Дедукция или логический метод предполагает: Дедукция или логический метод предполагает — Ответ на вопрос №93857

Дедукция — это метод логического мышления

Термин образован от латинского слова deductio – выведение.

Есть простое определение: дедукция – это метод мышления, который предполагает переход от общего к частному.

То, что верно для целого класса вещей, также истинно и для каждого объекта, относящегося к этому классу.

Дедуктивное рассуждение начинается с посылки – общего правила, которое считается истинным. Затем с помощью логических звеньев из посылки должно выводиться частное заключение.

Поясним на примере:

1. Посылка: у людей есть голова (класс объектов «человек» имеет общее свойство «наличие головы»).
2. Логическое звено: Петя – человек (он принадлежит к классу «человек»).
3. Заключение: у Пети есть голова.

Чтобы сделать такой вывод, вовсе не обязательно лично знать Петю.

Где применяется дедукция

Мы используем такое мышление ежедневно, даже не догадываясь об этом. Не замечаем, что в голове выстраиваются логические цепочки: теплая одежда защищает от холода, на улице холодно, куртка – теплая одежда, надену куртку. Все происходит автоматически за доли секунды.

Но метод дедуктивного мышления применяется осознанно во многих сферах:

1. Споры и дискуссии. Когда нужно убедить оппонента принять вашу точку зрения, достаточно найти очевидное утверждение, с которым он согласится. А потом логически связать предпосылку с нужным выводом. Менеджер в автосалоне убеждает клиента купить дорогой автомобиль: «Решайтесь, мы живем лишь раз. Зачем откладывать мечту?».
2. Математика. Доказательство теоремы основывается на аксиомах – утверждениях, которые по умолчанию истинны.
3. Криминалистика. Используя общую картину происшествия, эксперт устанавливает отдельные обстоятельства дела.
4. Наука. Дедукция – это основной логический способ доказательства. Ученый берет гипотезу (что это такое?), которую нужно подтвердить или опровергнуть, и выводит следствия. Если в ходе экспериментов удается обнаружить эти следствия, то гипотеза считается доказанной.
5. Философия. Это наука, где эксперименты – мысленные, а доказательства — логические. В той же физике можно подкинуть яблоко в небо, чтобы убедиться в существовании силы притяжения. Дедукция в философии – это способ логически обосновать гипотезу.

Индукция – что это?

Слово «индукция» (от лат. inductio – наведение) означает движение в противоположном направлении: от частного к общему.

На основании отдельных фактов выводится общее правило или закономерность.

Например:

1. Кеша умеет разговаривать.
2. Гоша умеет разговаривать.
3. Кеша и Гоша – попугаи.
4. Все попугаи умеют разговаривать.

К выводам, которые получены способом индуктивных рассуждений, не стоит относиться как к абсолютной истине. Это всего лишь гипотеза, которая может быть верной или ложной.

Чем больше фактов подтверждают вывод, тем он достовернее. В нашем случае, для получения на 100% верного предположения, нужно проверить всех попугаев на свете. Если хотя бы один не разговаривает, то вывод ложный.

Индукция имеет огромное значение для научного познания. Многие открытия совершены благодаря этому методу. Ученый наблюдает отдельные явления, выявляет связи и закономерности между ними, обобщает и выдвигает научную гипотезу.

Например, Аристотель обнаружил:

1. во время затмения Земля бросает на Луну круглую тень;
2. корабль скрывается за горизонтом по частям – сначала уходит корпус, а паруса еще видны;
3. звездное небо из разных точек планеты выглядит по-разному.

Из этих фактов методом индукции греческий мыслитель сделал вывод: Земля – шарообразной формы.

История метода дедукции

Теория дедукции создана древнегреческим мыслителем Аристотелем. Он сформулировал основные правила выведения умозаключений, в основе которых лежит связь между родом и единичной вещью. Такие умозаключения Аристотель называл категорическими силлогизмами.

Дедукцию постоянно пытались сравнивать с другими методами познания, стараясь выяснить, что лучше, а что хуже. Французский философ Рене Декарт противопоставлял дедукции интуицию. По его мнению, интуиция обеспечивает прямой доступ к подлинным знаниям, а дедукция лишь позволяет извлекать информацию путем рассуждения.

Фрэнсис Бэкон нещадно критиковал дедукцию. Дедуктивные рассуждения не дают новую информацию, а просто проливают свет на частный случай из общего правила. Правильным способом постижения новых истин Бэкон считал индукцию.

Готфрид Вильгельм Лейбниц, наоборот, называл дедуктивно-полученные знания «истинными во всех возможных мирах».

На самом деле, все методы познания работают в тесной связке друг с другом:

1. Интуиция помогает ученому понять, в каком направлении двигаться, что важно, а что нет.
2. С помощью индукции удается объединить набор разрозненных фактов в единое предположение.
3. Дедуктивная логика помогает проверить это предположение: если следствия верны, то и сама гипотеза – это истина.

Дедукция и индукция: как избежать ложных выводов

Когда плутаешь по логическим тропинкам, легко свернуть не туда. В дедукции, если общее утверждение ложно, то и выводы из него будут неправильными. В индукции недостаточное количество фактов дает ошибочное предположение. Если одно яблоко червивое, это не значит, что все остальные такие же.

Опаснее всего ошибочные выводы, которые получены путем объединения индукции с дедукцией.

Представьте девушку, которая избегает отношений с противоположным полом из-за печального опыта. Она думает так:

1. Индуктивное получение недостоверного вывода.
   1. Саша мне изменял, Сережа – бил, Коля – пропивал все деньги;
   2. Саша, Сережа и Коля – мужчины;
   3. все мужики – козлы.
2. Дедуктивное получение ошибочного следствия из ложного умозаключения.
   1. все мужики – козлы;
   2. новый ухажер – мужчина;
   3. значит, он козел, а козлы мне не нужны.

Проблема в том, что умозаключение «все мужики – козлы» основано на неполной выборке. Саша, Сережа и Коля – не все мужчины в мире.

Пример неудачной дедукции:

Как развивать дедуктивные способности

Дедуктивное мышление – это не врожденный талант, а навык, который можно и нужно развивать. Как это сделать:

1. Расширить кругозор. Чтобы уметь быстро подбирать общее правило под конкретный случай, нужно хранить в голове настоящую библиотеку. Шерлок Холмс обладал глубокими познаниями в химии, медицине, анатомии, криминалистике, ботанике и геологии. А еще играл на скрипке и занимался боксом.
2. Тренировать мозги. Без нагрузки наши мысли замедляются, а разум «костенеет». Помогут логические задачи, головоломки, шахматы и шашки. Можно учить иностранные языки или осваивать новую профессию.
3. Развивать наблюдательность. В этом деле важно подмечать мелкие детали и особенности. Шерлок Холмс, просто взглянув на часы, рассказал доктору Ватсону историю жизни их предыдущего владельца.
4. Научиться контролировать свое внимание. Сложно мыслить логически, когда рой из несвязанных мыслей хаотично носится в голове. Есть простое упражнение: следите за секундной стрелкой часов, стараясь не отвлекаться. Это непросто: скоро вы обнаружите, что забыли про стрелку и размышляете о чем-то постороннем.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Метод гипотетико-дедуктивный – Гуманитарный портал

Дедукция, индукция и аксиомы | Стив Паттерсон

Вы не можете мыслить критически, не понимая разницу между индуктивным и дедуктивным рассуждениями. Это не сложно понять, но это важно.

Индуктивное рассуждение

Основной аргумент, использующий индуктивное рассуждение, выглядит следующим образом:

Предпосылка : Каждый лебедь, которого я когда-либо видел, белый.

Вывод : Следовательно, все лебеди белые.

Можно сформулировать это по-другому: «Я наблюдал за миром, записывал свои переживания, и данные показывают, что все лебеди белые».

Этот аргумент небезоснователен, хотя вывод и неверен. Черные лебеди существуют; они являются редкими исключениями из правил.

Индуктивное рассуждение — основная методология науки. Ученые собирают данные; они формулируют теории на основе своих данных и приходят к правдоподобным выводам. Всякий раз, когда появляются новые данные (каждый раз, когда обнаруживается черный лебедь), их теории должны соответственно меняться.

Индукция начинается с конкретных данных, затем на основе этих данных делаются обобщенные выводы. Скажем, новый фармацевтический препарат прошел серию испытаний. В 90% случаев участники испытывали тошноту как побочный эффект. Было бы разумно сказать, что «90% людей будут испытывать тошноту как побочный эффект этого препарата», но это может быть неправдой. В конце концов, были проверены только люди в научных испытаниях . Возможно, это были аномалии, и никто из широкой публики вообще не будет испытывать тошноту. Это индуктивный прыжок, чтобы сказать: «Что произошло в ситуации X, то же произойдет и в ситуации Y».

Индукция имеет ключевую особенность: у вас могут быть истинные предпосылки и ложные выводы. Даже если все ваши доказательства говорят о том, что что-то верно, вывод не обязательно следует из них.

В качестве крайнего примера рассмотрим идею, которую мы считаем само собой разумеющейся: когда мы роняем вещи, они падают на землю. Почему мы верим, что это правда?

Что ж, весь наш опыт показывает, что это правда; возьмите кучу вещей, бросьте их и наблюдайте, что происходит. Но даже несмотря на то, что мы твердо убеждены, что «вещи падают на землю, если их уронить», это, безусловно, возможно что однажды мы что-нибудь уроним и оно полетит в космос. Это не кажется правдоподобным, но это логически возможно.

Дедуктивное рассуждение

Сравните это с примером дедуктивного рассуждения:

Посылка A: Все люди смертны.

Помещение B: Сократ — человек.

Заключение: Следовательно, Сократ смертен.

Если наши предпосылки верны, есть ли возможность сделать вывод ложным?

Нет. Такова природа дедуктивного рассуждения. Имея верные предпосылки и обоснованные выводы, вы можете быть уверены, что ваши выводы верны. Это потому, что дедуктивное рассуждение апеллирует к логической необходимости.

Дедукция также является методологией математики. Утверждения вроде «одно яблоко плюс одно яблоко равно двум яблокам» безусловно верны; это логическая необходимость. Вам не нужно «выходить и проверять», верно ли сложение в мире.

Мощная пара

Как человек, заинтересованный в точных рассуждениях, я предпочитаю определенные выводы правдоподобным. В идеальном мире мы могли бы прийти ко всем нашим выводам с помощью дедуктивных рассуждений. К сожалению, это невозможно. Фактически, большая часть наших знаний получена посредством индуктивных рассуждений; дедукция красива и мощна, но не всегда возможна из-за неопределенности предпосылок, с которых мы начинаем.

Однако есть несколько существенных исключений.

Некоторые области мышления начинаются с самоочевидной предпосылки, называемой «аксиомой». Затем они используют дедукцию, чтобы построить более крупную теорию из исходной аксиомы, что приводит к логически необходимым выводам.

Например, в экономике рассмотрим эту, казалось бы, безобидную аксиому: «люди действуют». Такое утверждение трудно отрицать — отрицание его само по себе было бы действием.

Но австрийский экономист Людвиг фон Мизес использовал эту аксиому как отправную точку и вывел из нее невероятно глубокую экономическую теорию.

Он построил логически достоверную основу для экономического мышления. Как только структура была создана, он заполнил ее всевозможными эмпирическими и логически необязательными предположениями. В результате получается невероятно мощное объяснение того, как устроен мир.

У этой техники мышления есть название: аксиоматико-дедуктивное рассуждение. Вы находите аксиому (аксиомы) и используете логическую дедукцию, чтобы выяснить, что обязательно следует из ваших аксиом. Этот метод менее популярен, чем стандартный «научный метод», хотя и переживает своего рода ренессанс, и позволяет делать гораздо более точные выводы.

Чтобы увидеть, как этот способ мышления можно применить к другим областям мышления, рассмотрим пару примеров. Первое в философии разума: «Восприятие происходит».

Вроде просто, но что дальше? Какие концепции обязательно предполагают и подразумевают аксиома восприятия?

Или возьмем аксиому философии языка: «Люди пытаются общаться».

Опять же, что мы можем знать наверняка, основываясь на этой истине? Это нелегко, но используйте свой разум, чтобы попытаться обнаружить некоторые последствия.

В будущем я представляю себе мир, в котором большинство интеллектуальных дисциплин могут сформулировать свои основополагающие аксиомы вместе с логически вытекающей из них концептуальной структурой. Но реорганизация наших мыслей вокруг аксиом и тавтологий требует значительных усилий, и нужно проделать большую работу.

Если вас интересует какая-то конкретная область мысли, постарайтесь найти надежные аксиомы и посмотреть, что из них можно вывести. Вы можете быть удивлены, как далеко вы можете зайти.

Теория познания Бертрана Рассела

Бертран Рассел (1911)

Источник: Собрание статей Бертрана Рассела

ГОВОРЯ О «математической логике», я использую это слово в очень широком смысле. Под ним я понимаю произведения Кантора трансфинитных чисел, а также логические работы Фреге и Пеано. Вейерштрасс и его преемники «арифметизировали» математика; то есть они сократили весь анализ к изучению целых чисел. Достижение этого сокращения означало завершение очень важного этапа, в конце из которых дух рассечения вполне мог бы быть допущен остальные. Однако теория целых чисел не может быть построена автономно, особенно если принять во внимание подобие в свойствах конечных и бесконечных чисел. Значит, нужно было пойти дальше и сократить арифметику, и прежде всего определение чисел, логике. По имени «математической логикой», то я буду обозначать любую логическую теория, объектом которой является анализ и дедукция арифметики а геометрию — посредством понятий, явно принадлежащих логике. Именно эту современную тенденцию я намерен обсудить здесь.

При исследовании работы, проделанной математической логикой, мы можем учитывать либо математические результаты, либо метод математического рассуждения, раскрытые современными работами, или внутренняя природа математических предложений в соответствии с анализом, который математический логика делает из них. Точно отличить невозможно эти три аспекта предмета, но достаточно различия служить основой для обсуждения. Это может думать, что обратный порядок был бы лучшим; что мы должны сначала рассмотреть, что такое математическое предложение, затем метод, с помощью которого такие предложения демонстрируются, и, наконец, результаты, к которым приводит нас этот метод. Но проблема, которая мы должны решить, как и всякая истинно философская проблема, проблема анализа; а в задачах анализа лучший метод есть то, что исходит из результатов и достигает предпосылок. В математической логике наибольшее значение имеют выводы. степень уверенности: чем ближе мы подходим к конечным предпосылкам тем больше неуверенности и трудностей мы находим.

С философской точки зрения самые блестящие результаты нового метода — это точные теории, которые мы смогли формировать о бесконечности и непрерывности. Мы знаем, что когда у нас есть делать с бесконечными коллекциями, например, с коллекцией конечные целые числа, можно установить однозначное соответствие между всей коллекцией и ее частью. Например, существует такое соответствие между конечными целые и четные числа, поскольку отношение конечного число к его двойнику является взаимно-однозначным. Таким образом, очевидно, что номер бесконечной коллекции равен номеру части этой коллекции. Раньше считалось, что это противоречие; даже Лейбниц, хотя он и был сторонником фактическое бесконечное, отрицаемое бесконечное число из-за этого предполагаемого противоречие. Но чтобы показать, что есть противоречие мы должны предположить, что все числа подчиняются математической индукции. Чтобы объяснить математическую индукцию, назовем ее «наследственной свойство» числа свойство, которое принадлежит сущ. + 1 всякий раз, когда он принадлежит n . Таковы, например, свойство быть больше 100. Если число больше больше 100, следующее за ним число больше 100. Пусть называть именем «индуктивное свойство» числа а наследственное свойство, которым обладает число ноль. Такой свойство должно принадлежать 1, так как оно наследственное и принадлежит до 0; точно так же он должен принадлежать 2, так как он принадлежит 1; и так далее. Следовательно, числа повседневной жизни обладают каждое индуктивное свойство. Теперь среди индуктивных свойств числа найдено следующее. Если какая-либо коллекция имеет номер n, никакая часть этой коллекции не может иметь тот же номер п . Следовательно, если все числа обладают всеми индуктивными свойствами, есть противоречие с тем, что есть коллекции которые имеют то же число, что и часть самих себя. Это противоречие, однако перестает существовать, как только мы признаем, что существуют числа, которые не обладают всеми индуктивными свойствами. А потом кажется, что в бесконечном числе нет противоречия. Кантор даже создал целую арифметику бесконечных чисел, и с помощью этой арифметики он полностью решил прежние проблемы о природе бесконечного, которые беспокоили философии с древних времен.

Проблемы континуума тесно связаны с проблемы бесконечности и их решение осуществляется те же средства. Парадоксы Зенона Элеата и трудности при анализе пространства, времени и движения все совершенно объясняется с помощью современной теории непрерывности. Это потому что была найдена непротиворечивая теория, согласно континуум которого состоит из бесконечности различных элементов; а это раньше казалось невозможным. Элементы не могут все быть достигнуто путем постоянной дихотомии; но из этого не следует этих элементов нет.

Отсюда следует полный переворот в философии пространства. и время. Реалистические теории, которые считались противоречивыми таковыми больше не являются, и идеалистические теории потеряли всякое оправдание там могло быть для их существования. Поток, который был считается неспособным к анализу на неделимые элементы, показывает себя способным к математическому анализу, и наш разум оказывается способным объяснить физические мира и чувственного мира, не предполагая прыжков, где есть преемственность, а также не отказываясь от анализа в отдельные и неделимые элементы.

Математическая теория движения и других непрерывных изменений использует, кроме теорий бесконечного числа и природы континуума, два коррелятивных понятия, функция и переменной . Важность этих идей можно показать на примере. Мы до сих пор находим в книгах по философии формулировку закона причинности в форме: «Когда повторится та же причина, произойдет то же следствие». Но можно очень справедливо заметить, что одна и та же причина никогда происходит снова. На самом деле имеет место то, что существует постоянная отношения между причинами определенного рода и следствиями, которые результат от них. Везде, где есть такое постоянное отношение, следствие есть функция причины. С помощью константы отношения мы суммируем в одной формуле бесконечность причин и эффекты, и мы избегаем изношенной гипотезы повторение по той же причине. Это идея функциональности, которая так сказать идея постоянного отношения, которая дает секрет способности математики иметь дело одновременно с бесконечностью данных.

Чтобы понять роль идеи функции в математике, мы должны прежде всего понять метод математической дедукции. Следует признать, что математические доказательства, даже те, которые выполняются с помощью так называемой математической индукции, всегда являются дедуктивными. Так вот, в дедукции почти всегда бывает что справедливость вывода не зависит от субъекта о чем говорится, но только в форме того, что о нем говорится. Возьмем, к примеру, классический аргумент: Все люди смертны, Сократ. человек, следовательно, Сократ смертен. Здесь видно, что сказанное остается истинным, если Платон, Аристотель или кто-либо другой заменяет Сократа. Тогда мы можем сказать: если все люди смертный, а если х — человек, тогда х — смертный. Этот является первым обобщением предложения, из которого мы установили вне. Но легко пойти дальше. В вычете, который сказано, ничто не зависит от того, что это люди и смертные которые занимают наше внимание. Если все члены любого класса a являются членами класса s , и если x является членом класс a, то x является членом класса s . В этом утверждении мы имеем чистую логическую форму, лежащую в основе все выводы той же формы, что и тот, который доказывает, что Сократ смертен. Чтобы получить предложение чистой математики (или математической логики, что одно и то же), мы должны представить дедукция любого рода к процессу, аналогичному тому, который мы только что выступили, то есть когда остается аргумент действует, если один из его терминов изменен, этот термин должен быть заменен переменной, т. е. неопределенным объектом. Таким образом мы прийти, наконец, к положению чистой логики, т. е. к положению который не содержит никакой другой константы, кроме логических констант. Определение логических констант непросто, но вот что можно сказать: константа является логической , если предложения в котором он находится, все еще содержит его, когда мы пытаемся заменить его по переменной. Более точно мы можем, пожалуй, охарактеризовать логические константы следующим образом: если мы сделаем какой-либо вывод и заменить его члены на переменные, это произойдет через некоторое количество стадий, что константы, которые все еще остаются в дедукции относятся к определенной группе, и, если мы попытаемся подтолкнуть обобщение более того, всегда будут оставаться константы, принадлежащие в эту же группу. ‘Эта группа есть группа логических констант. Логические константы составляют чистую форму; а формальное предложение – это предложение, не содержащее другие константы, кроме логических констант. Мы только что сократили дедукция, которая доказывает, что Сократ смертен к следующему форма: «Если x это a , тогда, если все члены из a являются членами b, , отсюда следует, что x является а б ». Константы здесь таковы: is- а, все, и если-то. Это логические константы и, очевидно, они чисто формальные понятия.

Действительность любого действительного вывода зависит от его формы. а его вид получается заменой членов вывода переменными до тех пор, пока не останется никаких других констант, кроме те из- логики. И наоборот: каждый действительный вывод может быть получается, начиная с вывода, который действует на переменные с помощью логических констант, путем приписывания переменным определенных значений, при которых гипотеза становится верной.

С помощью этой операции обобщения мы разделяем строго дедуктивный элемент аргумента из элемента, который зависит от особенностей того, о чем идет речь. Чистая математика занимается исключительно дедуктивным элементом. Мы получаем предложения чистой математики в процессе очистки . Если я скажу: «Вот две вещи, и вот еще две вещи, следовательно, здесь всего четыре вещи», я не утверждаю предложение чистой математики, потому что здесь приходят конкретные данные под вопросом. Предложение, которое я изложил, является 9Приложение 0025 общего положения: «Данные любые две вещи, а также любые две другие вещи, всего есть четыре вещи». последнее предложение является предложением чистой математики, в то время как первое является предложением прикладной математики.

Очевидно, что то, что зависит от специфики предмета является проверкой гипотезы, и это позволяет нам утверждать не только, что гипотеза влечет за собой тезис, но и что, поскольку гипотеза верна, тезис также верен. Это утверждение не сделано в чистой математике. Здесь мы довольствуемся себя с гипотетической формой: Это- любой субъект удовлетворяет такой-то и такой-то гипотезе, она также будет удовлетворять такой-то Тезис. Таким образом, чистая математика становится полностью гипотетической. и занимается исключительно любым неопределенным предметом, то есть с переменная. Любые действительные вычеты находят его форма в гипотетическом предложении, принадлежащем чистой математике; но в самой чистой математике мы не утверждаем ни гипотезу ни тезис, если и то, и другое не может быть выражено в терминах логического константы.

Если спросят, почему стоит сводить отчисления к таким форму, я отвечаю, что для этого есть две связанные причины. Во-первых, хорошо обобщать любую истину. насколько это возможно; и, во-вторых, экономия труда получается путем вычета с неопределенным Икс. Когда мы рассуждаем о Сократе, мы получаем результаты, которые применимы только Сократу, так что, если мы хотим знать что-то о Платон, мы должны провести рассуждения снова и снова. Но когда мы работаем над x, мы получаем результаты, которые, как мы знаем, справедливы для каждые x , что удовлетворяет гипотезе. Обычный научный мотивы экономии и обобщения приводят нас, таким образом, к теории только что набросанного математического метода.

После того, что только что было сказано, легко понять, о чем следует думать. о внутренней природе предложений чистой математики. В чистой математике мы никогда не должны обсуждать факты, применимые к такому-то и такому-то индивидуальному предмету; нам никогда не нужно ничего знать о реальном мире. Нас интересуют исключительно переменные, то есть с любым предметом, о котором выдвигаются гипотезы которые иногда могут выполняться, но проверка которых для таких и такой объект нужен только для значение из выводы, а не за их истинность. На первый взгляд может кажется, что в такой науке все было бы произвольно. Но это не так. Необходимо, чтобы гипотеза действительно подразумевает тезис. Если мы выдвинем гипотезу о том, что гипотеза следует тезис, мы можем делать выводы только в том случае, когда эта новая гипотеза действительно подразумевает новый тезис. Значение является логической константой и без нее нельзя обойтись. Следовательно нам нужны истинные предложения об импликации. Если взять за предпосылки суждения о импликации, которые не были истинными, последствия которые, казалось бы, вытекают из них, на самом деле не подразумевались посылками, так что мы не получили бы даже гипотетического доказательство. Эта необходимость истинных предпосылок подчеркивает различие первостепенное значение, то есть различие между предпосылка и гипотеза. Когда мы говорим: «Сократ — человек, , следовательно, Soc оценивает смертность», суждение «Сократ есть человек» — это посылка, но когда мы говорим: « Если Сократ — человек, значит, Сократ смертен». «Сократ — человек» — это только гипотеза. Сходным образом когда я говорю: «Если из p вывести q и из q выводим r, затем из p выводим r «, предложение «Из p мы выводим q и из q выводим r » — это гипотеза, но в целом предложение не является гипотезой, так как я утверждаю его, и, в самом деле, это правда. Это предложение является правилом дедукции, и правила дедукции имеют двоякое применение в математике: оба как помещения и как способ получения следствий помещения. Теперь, если бы правила дедукции были неверны, последствия то, что было бы получено при их использовании, на самом деле не было бы последствиями, так что у нас не должно быть даже правильного изложения вывода из ложной предпосылки. Именно это двойное использование правил вывод, который различает основы математики из более поздних частей. В последующих частях мы используем те же правила дедукции, чтобы вывести, но мы больше не используем их непосредственно как помещения. Следовательно, в более поздних частях непосредственная посылки могут быть ложными без логически неверных выводов, но, в основаниях, выводы будут неверны, если предпосылки не соответствуют действительности. В этом надо разобраться пункт, ибо в противном случае часть произвольности и гипотезы может показаться больше, чем есть на самом деле.

Таким образом, математика целиком состоит из предложений, которые содержат только переменные и логические константы, то есть чисто формальные предложения, ибо логические константы суть те которые составляют форму. Замечательно, что у нас есть сила зная такие предложения. Последствия анализа математических знаний не лишены интереса для теории знаний. В первую очередь следует отметить, что в оппозиции эмпирическим теориям, что математическое знание нуждается в предпосылках которые не основаны на данных чувств. Каждое общее предложение выходит за пределы познания, получаемого через органы чувств, которое полностью ограничено тем, что индивидуально. Если мы скажем, что распространение данного случая на общий осуществляется путем средств индукции, мы вынуждены признать, что сама индукция не подтверждается опытом. Что бы ни было точным формулировку основного принципа индукции, очевидно что, во-первых, этот принцип является общим, а в второе место, что она не может без порочного круга быть самой собой доказывается индукцией.

Предполагается, что принцип индукции можно сформулировать примерно следующим образом. Если нам дан тот факт, что любые два свойства встречаются вместе в определенном количестве случаев, более вероятно, что новый случай, который обладает одним из этих свойствами будет обладать иное, чем оно было бы, если бы мы не такая данность. Я не говорю, что это удовлетворительная формулировка принципа индукции; Я лишь говорю, что принцип индукция должна быть такой, поскольку она должна быть абсолютно общий принцип, содержащий понятие вероятности. Сейчас очевидно, что чувственный опыт не может показать такого принцип и даже не может сделать его вероятным; ибо это только в в силу самого принципа, что тот факт, что он часто был успешным, дает основания полагать, что он, вероятно, быть успешным в будущем. Следовательно, индуктивное знание, как всякое знание, полученное путем рассуждений, нуждается в логических принципах которые априори и универсальный. Сформулировав принцип индукции мы превращаем всякую индукцию в дедукцию; индукция есть не что иное, как дедукция, использующая определенную посылку, а именно принцип индукции.

Поскольку человеческое знание является примитивным и недоказанным, делится, таким образом, на два вида: знание отдельных фактов, что одно только и позволяет нам утверждать существование и знание логического истина, которая одна только и позволяет нам рассуждать о данных. В науке и в повседневной жизни смешиваются два вида знания: предложения, которые утверждаются, получаются из определенных посылок с помощью логических принципов. В чистом восприятии мы находим только знание конкретных фактов: в чистой математике мы находим только познание логических истин. Чтобы такое знание было возможно, необходимо наличие самоочевидной логической истины, то есть истины, которые известны без демонстрации. Это истины, которые являются предпосылками чистой математики. а также дедуктивных элементов в каждой демонстрации на какой угодно предмет.

Следовательно, можно делать утверждения не только о случаях которые мы смогли наблюдать, но обо всех действительных или возможных случаи. Существование утверждений такого рода и их необходимость для почти всех частей знания, которые, как говорят, основаны Опыт показывает, что традиционный эмпиризм ошибочен и что есть априори и всеобщее знание.

Несмотря на то, что традиционный эмпиризм ошибается в своей теории познания, нельзя думать, что идеализм правильно. Идеализм по крайней мере всякой теории познания, которая производное от Канта, предполагает, что универсальность априори истины вытекают из их свойства выражать свойства ум: вещи кажутся такими, потому что природа видимости зависит от предмета так же, как если бы у нас были голубые очки, все кажется синим. Категории Канта – это цветные очки разума; истины априори являются ложные представления, создаваемые этими очками. Кроме того, мы должны знать, что у всех одинаковые очки и что цвет очков никогда не меняется. Кант не соизволил расскажи нам, как он узнал об этом.

Как только мы примем во внимание следствия гипотезы Канта, становится очевидным, что общие и априорных истин должны иметь ту же объективность, ту же независимость ума, которыми обладают отдельные факты физического мира. По факту, если бы общие истины выражали только психологические факты, мы не могли бы знать, что они будут постоянными от момента к моменту или от от человека к человеку, и мы никогда не смогли бы использовать их на законных основаниях для вывести факт из другого факта, так как они не будут связаны факты, а наши представления о фактах. Логика и математика сила нам, таким образом, признать своего рода реализм в схоластическом смысле, то есть признать, что существует мир универсалий и истин, не имеющих непосредственного отношения к такому-то конкретному существование. Этот мир универсалий должен существовать, хотя оно не может существовать в том же смысле, в котором конкретное данные есть. У нас есть непосредственное знание неопределенного числа предложений об универсалиях: это конечный факт, поскольку предельное, как ощущение. Чистая математика, которую обычно называют «логика» в своих элементарных частях — это сумма всего что мы можем знать, прямо или демонстративно, о определенные универсалии.

В отношении самоочевидных истин следует избегать недоразумение. Самоочевидность – это психологическое свойство и поэтому является субъективным и изменчивым. Очень важно знание, поскольку всякое знание должно быть либо самоочевидным, либо выводится из самоочевидных знаний. Но порядок знаний которое получается, если исходить из того, что само собой разумеющееся не является то же самое, что и порядок логического вывода, и мы должны не думайте, что, когда мы даем такие-то и такие-то посылки для дедуктивного системы, мы считаем, что эти предпосылки составляют то, что самоочевидно в системе. В первую очередь самоочевидность имеет степени: вполне возможно, что последствия более очевидно, чем помещения. Во-вторых, может случиться что мы уверены в истинности многих следствий, но что посылки только кажутся вероятными, и что их вероятность обусловлено тем, что из них вытекают истинные последствия. В В таком случае мы можем быть уверены в том, что посылки подразумевают все истинные следствия, которые хотели поместить в дедуктивное система. Это замечание имеет отношение к основам математике, поскольку многие исходные посылки по своей сути менее очевидны, чем многие следствия, которые выводятся из их. Кроме того, если мы придаем слишком большое значение самоочевидности предпосылок дедуктивной системы, мы можем ошибиться роль интуиции (не пространственной, а логической) в математике. Вопрос о роли логической интуиции является психологическим. вопрос и не надо, при построении дедуктивного системы, чтобы иметь о ней мнение.

Подводя итог, мы увидели, во-первых, что математическое логика разрешила проблемы бесконечности и непрерывности, и что она сделала возможной солидную философию пространства, времени и движение.