Умножение дробями: Умножение обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Чем отличаются эти две проблемы? Нарисуйте изображение каждого.

1. У Пэм в холодильнике был торт, и она его съела. Сколько всего торта она съела?
2. В понедельник Пэм съела торт. Во вторник Пэм съела торт. Оба торта были одинакового размера. Сколько всего торта она съела?

Когда задача включает в себя такую ​​фразу, как «из…», учащихся учат рассматривать «из» как умножение и использовать это для решения задачи. Как показывают приведенные выше проблемы, в некоторых случаях это имеет смысл, а в некоторых нет. Важно внимательно читать и понимать, о чем задача, а не запоминать правила «перевода» текстовых задач.

Вы, вероятно, упростили свою работу в приведенных выше упражнениях, используя правило умножения, подобное следующему.

Умножение дробей

Конечно, вы можете затем упростить окончательный ответ, но ответ всегда будет

Во-первых, давайте четко запишем, как модель площади говорит умножать . Мы хотим построить прямоугольник, у которого одна сторона имеет длину, а другая сторона имеет длину. Начинаем с квадрата, по одной единице с каждой стороны.

• Разделите верхний сегмент на части одинакового размера. Тень этих частей. (Это будет сторона прямоугольника длиной .)
• Разделите левый сегмент на равные части. Тень этих частей. (Это будет сторона прямоугольника длиной .)
• Разделите весь прямоугольник по отметкам на сторонах, сделав прямоугольники одинакового размера.
• Закрасьте прямоугольник, ограниченный заштрихованными сегментами.

Если ответ , значит, в квадрате всего одинаковых фигур, и одна из них заштрихована. Мы можем видеть из модели, почему это так:

• Верхний сегмент был разделен на части одинакового размера. Итак, в прямоугольнике есть столбцы.
• Боковой сегмент был разделен на части одинакового размера. Итак, в прямоугольнике есть ряды.
• Прямоугольник со столбцами и строками состоит из частей. (Модель площади для умножения целых чисел!)

Подумай / Соедини / Поделись

Придерживайтесь общего правила умножения

Напишите четкое объяснение, почему маленькие прямоугольники будут заштрихованы.

Часто учеников начальной школы учат умножать дроби на целые числа, используя правило дробей.

Пример: умножение дробей

Например, чтобы умножить , мы думаем о «2» как , и вычисляем таким образом

Мы также можем думать в терминах нашей оригинальной модели «Пироги на ребенка», чтобы ответить на подобные вопросы.

Пример: пирогов на ребенка

Мы знаем, что это означает, сколько пирогов получит каждый ребенок, если 7 детей поровну поделят 3 пирога .

Если мы подсчитаем, это означает, что мы удвоим количество пирога, которое получит каждый ребенок. Мы можем сделать это, удвоив количество пирогов. Таким образом, ответ будет таким же, как: количество пирога, которое получит каждый ребенок, если 7 детей поровну поделят 6 пирогов.

Наконец, мы можем мыслить с точки зрения единиц и объединения.

Пример: Единицы

Дробь означает, что у меня есть 7 равных частей (из что-то ), и я беру 3 из них.

То есть сделать это дважды. Если я возьму 3 штуки, а потом еще 3 штуки, то в сумме получится 6 штук. Всего осталось 7 равных частей, поэтому ответ равен .

Подумай / Соедини / Поделись

1. Используйте все три метода, чтобы объяснить, как найти каждый продукт:

      

2. Сравните эти разные способы умножения дробей. Какие из них более естественны для вас? Один имеет больше смысла, чем другие? Влияют ли конкретные числа в задаче на ваш ответ? Ваш партнер согласен?

Рой говорит, что правило дроби

 – это «очевидно», если вы мыслите с точки зрения умножения дробей. Он рассуждает следующим образом:

Мы знаем, что умножение чего-либо на 1 не меняет числа:

Итак, в общем,

Теперь , значит,

что означает

По тем же соображениям  , значит,

что означает

Подумай / Соедини / Поделись

Что вы думаете о рассуждениях Роя? Имеет ли это смысл? Как бы Рой объяснил общее правило для положительных целых чисел:

Умножение дробей | Магазин развивающей математики

Результаты обучения

• Умножение двух или более дробей
• Умножить дробь на целое число

Модель может помочь вам понять умножение дробей. Мы будем использовать дробные плитки для моделирования [латекс]\большой\фрак{1}{2}\cdot \фрак{3}{4}[/латекс]. Чтобы умножить [латекс]\большой\фракция{1}{2}[/латекс] и [латекс]\большой\фракция{3}{4}[/латекс], подумайте [латекс]\большой\фракция{1}{ 2}[/latex] из [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex].
Начните с тайлов дробей на три четверти. Чтобы найти половину от трех четвертей, нам нужно разделить их на две равные группы. Поскольку мы не можем разделить три плитки [latex]\Large\frac{1}{4}[/latex] поровну на две части, мы обмениваем их на плитки меньшего размера.

Мы видим, что [latex]\Large\frac{6}{8}[/latex] эквивалентен [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex]. Взяв половину из шести плиток [latex]\Large\frac{1}{8}[/latex], мы получим три плитки [latex]\Large\frac{1}{8}[/latex], то есть [латекс] \Large\frac{3}{8}[/latex].

Следовательно,

[латекс]\Large\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}[/latex]

Пример

Используйте диаграмму к модели [латекс]\Большой\фрак{1}{2}\cdot \фрак{3}{4}[/латекс]

Решение:
Первый оттенок в [латекс]\Большой\фрак{3}{4} [/latex] прямоугольника.

Мы возьмем [латекс]\Large\frac{1}{2}[/latex] этого [латекса]\Large\frac{3}{4}[/latex], поэтому мы сильно заштрихуем [латекс] \Large\frac{1}{2}[/latex] заштрихованной области.

Обратите внимание, что [латекс]3[/латекс] из [латекс]8[/латекс] сильно затенены. Это означает, что [latex]\Large\frac{3}{8}[/latex] прямоугольника сильно затенены.
Следовательно, [latex]\Large\frac{1}{2}[/latex] из [latex]\Large\frac{3}{4}[/latex] равно [latex]\Large\frac{3}{ 8}[/латекс] или [латекс]{\крупный\гидроразрыв{1}{2}\cdot \гидроразрыв{3}{4}}={\крупный\гидроразрыв{3}{8}}[/латекс] .

Посмотрите на результат, который мы получили от модели в примере выше. Мы обнаружили, что [latex]\Large\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}[/latex]. Вы заметили, что мы могли бы получить один и тот же ответ, перемножив числители и умножив знаменатели?

	[латекс]\Большой\фракция{1}{2}\cdot \фракция{3}{4}[/латекс]
Умножьте числители и умножьте знаменатели.	[латекс]\Большой\фракция{1}{2}\cdot \фракция{3}{4}[/латекс]
Упрощение.	[латекс]\большой\фрак{3}{8}[/латекс]

Это приводит к определению дробного умножения. Чтобы умножить дроби, мы умножаем числители и умножаем знаменатели. Затем запишем дробь в упрощенной форме.

Умножение дробей

Если [latex]a,b,c,\text{ и }d[/latex] являются числами, где [latex]b\ne 0\text{ и }d\ne 0[/latex], затем

[latex]\Large\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}[/latex]

Пример

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: [latex]\Large\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{5}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Чтобы умножить более двух дробей, у нас есть аналогичное определение. Мы по-прежнему умножаем числители и умножаем знаменатели. Затем запишем дробь в упрощенной форме.

Умножение более двух дробей

Если [latex]a,b,c,d,e \text{ и }f[/latex] числа, где [latex]b\ne 0,d\ne 0\text{ и }f\ne 0[/latex], затем

[латекс]\Large\frac{a}{b}\cdot\Large\frac{c}{d}\cdot\Large\frac{e}{f }=\Large\frac{a\cdot c\cdot e}{b\cdot d\cdot f}[/latex]

Подумай об этом

Умножить [латекс]\Large\frac{2}{3 }\cdot\Large\frac{1}{4}\cdot\Large\frac{3}{5}[/latex]. Упростите ответ.

Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы умножили три дроби.

Показать решение

При умножении дробей сохраняются свойства положительных и отрицательных чисел. В качестве первого шага рекомендуется определить знак произведения. В следующем примере мы умножим два отрицательных значения, поэтому произведение будет положительным.

Пример

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: [латекс]\большой-\frac{5}{8}\left(-\frac{2}{3}\right)[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Пример

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме: [latex]\Large-\frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

В следующем видео показан еще один пример умножения отрицательных дробей.

При умножении дроби на целое число может быть полезно записать целое число в виде дроби. Любое целое число, [латекс]а[/латекс], может быть записано как [латекс]\большой\фрак{а}{1}[/латекс]. Например, [latex]3=\Large\frac{3}{1}[/latex].

пример

Умножьте и запишите ответ в упрощенной форме:

1. [латекс]\Large{\frac{1}{7}}\normalsize\cdot 56[/latex]
2. [латекс]\Large{\frac{12}{5}}\normalsize\left(-20x\right)[/latex]

Показать раствор

Попробуйте

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров умножения дроби и целого числа.