Свойства умножения дробей: Мерзляк 6 класс — § 11. Умножение дробей

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Александр Плотников

  10/10

• Roman Tazhinov

  8/10

• Вет Громов

  7/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 221.

А какая ваша оценка?

Свойства умножения. Элементарная математика

Умножение имеет следующие свойства: распределительное, коммутативное, ассоциативное, удаление общего множителя и нейтрального элемента.

Мы посвящаем этот пост изучению свойств умножения, а именно:

• Распределительное свойство: Умножение числа на сумму равно сумме произведений этого числа на каждое из суммы, которые необходимо добавить.

Возьмем, к примеру: 2 x (3 + 5)

Согласно распределительному свойству 2 x (3 + 5) будет равно 2 x 3 + 2 x 5.

Проверим, так ли это .

2 х (3 + 5) = 2 х 8 = 16

2 х 3 + 2 х 5 = 6 + 10 = 16

Оба дают в результате 16, что показывает, что распределительное свойство умножения работает.

• Переместительное свойство: Порядок множителей не меняет произведение.

Рассмотрим на примере свойство коммутативности:

Результат умножения 10 х 3 будет равен умножению 3 х 10. Хотя мы меняем порядок множителей, результат по-прежнему равен 30.

• Ассоциативное свойство: Способ группировки множителей не изменяет результат умножения.

Давайте рассмотрим пример ассоциативного свойства умножения:

В этом случае, как показано на рисунке, мы получим тот же результат, если умножим 3 x 2, а затем умножим результат на 5, как если бы мы умножьте 2 x 5, а затем умножьте результат на 3.

• Удаление общего множителя: Это свойство, обратное распределительному свойству. Если различные слагаемые имеют общий множитель, мы можем преобразовать сумму в произведение, вычитая этот множитель.

Рассмотрим пример удаления общего множителя. Если у нас есть операция (2 х 7) + (3 х 7), которая имеет 7 в качестве общего делителя, мы можем преобразовать эту операцию в 7 х (2 + 3).

Проверим, что удаление общего множителя дает тот же результат:

(2 x 7) + (3 x 7) = 14 + 21 = 35

7 x (2 + 3) = 7 x 5 = 35

Это показывает, что это свойство умножения работает.

• Нейтральный элемент: 1 называется тождеством умножения, потому что каждое число, умноженное само на себя, является одним и тем же числом.

В примере, который мы показываем на изображении, мы видим, что если мы умножаем 5 или 7 на 1, мы получаем в результате 5 или 7. Таким образом, любое число, которое мы умножаем на 1, дает нам, в результате, тот же номер.

Это пять свойств умножения. Если вы хотите узнать больше об элементарной математике, зарегистрируйтесь бесплатно на Smartick.

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

Умножение дробей: определение, виды, примеры

• Автор Мадхурима Дас
• Последнее изменение 25-01-2023

Умножение дробей: Дробь обозначает часть целого. Когда мы делим целое на равные части, то каждая часть называется дробью. Дробь состоит из двух частей: числителя и знаменателя. В повседневной жизни мы используем основные операции с дробями, такие как сложение, вычитание, умножение и деление.

Мы знаем, что умножение известно как повторяющееся сложение. Мы можем умножить дробь на на дробь или на целое число. Есть несколько правил умножения дробей. В этой статье мы подробно изучим их один за другим.

Дробь — это число, представляющее часть целого. Целое может быть одним объектом или несколькими объектами. Дробь записывается как \(\frac{x}{y},\), где \(x\) и \(y\) — целые числа, а \(y≠0.\) Числа, такие как \(\frac{ 1}{4},\фракция{2}{5},\фракция{4}{9},\frac{{11}}{7}\) известны как дроби.

Например: Нарисуйте круг любого подходящего радиуса. Затем разделите круг на четыре равные части (сектора). Каждая равная часть считается как \(\frac{1}{4}.\)

Теперь число под чертой дроби называется знаменателем. Он говорит нам, на сколько равных частей делится целое. Число над чертой называется числителем. Он говорит нам, сколько равных частей взято или учтено. Взгляните на рисунок.

Если четыре части из семи равных частей круга заштрихованы, мы говорим, что четыре седьмых \(\frac{4}{7}\) круга заштрихованы, три седьмых круга не закрашены.

Аналогично, если пять частей из семи равных частей круга закрашены, мы говорим, что пять седьмых \(\frac{5}{7}\) круга закрашены, две седьмые части круга не закрашены.

Типы дробей 

Существуют различные типов дробей . Давайте разберемся с каждым типом.

Правильные дроби

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.   Например, \(\frac{3}{4},\frac{7}{{10}},\frac{1}{4},\frac{3}{7},\) и т. д. все правильные дроби.  

Значение правильной дроби всегда меньше \(1.\)

Неправильные дроби

Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью. Например, \(\frac{7}{4},\frac{{13}}{5},\frac{{11}}{6},\frac{{23}}{7}\) д., все неправильные дроби.

Смешанные дроби

Сочетание целого числа и правильной дроби называется смешанной дробью. Например, \(2\frac{2}{4},6\frac{5}{{10}},5\frac{1}{5},6\frac{2}{{13}} \) и т. д., все смешанные дроби.

Умножение дробей

Умножение известно как повторяющееся сложение. Давайте посмотрим на его графическое изображение.

Дробь \(\frac{2}{3}\) повторяется четыре раза, мы можем записать это дополнение проще как \(4 \times \frac{2}{3}.\)
Дробь можно умножить на целое число или на дробь.

Умножение дроби на целое число

Умножение дроби на целое число означает   умножение целого числа на числитель дроби с сохранением знаменателя . После умножения упростите дробь, если требуется, чтобы получить произведение в простейшей форме.

Например: \(\frac{3}{7} \times 5 = \frac{{15}}{7}\)
Здесь дробь \(\frac{{15}}{7}\) имеет простейшую форму HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

Например: \(\frac{2}{5} \times 10 = \frac{{20}}{5 }\)
Здесь \(\frac{{20}}{5}\) не является простейшей формой, так как HCF числителя и знаменателя не является \(1.\)
ДКФ\((20, 5)=5\)

Теперь мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот ДКФ.
Итак, \(\frac{{20 \div 5}}{{5 \div 5}} = \frac{4}{1} = 4\)
\(\следовательно \frac{2}{5} \ умножить на 10 = 4\)

Умножение дроби на дробь

При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно. Числитель первого умножается на числитель второго, а знаменатель первого умножается на знаменатель второго. Наконец, мы сократим дробь до ее наименьшего члена. Дробь находится в наименьшей форме, если \(1\) является единственным общим множителем между ее числителем и знаменателем.

Умножение правильной дроби на правильную дробь

Давайте научимся умножать правильную дробь на правильную дробь.
Например, \(\frac{2}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{{2 \times 6}}{{3 \times 7}} = \frac{{12} }{{21}}\)

Здесь \(\frac{{12}}{{21}}\) не является простейшей формой, так как HCF числителя и знаменателя не равен 1.
HCF\ ((12, 21)=3\)
Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
Таким образом, \(\frac{{12 \div 3}}{{21 \div 3}} = \frac{4}{7}\)
\(\frac{2}{3} \times \frac{ 6}{7} = \frac{4}{7}\)

Умножение правильной дроби на неправильную

Изучим умножение правильной дроби на неправильную.
Например, \(\frac{4}{5} \times \frac{{15}}{8}\)
Здесь \(\frac{4}{5}\) — правильная дробь и \( \frac{{15}}{8}\) — неправильная дробь.
\( = \frac{{4 \times 15}}{{5 \times 8}} = \frac{{60}}{{40}}\)

Здесь \(\frac{{60}}{{40}}\) не является простейшей формой, так как HCF числителя и знаменателя не является \(1.\)
HCF\((60, 40)=20\)
Теперь мы можем сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на этот HCF.
Таким образом, \(\frac{{60 \div 20}}{{40 \div 20}} = \frac{3}{2}\)
Итак, \(\frac{4}{5} \times \ frac{{15}}{8} = \frac{3}{2}\)

Умножение неправильной дроби на неправильную дробь

Например, \(\frac{5}{3} \times \frac {{12}}{7}\)
Теперь, перемножая имеющиеся числители и знаменатели, получаем
\(\frac{{5 \times 12}}{{3 \times 7}} = \frac{{60}}{{21}}\) Здесь, \(\frac{{60}}{{21}}\) не является простейшей формой, так как HCF числителя и знаменателя не равен 1.
HCF\((60, 21)=3\)
Таким образом , \(\frac{{60 \div 3}}{{21 \div 3}} = \frac{{20}}{7}\)
Итак, \(\frac{5}{3} \times \ frac{{12}}{7} = \frac{{20}}{7}\)

Умножение смешанной дроби на неправильную дробь

Если смешанная дробь и неправильная дробь умножаются друг на друга, нам нужно преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь.
Например, \(2\frac{3}{7} \times \frac{{14}}{3}\)
Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
\(2\frac{3}{7} = \frac{{2 \times 7 + 3}}{7} = \frac{{14 + 3}}{7} = \frac{{17}}{ 7}\)

Теперь, умножая числители и знаменатели обеих дробей, мы получаем
\(\frac{{17}}{7} \times \frac{{14}}{3} = \frac{ {17 \times 14}}{{7 \times 3}} = \frac{{238}}{{21}}\)

Здесь \(\frac{{238}}{{21}}\) не в самом простом виде.

ХКФ\((238, 21)=7\)
Таким образом, \(\frac{{238 \div 7}}{{21 \div 7}} = \frac{{34}}{3}\)
\(2\frac{3}{7} \times \frac{{14}}{3} = \frac{{34}}{3}\)

Умножение смешанной дроби на правильную дробь

Давайте возьмем пример и посмотрим, как мы умножаем смешанную дробь и правильная дробь.
\(3\frac{2}{5} \times \frac{5}{8}\)
Преобразуем смешанную дробь в неправильную дробь.
\(3\frac{2}{5} = \frac{{17}}{5}\)
Теперь, умножая числители и знаменатели обеих дробей, мы получаем
\(\frac{{17 \times 5}}{{5 \times 8}} = \frac{{85}}{{40}}\)
Здесь, \(\frac{{85}}{{ 40}}\) не в простейшей форме.
HCF\((85, 40)=5\)
Таким образом, \(\frac{{85 \div 5}}{{40 \div 5}} = \frac{{17}}{8}\)
Итак, \(3\frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{{17}}{8}\)

Умножение смешанной дроби на смешанную дробь

До Делая умножение двух смешанных дробей, нам нужно преобразовать их в неправильную дробь.
Пример: \(1\frac{2}{5} \times 2\frac{2}{3}\)
Преобразуем смешанную дробь в неправильную.
\(1\frac{2}{5} = \frac{{1 \times 5 + 2}}{5} = \frac{7}{5}\)
\(2\frac{2}{3) } = \frac{{2 \times 3 + 2}}{3} = \frac{8}{3}\) Теперь, умножив числители и знаменатели обеих дробей, мы получим
\(\frac{{ 7 \times 8}}{{5 \times 3}} = \frac{{56}}{{15}}\)
Здесь дробь \(\frac{{56}}{{15}}\) имеет простейшую форму HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

Умножение дроби с использованием оператора ‘of’

Слово «из» означает умножение   .

Например, \(\frac{2}{6}\) из \(12\) тортов означает \(4\) тортов, т.е. \(\frac{2}{6} \times 12 = 4. \)

Свойства умножения дробей

1. Если ненулевую дробь умножить на \(1\), результатом будет само дробное число.

Пример: \(\frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}\)

2. Если ноль умножается на ненулевую дробь, результат равен нулю.

Пример: \(\frac{3}{8} \times 1 = \frac{3}{8}\)

3. Произведение дроби на обратную всегда равно \(1.\)

Пример: \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{{2 \times 5}}{{5 \times 2}} = \frac{{10}}{{10}} = 1\) (обратная величина \(\frac{2}{5}\) равна \(\frac {5}{2}\))

Решаемые примеры – умножение дробей

Q.1. Решите \(\frac{2}{3} \times \frac{9}{{10}}.\)
Ответ: Учитывая \(\frac{2}{3} \times \frac {9}{{10}}\)
\( = \frac{{2 \times 9}}{{3 \times 10}} = \frac{{18}}{{30}}\)
HCF\((18, 30)=6\)
Итак, \(\frac{{18 \div 6}}{{30 \div 6}} = \frac{3}{5}\)
\(\поэтому \frac{2}{3} \times \frac{9}{{10}} = \frac {3}{5}\)

Q. 2. Упростить \(5\left( {\frac{8}{{11}} \times \frac{{22}}{5}} \right).\)
Ответ: Дано, \( 5 \ влево ( {\ гидроразрыва {8} {{11}} \ раз \ гидроразрыва {{22}} {5}} \ справа) \)
\ ( = 5 \ раз \ влево ( {\ гидроразрыва {8} { {11}} \times \frac{{22}}{5}} \right)\)
\( = 5 \times \left( {\frac{8}{1} \times \frac{2}{5 }} \справа)\)
\( = 5 \times \frac{{16}}{5}\)
\( = 16\)
\(\следовательно 5\left( {\frac{8}{{11}} \times \frac {{22}}{5}} \справа) = 16\)

Q.3. Чтобы испечь пирог, необходимо \(1\frac{1}{2}\) стаканов муки. Сколько стаканов муки нужно для выпечки \(6\) пирожных?
Ответ: Учитывая, что для выпечки торта требуется \(1\frac{1}{2}\) чашек муки.
Количество стаканов муки, необходимое для выпечки \(1\) пирога\( = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
Итак, количество чашек муки, необходимых для выпечки \(6\) пирогов\( = \frac{3}{2} \times 6 = 9\) чашек

Q. 2}\)

Q.5. В классе \(20\) учеников, из них \(\frac{1}{4}\) мальчиков. Узнать количество мальчиков в классе?
Ответ: Учитывая, что в классе \(20\) учеников, и \(\frac{1}{4}\) из них мальчики.
Здесь нам нужно найти \(\frac{1}{4}\) из \(20\), что означает \(\frac{1}{4} \times 20 = 5\)
Следовательно, количество мальчиков в классе 5.

Резюме

В этой статье мы рассмотрели определение и типы дробей, умножение дроби на целое число, умножение различных типов дробей и т. д.

Часто задаваемые вопросы по умножению дробей

Q.1. Как умножить смешанные дроби?
Ответ: Перед умножением двух смешанных дробей нам нужно преобразовать их в неправильную дробь.
Пример: \(1\frac{1}{5} \times 5\frac{2}{3}\)
Преобразуем смешанную дробь в неправильную.
\(1\frac{1}{5} = \frac{6}{5},5\frac{2}{3} = \frac{{17}}{3}\) Теперь, умножая числители и знаменатели обеих дробей у нас есть,
\(\frac{{6 \times 17}}{{5 \times 3}} = \frac{{102}}{{15}}\)
Здесь дробь \(\frac{{102}}{{15}}\) не является простейшей формой HCF числителя, а знаменатель равен \(3. \)
. Теперь мы можем уменьшить дробь, разделив числитель и знаменатель с этим HCF.
Итак, \(\frac{{102 \div 3}}{{15 \div 3}} = \frac{{34}}{5}\).
\(\следовательно 1\frac{1}{5} \times 5\frac{2}{3} = \frac{{34}}{5}\)

Q.2. Как умножить дробь на целое число?
Ответ: Умножение дроби на целое число означает умножение целого числа на числитель дроби с сохранением знаменателя. После умножения упростите дробь, если требуется, чтобы получить произведение в простейшей форме.
Например: \(\frac{3}{7} \times 6 = \frac{{18}}{7}\)
Здесь дробь \(\frac{{18}}{7}\) равна в своей простейшей форме как HCF числителя, а знаменатель равен \(1.\)

Q.3. Как умножить дробь на дробь?
Ответ: При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно. Числитель первого умножается на числитель второго. Затем знаменатель первого умножается на знаменатель второго. Наконец, мы сократим дробь в ее наименьшем члене.
Например, \(\frac{2}{3} \times \frac{1}{7} = \frac{{2 \times 1}}{{3 \times 7}} = \frac{2}{ {21}}\)

Q.4. Что мы получим в результате умножения дроби на обратную ей?
Ответ: Если мы умножим дробь на обратную, в результате получится \(1\).
Возьмем дробь \(\frac{3}{4}.\)
Обратное число \(\frac{3}{4}\) равно \(\frac{4}{3}.\)
Теперь произведение \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{4}{3} = \frac{3}{4} \times \frac{4}{3} = 1\)

Q.5 Что мы получим в результате, если умножим дробь на \(1\) ?
Ответ: Если ненулевую дробь умножить на \(1\), результатом будет само дробное число.
Пример: \(\frac{5}{8} \times 1 = \frac{5}{8}\)

Некоторые другие полезные статьи Embibe приведены ниже:

Мы надеемся, что эта статья об умножении дробей придало большое значение вашим знаниям.