Первое умножение или деление: порядок решения, проверьте свои знания

Правила умножения и деления | Дефектология Проф

После того, как выучена таблица умножения, школьникам объясняют правила умножения и деления, учат использовать их при вычислении математических выражений.

ЧТО ТАКОЕ УМНОЖЕНИЕ? ЭТО УМНОЕ СЛОЖЕНИЕ

При сложении и вычитании, умножении и делении чисел в простых выражениях у детей не возникает трудностей:

• 5 × 3 = 15;
• 86 – 9 = 77;
• 81 : 9 = 9.

В таких вычислениях необходимо только знать правила сложения и вычитания и таблицу умножения.
Когда начинаются более сложные упражнения, примеры состоят из двух и более действий, да еще и со скобками, при решении у детей появляются ошибки. И главная из них – неправильный порядок действий.

 

ДА КАКАЯ РАЗНИЦА?

Действительно, настолько ли это важно – какое действие в примере выполнить первым, какое вторым?

• Рассмотрим примеры:

10 – 5 + 2 = ?

Если мы будем выполнять действия по порядку, получим:

1. 10 – 5 = 5;
2. 5 + 2 = 7.

Попробуем иначе:

1. 5 + 2 = 7;
2. 10 – 7 = 3.

Получили два разных ответа. Но так быть не должно, следовательно, порядок выполнения действий имеет значение. Тем более, если в выражении имеются скобки:

25 – (18+2) = ?

Пробуем решить двумя способами:

1. 25 – 18 + 2 = 9;
2. 25 – 20 = 5.

Ответы разные, а для того чтобы определить порядок действий, в выражении стоят скобки – они показывают, какое действие нужно выполнить первым. Значит, правильным будет такое решение:

1. 18 + 2 = 20;
2. 25 – 20 = 5.

Другого решения у ответа у примера быть не должно.

Итак:

ЧТО ВАЖНЕЕ – УМНОЖЕНИЕ ИЛИ СЛОЖЕНИЕ?

При решении примеров
Расставь порядок действий.
Умножить или разделить – на первом месте.

Для выражений, в которых присутствуют не сложение либо вычитание, а умножение или деление, действует то же правило: все действия с числами выполняются по порядку, начиная с левого:

81 : 9 х 2 = ?

1. 81 : 9 = 9;
2. 9 х 2 = 18.

Сложнее случай – когда в одной задаче встречаются умножение или деление со сложением или вычитанием. Каков порядок вычислений тогда?

Рассмотрим пример:

8 : 2 + 2 = ?

Если выполнять все действия по порядку, сначала деление, затем сложение. В итоге получим:

1. 8 : 2 = 4;
2. 4 + 2 = 6.

Значит, пример решен правильно. А если в нем будут скобки?

8 : (2 + 2) = ?

1. 2 + 2 = 4;
2. 8 : 4 = 2.

То, что заключено в скобки, всегда в приоритете. Для того они и стоят в выражении. Поэтому порядок вычислений в подобных выражениях будет следующим:

1. Раскрываем скобки. Если их несколько, делаем вычисления для каждых.
2. Умножение либо деление.
3. Вычисляем конечный результат, выполняя действия слева направо.

Пример:
81 : 9 + (6 – 2) + 3 = ?

1. 6 – 2 = 4;
2. 81 : 9 = 9;
3. 9 + 4 = 13;
4. 13 + 3 = 16.

81 : 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

А что будет приоритетным: умножение — или деление, вычитание — или сложение, если оба действия встречаются в задаче? Ничего, они равны, в таком случае действует первое правило – действия производятся одно за другим, начиная слева.

Алгоритм решения выражения:

1. Анализируем задачу – есть ли скобки, какие математические действия нужно будет выполнить.
2. Выполняем вычисления в скобках.
3. Делаем умножение и деление.
4. Выполняем сложение и вычитание.

Пример:

28 : (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?

Порядок вычисления:

1. 11 – 4 = 7;
2. 25 – 8 = 17;
3. 28 : 7 = 4;
4. 4 + 18 = 22;
5. 22 – 17 = 5.

Ответ: 28 : (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = 5.

Важно! Если в выражении есть буквенные обозначения, порядок действий остается прежним.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С НУЛЕМ

Круглый нуль такой хорошенький,
Но не значит ничегошеньки.

В примерах нуль как число не встречается, но он может быть результатом какого-либо промежуточного действия, например:

5 × (8 : 2 – 4) = ?

1. 8 : 2 = 4;
2. 4 – 4 = 0;
3. 5 × 0 = ?

При умножении на 0 правило гласит, что в результате всегда получится 0. Почему? Объяснить можно просто: что такое умножение? Это одно и то же число, сложенное с себе подобным несколько раз. Иначе:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

Деление на 0 бессмысленно, а деление нуля на любое число даст в результате всегда 0:

0 : 5 = 0.

Да и как может быть иначе, когда делить-то нечего? Если у вас нет яблок, поделиться с друзьями вам нечем.

Напомним другие арифметические действия с нулем:

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ЕДИНИЦУ

Математические действия с единицей отличаются от действий с нулем. При умножении или делении числа на 1 получается само первоначальное число:

7 × 1 = 7;

7 : 1 = 7.

Конечно, если у вас есть 7 друзей, и каждый подарил вам по конфете, у вас будет 7 конфет, а если вы их съели в одиночестве, то есть поделились лишь с самим собой, то все они и оказались в вашем желудке.

ВЫЧИСЛЕНИЯ С ДРОБЯМИ, СТЕПЕНЯМИ И СЛОЖНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Это сложные случаи вычислений, которые не рассматриваются в рамках начальной школы.

• Действия с дробями

Умножение простых дробей друг на друга не представляется сложными, достаточно лишь перемножить числитель на числитель, а знаменатель – на знаменатель.
Пример:

25×38 = ?

1. 2 × 3 = 6 — числитель
2. 5 × 8 = 40 — знаменатель

 

Деление простых дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Достаточно лишь преобразовать задачу – превратить ее в пример с умножением. Сделать это просто – нужно перевернуть дробь так, чтобы знаменатель стал числителем, а числитель – знаменателем.
Пример:

28=25:35=?

28:35=28×53

1. 2 × 5 = 10;
2. 8 × 3 = 24.

28:35=1024=512

• Действия со степенями

Если в задаче встречается число, представленное в виде степени, его значение вычисляется прежде всех остальных (можете представить, что оно заключено в скобки – а действия в скобках выполняются первыми).
Пример:

(5² – 7) : 3 = ?

1. 5² = 5 х 5 = 25;
2. 25 – 7 = 18;
3. 18 : 3 = 6.

(5² – 7) : 3 = 6.

Преобразовав число, представленное в виде степени, в обычное выражение с действием умножения, решить пример оказалось просто: сначала умножение, затем вычитание (потому что в скобках) и деление.

• Действия с корнями, логарифмами, функциями

Поскольку такие функции изучаются только в рамках старшей школы, рассматривать их мы не будем, достаточно только сказать, что они, как и в случае со степенями, имеют приоритет при вычислении: сначала находится значение данного выражения, затем порядок вычислений обычный – скобки, умножение с делением, далее по порядку слева направо.

ГЛАВНЫЕ ПРАВИЛА ПО ТЕМЕ

Говоря о главных и неглавных математических действиях, нужно сказать, что четыре основных действия можно свести к двум: сложение и умножение. Если вычитание и деление представляется для школьников сложным, правила сложения и умножения они запоминают быстрее. Действительно, выражение 5 – 2 можно записать иначе:

2 + х = 5.

Аналогично:

8 : 2 = у × 2 = 8.

В случаях с умножением действуют правила, схожие со свойствами сложения: от перестановки множителей произведение не изменится:

5 × 4 = 4 × 5.

При решении сложных задач первое действие — то, которое выделено скобками, затем — деление или умножение, потом все остальные действия по порядку.
Когда нужно решить примеры без скобок, вначале выполняется умножение или деление, далее — вычитание либо сложение.

  Вся информация взята из открытых источников.
Если вы считаете, что ваши авторские права нарушены, пожалуйста, напишите в чате на этом сайте, приложив скан документа подтверждающего ваше право.
Мы убедимся в этом и сразу снимем публикацию.

Основные операции в математике | УДОБА

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

сложение (+)
вычитание (-)
умножение (*)
деление (:)

Операции отношения:

равно (=)
больше (>)
меньше (<)
больше или равно (≥)
меньше или равно (≤)
не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.
Бесплатный вводный урок
Шаг 1 из 2. Данные ученика
Класс

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз. 4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

действия выполняются по порядку слева направо
сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

Как решаем:

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Как рассуждаем:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

решение примера
Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

порядок действий
Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Какое действие в полученном выражении делается первым, умножение или деление? Выполняем слева направо: умножение, деление, затем — вычитание. Получилось:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 18 : 2 = 10 + 6 = 16.

На этом все действия выполнены.

GEMDAS Порядок операций

GEMDAS — это правило, которое можно использовать для упрощения или вычисления сложных числовых выражений с помощью более чем одной бинарной операции.

Очень простой способ запомнить правило GEMDAS:

G —> Группировка (круглые скобки)

E —-> Exponent

M —-> Multiply

D —-> 0Div

A —-> Добавить

S —-> Вычесть

Важные примечания:

1. В конкретном упрощении, если у вас есть и умножение, и деление, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.

2. Деление не всегда предшествует умножению. Мы должны сделать один за другим в порядке слева направо.

3. В особом упрощении, если у вас есть и сложение, и вычитание, выполняйте операции одну за другой в порядке слева направо.

Примеры:

12 ÷ 3 x 5 = 4 x 5 = 20

13 — 5 + 9 = 8 + 9 = 17

В приведенном выше упрощении мы имеем и деление, и умножение. Слева направо у нас сначала деление, а потом умножение. Поэтому сначала делаем деление, а потом умножение.

Задача 1 :

Оценка :

5 + 6 x 7

Решение :

Оценка = 5 + 6 x 7 = 5 + 42 = 47

Операция Умножение Сложение Результат

Задача 2:

Оценка:

(25 + 11) x 2

Решение:

Оценка = (25 + 11) х 2 = 36 х 2 = 72

Операция Группировка Умножение Результат

Задача 3 :

Оценка :

10 ²  — 16 ÷ 8

Решение :

Оценка

= 10 ²  — 16 ÷ 8

= 100 — 16 ÷ 8

= 100 – 2 

= 98

Операция Возведение в степень Деление Вычитание Результат

Задача 4:

Оценка:

3 + 6 x (5 + 4) ÷ 3 -7

Решение:

Оценка = 3 + 6 x (5 + 4) ÷ 3 -7 = 3 + 6 x 9 ÷ 3 -7 = 3 + 54 ÷ 3 -7 = 3 + 18 -7 = 21 — 7 = 14

Операция Группировка Умножение Разделение Сложение Вычитание Результат

Задача 5 :

Оценка :

56 — 2(20 + 12 ÷ 4 x 3 — 2 x 2) + 10

Решение :

Оценка

= 56 — 2(20 + 12 ÷ 4 x 3 — 2 x 2) + 10

= 56 — 2 (20 + 12 ÷ 4 x 3 — 2 x 2) + 10

= 56 — 2(20 + 3 х 3 — 2 х 2) + 10

= 56 — 2(20 + 9 — 4) + 10

= 56 — 2(29 — 4) + 10

= 56 — 2(25) + 10

= 0+ 0 0 — 0

= 6 + 10

= 16

Операция

Группа

Divide

Умножение

Добавить

Вычитание

Умножение

Вычитание

Добавить

РЕЗУЛЬТАТ

.

Задача 6 :

Оценка :

6 + [(16 — 4) ÷ (2 ²  + 2)] — 2

Решение:

Оценка = 6 + [(16 — 4) ÷ (2 2 + 2)] — 2 = 6 + [12 ÷ (2 2  + 2)] — 2 6 + = [12 ÷ (4 + 2)] — 2 = 6 + [12 ÷ 6] — 2 = 6 + 2 — 2 = 8 — 2 = 6

Операция Группировка Мощность Скобка Скобка Сложение Вычитание Результат

Задача 7 :

Оценка :

(96 ÷ 12) + 14 x (12 + 8) ÷ 2

Решение :

Оценка = (96 ÷ 12) + 14 x (12 + 8) ÷ 2 = 8 + 14 x 20 ÷ 2 = 8 + 280 ÷ 2 = 8 + 140 = 148

Операция Группировка Умножение Деление Сложение Результат

Задача 8 :

Оценка :

(93 + 15) ÷ (3 x 4) — 24 + 8

Решение :

Оценка = (93 + 15) ÷ (3 x 4) — 24 + 8 = 108 ÷ 12 — 24 + 8 7

Операция Группировка Деление Вычитание Вычитание Результат

Задача 9 :

Оценка :

55 ÷ 11 + (18 — 6) x 9

Решение :

Оценка = 55 ÷ 11 + (18 — 6) x = 55 ÷ 11 + 12 x = 5 + 12 x = 5 + 108 = 113

Операция Группировка Деление Умножение Сложение Результат

Задача 10:

Оценка:

(7 + 18) x 3 ÷ (2 + 13) — 28

Решение:

Оценка = (7 + 18) x 3 ÷ (2 + 13) — 28 = 25 x 3 ÷ 15 — 28 = 75 ÷ 15 — 28 = 5 — 28 = -23

Операция Группировка Умножение Деление Вычитание Результат

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на v4formath@gmail. com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Умножение: действительно ли порядок имеет значение?

Некоторые вещи, которые меня интересуют прямо сейчас об умножении 3-го класса…

• Когда учащиеся замечают, что 4 x 3 — это тот же продукт, что и 3 x 4, и говорят: «Порядок не имеет значения», как вы отвечаете на этот вопрос?
• Существует ли соглашение о написании 4 групп по 3 в виде 4 x 3?
• Есть ли время, например, при переходе к делению или умножению дроби и делению, когда порядок имеет значение при решении или размышлении о контексте?

Ответы, которые у меня есть прямо сейчас на эти вопросы….

• Прямо сейчас, поскольку они только изучают умножение, я спрашиваю их, что они думают и почему.
• Я думаю, что у меня есть некоторая условность, потому что картина меняется. Три корзины по 2 яблока в каждой отличаются от 2 корзин по 3 яблока в каждой. Кроме того, при чтении CCSS так кажется.
• Я все еще думаю о делении, но это наводит меня на мысль, что в этом и будет разница между партитивным и квотным делением. Я также думаю, что когда учащиеся начинают умножать четвертую дробь, они связывают это с тем, что они знают о операциях с целыми числами, поэтому 4 x 1/2 — это 4 группы по 1/2. Это кажется важным.

Мы с учителями 3 класса много обсуждали эти идеи. Учащиеся рисовали множество изображений точек, и некоторые твердо убеждены, что эти два выражения означают одно и то же, потому что они могут перегруппировать точки, чтобы они соответствовали обоим выражениям. Другие думают, что они другие, потому что картина меняется. Все это кажется замечательным, но затем ученики используют это рассуждение для решения задач. Например, для такой задачи, как , есть 5 полок с 6 тыквами на каждой полке. Сколько тыкв на полках? учеников представят это как 5×6 или 6×5. Является ли это проблемой для меня, не совсем, если у них есть способ получить 30, но должен ли он быть? Я не уверен.

Я пошел в класс 3-го класса, чтобы попробовать кое-что. Я сказал им, что собираюсь рассказать им две истории, и хотел, чтобы они нарисовали картинку, представляющую историю (не картинку из художественного класса, а математическую картинку) вместе с соответствующим уравнением умножения.

1-й этаж: На стене продуктового магазина 5 полок. На каждой полке по 6 тыкв.

2-й этаж: На другой стене 6 полок с 5 тыквами на каждой полке.

Я спросил их, одинаковы ли истории, и мы, как я и ожидал, разговорились о 5×6 против 6×5 и о том, что это значит с точки зрения истории. Они говорили о 5 группах по 6, связывали переключение множителей на сложение, а затем некоторые говорили о 6 рядах по 5.

Из этой работы выяснилось много интересного…

• У некоторых учеников были разные ответы на две задачи. . Они, очевидно, не считали эти два выражения одинаковыми, потому что у них возникли проблемы с 5 группами по 6, когда они пытались считать по 6 и забыли строку.

• Одна ученица сказала, что вторая задача ей понравилась больше, потому что она могла считать до 5 легче, чем до 6.

• Учащиеся пропускают счет на 5, но добавляют 6 при нахождении 5 групп по 6. 
• Один ученик заметил разницу между 5 и 6 и понял, что удаление одной полки равнозначно добавлению тыквы в каждый из остальных рядов.

• Один ученик показал, как он использовал то, что знал об одном, чтобы поменять местами множители, чтобы упростить решение.

 

Но они продолжают спрашивать Кто из них прав? и говорю им, что у меня нет для них ответа. Я просто продолжаю спрашивать их:

Ответ тот же?

Когда вы слушаете рассказ, картинка та же самая?

После вчерашней беседы с Майклом Першаном я все еще нахожусь в странном состоянии, думая об этом, и я думаю, что он и я частично согласны с несколькими вещами (поправьте меня, если я ошибаюсь, Майкл) … Да, я думаю, что «группы» важны для контекста истории.