Произведение это деление или умножение: Произведение (математика) | это… Что такое Произведение (математика)?

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

• aⁿ — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно:

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

• 2³ = 2·2·2, где

2 — основание степени

3 — показатель степени

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Не важно, в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Рассмотрим основные из них.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

a^m · aⁿ = a^m+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Раз

3⁵ · 3² = 3⁵⁺³ = 3⁸ = 6 561

Два

2⁸ · 8¹= 2⁸ · 2³ = 2¹¹ = 2048

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

, где

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Раз

Два: записать частное в виде степени

Свойство 3: возведение степени в степень

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(aⁿ)^m = a^{n· m} 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: возведение произведения в степень

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)

n = aⁿ · bⁿ

a, b — основания, не равные нулю

n — показатель степени, натуральное число

Свойство 5: возведение частного в степень

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

a, b — основания степени, не равные нулю

n — показатель степени, натуральное число

Умножение степеней с одинаковым показателем

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ , где

a, b — основания степени (не равные нулю)

n — показатель степени, натуральное число

• a⁵ · b⁵ = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)⁵
• 3⁵ · 4⁵ = (3·4)⁵ = 12⁵ = 248 832
• 16a² = 4²·a² = (4a)²

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ, где 

a, b — основания степени (не равные нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.

Умножение натурального числа.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Рассмотрим пример:

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.

Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел.
Числа 7 и 12 называются множителями.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Рассмотрим задачу:

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим  2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

2⋅5=5⋅2

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m⋅n=n⋅m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅b) ⋅c=a⋅(b⋅c)

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или  0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения  3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12  б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Обучение соотношению умножения и деления с использованием массивов

Расположение объектов, изображений или чисел в столбцах и строках называется массивом . В этой статье вы узнаете, как использовать массивы, чтобы показать взаимосвязь между умножением и делением.

Ключевой стандарт: Используйте умножение и деление в пределах 100 для решения текстовых задач в ситуациях, связанных с массивами. (3.OA.A.3)

Учащиеся 3-х классов и старше узнают, что о делении можно думать двумя способами: разделением и измерением. Хотя на этом уровне учащиеся могут не использовать эти названия, вы можете передать значение обоих видов деления, чтобы они могли лучше понять процесс деления. Когда вы делите, чтобы найти количество объектов в каждой группе, это деление называется справедливым разделением или разделением. Например:

Фермер наполняет корзины яблоками. У фермера 24 яблока и 4 корзины. Если она разделит их поровну, сколько яблок она положит в каждую корзину?

Когда вы делите, чтобы найти количество групп, деление называется измерением или повторным вычитанием. Вы можете продолжать вычитать 4 из 24, пока не достигнете 0. Каждые 4, которые вы вычитаете, представляют собой группу или корзину.

У фермера 24 яблока. Она хочет продать их по цене 4 яблока за 1 доллар. Сколько корзин по 4 штуки она может заполнить?

Array Division

Манипуляции и наглядные пособия важны при обучении умножению и делению. Студенты использовали массивы, чтобы проиллюстрировать процесс умножения. Массивы также могут иллюстрировать деление.

Поскольку деление является обратным или «противоположным» умножению, вы можете использовать массивы, чтобы помочь учащимся понять, как связаны умножение и деление. Если при умножении мы находим произведение двух множителей , то при делении находим недостающий множитель, если известны другой множитель и произведение.

В приведенной ниже модели умножения вы умножаете, чтобы найти общее количество счетчиков. В модели разделения массива вы делите, чтобы найти количество счетчиков в каждой группе. Используются те же три числа. Модель показывает, что деление «отменяет» умножение, а умножение «отменяет» деление. Поэтому при умножении или делении учащиеся могут использовать факт из обратной операции. Например, если учащиеся знают, что 4 × 5 = 20 , они также знают соответствующий факт деления 20 ÷ 4 = 5 9.0004 или 20 ÷ 5 = 4 . Студенты также могут проверить свою работу, используя обратную операцию.

Связь между умножением и делением

Обратите внимание, что числа в предложениях на умножение и деление имеют специальные имена. При умножении умножаемые числа называются множителями; результат умножения называется произведением. При делении делимое число — это делимое , число, на которое оно делится, — это делитель , а результат деления — частное . Обсудите взаимосвязь этих чисел, объясняя, как связаны умножение и деление.

Есть и другие модели, которые учащиеся могут использовать для изучения связи между умножением и делением. Познакомьте учащихся с различными моделями и позвольте учащимся выбрать наиболее полезную модель. Вот пример использования счетчиков для умножения и деления.

Вот пример использования числовой строки.

Еще одна стратегия, которая может оказаться полезной для ваших учеников, — это использование связанного факта умножения для деления. Вот пример.

18 ÷ 6 = ?

Подумайте: 6 × ? = 18 Какое число в шесть раз больше 18?

6 × 3 = 18 , поэтому 18 ÷ 6 = 3 .

Деление на 0 и 1

Когда учащиеся понимают концепцию деления, они могут приступить к изучению правил деления на 0 и 1. Предложите учащимся самостоятельно открыть правила, предложив им использовать счетчики для моделирования деления. Ниже приведены несколько примеров.

Когда любое число (кроме 0) делится само на себя, в частном получается 1.

Когда любое число делится на 1, это число получается в частном.

Когда 0 делится на любое число (кроме 0), частное равно 0.

Учащимся может быть любопытно, что произойдет, если они разделят на 0. Объясните, что это непростая концепция, и даже профессиональные математики пытаются ее объяснить ! Одна из стратегий, чтобы показать, почему это невозможно, состоит в том, чтобы предложить учащимся разделить любое число на группы нулей. Неважно, сколько групп вы создадите, это не сработает.

Деление в реальном мире

Предложите учащимся подумать о взаимосвязи между умножением и делением при решении реальных задач. Например, они могут использовать связанный факт умножения, чтобы найти стоимость единицы товара — например, стоимость одной бейсболки по цене 3 за 18 долларов.

$18 ÷ 3 = ? Подумай: 3 × ? = 18

3 × 6 долларов = 18 долларов, поэтому 18 долларов ÷ 3 = 6 долларов.

Стоимость одной бейсболки составляет 6 долларов.

***

Ищете дополнительную поддержку по вопросу «Как связаны умножение и деление?» Изучите Math 180 , наш революционный подход к математическому вмешательству для 5–12 классов.

Математика 3-5 классы Мероприятия и уроки 1-2 классы Вмешательство

Связанные материалы

• Алисса Фуллер
  Преподаватель по математике; Дизайнер учебного процесса, HMH
  20 октября 2022 г.

• Д-р Эми Эндо
  Директор по исследованиям в области образования, дополнительный язык и интервенция, язык и грамотность

  27 сентября 2022 г.

• Ноэль Моррис
  Старший директор по взаимодействию с общественностью, HMH; Ведущий HMH Learning Moments: Подкаст учителей в Америке
  23 сентября 2022 г.

Что означает произведение слов в математике?

Обновлено 19 декабря 2020 г.

Автор: Берт Маркграф

Произведение — это результат выполнения математической операции умножения. Когда вы перемножаете числа вместе, вы получаете их произведение. Другими основными арифметическими операциями являются сложение, вычитание и деление, а их результаты называются соответственно суммой, разностью и частным. Каждая операция также имеет специальные свойства, определяющие порядок расположения и комбинирования чисел. Для умножения важно знать об этих свойствах, чтобы вы могли умножать числа и комбинировать умножение с другими операциями, чтобы получить правильный ответ.

TL;DR (слишком длинно, не читал)

Значение произведения в математике — это результат умножения двух или более чисел. Чтобы получить правильный продукт, важны следующие свойства:

• Порядок чисел не имеет значения.
• Группировка чисел скобками не действует.
• Умножение двух чисел на множитель и последующее сложение их равносильно умножению их суммы на множитель.
• Умножение на 1 оставляет число без изменений.
  

Значение произведения числа

Произведение числа на одно или несколько других чисел представляет собой значение, полученное при умножении чисел. Например, произведение 2, 5 и 7 равно

2 × 5 × 7 = 70

Хотя произведение, полученное путем умножения определенных чисел, всегда одно и то же, произведения не уникальны. Произведение 6 и 4 всегда равно 24, как и произведение 2 и 12 или 8 и 3. Независимо от того, какие числа вы умножаете, чтобы получить произведение, операция умножения имеет четыре свойства, которые отличают ее от других основных арифметических операций. , Сложение, вычитание и деление имеют некоторые из этих свойств, но каждое из них имеет уникальную комбинацию.

Арифметическое свойство коммутации

Коммутация означает, что условия операции можно менять местами, и последовательность чисел не влияет на ответ. Когда вы получаете произведение путем умножения, порядок, в котором вы умножаете числа, не имеет значения. То же самое и с дополнением. Вы можете умножить 8 × 2, чтобы получить 16, и вы получите тот же ответ, если 2 × 8. Аналогично, 8 + 2 дает 10, тот же ответ, что и 2 + 8.

Вычитание и деление не обладают свойством коммутация. Если вы измените порядок чисел, вы получите другой ответ. Например,

8 ÷ 2 = 4 \text{ но } 2 ÷ 8 = 0,25

Для вычитания

8 — 2 = 6 \text{ но } 2 — 8 = -6

Деление и вычитание не являются коммутативными операциями.

Распределительное свойство 

Распределение в математике означает, что умножение суммы на множитель дает тот же ответ, что и умножение отдельных чисел суммы на множитель с последующим сложением. Например,

3 × (4 + 2) = 18 \text{, и } (3 × 4) + (3 × 2) = 18

Сложение перед умножением дает тот же ответ, что и распределение множителя между числами, которые нужно сложить, и затем умножение перед сложением.

Деление и вычитание не обладают распределительным свойством. Например,

3 ÷ (4 — 2) = 1,5 \text{ но } (3 ÷ 4) — (3 ÷ 2) = -0,75

Вычитание перед делением дает другой ответ, чем деление перед вычитанием.

Свойство ассоциативности для произведений и сумм

Свойство ассоциативности означает, что если вы выполняете арифметическую операцию более чем с двумя числами, вы можете связать два числа или заключить их в скобки, не влияя на ответ. Произведения и суммы обладают свойством ассоциативности, а разности и частные — нет.

Например, если произвести арифметическую операцию над числами 12, 4 и 2, то сумма может быть рассчитана как

(12 + 4) + 2 = 18 \text{ или } 12 + (4 + 2) = 18

Пример произведения:

(12 × 4) × 2 = 96 \text{ или } 12 × (4 × 2) = 96

Но для частных

\frac{12 ÷ 4}{2} = 1.5 \text{ while } \frac{12}{4 ÷ 2} = 6

и для разностей

(12 — 4) — 2 = 6 \text{ while } 12 — (4 — 2) = 10

Умножение и сложение обладают ассоциативным свойством, а деление и вычитание — нет.

Операционные тождества — разница и сумма по сравнению с произведением и частным

Если вы выполняете арифметическую операцию над числом и операционным тождеством, число остается неизменным. Все четыре основные арифметические операции тождественны, но не совпадают. Для вычитания и сложения идентичность равна нулю.