Умножение произведение а деление это: Умножение и деление натуральных чисел

3. Умножение и деление натуральных чисел

п1. Умножение натуральных чисел и его свойства

Умножить число m на натуральное число n  — значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Свойства умножения: 

1. Переместительное свойство умножения: Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей: a · b = b · а
2. Сочетательное свойство умножения: Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель: a · (b · с) = (а · b) · c.
3. Свойство умножения на единицу: Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n: 1 · n = n.
4. Свойство умножения на ноль : Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю: 0 · n = 0.

Знак умножения можно опускать: 8 · х = 8х, или а · b = ab, или a · (b + с) = a(b + с)

п2. Деление

Действие, по которому по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. 

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, называют делителем, результат деления называют частным.

Частное показывает, во сколько раз делимое больше, чем делитель.

На нуль делить нельзя!

Свойства деления: 

1. При делении любого числа на 1 получается это же число: а : 1 = а.
2. При делении числа на это же число, получается единица: а : а = 1.
3. При делении нуля на число получается нуль: 0 : а = 0.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделит на другой множитель.

5х = 45 х  = 45 : 5 х = 9 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.  х : 15 = 3 х = 3 · 15 х = 45

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

48 : х = 4 х = 48 : 4

х = 12

п3. Деление с остатком

Остаток всегда меньше делителя.

Здесь число 23 – делимое, 4 – делитель, 5 – неполное частное и 3 – остаток.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе, нацело.

Чтобы найти делимое a при делении с остатком, надо умножить неполное частное  с на делитель b и к полученному произведению прибавить остаток d.  а = с · b + d

п4. Упрощение выражений

Свойства умножения:

1. Распределительное свойство    умножения относительно      сложения: Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения: (а + b)с = ас + bc.
2. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе: (а — b)с = ас — bc.

3а + 7а = (3 + 7)а = 10а

Решить уравнение: 

3у + 7у + 25 = 85

(3 + 7)у + 25 = 85

10у + 25 = 85

10у  = 85 – 25

10у = 60

у = 60 : 10

у = 6

п5. Порядок выполнения действий

Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел – действиями второй ступени.

Правила порядка выполнения действий:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Каждое выражение задает программу своего вычисления. Она состоит из команд.

 

п6. Квадрат и куб

Произведение, в котором все множители равны друг другу, записывают короче: 

а · а · а · а · а · а = а⁶

Читают: а в шестой степени. Число а называют основанием степени, число 6 – показателем степени, а выражение  а⁶ — называют степенью.

Произведение n и n называют квадратом числа n и обозначают n² (эн в квадрате):  n² = n · n

Таблица квадратов:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100

 

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
n2	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400
Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (эн в кубе):  n3 = n · n · n Таблица кубов:
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

 

Первая степень числа равна самому числу.

Если в числовое выражение входят степени чисел, то их значения вычисляют до выполнения остальных действий.

§ Свойства умножения и деления

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

Свойства умножения

Переместительное свойство умножения

Запомните!

От перестановки множителей произведение не меняется.

a · b = b · a

Сочетательное свойство умножения

Запомните!

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

a · (b · c) = (a · b) · c

Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют сформулировать правило преобразования произведений.

Запомните!

При умножении нескольких чисел, их можно как угодно переставлять и объединять в группы.

Свойство нуля при умножении

Запомните!

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

a · 0 = 0

0 · a · b · c = 0

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Запомните!

Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

(a + b) · c = a · c + b · c

Это свойство справедливо для любого количества слагаемых.

(a + b + с + d) · k = a · k + b · k + c · k + d · k

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Запомните!

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

В буквенном виде свойство записывается так:

(a − b) · c = a · c − b · c

Запомните!

Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Свойства деления

• Ни одно число нельзя делить на ноль.
• При делении нуля на число получается ноль.

  0 : a = 0

• При делении любого числа на 1 получается это же число.

  b : 1 = b

Запомните!

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

a : b = (a · k) : (b · k)

, где «k» — любое натуральное число.

Обратите внимание, что именно свойство деления выше позволяет нам сокращать дроби.

Использование всех рассмотренных выше свойств позволяет нам выполнять упрощение выражений.

Свойства сложения и вычитания Свойства умножения и деления

Продукт / Несколько / Фактор

Поиск на моем сайте:

Поделись этой страницей!

Произведение, множитель и множитель — это термины, относящиеся к умножению и делению.

Важно понимать, что означают эти математические термины.

Произведение и кратное

Когда мы умножаем 2 числа, ответ называется произведением.

Вопрос «Найди произведение 4 и 5» означает «Найди ответ на 4 х 5».

Произведение также называется кратным каждого из двух чисел, обозначающих этот продукт.

Некоторые примеры:

4 x 5 = 20.
Следовательно, 20 кратно 4.
И 20 также кратно 5.

3 x 6 = 18
Следовательно, 18 кратно 3
И 18 также кратно 6.

Когда мы составляем список всех кратных числа, мы получаем таблицу умножения или таблицу умножения этого числа. Вот первые четыре множителя таблицы умножения на 5:

1 х 5 = 5
2 х 5 = 10
3 х 5 = 15
4 х 5 = 20

Можно продолжать бесконечно. Когда мы думаем об умножении, мы обычно думаем о таблицах умножения. Очень полезно запомнить первые десять или двенадцать кратных
таблиц умножения.

Вот таблица таблиц умножения, которую должен заполнить ваш ребенок. Распечатайте столько копий, сколько вам нужно.

Вопрос «35 кратно 7?» означает «35 является одним из ответов в таблице умножения на 7?» или «Можно ли умножить 7 на любое число, чтобы получить ответ 35?»

Обращаясь к таблицам умножения на 4 и 5, когда мы смотрим на 4 x 5 = 20, мы видим, что:

20 кратно 5 в четвертой степени.
20 кратно 4 в пятой степени.

вопрос «Чему шестое число кратно 8?» означает «Каково произведение 6 и 8?»

Содержание

Игра на умножение

После того, как ваш ребенок выучит таблицу умножения, поиграйте в эту семейную игру. каждый день для большей практики. Распечатайте и вырежьте числа из этой таблицы чисел 1-100.

Поместите числа в середину таблицы. Назовите номер. Все должны спешить, чтобы выбрать только кратные этому числу. Например, если вы называете «8», все должны выбрать только числа, кратные 8: 8, 16, 24. .. и так далее.

Или вы можете вызвать «Третий кратный 6». Очко получает тот, кто выберет 18.

Щелкните здесь, чтобы просмотреть список кратных номеров для удобства поиска.

Обычное кратное

Мы можем сравнить кратные 2 или более чисел и посмотреть, какое кратное встречается в обоих числах.

Найдем несколько чисел, кратных 3 и 5.
Число, кратное 3 = 3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30 …
Число, кратное 5 = 5, 10 , 15 , 20, 25, 30 , 35 ….

Общие кратные 3 и 5 равны 15, 30 и так далее. Наименьшее общее кратное (или НОК) равно 15. Это первое кратное, встречающееся в обоих числах.

Щелкните здесь, чтобы просмотреть список кратных номеров для удобства поиска.

Факторы

Множитель является обратным множителю и произведению. Факторы говорят нам о делимости. Если 4 является коэффициентом 32, это означает, что 32 можно разделить на 4 без остатка.

Примеры:

20 ÷ 4 = 5
20 ÷ 5 = 4

Мы говорим, что 4 и 5 являются делителями 20, потому что 20 можно разделить на 4 и 5 (без остатка).

Вопрос «Является ли 3 фактором 20?» означает «Можно ли 20 разделить на 3?»
Если ответ «Да», то 3 является коэффициентом 20. Если ответ «Нет», то 3 не является коэффициентом 20.

Когда мы знаем Таблицы умножения, мы также можем знать кратные и множители чисел.

Это один из способов составить список множителей числа:

множители 20:
1 x 20 = 20
2 x 10 = 20
4 x 5 = 20

множители 20 равны 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Общие множители

Мы можем сравнить множители 2 или более чисел, чтобы увидеть, какие множители встречаются в обоих числах.

Найдем несколько общих множителей в числах 12 и 20.

Коэффициенты 12
1 x 12 = 12
2 x 6 = 12
3 x 4 = 12

Коэффициенты 20:
1 x 20 = 20
2 x 10 = 20
4 x 90 множители 12 = 1 , 2 , 3, 4 , 6, 12
Факторы 20 = 1 , 2 , 4 , 5, 10, 20

Общие факторы 12 и 203 = 1, 2, 4
Наибольший общий делитель (Greatest Common Factor) = 4

Факты, которые следует помнить о множителях и множителях:

Наименьшим кратным числа является само число. Все остальные кратные на больше, чем число .

Самым большим фактором числа является само число. Все остальные множители на меньше, чем число . 100001

Цель

Этот модуль развивает понимание умножения и деления, включая обратную связь между двумя операциями, а также когда и как их использовать в ситуациях решения задач. Учащиеся изучают правила представления операций умножения и деления в виде уравнений.

Цели достижения

NA3-6: Запишите и интерпретируйте аддитивные и простые мультипликативные стратегии, используя слова, диаграммы и символы, с пониманием равенства.

Разработка АО и другие учебные ресурсы

Конкретные результаты обучения

• Читать, писать и понимать символы умножения и деления, знак равенства и язык, связанный с этими символами.
• Напишите контекст рассказа для заданных уравнений умножения и деления.
• Знайте, что операция умножения коммутативна.
• Определите связанные факты умножения и деления («семейства фактов»).
• Распознать обратную зависимость операций умножения и деления.
• Признать, что деление некоммутативно.
• Правильно используйте слова «фактор» и «продукт»
• Определите факторы заданных сумм.

Описание математики

Эта последовательность уроков устанавливает связь между повторяющимся сложением и умножением. Он вводит деление и исследует взаимосвязь между операциями умножения и деления.

В рамках этих уроков развиваются три основных понимания.

1. Учащиеся должны понимать отношения между величинами, представленными уравнениями умножения и деления. Например, 4 x 5 = 20 может представлять собой «четыре количества по пять равны 20» или «20 в четыре раза больше, чем 5».
    
2. Учащиеся должны выучить словарный запас, связанный с умножением и делением, а также значение этих слов. Важная лексика включает множители (числа умножаются), произведение (ответ на умножение), умножение на (умножение одной величины в х раз), равенство (одинаковость количества).
    
3. Умножение также может быть представлено в пространстве. Массивы — это эффективный способ показать структуру и шаблон нескольких групп, и в данном случае прочно связать умножение и деление с измерением.

При изучении структуры и модели умножения и деления основное внимание уделяется также развитию раннего понимания числовых свойств . На этих уроках формально исследуется коммутативное свойство умножения (то есть порядок, в котором умножаются числа, не меняет ответ). Распределительное свойство, при котором один или оба фактора разделяются для облегчения вычислений (например, 12 x 55 = 10 x 55 + 2 x 55), является основополагающим для стратегий расчета, включая письменные алгоритмы.

При изучении поведения операций умножения и деления важно, чтобы учащиеся делали обобщения,  в которых они могли бы указать, «что всегда происходит», когда предпринимаются определенные действия. Например, им следует признать, что, хотя правило «переворота» (коммутативное) всегда верно для умножения, оно неверно для деления.

Эта серия уроков посвящена однозначным множителям и делителям. Он признает, что учащиеся должны иметь много возможностей представить умножение и деление. операции для решения текстовых задач. Это подкрепляется глубоким пониманием использования символов и выражений умножения и деления для математического мышления и выражения отношений. Учащиеся также должны уметь создавать контексты, которые может выражать уравнение. Установление связей между языком и символами необходимо для развития правильного понимания математических идей и концепций.

Возможности для адаптации и дифференциации

Возможности обучения в этом модуле можно дифференцировать, предоставляя или удаляя поддержку учащихся и изменяя требования к заданиям. Способы дифференциации включают:

• предоставление физических материалов, чтобы учащиеся могли предвидеть действия и обосновывать свои решения. Использование таких материалов, как кубы, квадратные плитки и диаграммы массивов, для моделирования ситуаций и связывания стратегий, используемых учащимися, с представленными величинами.
• , соединяющие символы и математический словарь, особенно символы умножения и деления (x, ÷) и равенства (=). Явное моделирование правильного использования уравнений и алгоритмов и обсуждение значения символов в контексте.
• изменение сложности используемых чисел. Умножение на такие множители, как два, четыре, пять, десять, и деление на одни и те же делители, как правило, проще, чем на такие множители, как три, шесть, семь, восемь и девять. Подумайте, какие факты умножения ваши ученики будут уверенно применять при решении задач.
• побуждает учащихся сотрудничать в малых группах, делиться и обосновывать свои идеи.
• с использованием технологий, особенно калькуляторов, в прогнозирующих, основанных на шаблонах способах оценки произведений и частных, например. Если ответ на 4 x 8 = 32, будет ли ответ на 32 ÷ 5 больше или меньше 8? Откуда вы знаете? разрешить использование калькуляторов там, где вы хотите, чтобы учащиеся больше сосредоточились на процессе получения разумного ответа или на замечании закономерностей, чем на отработке вычислительных навыков.

Контекст, используемый для этой единицы, — это лоскутные одеяла, тиваевае и ткань тапа. Подумайте, как вы можете использовать знания сообщества в этом контексте. Есть ли члены сообщества, которых вы могли бы пригласить, чтобы поговорить о культурном происхождении тиваев или тапа? В этих контекстах важно обеспечить подлинность, актуальность и цель важных культурных знаний. Вы можете изменить контекст на ситуации, более соответствующие повседневной жизни, интересам или культурной самобытности ваших учащихся. Массивы распространены в разных культурах, и их можно найти в узорах плитки, текстиле, упаковке, стопках домов и игровых досках для игр. Поощряйте учащихся к творчеству, принимая различные стратегии от других и предлагая учащимся создавать свои собственные проблемы, которые должны решать другие, в значимом контексте.

Необходимые материалы

• Не менее двух прямоугольных стеганых одеял, тиваева или тапа
• Цветные пластиковые квадратные плитки (или маленькие квадратики из картона другого цвета)
• Бумага в клетку
• Калькуляторы
• Кубики Unifix
• Игральные карты
• PowerPoint 1
• PowerPoint 2
• Копи-мастер 1
• Копи-мастер 2 
• Копи-мастер 3

Деятельность

Занятие 1

Занятие 1

1. Покажите учащимся два разных прямоугольных лоскутных одеяла. Это была бы хорошая возможность взглянуть на любую школьную ткань тапа или панели тукутуку. Кроме того, используйте PowerPoint 1, чтобы показать изображения подходящих стеганых одеял или ткани тапа. Например:
      
   Разработайте контекст для обучения этому разделу. Это может включать изготовление одеяла или тапы (даже гипотетически) для детского отделения в местной больнице или хосписе. Подумайте, как вы можете использовать знания своих учеников и их сообщества. Могут ли взрослые принести tivaevae, siapo или сделанные ими одеяла или фотографии вещей?
   Вовлеките учащихся в обсуждение лоскутных одеял, установив, как создаются узоры.
2. Спросите: «Какая математика содержится в этих стеганых одеял?» (например, лоскутное одеяло 3 x 3)
   Запишите идеи учащихся в карточке класса. (Это могут быть числа, геометрия, измерения: например, 3 + 3 + 3 = 9, 3 x 3 = 9, 9 квадратов, один большой квадрат, стороны одинаковой длины, 9 разделить на 3 и т. д.). Сравните количество квадратов в разных примерах.
3. Выделить операцию и отношения символов (или слов), которые были записаны. Например:
   
4. Напишите каждый символ на отдельном листе бумаги формата А4. Попросите пары учащихся взять по одному листу (один символ), и каждый по очереди запишет в заданный период времени (например, за 2 минуты) , используя слова и картинки/диаграммы , и проведите мозговой штурм всего, что они знают об этом символе. (или слово). Попросите учащихся привести пример того, где можно использовать их символ.
5. Попросите учеников вернуться на коврик, рассаживаясь двумя отдельными группами: группа с операция символов (+ — x ÷) и группа с связью символов (<> =). Попросите выбранные пары учащихся объяснить, почему они сидят на своих местах и ​​какие идеи они записали для своих символов.
   В этом обсуждении подчеркните язык , используемый , разработайте понимание того, что такое числовая операция (математический процесс, который изменяет число или сумму), и повторите значение знака равно .
   Сохраните листы мозгового штурма для дальнейшего использования.

Мероприятие 2

1. Подготовьте пакеты по 12, 18, 20, 24 и 30 пластиковых плиток, маленькие цветные квадратики из картона или квадратики из ткани. Сделайте их, карандаши и бумагу, доступными для пар учащихся.
   
   Поставьте задачу. «Покажите, , используя диаграммы и уравнения , сколькими различными способами можно расположить эти лоскуты, чтобы сделать «мини-лоскутное одеяло»?»
   Предложите учащимся поработать в парах, чтобы записать свои идеи.
2. Предложите учащимся поделиться своими идеями с парой, у которой было одинаковое количество плиток, и записать все варианты расположения, о которых они не подумали.
3. Обменивайтесь идеями в классе, изучайте и записывайте основные понятия в классной таблице. Сохраните эту работу учащихся для занятия 2.
   Например: Из пакета с 18 «заплатками» (плитками).
   
   В ходе обсуждения опирайтесь на идеи, которыми поделились в Упражнении 1 (см. выше), выделяя и записывая словами эти идеи:
   • Аранжировки «патчей» могут быть записаны с использованием различных операций .
   • Умножение с помощью x символ, может отображать ту же идею как многократное сложение (равных количеств), используя символ + .
   • Символ для деления или деления на равные группы: ÷ . Он называется символом деления .
   • Это расположение с одинаковыми строками и столбцами называется массивом .
4. Поза и запись: «9+ 9 = 6 x 3. Вы согласны или не согласны». Попросите пары учащихся обсудить это утверждение и обосновать свою позицию (объяснить, почему они согласны или не согласны и откуда они знают, что они правы).
   Запишите обоснование ученика, выделив отношения эквивалентности (оба равны 18, всего 18 патчей в обоих массивах). Выделите мультипликативные представления, такие как «9 равно 3 x 3, поэтому 9 + 9 равно 6 x 3».

Упражнение 3

Напишите два уравнения в таблице классов, одно на умножение и одно на деление.
Например: 6 x 5 = 30      28 ÷ 4 = 7. Прочтите их вместе. Пусть каждый учащийся нарисует схему лоскутного одеяла или тапа, которая представляет уравнение. Попросите их написать словесное описание того, как стеганое одеяло/ткань представляет собой уравнение.

Упражнение 4

Завершите занятие повторением символов операций и взаимосвязей и их значений.

Занятие 2

Занятие 1

1. Начните с того, что по крайней мере два ученика поделятся своими схемами одеяла/ткани из предыдущего занятия. Попросите других учеников записать уравнения, представленные на диаграмме. Подчеркните тот факт, что математику из реальной жизни можно представить с помощью диаграмм, слов и символов.
2. Проведите мозговой штурм на классной диаграмме других ситуаций в нашей жизни, где мы видим и используем умножение или деление. Когда учащиеся будут делиться идеями, попросите их назвать конкретные числа. Запишите эти истории, используя схемы и слова.
   Например: Мы видим умножение, когда:
   • 12 упаковок по 20 мармеладок завернуты вместе в большую упаковку для продажи на школьной ярмарке – четыре упаковки в ряд и три ряда.
   • Школа покупает три набора хоккейных клюшек по десять штук в каждом.
   • На мараэ мы сидим в четыре ряда по шесть человек.
3. Прочтите сказки еще раз вместе. Попросите учащихся использовать символы для записи уравнений для каждой из историй в своих книгах/на доске/бумаге. Те учащиеся, которые закончат быстро, могут придумать больше контекстных историй. Поощряйте учащихся создавать контекстные истории, отражающие их повседневную жизнь (в отличие от выбора «случайных» чисел).
   Предложите парам учеников поделиться своими уравнениями. Если учащиеся записали, используя многократное сложение, попросите их также записать уравнения умножения.

Упражнение 2

1. Просмотрите информацию о символах из сеанса 1, выделив символы операций, + — x ÷ , и символы отношений, равно (=), больше (>) и меньше (<) символы отношений.
   Попросите учащихся поработать в парах, используя ситуации из предыдущего задания. Студенты должны обсудить ситуации и посмотреть, сколько уравнений или неравенств они могут написать. Например:
   3 x 4 = 4 x 3
   3 x 4 < 2 x 10
   4 x 6 > 2 x 10 > 4 x 3
   Они должны использовать диаграммы, чтобы показать, откуда они знают, что они верны.
2. Предложите учащимся поделиться своей работой в парах. При этом они должны по очереди читать вслух то, что они написали.

Занятие 3

1. Вернитесь к стеганым одеялам/тапа-ткани (изображения). Объясните, что некоторым маленьким детям нравятся лоскутные одеяла с алфавитом, в которых на каждой клеточке изображено что-то, начинающееся с другой буквы алфавита. Поговорите о том, что некоторые из них могут быть. Например: A может изображать яблоко, B — бабочку, C — кошку и так далее.
      
2. Предоставьте учащимся бумагу, карандаши и фломастеры.
   Поставьте задачу: Вы собираетесь сделать лоскутное одеяло/ткань с алфавитом, чтобы подарить кому-нибудь. У вас есть время до конца сегодняшней сессии, чтобы спланировать свой дизайн и то, как вы будете располагать свои «квадратные заплатки» . Где-то в проблеме может быть вызов. Вы решаете, как лучше всего решить эту проблему для вашего дизайна стеганого одеяла.
   Сколько букв в алфавите? (26)
   Почему изготовление одеяла из 26 квадратов может быть проблемой?
3. Пусть учащиеся поэкспериментируют с 26 квадратами. Они могут нарисовать возможные варианты использования квадратных плиток или кубов. Цифровые инструменты также можно использовать для упорядочивания плиток и представления работ учащихся.
   (26 будет состоять только из массивов 1 x 26 или 2 x 13, что нежелательно для лоскутного одеяла такого типа. Учащиеся встретят «остаток» (6 x 4 + 2, 5 x 5 + 1) или найдут некоторые «заплатки» короткие (7 x 4). Примите реалистичные решения для контекста (например, лоскутное одеяло 5 x 5: поместите 2 буквы на одну заплатку, лоскутное одеяло 6 x 4: сделайте его 7 x 4 и включите 2 новых или пустых патчи. )
4. Предложение: Если мы добавим патчи для каждой из цифр 0-9, сколько тогда будет патчей? (26 + 10 = 36)
   Посмотрите, какие одеяла вы могли бы сделать тогда.
   Попросите учащихся найти все возможные варианты:
   1 x 36        2 x 18        3 x 12       4 x 9        6 x 6 Почему?

Занятие 3

Занятие 1

1. Предложите учащимся поделиться своими рисунками стеганых одеял с алфавитом для 36 нашивок. Обсудите «оставшуюся проблему» и оцените творческие решения.
   Почему было невозможно создать одеяло с пятью заплатками подряд?
   Запишите 36 ÷5 = 7 r 1 и спросите учащихся, что означает r 1 (остаток от 1).
   Укажите, что часто задачи на деление решаются неравномерно. Мы называем то, что осталось, , а остаток .
2. Представьте, что у нас есть 26 патчей, и мы пытаемся разместить по шесть патчей в каждом ряду. Один из способов записать эту задачу: 26 ÷ 6 = 4 r2.
3. На диаграмме классов быстро нарисуйте массивы, которые были разработаны для 26 патчей.

4. Обсудите «размеры» массива, вводя слова факторы и произведение . Модель с примером:
   
   Попросите каждого учащегося записать под своим дизайном лоскутного одеяла то, что находится в рамке выше, регулируя числа для своего собственного дизайна.

Деятельность 2

1. Напишите на доске 4  36   9.
   Вот еще три числа, которые связаны умножением и делением.
   Запишите набор уравнений умножения и деления, используя эти числа.

2. Предложите учащимся работать в парах, чтобы составить уравнения и создать массив, представляющий все четыре уравнения. Студенты должны быть готовы обосновать свою позицию (объясняя, откуда они знают, что они правы).
   4 x 9 = 36     9 x 4 = 36     36 ÷ 4 = 9     36 ÷ 9 = 4
   Свяжите каждое уравнение с массивом 9 x 4, который учащиеся должны узнать из предыдущего задания по созданию стеганого одеяла. Особое внимание обратите на деление. Например, 36 ÷ 4 = 9дает количество строк, созданных из 36 патчей (площадь), если каждый ряд состоит из четырех патчей.

3. Подведите итоги на классной таблице. Например:
   • Есть четыре связанных факта только (семейство фактов) и не более.
     4 х 7 = 28 7 х 4 = 28 28 ÷ 4 = 7 28 ÷ 7 = 4
   • Умножение — это операция «переворота». Вы можете изменить порядок факторов без изменения произведения. (Это как сложение.)
     Мы говорим, что умножение (и сложение) равно 9.0300 коммутативный .
     4 х 7 = 7 х 4 = 28
   • Деление не является коммутативным, т.е. 36 ÷ 4 = 9, но 4 ÷ 36 = 0,1111… (1/9). Частные деления не совпадают (ответ).
     Мы говорим, что деление (и вычитание) не коммутативно .

Задание 3

1. Попросите учащихся сыграть в игру  Умножение, рисование и запись в парах . Рассмотрите возможность объединения в пары учащихся с одинаковым уровнем знания таблицы умножения, что будет способствовать развитию туакана-тейна и уверенности учащихся в своих навыках.
   Им нужны игральные карты (с номерами от 2 до 9), карандаш и бумага.
   Победителем становится тот, у кого после десяти раундов будет больше всего пар карточек с одинаковыми продуктами, но изготовленными с использованием разных факторов.
   Например: 6 x 4 = 8 x 3 = 24,    или 4 x 4 = 2 x 8 = 16
   Как играть:
   Карты перемешиваются и кладутся лицом вниз в стопку между обоими игроками.
   Игроки по очереди переворачивают три карты из стопки. Это факторы. Игрок возвращает одну карту в низ стопки. Игрок должен написать факт(ы) умножения для двух карт. Они также могут нарисовать массив и написать семейство фактов.
   Например:
   
2. Учащиеся завершают занятие написанием словесных сценариев для своих наборов уравнений (семейства фактов). Вы можете выбрать работу со студентами, которым нужна дополнительная поддержка, в небольшой группе, в то время как другие студенты будут работать самостоятельно. В конечном счете, все учащиеся должны уметь писать словесные сценарии для наборов уравнений. Они могут быть написаны с использованием цифровых инструментов и могут быть смоделированы с использованием материалов (например, счетчиков). Это не обязательно должны быть сценарии квилтинга.
   Например: «Было три мешка по пять яблок в каждом. Пятнадцать поделили на три мешка — это пять. Если эти пятнадцать яблок разложить по пяти мешкам, то в каждом окажется по три. Это будет пять лотов по три.

Занятие 4

Упражнение 1

Покажите альтернативный набор стеганых одеял или ткани тапа (PowerPoint 2). Например:

Попросите четырех учащихся записать по одному факту каждого из связанных фактов.
(6 х 5 = 30, 5 х 6 = 30, 30 ÷ 5 = 6, 30 ÷ 6 = 5) и объяснить каждый факт со ссылкой на лоскутное одеяло, включая демонстрацию коммутативного (обратного) свойства умножения. Поверните одеяло, чтобы продемонстрировать это.

Занятие 2

1. Раздайте учащимся соединяющие кубики (или цветные фишки). Пусть пары учеников возьмут по 48 кубиков. Спросите, какие множители могут составить 48. Запишите возможности, используя умножение; 1 х 48, 2 х 24, 3 х 16 и т. д.
2. Попросите одного ученика из каждого ученика смоделировать пару 4 x 12, соединив кубики. Затем пусть его партнер использует те же кубики для моделирования 12 x 4. Обсудите, что получится. (Им нужно было перегруппировать их). Повторите с 6 x 8 и 8 x 6. Подчеркните, что коммутативное свойство включает те же множители и произведение, но требует другого взгляда на массив (т. е. либо строки, либо столбцы образуют одинаковые множества).
3. Разложите на карточках факты умножения 48 (Переписчик 1). Задержать 5 раз? и 7 х? Соедините пары уравнений, демонстрирующих свойство коммутативности.
   Думаете, это все факты умножения на произведение 48? (Вы можете расположить карты в порядке первого множителя.)
   Почему нет 5-кратных и 7-кратных фактов? (Используйте карточки. Учащиеся должны понять, что 48 не входит в число кратных 5 и 7. 48 не делится на 5 и 7).
   С помощью калькулятора покажите, что 48 ÷ 5 = 9,6 и 48 ÷ 7 = 6,857142857…
   Как вы думаете, что показывает десятичная часть произведения? (Остаток, поэтому 48 не делится на 5 и 7)
4. Попросите учащихся изучить факты умножения с разным количеством кубиков, используя язык одних и тех же множителей и произведений, сосредоточив внимание на перегруппировке. Их исследование может показать, что некоторые числа имеют только два делителя, например 17 и 31. Эти числа являются простыми.

Занятие 3

1. Запишите одно знакомое уравнение умножения в таблицу класса. Например, 6 x 2 = 12. Попросите одного из учеников в каждой паре смоделировать это, составив 6 групп по 2 и , соединив кубики вместе в одну линию из 12.
   
   Запишите 12 ÷ 6 = 2. другой ученик в паре разыгрывает это с кубиками.
   
   Предложите учащимся описать, что произошло, и запишите такие идеи, как: это наоборот, деление вместо умножения, это наоборот, мы вернулись к тому, с чего начали.
   Спросите, Всегда ли так? Как мы можем узнать? Принимайте идеи учеников. Они должны включать студентов, изучающих больше примеров.

2. Сделайте вывод, что невозможно проверить все факты умножения и деления. Скажем, идея «отмены» означает, что умножение и деление являются обратными операциями, как включение и выключение выключателя света. Уничтожение друг друга — это именно то, как ведут себя умножение и деление.

3. Написать « обратная связь» на диаграмме классов. Обсудите слова, похожие на инверсию, например. перевернуть, отменить, вернуть, вернуть и их значение. Установите связь с обратной зависимостью между сложением и вычитанием. Подчеркните, что в каждой паре операций одна операция или действие отменяет другое.

4. Вернитесь к одеялу в Упражнении 1 (выше) и к записанным уравнениям:
   (6 x 6 = 30, 5 x 6 = 30, 30 ÷ 5 = 6, 30 ÷ 6 = 5)
   Попросите учащихся объяснить «отмену» (снова обратная связь со ссылкой на лоскутное одеяло. (Это немного сложнее увидеть, потому что этот массив физически нельзя «отменить». Однако вы можете создать ряды из шести кубиков и показать 5 x 6, расположив пять рядов по вертикали Сколько у меня лоскутов? Что произойдет, если я теперь разделю на пять? )

5. Напишите в таблице класса:
   Знание того, что умножение и деление являются обратными операциями, полезно, потому что……..
   Попросите учащихся предложить причины и записать их, в том числе: 
   Мы можем использовать умножение, чтобы решить задачи на деление.
   Мы можем проверить операции деления с помощью умножения. (Как?)

Занятие 4

Раздайте Copymaster 2 для работы учащихся. Подчеркните обратные операции и необходимость для учащихся показать или объяснить , как умножение помогает решать задачи на деление.

Занятие 5

Занятие 1

Повторите основные выводы, полученные в Занятии 4. Предложите учащимся поработать в парах, чтобы поделиться своими решениями задач квилтинга из Занятия 4, Занятие 4. Предложите им задавать друг другу вопросы.

Упражнение 2

1. Покажите несколько примеров лоскутного одеяла или ткани тапа с помощью PowerPoint 1:
         
2. Напишите в таблице классов:
   Одно одеяло из шестнадцати заплаток:
   Одно одеяло из тридцати заплаток:
   Одно одеяло из сорока пяти заплаток:
   Если я переставлю заплатки в один ряд, как будет выглядеть одеяло? (Больше похоже на длинный шарф)
3. Попросите учащихся записать уравнения умножения для каждого из этих утверждений.
   Одно одеяло из шестнадцати заплат: 1 x 16 = 16
   Одно одеяло из девяти заплат: 1 x 30 = 30
   Одно одеяло из тридцати заплат: 1 x 45 = 45
   Если ваши уравнения верны, каковы ответы на 16 ÷ 1 = ☐ , 30 ÷ 1 = ☐ , 45 ÷ 1 = ☐?
4. Попросите учащихся обсудить свои идеи, а затем объяснить и обосновать свое мнение. Связывают ли они деление с вопросом «Сколько столбцов одного патча составляет в общей сложности 16, 30 или 45 патчей?»
   Если ваши уравнения верны, каковы ответы на 16 ÷ 16 = ☐ , 30 ÷ 30 = ☐ , 45 ÷ 45 = ☐?
   Связывают ли они деление с вопросом «Сколько рядов по 16 нашивок дает в общей сложности 16 накладок и т. д.?»
5. Приведите другие примеры деления числа на единицу и само на себя. Для проверки ответов можно использовать калькуляторы.

Задание 3

Предложите учащимся работать в группах от 2 до 4 над  Это правда? (Переписчик 3 (Цель: различать правильные и неправильные уравнения и выражения умножения и деления и уметь объяснить, почему, обосновывая свое решение)

Учащиеся по очереди выбирают утверждение и объясняют его другим в группе, если и почему утверждение является фактом, или если и почему оно неверно (истинно или ложно)

Попросите учащихся создать свои собственные факты или нефакты, связанные с умножением и делением, т.