Умножение на умножение в скобках: как перемножить две, три, примеры

Содержание

как перемножить две, три, примеры

Содержание:

Как умножать выражения в скобках
Как вынести общий множитель за скобки
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Содержание

Как умножать выражения в скобках
Как вынести общий множитель за скобки
Примеры вынесения общего множителя за скобки

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Как умножать выражения в скобках

Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем. 2\end{array}.\)

Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.

Как вынести общий множитель за скобки

Общий множитель — наибольший общий делитель.

Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.

Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:

Формула

\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.

Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:

Найти для каждого коэффициента делители.
Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.

Вынести этот делитель за скобки.
Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.

В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.

Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:

Пример 1

\(5\times{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}+{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}\times8={\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathbf3}(5+8)\).

В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме

общего множителя.

Дано числовое выражение \(5\ast2-4\ast2+2\ast3\). Это сумма трех слагаемых.

Есть общий множитель 2. По правилу получают: \(2\ast(5-4+3)\).

Полная запись решения: \(5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)\).

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Пример 2

Вынести общий множитель: \(abc-ab\).

Алгоритм:

Раскладываем каждый одночлен на множители:

\(abc=a\times b\times c; ab=a\times b\).

Находим одинаковые множители: \( abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b\).
Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение:\( \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c}{\boldsymbol a\boldsymbol b}+\frac{\boldsymbol a\times\boldsymbol b}{\boldsymbol a\boldsymbol b}). {\mathit2}.\)
Пример 7
Решите уравнение: \(3(x-4x)=0\).
Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.
Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.
Объяснение решения.
1. Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.
\(\begin{array}{l}3(x-4x)=0\\3\ast x-3\ast4x=0\\\end{array}.\)
1. Перемножаем:\( \begin{array}{l}3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end{array}.\)
2. В выражении есть подобные слагаемые\( ‒ 3x и (-12x)\).
3. Упрощаем:\( \begin{array}{l}3x-12x=0\\-9x=0\\\end{array}.\)
4. Осталось найти икс:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

\(\begin{array}{l}x=0\div(-9)\\x=0\end{array}.\)
1. Выполняем проверку. Для этого найденное значение подставляем в исходное выражение и сравниваем правую и левую части: \(\begin{array}{l}3(0-4\ast0)=0\\0=0\end{array}. \)
2. Получаем верное равенство, значит, \(x=0\) — корень уравнения.
3. Записываем ответ: 0.
Насколько полезной была для вас статья?
У этой статьи пока нет оценок.

Поиск по содержимому

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения
Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.
Что называется раскрытием скобок?
Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2·(3+4) на выражение вида

2·3+2·4без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.
Определение 1
Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:
- знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
- произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.
Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.
Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b) будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .
Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.
Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например,
5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1.
Правила раскрытия скобок, примеры
Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.
У одиночных чисел в скобках
Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.
Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.
Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.
Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a, −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.
Приведем примеры: (−5) можно записать как −5, (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5, 4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.
Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.
Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.
Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b) — это разность a−b.
Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.
Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.
Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.
К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.
В произведениях двух чисел
Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.
Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.
Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2
На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.
Раскроем скобки в выражении -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.
Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: −3·2.
23·-45=-23·45=-23·45
Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: (−5):2=(−5:2)=−5:2 и 234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.
-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3
и
sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2
В произведениях трех и большего количества чисел
Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.
Пример 2
Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.
В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1) пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.
Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.
Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные −1, в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1, а нечетного – равно −1, что позволяет нам использовать знак минус.
Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:
-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76
Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение
x2·(-x):(-1x)·x-3:2.
Его можно привести к выражению без скобок x2·x:1x·x-3:2 .
Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»
Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.
Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.
Пример 3
Для примера приведем выражение (12−3,5)−7. Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.
Пример 4
Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x
Вот еще один пример раскрытия скобок:
Пример 5
2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2
Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус
Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-», скобки со знаком «-» опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
Пример 6
К примеру:
—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2
Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:
—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,
получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.
Пример 7
Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2. Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: (3−7)·2=(3·2−7·2). Получаем 3·2−7·2.
Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем 3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.
Умножение скобки на скобку
Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.
Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку: a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2
Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.
Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.
Формула будет иметь вид:
(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn
Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6
Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).
Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))
Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.
Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений
При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).
В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).
В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).
Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.
Скобка в натуральной степени
Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.
Рассмотрим процесс преобразования выражения (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c). Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.
Разберем еще один пример:
Пример 8
1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2
Деление скобки на число и скобки на скобку
Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .
Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.
Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.
Вот еще один пример деления на скобку:
Пример 9
1x+x+1:(x+2) .
Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.
Выполним умножение: 1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.
Порядок раскрытия скобок
Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.
Порядок выполнения действий:
- первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
- на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
- заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.
Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.
Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.
MadMath: Умножение в скобках?
Являются ли скобки умножением? Мои студенты, изучающие коррекционную алгебру, почти всегда ответят «да» на этот вопрос; Я думаю, их нужно учить этому явно на других курсах. Я чертовски уверен, что ответ «нет», и я пытаюсь выбить из них это в первый день занятий.
Даже профессиональные исследователи, изучающие распространенные ошибки в алгебраическом образовании, склонны отвечать «да» на этот вопрос, например:
Неправильные представления: использование скобок. Изучающие алгебру, начинающие изучать алгебру, как правило, не знают, что скобки могут использоваться для обозначения группировки двух терминов (в аддитивной ситуации) и в качестве мультипликативного оператора Подготовка к алгебре», слайд 7; ссылки Линчевский, 1995; ссылка]
Но являются ли скобки мультипликативным оператором? Кажется очевидным, что ответ «нет». Теперь ясно, что все следующее является умножением 9, между и и b будет что-то другое; но учитывая, что умножение, вероятно, является наиболее распространенной операцией, мы читаем отсутствие письменного оператора, указывающего на умножение. 2»: «Да или нет, есть ли какая-то работа внутри скобок?» В первый день занятий по алгебре почти весь класс ответит на это «да» (и захочет умножить), после чего я объясняю, что ответ на самом деле «нет». Если нет упрощения внутри круглых скобок , то первой частью фактической работы будет применение операции экспоненты. И это все, что означают скобки. (Здесь, конечно, есть умножение — не из-за круглых скобок, а из-за поставленных рядом 3, и оно должно происходить после оператора возведения в степень.) Большинство учеников поймут это позже, но не все — — некоторая часть класса будет продолжать говорить «да» и будет сбита с толку этим конкретным вопросом в течение всего семестра. (Еще один пример: по этой и другим причинам некоторые учащиеся склонны оценивать что-то вроде «(5)-2 = -10».)
Находится ли множитель рядом с чем-то в круглых скобках или нет, не имеет значения для умножения; круглые скобки — это отдельная и отдельная проблема. Что скажешь? Вы когда-нибудь говорили, что скобки на самом деле означают умножение?
Что такое скобки? Определение, правила, примеры
Что такое скобки?
Скобки или «круглые скобки» — это знакомые ( ) символы, которые используются парами для группировки элементов или указания порядка операций в уравнении.
В математике вам часто придется использовать скобки при составлении или решении уравнений. Они помогают группировать числа и определять порядок операций. В таких случаях используются три типа скобок:
- круглые скобки или ( )
- квадратные скобки или квадратные скобки или [ ]
- фигурные скобки или угловые скобки или { }
скобки всегда идут парами, и если есть открывающая скобка, должна быть закрывающая скобка. Открывающие скобки: (, [ и {. Соответствующие им закрывающие скобки: ), ] и }.
В этой статье мы изучим правила использования скобок в математике.
Как использовать скобки в математике?
В математике вы можете использовать скобки для разделения чисел. Например, вы можете использовать их для упоминания отрицательных чисел при написании уравнения сложения.
Вот пример, чтобы лучше понять это:
3 + (-5) = -2
Второй способ использования скобок в математике — умножение чисел. Если в уравнении нет арифметической операции, наличие скобок означает, что вы должны применить умножение.
Разберем это на примере:
6 (4 + 2)
можно записать как 6 х (4 + 2)
Следовательно, ответ 6 х 6 = 36.
Третий и последний скобки в математике используются для группировки чисел и определения порядка операций.
Порядок операций
Скобки изменяют порядок операций.
Вот порядок, которому вы можете следовать, когда в уравнении присутствует несколько символов:
Если вы столкнетесь со скобками в уравнении, вы сначала посмотрите на термины, присутствующие в них.
Давайте лучше разберемся на примере.
Возьмем задачу: 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7
Давайте решим ее, используя изученный вами порядок операций.
= 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7
= 9 – 2 – 3 x 2 + 7 (сначала делим)
= 9 – 2 – 6 + 7 (затем умножаем)
= 7 – 6 + 7 (Затем вычесть)
= 1 + 7 (Затем вычесть)
= 8 (И, наконец, добавить)
Теперь давайте рассмотрим ту же задачу со скобками:
9 – 10 ÷ (5 – 3) x 2 + 7
Сначала нужно вычислить числа в скобках.
= 9 – 10 ÷ 2 x 2 + 7 (Решите выражение в скобках)
= 9 – 5 x 2 + 7 (Деление)
= 9 – 10 + 7 (Умножение)
= –1 + 7 (Добавить)
= 6
Вы заметили? Ответ на то же уравнение изменился, потому что в уравнении присутствовали круглые скобки!
Обратите внимание: если внутри других скобок есть скобки, сначала нужно решить внутреннее выражение.
Давайте разберем это на примере:
Упростим выражение (2 + (3 x 4))
Здесь мы сначала решим внутреннюю скобку.
Таким образом, выражение примет вид (2 + 12) = 14
Решенные примеры
Пример 1: Упростим выражение: (2 + 4 x 6) – 4 + (2 x 3)
Решение . Начните с решения выражений в скобках.
= (2 + 24) – 4 + 6 (умножить в скобках)
= 26 – 4 + 6 (Решите члены в скобках)
= 22 + 6 (Добавить)
= 28
Пример 2: Упростите выражение: ( 2 x (7 – 5)) – ((6 ÷ 3) + 4)
Начните с решения самых внутренних скобок
= (2 x 2) – (2 + 4)
= 4 – 6
= –2
8 Пример
8 3: Упростите выражение: 2 (3 + 5) + 8 (4 – 1)
Сначала решите выражения в скобках.
Здесь скобки также обозначают знак умножения.
= 2 x 8 + 8 x 3
= 16 + 24
= 40
Практические задачи
1
Упростим выражение: (3 + 4 x 8)
45
50
24
40
Правильный ответ: 50
Мы знаем, что уравнение в скобках решается первым.
Итак, 19 — 4 + 35 = 50
2
Упростим выражение: ( 4 x (6 – 2)) – ((8 ÷ 2) + 5 )
7
2
17
10
Правильный ответ: 7
Мы знаем, что сначала решается уравнение в скобках.
Итак, (4 x 4) – (4 + 5)
16 – 9 = 7
3
Упростим выражение: 4 (3 + 2) + 4 (7 – 2)
10
50
3
3 20
40
Правильный ответ: 40
Мы знаем, что скобки также обозначают умножение.
Итак, 4 х 5 + 4 х 5
20 + 20 = 40
Часто задаваемые вопросы
Что такое скобки в математике?
Скобки используются для группировки чисел или переменных в математике.