Свойства умножения: переместительное, сочетательное и распределительное
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a — b) = m · a — m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a — b) · m = a · m — b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a — b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a — m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a — m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a — b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Переместительное свойство умножения – определение (5 класс, математика)
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 79.
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 79.
Переместительное свойство умножения очень похоже по своей сути на такое же свойство умножения. Тем не менее, часто ученики 5 класса, которые полностью овладели свойствами сложения, допускают ошибку в таких же по сложности законах умножения. Чтобы избежать этого разберемся подробнее в теме вопроса.
Что такое умножение?
Умножение это сокращенное сложение, базовые элементы которого принято знать наизусть. Под базовыми элементами понимается таблица умножения. Под упрощенным сложением имеется в виду то, что первый множитель показывает число, а второй сколько раз это число было сложено с самим собой.
В математике 3 ступени подобных упрощений. На первой стоит сложение, на второй умножение, а третьей возведение в степень. Возведение в степень это умножение числа на себя самого какое-то количество раз. Сколько раз нужно повторить умножение отражает показатель степени.
Закон или свойство?
Для того, чтобы не путаться, нужно разобраться, как правильно называть законы умножения.
Законами или все же свойствами?
Свойства умножения
Распределительное свойство может применяться и относительно вычитания или деления. С помощью этого свойства раскрывают скобки в примерах при необходимости.
Переместительное свойство
Правильное использование определения переместительного свойства умножения может увеличить скорость счета. К сожалению, специальных правил группировки нет. Нужно полагаться только на собственный опыт и логику. Рассмотрим небольшой пример, чтобы показать применение свойства на практике:
((15*25*7*3:125)-3):12 – в этом примере упростить можно только правильно сгруппировав произведение в скобках для ускорения деления.
Для этого представим число 15 в виде произведения 3*5
((15*25*7*3:125)-3):12=((5*3*25*7*3:125)-3):12 теперь перемножим 5 и 25, выполним деление произведения на число. Для этого можно только один из множителей разделить на это число, а потом результат использовать, как один из множителей.
(((5*25)*3*7*3:125)-3):12=((125*3*7*3:125)-3):12=(3*3*7-3):12=(9*7-3):12=(63-3):12=60:12=5
Без переместительного свойства не удалось бы правильно сгруппировать множители, а значит пришлось бы считать пример полностью, что отняло бы большое количество времени.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое умножение. Решили, что понятия свойств и законов умножения одинаковы. Выделили свойства умножения и рассмотрели примеры переместительного свойства умножения. Сказали об особенностях этого свойства и его практическом значении.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет.
Будьте первым!
Оценка статьи
4.6
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 79.
А какая ваша оценка?
Что такое переместительное свойство умножения
Что такое переместительное свойство умножения в математике?
Коммутативный происходит от слова «коммутировать», которое можно определить как передвижение или путешествие. Согласно свойству перестановочности умножения изменение порядка умножаемых чисел не меняет произведения.
Давайте разберемся на примере.
Пример коммутативного свойства умножения
Поместите 3 кирпича в ряд.
Теперь положите еще один ряд кирпичей над этим рядом.
Повторите этот процесс 4 раза.
Теперь подсчитайте количество использованных кирпичей.
Всего кирпичей $=$ Количество рядов $\times$ Количество кирпичей в каждом ряду
$= 4 \times 3$
Поместите еще два ряда над этим рядом.
Всего кирпичей $=$ Количество рядов $\times$ Количество кирпичей в каждом ряду
$= 3 \times 4$
$ = 12$
Мы заметили, что замена количества рядов на количество кирпичей в каждом ряду не меняет общего количества необходимых кирпичей.
Что такое умножение?
Умножение есть не что иное, как многократное сложение. Он обозначается символами «*», «.» и «✕».
Посмотрим, что такое многократное сложение, на данном примере:
Пример: Обезьяна прыгает с одной точки на другую. Он преодолевает одну единицу расстояния с каждым прыжком. Сколько юнитов он покроет за 5 прыжков?
Решение: Из приведенного выше утверждения мы можем сказать, что 1 прыжок $= 1$ единице. Давайте посмотрим на это изображение.
Итак, мы видим, что обезьяна покрывает $1+1+1+1+1 = 5$ единиц
Мы также можем записать это как $1 \times 5 = 5$ единиц.
Теперь обратите внимание, что для каждого шага нам нужно добавить «1» к предыдущему.
Вот почему мы можем сказать, что умножение есть не что иное, как многократное сложение.
Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример: Робин хочет купить 3 плитки шоколада. Каждый слиток стоит $\$$ 10. Сколько денег нужно Робину, чтобы купить 3 слитка?
Эту проблему можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба метода.
Метод 1:
Количество шоколадок $\times$ Стоимость каждой шоколадки
$= 3$ $\times $ $\$$ 10
$=$ $\$$ 30
Метод :
Стоимость каждой шоколадки $\times$ Количество шоколадок
$=$ $\$$ 10 $\times$ $3$
$=$ $\$$ 30
Мы заметили, что
9 порядок, в котором мы умножали количество плиток шоколада и стоимость каждой плитки, не меняет требуемого количества.
Коммутативное свойство умножения
Вы должны быть знакомы с таблицами до 5.
Вы наблюдали
$1 \times 2 = 2 \times 1 = 2$
$2 \times 4 = 4 \times 2 = 8$
$3 \times 5 = 5 \times 3 = 15$
Итак, мы можем заключить, что порядок умножения чисел не меняет окончательный ответ.
Вы знаете?
Если вы помните таблицы до 5, вы можете вычислить умножение больших таблиц, используя свойство коммутативности.
Например:
Если вы знаете
Пять умножить на восемь, т. е. $5 \times 8 = $ ?
Вы также можете ответить
Восемь раз по пять, т. е. $8 \times 5 =$ ?
Оба равны 40.
Факт для запоминания
Свойство коммутативности применимо только к сложению и умножению, но не к вычитанию и делению.
Давайте разберемся на примерах.
Альтернативный тег: Коммутативное свойство выполняется в случае умножения
Итак, мы можем заключить, что свойство коммутативности применимо к сложению и умножению, а не к вычитанию и делению.
Заключение
В заключение можно сказать, что
- Умножение есть не что иное, как многократное сложение.
- Коммутативное свойство означает, что конечный результат не изменится, если мы изменим порядок.
- Умножение и сложение следуют коммутативному свойству.
Решенные примеры
Пример 1: Заполните пропуски.
- $4 \times 5 = 5 \times \underline{}$
Решение: $4 \times 5 = 5 \times 4$
- \times 4 {times 6 \times 3}
Решение: $3 \times \underline{} $6$ \underline{} = 6 \times 3$
- $2 \times 1 = 1 \times \underline{}$
Решение: $ 2 900 раз 1 = 1 \times 2$
- $3 \times 6 \times \underline{} = 3 \times 2 \times 6$
Решение: $ 3 \ Times 6 \ Times 2 = 3 \ Times 2 \ Times 6 $
- $ 16 \ Times 2 \ Times 4 = 2 \ Times \ Underline {} \ Times 4 $
4 Решение: $16 \times 2 \times 4 = 2 \times 16 \times 4$
- $9 \times \underline{} \times 2 = 8 \times \underline{} \times 2$
9 Решение : $9 \times \underline{} 8 \underline{} \times 2 = 8 \times 9 \times 2$
Пример 2: Дополните следующий оператор:
Свойство коммутативности говорит о том, что порядок чисел в _________ и _________ не меняет результат.
Решение:
Свойство коммутативности говорит о том, что порядок чисел в умножении и сложении не меняет результат.
Только умножение и сложение следуют свойству коммутативности.
Практические задачи
$5 \times 6 \times 4$
$645$
$6+4+5$
Ничего из вышеперечисленного
Правильный ответ: $5 \times 6 \times 4$
Объяснение. умножения, если изменить порядок чисел, произведение останется прежним.
Коммутативное свойство при дополнении
Коммутативное свойство при умножении
Ассоциативное свойство при умножении
Ассоциативное свойство при дополнении
Правильный ответ: Переместительное свойство при умножении
Объяснение: Согласно переместительному свойству умножения, если изменить порядок чисел, произведение останется прежним.
Переместительное свойство при сложении
Переместительное свойство при умножении
Ассоциативное свойство при умножении
Ассоциативное свойство при сложении
Правильный ответ: Переместительное свойство при сложении
Пояснение: Согласно переместительному свойству сложения, если порядок чисел изменится, дополнение останется прежним.
$6 \times 4 \times 5$
$645$
$6 + 5 + 4$
$546$
Правильный ответ: $6 + 5 + 4$
Пояснение: Согласно свойству коммутативности сложения, если порядок чисел изменен, сложение останется прежним.
Часто задаваемые вопросы
Какие операции не следуют коммутативному свойству?
Вычитание и деление не следуют свойству коммутативности.
Можем ли мы применить свойство коммутативности к умножению 4 чисел?
Да, мы можем применить свойство коммутативности для умножения 4 чисел.
Например, $4 \times 5 \times 6 \times 7 = 7 \times 5 \times 6 \times 4$
В чем разница между ассоциативным и коммутативным свойством умножения?
Ассоциативный признак умножения утверждает, что при изменении группировки чисел произведение чисел остается прежним. $(\text{A B})$ $\text{C} = \text{A}$ $(\text{B C})$ так выражается ассоциативное свойство умножения.
Коммутативное свойство умножения утверждает, что даже если изменить порядок чисел, произведение двух или более целых чисел останется прежним. Коммутативность умножения представлена в виде $\text{A B C} = \text{C B A}$.
Что такое коммутативная собственность? Определение, формула, примеры
Коммутативное свойство
Коммутативное свойство утверждает, что числа, с которыми мы работаем, можно перемещать или менять местами с их позиции без какого-либо изменения ответа. Это свойство справедливо для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Посмотрим.
Приведенные выше примеры ясно показывают, что свойство коммутативности верно для сложения и умножения, но не для вычитания и деления. Итак, если мы поменяем местами числа в операторах вычитания или деления, это изменит всю проблему.
Итак, математически коммутативное свойство сложения и умножения выглядит так:
Коммутативное свойство сложения:
a + b = b + a; где a и b — любые 2 целых числа
Коммутативное свойство умножения:
а × б = б × а; где a и b — любые 2 ненулевых целых числа
Варианты использования коммутативного свойства
- У Майры 6 яблок и 2 персика. У Ким 2 яблока и 6 персиков. У кого больше фруктов?
У Ким 2 яблока и 6 персиков. У кого больше фруктов? Даже если у обоих разное количество яблок и персиков, у них равное количество фруктов, потому что 2 + 6 = 6 + 2.
- Сара покупает 3 упаковки булочек. В каждой упаковке по 4 булочки. Мила покупает 4 упаковки булочек, в каждой по 3 булочки. Кто купил больше булочек?
Даже если у обоих разное количество упаковок с булочками, причем в каждом из них разное количество булочек, они оба купили одинаковое количество булочек, потому что 3 × 4 = 4 × 3.
Пример 1: Заполните пропущенные числа, используя свойство коммутативности.
- _________ + 27 = 27 + 11
- 45 + 89 = 89 + _________
- 84 × ______ = 77 × 84
- 118 × 36 = ________ × 118
Решение:
- 11; по коммутативному свойству сложения
- 45; по коммутативному свойству сложения
- 77; по коммутативности умножения
- 36; по коммутативному свойству умножения
Пример 2: Используйте 14 × 15 = 210, чтобы найти 15 × 14.
Решение:0005 Так как 14 × 15 = 210, то 15 × 14 также равно 210. Пример 3: Используйте 827 + 389 = 1,216, чтобы найти 389 + 827. Кроме того, 827 + 389 = 389 + 827. Так как 827 + 389 = 1216, значит, 389 + 827 также равно 1216. Пример 4: Используйте свойство коммутативности сложения, чтобы записать уравнение 3 + 5 + 9 = 17 в другой последовательности слагаемых. Решение: 3 + 9 + 5 = 17 (поскольку 5 + 9 = 9 + 5) 5 + 3 + 9 = 17 (поскольку 3 + 5 = 5 + 3) 5 + 9 + 3 = 17 (потому что 3 + 9 = 9 + 3) Точно так же мы можем переставить слагаемые и написать: 9 + 3 + 5 = 17 9 + 5 + 3 = 17 Пример 4: Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой. Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой. Они купили одинаковое количество ручек или нет? Решение: Бен купил 3 упаковки по 6 ручек в каждой. Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 3 × 6 Миа купила 6 упаковок по 3 ручки в каждой. Итак, общее количество ручек, которые купил Бен = 6 × 3 По свойству перестановочности умножения 3 × 6 = 6 × 3. Итак, и Бен, и Мия купили равное количество ручек. Пример 5: У Лизы 78 красных и 6 синих шариков. У Бет есть 6 упаковок по 78 шариков в каждой. У них одинаковое количество шариков? Решение: Так как у Лизы 78 красных и 6 синих шариков. Итак, общее количество шариков у Лизы = 78 + 6 У Бет 6 пакетов по 78 шариков в каждом. Итак, общее количество шариков с Бет = 6 × 78 Очевидно, что сложение и умножение двух чисел дает разные результаты. (Кроме 2 + 2 и 2 × 2. То есть 78 + 6 ≠ 6 × 78 Итак, у Лизы и Бет не одинаковое количество шариков. 8 + 5 = 5 + 8 8 × 5 = 5 × 8 8 + 5 = 8 – 5 8 + 5 = 5 × 8 Согласно свойству коммутативности сложения сумма не меняется при перестановке слагаемых. 7 × $\frac{1}{7}$ = 1 7 × 1 = 7 7 × 3 = 3 × 7 7 × 0 = 0 Правильный ответ: 7 × 3 = 3 × 7 15 ÷ 3 15 × 3 15 – 3 3 ÷ 15 Правильный ответ: 15 × 3 5, 5 4, 4 5, 4 4, 5 Правильный ответ: 4, 5 Можете ли вы применить свойство коммутативности сложения/умножения к трем числам? 
Практические задачи
То есть а + b = b + а.
Согласно коммутативному свойству умножения, произведение остается тем же при замене местами множимого и множителя. То есть а × b = b × а.
Коммутативное свойство не выполняется для деления и вычитания.
5 + 4 = 4 + 5
(по коммутативному свойству) Часто задаваемые вопросы
Да. По определению коммутативность применяется к 2 числам, но результат остается тем же и для 3 чисел. Это потому, что мы можем применить это свойство к двум числам из 3 в различных комбинациях.
Какие операции не следуют свойству коммутативности?
Коммутативное свойство не применимо к вычитанию и делению.