Умножения на 0 правила: Почему делить на ноль нельзя? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Содержание

Почему делить на ноль нельзя? – статья – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

Все математические действия равны, но некоторые равнее других

Начнём с того, что четыре арифметических действия — сложение, вычитание, умножение и деление — не являются равноправными. И разговор идёт не о порядке выполнения действий при решении какого-нибудь примера или уравнения. Нет, имеется в виду само понятие числа. И согласно ему, наиболее важными являются сложение и умножение. А уже вычитание и деление «вытекают» из них тем или иным образом.

Сложение и вычитание

Например, разберём простую операцию: «3 — 1». Что это означает? Школьник легко объяснит эту задачку: это означает, что было три предмета (например, три апельсина), один вычли, оставшееся количество предметов и есть верный ответ. Верно описано? Верно. Мы и сами объяснили бы точно так же. Но математики рассматривают процесс вычитания иначе.

Операция «3 — 1» рассматривается не с позиции вычитания, а только со стороны сложения.

Согласно этому нет никаких «три минус один», есть «какое-то неизвестное число, которое при прибавлении одного даёт три». Таким образом, простое «три минус один» превращается в уравнение с одним неизвестным: «х + 1 = 3». Причём появление уравнения изменило знак — вычитание поменялось на сложение. Осталась только одна задача — отыскать подходящее число.

Умножение и деление

Аналогичные метаморфозы происходят с таким действием, как деление. Задачу «6 : 3» математики отказываются воспринимать как некие шесть предметов, разбитых на три части. «Шесть разделить на три» не что иное, как «неизвестное число, умноженное на три, в результате чего получилось шесть»: «х · 3».

Делим на ноль

Выяснив принцип математических действий по отношению к задачам с вычитанием и делением, рассмотрим наше деление на ноль.

Задача «4 : 0» превращается в «х · 0». Получается, нам нужно найти такое число, умножение с которым даст нам 4.

Известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это уникальное свойство нуля и, собственно, его суть. Числа, умноженного на ноль и выдающего любое другое число кроме нуля, не существует. Мы пришли к противоречию, значит задача не имеет решения. Следовательно, записи «4 : 0» не соответствует никакое определённое число, а отсюда уже вытекает её бессмысленность. Поэтому, чтобы кратко подчеркнуть непродуктивность такого процесса, как деление на ноль, и говорят, что «на ноль делить нельзя».

Больше интересных материалов:

Почему минус на минус всегда даёт плюс?
Типичные ошибки учителей при проведении уроков математики в начальной школе
Методическая помощь учителю математики
Внеурочная деятельность по математике в начальной школе
Формирование математической грамотности в начальной школе

А что получится, если ноль разделить на ноль?

Представим такое уравнение: «0 · x = 0». С одной стороны, выглядит вполне справедливо. Представляем вместо неизвестного числа ноль и получаем готовое решение: «0 · 0 = 0». Из этого вполне логично вывести, что «0 : 0 = 0».

Однако теперь давайте в это же уравнение с неизвестным вместо «x = 0» подставим любое другое число, например «x = 7». Получившееся выражение выглядит теперь как «0 · 7 = 0». Вроде бы, всё верно. Делаем обратную операцию и получаем «0 : 0 = 7». Но тогда, получается, что можно взять абсолютно любое число и вывести 0 : 0 = 1, 0 : 0 = 2… 0 : 0 = 145… — и так до бесконечности.

Если при любом числе х уравнение будет справедливо, то мы не имеем права выбрать лишь одно, исключив остальные. Значит, мы так и не можем ответить, какому числу соответствует выражение «0 : 0». Снова оказавшись в тупике, мы признаём, что и эта операция тоже бессмысленна. Получается, что ноль нельзя делить даже на самого себя.

Оговоримся, что в математическом анализе иногда бывают специальные условия задачи — так называемое «раскрытие неопределенности». В подобных случаях разрешается отдавать предпочтение одному из возможных решений уравнения «0 · x = 0». Однако в арифметике таких «допусков» не происходит.

Деление и умножение на 0: правила для детей

23.02.2022 04.09.2022 / 2 комментария / Математика / От admin

Тема нашей сегодняшней статьи: «Деление и умножение на 0: правила для детей». С одной стороны тема очень простая, а с другой — вызывает у деток вопросы. Так давайте разбираться вместе с весёлым клоуном Бимом, которому очень нравится задавать детям математические загадки.

Содержание статьи:

Деление и умножение на 0: правила

Сегодня день отдыха, и артисты придумывают новые вопросы для зрителей.

— Есть интересное число — 0, — говорит Бим. — Ведь это же ничего, с ним и возни мало. Давай посмотрим, какие задачи можем придумать с нулем для ребят.

Умножение на 0

— Двум или трем зрителям шариков не досталось. Значит надо складывать нули. — продолжил Бим. — Попробуем сложить два или три нуля:

0 + 0 = 0,

0 + 0 + 0 = 0.

Нет, много нулей долго писать, хотя… Сколько раз 0 в сложении ни напиши, все равно 0 выходит! Хорошо, что сложение одинаковых слагаемых заменяется умножением. Записываем:

0 + 0 = 0 ∙ 2 = 0,

0 + 0+ 0 = 0 ∙ 3 = 0,

0 + 0 + 0 + 0 = 0 ∙ 4 = 0.

Первый множитель	Второй множитель	Произведение
0	2	0
0	3	0
0	4	0

Правило. При умножении 0 на любое число произведение равно 0.

А если я наоборот запишу:

2 ∙ 0,

тогда я должен взять число 2 по 0 раз, то есть несколько раз. Так это тоже будет 0.

Первый множитель	Второй множитель	Произведение
2	0	0

Правило. При умножении любого числа на 0 произведение равно 0.

Здесь и еще одно правило работает для умножения:

Правило. От перестановки мест множителей произведение не изменяется.

Задача. Если нет ребят, сколько мы сможем подарить шариков?

Количество подаренных шариков так и останется 0. Сколько бы мы ни дарили шариков, если их некому дарить, то и число подаренных шариков равно нулю. Мы дарили по 2 шарика, но ребят 0, пишем:

2 ∙ 0 = 0 + 0 = 0.

А если по три шарика:

3 ∙ 0 = 0 + 0 + 0 = 0.

Бом и говорит:

— Давай запишем по порядку правила умножения на ноль:

Правило 1. При умножении любого числа на 0 произведение равно 0.
Правило 2. При умножении 0 на любое число произведение равно 0.

— Вот и еще один вопрос для зрителей: «Что получается при умножении на ноль?» — заметил Бим. — А дальше посмотрим, что получится при делении.

Деление 0 на число

— А можно ноль делить на любое число, отличное от нуля? — спросил Бом.

— Можно, только ты делишь 0 шариков, значит каждому и достанется 0 шариков, — ответил Бим.

К примеру, если пришло трое ребят, то 0 : 3 = 0.

Делимое	Делитель	Частное
0	3	0

— Что-то уже кушать хочется. — сказал Бим. — Пойдем в буфет, мне в прошлый раз пирожное, которое было в остатке, очень понравилось. Занимательная история клоуна Бима и частное чисел в математике.

Пришли Бим и Бом в буфет, а им буфетчица говорит:

— А пирожных сегодня нет. Ведь представления нет, значит, — и пирожных мы не продаем.

— Сладкое сегодня не кушаем, — весело отвечает Бим. — Пирожных ноль.

— Да, — соглашается Бом. — Ноль, деленный на 2, — ноль. Столько пирожных и съедим.

0 : 2 = 0

Делимое	Делитель	Частное
0	2	0

Правило. При делении 0 на любое число, кроме 0, получается 0.

А почему кроме 0, узнаем дальше.

Деление на 0

Взяли они то, что было — бутерброды. Пьют чай, а Бим вздыхает:

— Там в углу шарики стоят и скучают. Нет зрителей, и некому их подарить. Выходит, что если зрителей 0, то сколько бы у нас ни было шариков, — дарить их некому, и все они у нас остаются. На ноль зрителей шарики не делятся.

Буфетчица подошла к Биму и Бому:

— Вы сегодня раздали своим зрителям по два шарика?

Бом с улыбкой говорит:

— Нет, по три.

Бим смеется:

— Сегодня не было представления! Я могу сказать, что мы раздали 0 ребятам по 4 шарика, и все мы сказали правду, так как деление проверяется умножением

2 ∙ 0 = 3 ∙ 0= 4 ∙ 0 = 0.

— Вот здорово! — обрадовался Бом. — Мы можем дать сколько угодно шариков каждому из зрителей, который не пришел!

— Значит, мы не сможем точно назвать, сколько шариков мы поделили между зрителями, которых 0 человек. — задумался Бим. — Здесь математическое деление никак не работает.

— Выходит, на ноль делить нельзя? — удивился Бом.

— Давай посмотрим правило в учебнике, — решил Бим.

Бим и Бом открыли учебник и хором прочитали:

Правило. Делить на ноль нельзя.

— Ура! И еще один вопрос для зрителей — правило деления на 0.

— Вот здорово! — обрадовался Бом. — Давай эти вопросы и правила для себя и для ребят напишем и выучим.

Заключение

Деление и умножение на ноль (правила):

Вопрос: Что получается при умножении на 0?

Правило. При умножении на 0 произведение равно 0.

Вопрос: Что получается при делении 0 на любое число, кроме 0?

Правило. При делении 0 на любое число, кроме 0, получается 0.

Вопрос: Правило деления на ноль?

Правило. На ноль делить нельзя.

Вот мы и разобрали деление и умножение на 0 (правила) с Бимом и Бобом. Вопросов по теме у Вас остаться не должно.

Оригинальная идея подачи материала принадлежит Стуловой Лилии Валериевне (преподаватель математики от 5 лет и старше).

Не забудьте оценить наши старания. Комментарии приветствуются! По желанию подписывайтесь на нас в Яндекс.Дзен и в других социальных сетях!!!)))

11
2022-03-12T22:22:37+00:00
Алексей
Спасибо за статью! Очень познавательно! Информация подана простым и понятным языком!
13
2022-03-12T22:20:37+00:00
Интересная история переплетена с математикой. Весёлые клоуны Бим и Бом умело объясняют тему умножения и деления на 0. Спасибо за такую неординарную подачу информации!

Что такое нулевое свойство умножения? Определение, примеры

Умножение любого числа на ноль, пожалуй, самая простая из всех задач! Каким бы большим ни было число, если его умножить на ноль, ответ всегда будет простым — ноль. Итак, среди всех известных вам чисел, пожалуй, проще всего выучить таблицу умножения цифры 0.

Это связано с нулевым свойством умножения, которое гласит, что произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Это свойство применимо ко всем типам чисел, независимо от того, насколько они велики или малы.

Давайте узнаем об этом свойстве подробнее.

Что такое нулевое свойство умножения?

Нулевое свойство умножения определяется как «когда мы умножаем любое число на ноль, результат всегда равен нулю». Ноль не обязательно должен быть первым или вторым из чисел. Он может быть в любом месте при умножении на другое число. Это означает, что положение цифры ноль не влияет на результат умножения.

Это свойство также относится ко всем типам чисел. Это могут быть целые, десятичные или дробные числа. Итак, исход некоторых таких чисел будет следующим:

8 x 0 = 0

½ x 0 = 0

6,4 x 0 = 0

Это работает, даже если вы умножаете более двух чисел. Если вы находите произведение, скажем, трех чисел или десяти чисел, при условии, что любое из чисел в вашем выражении умножения равно нулю, конечный продукт также будет равен нулю.

0 x 1 x 2 x 3 = 0

Следует отметить, что это свойство нуля справедливо только для операции умножения. Математическая функция деления работает иначе. Это применимо даже тогда, когда деление просто обратное умножению. Итак, если бы вы разделили число на ноль, результирующий ответ не был бы равен нулю, поскольку деление на 0 не определено.

Однако свойство нуля применимо к операциям сложения и вычитания, но в этих случаях оно немного отличается. Когда вы прибавляете или вычитаете ноль из числа, в результате получается то же самое число, а не ноль.

Связанные игры

Решенные примеры

Пример 1: Используйте нулевое свойство умножения, чтобы найти пропущенное число в данных уравнениях.

32 x 0 = __

Решение : Согласно нулевому свойству умножения,

32 x 0 = 0.

Пример 2. Используйте нулевое свойство умножения, чтобы найти ответ на пропущенное число число умножается на 0, в результате получается ноль. Следовательно, 57 x 0 = 0

Пример 3. Применяется ли свойство нуля при умножении к отрицательному числу? Если да, то каким будет результат умножения -75 на 0? Решение . Нулевое свойство умножения применимо ко всем числам, включая отрицательные числа. Таким образом, если -75 умножить на 0, в результате получится 0,9.0003

Связанные рабочие листы

Практические задачи

Какое из следующих уравнений описывает нулевое свойство умножения?

50 + 0 = 50

15 x 1 = 15

75 x 0 = 0

5 + 5 = 10

Правильный ответ: 75 x 0 = 0
Нулевое свойство умножения применимо к любому числу что при умножении на 0 дает ответ 0. Из приведенных выше вариантов
только третий вариант изображает умножение числа на 0.

Чему равно произведение первых 15 целых чисел?

-5

Правильный ответ: 0
Первые 15 целых чисел равны 0, 1, 2, 3 … 14.
Согласно нулевому свойству умножения произведение всех этих чисел будет быть 0.

Что из следующего является примером нулевого свойства умножения?

$\frac{2}{5} + 0 = \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5} \times 1 = \frac{2}{5}$

$\frac{2}{5} \times 0 = 0$

$\frac{2}{5} \div1 = \frac{2}{5}$

Правильный ответ: $\frac{ 2}{5} \times 0 = 0$
Нулевое свойство умножения относится к любому числу, которое при умножении на 0 дает ответ 0. Из приведенных выше вариантов
только третий вариант изображает умножение число с 0.

Часто задаваемые вопросы

Отличается ли свойство идентичности умножения от свойства нуля умножения?

Да, согласно тождественному свойству умножения, при умножении любого числа на 1 результатом будет само число. Однако нулевое свойство умножения гласит, что при умножении любого числа на 0 в результате получается 0.

Что такое ассоциативное свойство умножения?

Согласно ассоциативному свойству умножения произведение любых трех чисел остается одним и тем же, независимо от порядка их группировки.

Является ли нулевое свойство умножения единственным свойством умножения?

Нет, нулевое свойство умножения — одно из многих свойств умножения. Некоторыми другими свойствами умножения являются коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Странные свойства Зеро — как работает Зеро

То, что ноль может быть как неотрицательным, так и неположительным целым числом, но при этом не быть ни отрицательным, ни положительным, является лишь одним из уникальных свойств числа. На самом деле существует группа этих странных характеристик, называемая 9.0123 свойства нуля .

Свойство сложения нуля говорит о том, что если вы прибавите или вычтете ноль из любого другого числа, результатом всегда будет другое число.

5+0=5 и 9 000 017-0=9 000 017, например. Он отражает концепцию нуля как ничего не представляющего, поэтому ничего не прибавляя к чему-то, оставляет это что-то неизменным — ноль — это единственное число, которое не изменяет другие числа при сложении или вычитании.
Реклама
Добавка , обратная свойство нуля отражает его позицию точки опоры между отрицательными и положительными целыми числами. Любые два числа, сумма которых равна нулю, являются аддитивными инверсиями друг друга. Например, если вы прибавите -5 к 5, вы получите ноль. Таким образом, -5 и 5 являются аддитивными инверсиями друг друга.
Свойство умножения гласит то, что знает каждый третьеклассник: умножение любого числа на ноль дает в сумме ноль. Это очевидно, когда-то укоренившееся, но, возможно, причина упускается из виду. Умножение, в одном эффекте, является ярлыком для сложения. 3×2 — это то же самое, что 2+2+2, поэтому идея о том, что число может быть добавлено ноль раз или что ноль может быть добавлен к самому себе любое количество раз, математически бессмысленна [источник: Carasco].

Понятие деления на ноль еще более бессмысленно, настолько, что для него нет свойства; концепции просто не существует, поскольку она не может быть осуществлена. Даже математики часто пытаются объяснить, почему деление на ноль не работает. Причина в основном связана со свойством умножения. При делении числа на другое число, например 6/2, результат (в данном случае 3) можно осмысленно подставить в формулу, где ответ, умноженный на делитель, равен делимому. Другими словами, 6/2=3 и 3×2=6. Это не работает с нулем, когда мы заменяем им 2 в качестве делителя; 3×0=0, а не 6 [источник: Utah Math]. Концепция деления на ноль чревата настолько нелогичными последствиями, что ее мифическая разрушительная сила стала шуткой в Интернете.

Существует также свойство нулевого показателя; из-за существования отрицательных показателей, числа в отрицательной степени, числа в нулевой степени всегда равны единице. Хотя это работает математически, это также создает логические проблемы. В основном, ноль в нулевой степени по-прежнему равен единице, хотя ноль, добавленный или вычитаемый или умноженный сам на себя, должен равняться нулю [источник: Stapel].
Вот сила нуля.
Связанные статьи
Источники
Аршам, Хоссейн. «Ноль в четырех измерениях». Университет Балтимора. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/zero/zero.htm
Ask Dr. Math. «Деление на ноль.» Математический форум в Университете Дрекселя. По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divideby0.html

Караско, Шут. «Свойства нуля». Basic-Mathematics.com. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://www.basic-mathematics.com/properties-of-zero.html
Forex Realm. «Биография и факты Фибоначчи». По состоянию на 15 апреля 2010 г. http://www.forexrealm.com/technical-analysis/fibonacci/fibonacci-biography-history-facts.html
Грей, Джереми. «Рецензия на книгу: Ноль: биография опасной идеи». Уведомления АМС. October 200. http://www.ams.org/notices/200009/rev-gray.pdf
Knott, Dr. Ron. «Кем был Фибоначчи?» Университет Суррея. 11 марта 1998 г. http://www.maths. surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibBio.html
Мэтсон, Джон. «Происхождение нуля». Научный американец. 21 августа 2009 г. http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=history-of-zero
О’Коннор, Дж.Дж. и Робертсон, Э. Ф. «История нуля». Университет Сент-Эндрюс. Ноябрь 2000 г. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Zero.html

Пепперберг, Ирэн и Гордон, Джесси Д. «Понимание чисел серым попугаем (Psittacus erithacus), включая нольподобное понятие». Журнал сравнительной психологии. 2005. http://www.alexfoundation.org/papers/JCPAlexComp.pdf
Saudi Aramco World. «Ноль, ключ к числам». Ноябрь 1961 г. http://www.saudiaramcoworld.com/issue/196109/zero.key.to.numbers.htm
Сейф, Чарльз. «Ноль: биография опасной идеи». Пингвин. 2000. http://books.google.com/books?id=obJ70nxVYFUC 9.0148
Сингх, Саймон. «5 цифр — ноль». Би-би-си. 11 марта 2002 г. http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml
Стапель, Элизабет. «Отрицательные показатели». Пурпурная математика. По состоянию на 18 апреля 2011 г. http://www.purplemath.com/modules/exponent2.htm
Stockton, J.K. «Дата альманаха I». 10 марта 2010 г. http://www.merlyn.demon.co.uk/miscdate.htm#AstDat

Терези, Дик. «Нуль.» Атлантический океан. Июль 1997 г. http://www.theatlantic.com/past/docs/issues/97jul/zero.htm
The Straight Dope. — Ноль — это число? По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://www.straightdope.com/columns/read/1633/is-zero-a-number
Математический факультет Университета Юты. «Почему нельзя делить на ноль?» 17 февраля 1997 г. http://www.math.utah.edu/~pa/math/0by0.html
Wolfram Math World. «Натуральное число.» По состоянию на 5 апреля 2011 г. http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html

Процитируйте это!
Пожалуйста, скопируйте/вставьте следующий текст, чтобы правильно цитировать эту статью HowStuffWorks.com:
Джош Кларк «Как работает ноль» 4 мая 2011 г.