = (2,1,0)$, то \начать{выравнивать*} A \vc{x} &= \left[ \начать{массив}{ррр} 1 и -1 и 2\\ 0 и -3 и 1 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{л} 2\\1\\0 \конец{массив} \Правильно]\\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{г} 2 \cdot 1 — 1\cdot 1 + 0 \cdot 2\\ 2 \cdot 0 — 1 \cdot 3 +0 \cdot 1 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{г} 1\\ -3 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*}

   Произведение матрицы на матрицу

   Поскольку мы рассматриваем векторы как матрицы-столбцы, произведение матрицы на вектор равно просто частный случай матрично-матричного произведения (т. е. произведение между двумя матрицами). Так же, как и для матрично-векторного произведения, Произведение $AB$ между матрицами $A$ и $B$ определено, только если количество столбцов в $A$ равно количеству строк в $B$. Говоря математическим языком, мы говорим, что можем умножить матрицу $m \times n$ $A$ на $n \times p$-матрицу $B$. (Если $p$ равно 1, то $B$ будет вектор-столбец $n\times 1$, и мы вернемся к матрично-векторное произведение.)

   Произведение $AB$ представляет собой матрицу $m \x p$, которую мы будем называть $C$, т.е. $АВ=С$. Чтобы вычислить произведение $B$, мы рассматриваем $B$ как группу из $n \times 1$ векторов-столбцов, выстроенных рядом друг с другом: \начать{выравнивать*} \оставил[ \begin{массив}{cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2p}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{np} \конец{массив} \Правильно] знак равно \оставил[ \оставил[ \начать{массив}{с} б_{11}\\ б_{21}\\ \vdots\\ b_{n1}\\ \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \начать{массив}{с} б_{12}\\ б_{22}\\ \vdots\\ b_{n2}\\ \конец{массив} \Правильно] \cdots \оставил[ \начать{массив}{с} б_{1п}\\ б_{2п}\\ \vdots\\ b_{np}\\ \конец{массив} \Правильно] \Правильно] \конец{выравнивание*} Тогда каждый столбец таблицы $C$ является векторным произведением матрицы $A$ с соответствующий столбец $B$. Другими словами, компонент в $i$th строка и $j$-й столбец $C$ — это скалярное произведение между $i$-й строкой $A$ и $j$-й столбец $B$. В математике мы пишем этот компонент $C$ как $c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$.

   Пример справки делает процесс понятным. Пусть $A$ будет $2 \times 3$ матрица \начать{выравнивать*} А=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \Правильно] \конец{выравнивание*} и $B$ — матрица $3 \times 2$ \начать{выравнивать*} B= \влево[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*} Затем, \начать{выравнивать*} АБ &=\влево[ \начать{массив}{ррр} 0 и 4 и -2\\ -4 и -3 и 0 \конец{массив} \Правильно] \оставил[ \begin{массив}{rr} 0 &1\\ 1 и -1\\ 2 и 3 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{ррр} 0 \cdot 0+4 \cdot 1-2\cdot 2 && 0 \cdot 1 +4 \cdot (-1) -2\cdot 3\\ -4 \cdot 0-3\cdot 1 + 0 \cdot 2 && -4 \cdot 1 -3 \cdot (-1) + 0\cdot 3 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \начать{массив}{ррр} 0+4-4 && 0-4-6\\ 0-3+0 && -4 +3 +0 \конец{массив} \Правильно] \\ знак равно \оставил[ \begin{массив}{rr} 0 и -10\\ -3 и -1 \конец{массив} \Правильно]. \конец{выравнивание*}

   Хотите больше примеров?

   Как учить шаг за шагом

   Метод длинного умножения может быть очень трудным для обучения в 5-м и 6-м классах, это знает любой, кто раньше преподавал верхний KS2.

   Несмотря на самые лучшие намерения, всегда найдутся ученики, которые либо не уверены в более простом подходе 4 на 1, либо не уверены в своих таблицах умножения.

   Если этот учебный год будет для вас первым в 6-м классе, у вас все это впереди, но не отчаивайтесь – это случается каждый год.

   Что такое длинное умножение?

   Длинное умножение — это метод умножения двух или трехзначных чисел на другое число , состоящее из двух или более цифр, с использованием письменного метода. Его часто называют умножением столбцов.

   В 5-м и 6-м классах начальной школы длинное умножение означает умножение числа, состоящего как минимум из трех цифр, на число, состоящее из двух или более цифр.

   Прежде чем приступить к умножению в KS2, в идеале дети должны быть уверены в своих таблицах умножения и понимать ключевые термины, такие как множимое и множитель.

   • Множимое — это число, с которого вы начинаете умножение
   • Множитель — это количество таких групп, которые вам нужны; сколько раз вы собираетесь умножать множимое.

   Длинное умножение в национальной учебной программе

   В национальной учебной программе по математике для Англии формальный метод длинного умножения упоминается как для 5-го, так и для 6-го класса.0042 «учеников следует учить умножать числа до 4 цифр на одно- или двузначные числа, используя формальный письменный метод, включая длинное умножение двузначных чисел». и деления говорится, что «ученики должны умножать многозначные числа до 4 цифр на целое двузначное число, используя формальный письменный метод длинного умножения». целей дает нам представление о том, как это выглядит:

   Это прекрасно излагает модель развития для учителей после того, как класс освоит умножение 3-х или 4-значных чисел на однозначное число.

   Длинные вопросы на умножение в SAT

   Беглый просмотр арифметического задания SAT за 2019 г. показывает, что есть 4 балла, которые можно получить за правильное решение длинных вопросов на умножение, а также множество примеров учеников, которым необходимо выбрать этот метод в двух логических заданиях. поскольку это был бы наиболее эффективный метод выбора, чтобы пройти через бумагу.

   Поэтому очень важно, чтобы ученики свободно владели этим методом. Когда я говорю свободно, я имею в виду следующее:

   «Свободное владение языком — это процесс извлечения информации из долговременной памяти без усилий в нашей рабочей памяти, высвобождающий драгоценное пространство в нашей рабочей памяти, чтобы уделить внимание другим вещам. .’

   Подробнее: Беглость, мышление и решение задач

   Что такое метод длинного умножения?

   Формальный метод длинного умножения — это пошаговый метод, помогающий детям понять концептуально и практически, как умножать одно трех- или четырехзначное число на другое двузначное или большее число.

   Метод длинного умножения шаг за шагом

   Вот пошаговое описание метода длинного умножения с использованием второго примера из Приложения к национальной учебной программе:

   Как выполнять длинное умножение шаг за шагом

   Пример: 124 x 26

   1. Задайте вопрос формальным методом
   2. Не забудьте начать процесс умножения с единицами
   3. Умножьте 6 на 4
   4. Правильно запишите ответ, включая любые несущие
   5. Умножить 6 на 2
   6. Прибавь все, что осталось от предыдущего умножения.
   7. Умножить 6 на 2
   8. Запишите ответ правильно
   9. Отбросьте ноль, поскольку теперь мы умножаем на 10
   10. Умножьте 2 на 4
   11. Запишите ответ правильно
   12. Умножьте 2 на 2 90
   13. Умножить 2 на 1
   14. Правильно написать ответ
   15. Правильно сложить два ответа

   Это в общей сложности 16 шагов, которые дети должны освоить, изучая этот новый процесс, чтобы получить окончательный ответ. Принимая во внимание ограничения нашей рабочей памяти, это очень много, и мы можем довольно легко перегрузить ее и помешать кодированию этой информации.

   Итак, ответ на вопрос: Как сделать длинное умножение? просто следуйте инструкциям!

   Но при этом упускается ключевой этап обучения — переход от процедурного к концептуальному пониманию того, что происходит.

   Оставшаяся часть этой статьи объясняет, как преподавать длинное умножение, чтобы оно оказало наибольшее влияние на ваш класс. Он включает ссылки на длинные рабочие листы умножения, чтобы дать вам много практики.

   Как когнитивная наука повлияла на мое преподавание метода длинного умножения

   Два урока когнитивной науки сильно изменили мой подход к обучению методу длинного умножения.

   1.

   Долговременная и кратковременная память

   Первым было понимание того, что у нас есть долговременная память, которая почти безгранична в отношении информации, которую она может хранить; и рабочая память, где мы делаем наши сознательные мысли.

   Важно отметить, что пространство в нашей рабочей памяти ограничено, многие исследователи оценивают его между 4 или 7 элементами. Oliver Caviglioli любезно нарисовал замечательный плакат, демонстрирующий этот процесс.

   Из https://www.olicav.com/#/diagrams/

   Из модели видно, что человек использует свое внимание, чтобы перенести вещи из окружающей среды в рабочую память. Затем мы пытаемся закодировать эту информацию в нашей долговременной памяти, но некоторая информация может быть забыта по множеству причин.

   Когда эта информация находится в нашей долговременной памяти, мы можем вернуть ее на передний план нашей рабочей памяти, чтобы использовать ее. Однако, если эти воспоминания остаются бездействующими слишком долго (то есть мы не вспоминаем эти воспоминания в течение длительного периода времени), они тоже могут быть забыты.

   Подробнее: Обучение и память в классе

   2. Теория когнитивной нагрузки

   Другим уроком когнитивной науки, повлиявшим на мое преподавание, является теория когнитивной нагрузки. Теория когнитивной нагрузки пытается объяснить, почему мы не можем закодировать новую информацию из нашей рабочей памяти в нашу долговременную память.

   Это может быть связано со многими причинами, такими как: слишком сложная работа; слишком быстро покрываются; слишком много отвлекающих факторов в окружающей среде; отсутствие предварительных знаний по теме (мы вернемся к этому позже) и т. д.

   Как это помогает нам обучать методу длинного умножения? Хорошо, давайте сначала проясним кое-что.

   Моим результатом первого или двух уроков будет придание моим ученикам уверенности в изучении метода. Только после этого мы перейдем к остальным

   Как преподавать метод длинного умножения

   Базовые знания по умножению

   Перед тем, как мы начнем работать над длинным умножением, я всегда проверяю, кто из учеников моего класса уже испытывал трудности с умножением в 3 или 4 классе.

   Если ребенок не уверены в своих фактах умножения, тогда вам нужно провести вмешательство, чтобы научить их быстро — вопреки мнению, изучение фактов умножения важно, и хотя вы можете научить таблицу умножения для мгновенного запоминания в более раннем возрасте, к старшему KS2 это очень сложно найти время.

   Вам также могут понравиться: 35-кратные настольные игры, подходящие для дома и школы — выбирайте одну или две игры каждую неделю для домашнего обучения, если вашим ученикам все еще нужно развивать последовательность.

   Как упростить длинное умножение

   По моему опыту, те ученики, которые хорошо владеют трех- или четырехзначным умножением на однозначное, легче работают с большими числами.

   Это имеет смысл, поскольку, если они бегло владеют этими областями, они фактически сокращают то, на что должна обращать внимание их рабочая память. Если предположить, что они свободно владеют этими двумя вещами, то количество предметов, которые им нужно выучить, сокращается с 16 до 4-6 вещей.

   Ребенок, который не уверен в умножении, скорее всего, использует так много своей рабочей памяти для решения части задачи, связанной с умножением, что все остальные шаги, как мы видели в предыдущей модели, забываются.

   Это важный момент, который учителя должны признать: дело не в том, что у одного ребенка есть врожденная способность выполнять длинное умножение, а у другого нет. Дело в том, что один ребенок просто сохранил важные знания, необходимые для достижения успеха, и, следовательно, может установить связь с предыдущими знаниями, чтобы резко сократить то, что им нужно для активной работы.

   Как сказал Осубел: «Самый важный фактор, влияющий на обучение, — это то, что учащийся уже знает. Убедитесь в этом и научите их соответствующим образом»

   KS2 Рабочие листы для умножения длинных чисел

   Дайте своим ученикам преимущество в отработке навыков умножения в длинных числах с помощью этого бесплатного набора рабочих листов для умножения.

   Метод длинного умножения: Урок 1

   Независимо от того, с чего начинают ученики, мы можем кое-что сделать в классе, чтобы помочь им освоить процедуру длинного умножения. Как я упоминал ранее, моя цель на первых двух уроках — укрепить уверенность в методе.

   Для этого я гарантирую, что наш первый множитель равен 11. Делая второй множитель равным 11, все, что здесь требуется, это умножить на единицу. Я еще не встречал ребенка, у которого могут возникнуть проблемы с умножением, который не знает таблицу умножения на 1.

   Это значительно снижает когнитивную нагрузку и помогает высвободить всю рабочую память для изучения процедуры длинного умножения. Конечно, этим ученикам все равно придется выучить свои факты умножения, но это просто помогает сломать эти барьеры и помочь им добиться успеха.

   Теперь вдруг процедура выглядит так:

   Пошаговый процесс решения проблемы такой же, как в примере выше, но мы значительно сократили нагрузку на рабочую память.

   Это повышает вероятность того, что процедура запомнится, так как ученики могут сосредоточить все свое внимание на понимании процедуры, а не на умножении. Опять же, я хотел бы подчеркнуть, что цель этого состоит в том, чтобы ученики могли справиться с процедурой, чтобы ее можно было усвоить.

   Шаг 1. Закрепление знаний об умножении

   В начале урока у меня на доске было бы несколько вопросов 4 на 1, чтобы класс мог самостоятельно решить их, убедившись, что я доберусь до всех учеников, которые Я думаю, что они могут бороться с этим и выяснять, с чем они борются — с умножением или с процедурой? Если бы это было первое, я бы помог им с их таблицей умножения, а если бы это было второе, я бы рассмотрел с ними пример.

   Пример серии вопросов на умножение цифр 4×1 из онлайн-класса Third Space Learning.

   По прошествии достаточного количества времени я просматривал вопросы на доске, чтобы проверить понимание ими процедуры и их знание «умножения»:

   • Что такое множимое и множитель? (т. е. «верхнее число» и «нижнее число»)
   • Как записать это в метод столбца?
   • Что получится, если ___ умножить на ____?
   • Что произойдет, если произведение больше одной цифры?
   • С какого разряда начинать умножение?

   Ответы учеников на эти вопросы помогут спланировать будущие вмешательства. По моему опыту, я не встречал многих учеников, чье предварительное достижение означало бы, что они не могут правильно изложить метод умножения в столбик.

   Если вам нужно вернуться назад, чтобы создать более прочную базу в умножении, то есть учебный курс для 5-го и 6-го года умножения или более подробное руководство по обучению умножению для каждой группы года в течение KS2. Если родители хотят поддержать своих детей в умножении, то в этой статье дается простое резюме: что такое длинное умножение?

   Шаг 2. Знакомство с новой идеей длинного умножения

   В следующей части урока я покажу пример типа вопроса, на который они должны будут ответить к концу модуля – в данном случае это будет умножение 4 на 2 цифры с любой цифрой с использованием метода длинного умножения.

   Я бы очень быстро попросил их потратить 30 секунд на обсуждение друг с другом, чтобы увидеть, чем этот вопрос отличается от того, который они задавали в начале урока.

   Как только они поймут, что в качестве множителя используется двузначное число, я решу это молча в обычном темпе — причина этого в том, чтобы показать, насколько легко это может быть, и дать им уверенность в том, что это то, что нужно. с ними не нужно бороться.

   Затем я покажу им другой пример, на этот раз с 11 в качестве множителя — он будет на том же слайде, что и предыдущий пример.

   Тогда я спрашивал: «Большой палец вверх — да, большой палец вниз — нет». Изменился ли способ, которым я изложил расчет в методе столбца, когда множитель имеет две цифры?»

   Тогда я надеялся бы, что все получат отрицательный отзыв. Если ребенок поднимает большой палец вверх, я вступаю в диалог со всем классом, чтобы понять, почему это так, и сослаться на пример, изображенный на доске.

   Шаг 3. Определение метода длинного умножения

   Следующим моим шагом будет запись вычисления методом столбца для длинного умножения.

   Следующей моей инструкцией классу будет: «Для начала мы рассмотрели примеры, в которых множитель был однозначным числом. Это число будет в разряде единиц. Таким образом, с числом, которое находится в «единицах» в этом двузначном числе, мы поступаем точно так же».

   Чтобы убедиться, что все участвуют, я бы попросил их показать мне с помощью пальцев или мини-доски ответы на вопросы по умножению – не потому, что я думаю, что они этого не знают, а для того, чтобы твердо держать свою рабочую память на математике под рукой.

   На доске у меня теперь есть:

   Теперь мы подошли к новой части информации, которую мы хотим, чтобы ученики усвоили, поэтому я бы замедлился и объяснил, что здесь происходит, снова используя этот момент, чтобы усилить значение места.

   «Пока все, что было раньше, для нас не ново. Теперь у нас есть совершенно новый шаг. Чтобы понять, что происходит, нам нужно активировать наше знание о значении места. Первая цифра множителя находится в единицах и равна единице.

   Вторая цифра стоит в разряде десятков, поэтому она равна 10. Это означает, что у нас есть 10, умноженное на 3. Чтобы показать, что мы умножаем на 10, мы можем поставить ноль в разряде единиц, чтобы действовать как разряд держатель. »

   Тогда я бы поставил ноль на нужное место.

   «Тогда мы можем умножать числа в множимом, как если бы мы умножали их на 1».

   Затем я призываю всех учеников решить задачу умножения, снова показывая мне на пальцы, чтобы обеспечить участие.

   Наконец, я прошу учеников посмотреть на другой рабочий пример на доске и сказать своему партнеру, каким будет последний шаг — добавление двух продуктов. Класс делал это вместе со мной, показывая ответы пальцами/мини-доской.

   Это оставит нас с готовым продуктом:

   Шаг 4 – Повторные примеры метода длинного умножения

   Повторите описанный выше процесс еще с двумя примерами.

   По мере изучения каждого примера учащиеся должны больше объяснять, особенно когда речь идет об отбрасывании нуля и напоминании друг другу о сложении двух произведений. Если вы обнаружите, что дети борются с трудностями, остановитесь и прорепетируйте это, чтобы убедиться, что используется правильный язык.

   Требуйте правильных ответов полными предложениями и правильного языка. Когда ученики не могут этого сделать, я прошу добровольца, которого я выбрал, который может сделать это, чтобы он дал примерный ответ, а затем прошу первоначальных учеников, которые сначала не смогли ответить, повторить то, что было сказано.

   Шаг 5 – очередь учеников с методом длинного умножения

   Затем я предлагаю два вопроса на длинное умножение, которые я прошу учеников выполнить самостоятельно. В течение этого времени я буду наблюдать и поддерживать по мере необходимости.

   В предыдущих блогах я упомянул о том, что лучше учиться, чем работать, и это ничем не отличается. Несмотря на то, что ученики дают очень четко сформулированные ответы на шаге 2 или правильно отвечают на оба вопроса на шаге 3, я все же прекрасно понимаю, что, хотя эти ученики показывают хорошие результаты, в их долговременной памяти ничего не изменилось, поскольку они просто повторяют то, что было показано им.

   В зависимости от результата шага 3 мне нужно будет либо: просмотреть другие примеры и изменить свои объяснения, либо перейти к шагу 4.

   Шаг 6 – Повторная практика учеников длинного умножения

   Рад, что ученики могут скопировать процесс и понять его, теперь я предлагаю им заполнить длинную таблицу умножения.

   Нет необходимости различать рабочий лист; каждый ребенок будет иметь равный доступ к работе.

   Дифференциация рабочего листа приведет только к увеличению разрыва в достижениях. Дифференциация будет исходить из дополнительных инструкций, которые я могу дать в это время.

   Рабочий лист, который я бы дал, не будет состоять из 20 вопросов на одну и ту же тему. Здесь я бы использовал чередование. 10 вопросов о том, чему я учил, будут на листе в случайном порядке, остальные 10 вопросов будут составлены из ранее изученного материала.

   Подробнее: 8 стратегий дифференциации для вашего класса, которые можно использовать для преодоления разрыва в уровне знаний ранее изученный контент. Это непрерывное переключение помогает процессу кодирования.

   По возможности делайте содержание соответствующим тому, чему учили; например, когда я преподавал умножение, у меня были некоторые вопросы на деление из целей предыдущего года, чтобы подчеркнуть, что деление является обратным умножению.

   Чередование связанного содержимого, например. разделение может быть отличным способом внедрения обучения.

   При проверке для SAT вы можете чередовать длинные задачи на умножение с задачами на деление, чтобы еще больше укрепить взаимосвязь между ними.

   Последний вопрос на умножение также будет иметь множитель, отличный от 11, чтобы увидеть, смогут ли ученики применить процесс, когда требования к рабочей памяти выше.

   Когда это произойдет, я буду ходить по комнате, чтобы оценить успеваемость учеников – не только по вопросам этого урока, но и по предыдущему содержанию. Учащиеся могут пропускать вопросы, в которых они не уверены.

   Этап 7 – Совместное оценивание

   На этом этапе ученики будут давать ответы, и весь класс сможет ставить отметки, услышав ответ. Если кто-то из них не согласен с ответом, мы можем обсудить его всем классом, пока не будет найден правильный ответ.

   Шаг 8. Диагностический вопрос s

   Диагностические вопросы и диагностическая оценка в целом — невероятно эффективный способ оценить понимание учащимися концепции. Они работают, задавая вопрос и давая 4 возможных ответа.

   В то время как один ответ правильный, остальные три отвлекающих фактора будут тщательно спланированы, чтобы показать конкретное заблуждение.

   Ниже приведен пример того, что я буду использовать в этом уроке.

   Пример длинного диагностического вопроса на умножение

   Какой длинный вопрос на умножение показывает правильный ответ?

   В этом примере каждый неправильный ответ показывает неверное представление в игре.

   • A правильный но вы видите, что ответ друг друга может быть ошибкой, которую может сделать ребенок:
   • В B они опустили ноль при умножении на единицы.
   • В C забыли отбросить ноль при умножении на столбец десятков
   • В D забыли прибавить тот, который был перенесен при добавлении 8 к 6.

   Именно выбор неправильных ответов делает диагностические вопросы такими мощными; они четко определяют, о чем думает ученик, и могут предоставить вам немедленную обратную связь о работе, которую вы можете исправить на основе данного ответа.

   Делая это на уроках, я присваиваю каждой букве номер, например, A=1, B=2 и т. д., что соответствует количеству пальцев, которые я хочу, чтобы они держали. Затем я даю команду «думать». Учащиеся обдумывают правильный ответ.

   Затем я скажу «спрячься», и они закроют пальцы, которые хотят показать, на одной руке другой. Наконец, я говорю «покажи», и ученики показывают мне соответствующий палец, и я могу быстро оглядеть класс, чтобы увидеть ответы, которые они дали.

   Другим преимуществом диагностических вопросов является возможность обсудить неправильные ответы и понять, почему они неверны. Это создает фантастические темы для обсуждения и действительно заставляет класс думать и искать ошибки.

   Если вы хотите попробовать другие диагностические вопросы, вы можете загрузить бесплатный набор диагностических тестов по математике для 5 и 6 классов или посетить веб-сайт Third Space Learning Maths Hub, где вы найдете большую коллекцию диагностических тестов по каждой теме учебного курса KS2 по математике. .

   Завершение вашего первого длинного урока умножения!

   Надеемся, что постепенная прогрессивная структура урока — или их может быть два или три, в зависимости от вашего класса — показывает, как можно с уверенностью преподавать метод длинного умножения и выучить его большинство пяти- и шестиклассников.

   Стоит еще раз повторить, что основная цель первого урока – укрепить уверенность учеников и начать изучение этого метода умножения.

   По мере роста их уверенности и дальнейшего внедрения процесса множитель может быть изменен, а вопросы для рассуждения и решения проблем могут быть представлены и отвечать на них с большей независимостью.

   Длинные примеры умножения

   Если вам нужны более длинные примеры умножения, слайды и рабочие листы урока «Белая роза» от Third Space Learning для 6-го четвертого класса «Операции» дают вам больше возможностей для поэтапного прохождения этапов.

   Вот вам два длинных примера умножения.

   Пример 1: 6321 x 15 = 94,815

   Пример 2: 6321 x 25 = 158 025

   Длинные вопросы умножения

   Вот несколько длинных вопросов и ответов. 1543 х 11 = 16 973

7. 2 374 х 13 = 90 005 30 862
8. 4 537 х 27 = 122 499
х 7 = 3 8 90005 332 371
9. 9 452 x 48 = 453 696

Если вы ищете дополнительные вопросы и длинные рабочие листы по умножению, зарегистрируйтесь для получения дополнительных ресурсов по математике здесь.

Есть ли у вас ученики, которым нужна дополнительная помощь по математике?
Каждую неделю репетиторы-специалисты по математике Third Space Learning поддерживают тысячи учеников в сотнях школ еженедельными индивидуальными онлайн-уроками и математическими мероприятиями, предназначенными для заполнения пробелов и ускорения прогресса.

С 2013 года мы помогли более 125 000 учеников начальной и средней школы стать более уверенными в себе, способными к математике. Узнайте больше или запросите персональное предложение для вашей школы, чтобы рассказать нам о потребностях вашей школы и о том, как мы можем помочь.

Обучение в начальной школе ориентировано на потребности каждого ребенка и строго соответствует национальной учебной программе.

Умножение матриц в Excel (5 примеров)

Матрица — это важный инструмент, ежедневно используемый в статистике и научных исследованиях. Электронные таблицы Excel сами по себе представляют собой очень большие матрицы, содержащие 1 048 576 строк и 16 384 столбца. Неудивительно, что Excel предоставляет несколько полезных инструментов для матричных операций. В этой статье мы сосредоточимся на 9Умножение матрицы 0005 в Excel с разными примерами разных сценариев.

---

Скачать практическую рабочую тетрадь

Как выполнить умножение матриц?

5 подходящих примеров для умножения матриц в Excel

1. Матричное умножение двух массивов

2. Умножьте один столбец на один массив строк

3. Умножение массива одной строки и одного столбца в Excel

4. Вычислить квадрат матрицы из умножения матриц

5. Умножение матрицы на скаляр.

Ошибки при умножении матриц в Excel

Ограничение умножения матриц в Excel

Вывод

Статьи по Теме

Загрузить рабочую тетрадь

Вы можете загрузить книгу, содержащую все примеры, использованные в этой статье, из поля ниже.

---

Как выполнять умножение матриц?

Во-первых, давайте сосредоточимся на том, как на самом деле работает умножение матриц. Если есть две матрицы размерности i x j и j x k каждый элемент первой строки будет умножен на элементы их соответствующих входных номеров из первого столбца второй матрицы. Затем все добавленные результаты будут указывать значение элемента первой строки и первого столбца результирующей матрицы, взяв номер строки из первой матрицы и номер столбца из второй. Это будет продолжаться i x k раз и приведет к матрице i x k .

Давайте возьмем пример, где мы добавляем две матрицы A и B.

Каждая запись из первой строки матрицы A будет умножаться на соответствующие записи из первого столбца матрицы B. Тогда результат даст нам значение 1×1 умноженной матрицы, скажем, C. В этом примере это будет 1 *4+2*6+3*8=40.

Тот же процесс повторяется для 1-й строки из A и 2-го столбца из B, 2-й строки из A и 1-го столбца из B, 2-й строки из A и 2-го столбца из B.

Наконец, результат будет выглядеть примерно так.

Это произведение матрицы А и В.

---

5 подходящих экземпляров для умножения матриц в Excel

Excel имеет встроенную функцию МУМНОЖ для умножения матриц. Эта функция принимает в качестве аргументов два массива. Мы можем использовать матрицы в качестве массивов аргументов в этой функции, чтобы получить желаемый результат.

---

1. Матричное умножение двух массивов

Возьмем две отдельные матрицы A и B. В Excel мы будем рассматривать их как массивы для умножения матриц.

Шаги:

• Сначала выберите ячейки, в которые вы хотите поместить свою матрицу.

• Затем запишите следующую формулу.

=МУМНОЖ(B5:D7,B10:D12)

• Теперь на клавиатуре нажмите Ctr+Shift+Enter . Вы получите результат матрицы AxB.

Вы можете сделать то же самое для матрицы BxA, введя матрицу B в качестве первого и матрицу A в качестве второго аргумента МУЛЬМ функция.

Подробнее: Как умножить 3 матрицы в Excel (2 простых метода)

---

2. Умножение одного столбца на массив одной строки

Возьмем следующий набор данных с матрицами, содержащими только один столбец и одну строку.

Перемноженная матрица AxB будет результатом умножения матриц с одним столбцом и одной строкой.

Шаги:

• Сначала выберите диапазон ячеек для перемножаемой матрицы.

• Затем запишите следующую формулу.

=МУМНОЖ(B5:B7,B10:D10)

• Наконец, нажмите Ctrl+Shift+Enter на клавиатуре. У вас получится результирующая матрица.

Подробнее: Как умножить несколько ячеек в Excel (4 метода)

---

Аналогичные показания

• Как умножать столбцы в Excel (9Полезные и простые способы)
• Умножение двух столбцов в Excel (5 самых простых способов)
• Как использовать функцию умножения в Excel (с 3 альтернативными методами)
• Если ячейка содержит значение, умножьте его с помощью формулы Excel (3 примера)

---

3.

Умножение массива одной строки и одного столбца в Excel

Для того же набора данных, который использовался в предыдущем методе, матричное умножение BxA будет означать умножение матриц из одной строки и одного столбца.

Шаги:

• Сначала выберите ячейку. Это умножение даст только одно значение, поэтому выберите здесь одну ячейку.

• Затем введите следующую формулу.

=МУМНОЖ(B10:D10,B5:B7)

• Теперь нажмите Ctrl+Shift+Enter на клавиатуре. Вы получите желаемый результат.

Подробнее: Формула умножения в Excel (6 быстрых подходов)

---

4. Вычисление площади матрицы путем умножения матриц

Вернемся к матрицам на примерах, использованных в первом примере. Здесь мы воспользуемся умножением матриц, чтобы определить квадраты матриц A и B.

Шаги:

• Выберите диапазон ячеек для вашей квадратной матрицы.

• Теперь запишите следующую формулу.

=МУМНОЖ(B5:D7,B5:D7)

• Теперь нажмите Ctrl+Shift+Enter на клавиатуре. У вас получится квадрат матрицы А.

Вы можете заменить диапазон матрицы A на диапазон матрицы B (B10:D12) и получить квадрат матрицы B тоже.

Подробнее: Что такое формула умножения в Excel для нескольких ячеек? (3 направления)

---

Аналогичные показания

• Как умножить столбец на число в Excel (4 простых метода)
• Умножение на проценты в Excel (4 простых способа)
• Как умножить столбец в Excel на константу (4 простых способа)
• Умножение двух столбцов, а затем суммирование в Excel

---

5. Умножение матрицы на скаляр

Когда матрица умножается только на число, все элементы матрицы умножаются на это число. Это также может быть достигнуто в Excel.

Для демонстрации я использую здесь матрицу A и умножаю ее на 7.

Шаги:

• Выберите диапазон ячеек для перемножаемой матрицы.

• Затем введите в поле следующую формулу.

=B5:D7*G7

• Нажмите Ctrl+Shift+Enter на клавиатуре.

Подробнее: Как умножать в Excel: столбцы, ячейки, строки и числа

---

Ошибки при умножении матриц в Excel

Существует несколько ошибок, с которыми вы можете столкнуться при выполнении умножения матриц в Excel.

из них #ЦЕННОСТЬ! Ошибка может возникнуть, если количество столбцов в первом массиве и количество строк во втором массиве не совпадают.

Вы получите ту же ошибку, если в ячейке массива есть хотя бы одно нечисловое значение.

Если вы выберете больше значений, чем выглядит ваша предполагаемая матрица умножения, у вас будет ошибка #N/A , но только в дополнительных выбранных вами ячейках.

Подробнее: Как делить и умножать в одной формуле Excel (4 способа)

---

Ограничение умножения матриц в Excel

Если вы используете Excel 2003 или более раннюю версию, существует ограничение на умножение матриц размером 71×71. Но для более поздних версий вы можете выполнять операцию столько, сколько позволяет электронная таблица, ограничиваясь только оперативной памятью вашей системы.

---

Заключение

Это были разные ситуации, в которых вы можете выполнять умножение матриц в Excel. Надеюсь, вы нашли эту статью полезной и информативной. Если у вас есть какие-либо вопросы или предложения для нас, сообщите нам об этом ниже.

Для получения дополнительных руководств, подобных этим, посетите Exceldemy. com .

---

Связанные статьи

• Как составить таблицу умножения в Excel (4 метода)
• Умножение одной ячейки на несколько ячеек в Excel (4 способа)
• Как рассчитать ковариационную матрицу в Excel (с помощью простых шагов)
• Создание матрицы обучения в Excel (3 простых метода)
• Как создать матрицу прослеживаемости в Excel
• Создание корреляционной матрицы в Excel (2 удобных подхода)

Умножение матриц — MathBootCamps

Хотя сложение или вычитание матриц относительно просто, умножение матриц сильно отличается от большинства математических операций, которые вы изучали ранее. Здесь мы рассмотрим хороший способ умножения двух матриц и некоторые важные свойства, связанные с ним. Вы также узнаете, как узнать, когда умножение не определено.

реклама

Содержание:

1. Умножение двух матриц: «строки попали в столбцы» (анимация этого)
2. Умножение матриц не всегда определено
3. Умножение матриц не является коммутативным
4. Примеры умножения матриц
5. Краткое описание свойств

Умножение двух матриц: «строки попадают в столбцы»

Чтобы понять общую схему умножения двух матриц, представьте, что «строки попадают в столбцы и заполняют строки». Рассмотрим следующий пример.

Первая строка «соответствует» первому столбцу, что дает нам первую запись продукта. Обратите внимание, что поскольку это произведение двух матриц 2 x 2 (количество строк и столбцов), результатом также будет матрица 2 x 2. Мы рассмотрим, как размер матрицы влияет на это позже в статье.

Теперь первая строка «соприкасается» со второй колонкой, заполняя строку продукта.

Закончились столбцы для «попадания», теперь работаем со второй строкой.

Осталась последняя запись для расчета. Вторая строка теперь «поразит» второй столбец.

Наконец, нам просто нужно выполнить арифметические действия, чтобы получить окончательный ответ.

Анимация этого процесса

Вы можете увидеть анимацию этого процесса здесь. Звука нет — так что не беспокойтесь о поиске наушников!

Вскоре мы увидим еще пару примеров, но сначала нам нужно обсудить, как размер матрицы влияет на результат умножения. На самом деле бывают случаи, когда из-за размера матрицы умножение не определено.

Умножение матриц не всегда определено

При умножении матриц размер двух задействованных матриц определяет, будет ли определено произведение. Вы также можете использовать размеры, чтобы определить результат умножения двух матриц. Напомним, что размер матрицы — это количество строк на количество столбцов. Приведенные выше матрицы были 2 x 2, поскольку каждая из них имела 2 строки и 2 столбца.

Как видите, размеры матриц не обязательно должны быть одинаковыми, вам просто нужно, чтобы совпадали средние два числа, когда вы записываете размеры рядом. В противном случае продукт не определен.

Подумайте вот о чем: если, например, матрица A имеет размер 3 x 4, то произведение A и самой себя не будет определено, так как внутренние числа не будут совпадать. Это всего лишь один пример того, как умножение матриц ведет себя не так, как вы могли бы ожидать.

Умножение матриц не коммутативно

Из начальной школы вы знаете, что произведение (2)(3) = (3)(2). Неважно, в каком порядке вы умножаете числа, результат один и тот же. Это не работает вообще для матриц. Только в особых случаях можно сказать, что АВ = ВА. Так что в целом следует считать, что они не равны. Может быть даже так, что AB определено, а BA не определено!

Даже если произведение определено, маловероятно, что результаты для AB и BA будут одинаковыми.

Примеры умножения матриц

Теперь, когда мы рассмотрели некоторые важные свойства умножения матриц, давайте рассмотрим пару примеров.

Пример

Найдите произведение AB, где:
\(A = \left[\begin{array}{cc} -5 & 3\\ -4 & -1\\ \end{array}\right]\)
и
\( B = \left[\begin{массив}{cc} 1 & -1\\ 2 & 6\\ \end{массив}\right]\)

Решение

Помните, что строки пересекаются со столбцами и заполняют строки. Здесь каждая матрица имеет размер 2 x 2, поэтому результатом будет матрица 2 x 2.

\(\begin{align} AB &= \left[\begin{array}{cc} -5 & 3\\ -4 & -1\\ \end{array}\right] \left[\begin{array} {cc} 1 & -1\\ 2 & 6\\ \end{массив}\right]\\ &= \left[\begin{массив}{cc} -5(1) + 3(2) & -5 (-1) + 3(6)\\ -4(1) +(-1)(2) & (-4)(-1)+(-1)(6)\\ \end{массив}\right ]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 1 & 23\\ -6 & -2\\ \end{массив}\right]}\end{align}\)

Пример

Найдите произведение AB, где:

\(A = \left[\begin{array}{cccc} -2 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 1\\ \end{array}\right ]\)
и
\(B = \left[\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right]\ )

Решение

Здесь у нас есть матрица 2 x 4, умноженная на матрицу 2 x 4. Внутренние номера этих размеров не совпадают, поэтому:

\(\boxed{AB \text{не определено}}\)

Пример

Найдите произведение AB, где:
\(A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ -2 & 0\\ 3 & 1\\\end{array}\right]\)

и
\(B = \left[\begin{array}{cc} 4 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\)

Решение

Произведение матрицы 3 x 2 и матрицы 2 x 2. Внутренние числа совпадают, поэтому продукт определен. В результате получится матрица 3 х 2.

\(\begin{align} AB &= \left[\begin{array}{cc} 1 & 2\\ -2 & 0\\ 3 & 1\\\end{array}\right]\left[\begin {array}{cc} 4 & 0\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]\\ &= \left[\begin{array}{cc} 1(4) + 2(0) & 1 (0) + 2(1)\\ -2(4) + 0(0) & -2(0) + 0(1)\\ 3(4) + 1(0) & 3(0) + 1( 1)\\\end{массив}\right]\\ &= \boxed{\left[\begin{array}{cc} 4 & 2\\ -8 & 0\\ 12 & 1\\\end{массив }\right]}\end{выравнивание}\)

реклама

Резюме

Всегда помните следующее, когда перемножаете две или более матриц.