Порядок математических действий без скобок: Выражения без скобок — урок. Математика, 2 класс.

Содержание

Порядок арифметических действий (операций) Арифметика

Привет, мой друг, тебе интересно узнать все про порядок арифметических действий операций , тогда с вдохновением прочти до конца. Для того чтобы лучше понимать что такое порядок арифметических действий операций , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика

и расчетах примеров нужно соблюдать определенный порядок действий. С помощью правил ниже, мы разберемся в каком порядке выполняются действия и для чего нужны скобки.

Если в выражении скобок нет, то:

сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления;
а потом слева направо все действия сложения и вычитания .

Рассмотрим порядок действий в следующем примере.

Напоминаем вам, что порядок действий в математике расставляется слева направо (от начала к концу примера).

При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.

Первый способ

Каждое действие записывается отдельно со своим номером под примером.
После выполнения последнего действия ответ обязательно записывается в исходный пример.

При расчете результатов действий с двузначными и/или трехзначными числами обязательно приводите свои расчеты в столбик.

Второй способ

Второй способ называется запись «цепочкой» . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Все вычисления проводятся в точно таком же порядке действий, но результаты записываются сразу после знака равно.

Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

Если внутри скобок находятся еще одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

Порядок действий и возведение в степень

Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

Сначала выполняем все действия внутри скобок

Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени , слева направо (от начала к концу примера).
Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке

Пожалуйста, пиши комментарии, если ты обнаружил что-то неправильное или если ты желаешь поделиться дополнительной информацией про порядок арифметических действий операций Надеюсь, что теперь ты понял что такое порядок арифметических действий операций и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика

Конспект урока для 3 класса «Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»

« Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»

Наумова Л. Н.

Тема урока: Порядок выполнения действий в выражениях без скобок.

Тип урока: изучения нового материала.

Цель урока: Деятельностная: научиться применять правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок.

Содержательная: * продолжить формирование системы понятий в разделе «Арифметические действия»

*Создать условия для формирования умений применять знания о порядке выполнения действий в выражениях без скобок в различных ситуациях.

Задачи урока: — создать условия для усвоения учащимися правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок;

— продолжить отработку изученных приёмов устных вычислений (таблица умножения, деления, сложения, вычитания), учить применять на практике правило нахождения значений выражений без скобок;

— развивать наблюдательность, умение сравнивать, анализировать, делать выводы;

— содействовать воспитанию активной личности, воспитывать доброжелательное, уважительное отношение друг к другу;

— развивать речь, мышление, память; коммуникативные навыки;

— воспитывать толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество.

Личностные — личностная мотивация к познавательной деятельности.

Предметные — развитие умений решать учебные и практические задачи, учиться применять правило порядка выполнения действий.

Метапредметные — (регулятивные УУД, познавательные УУД, коммуникативные УУД)- овладение навыками осознанного построения речевых высказываний в соответствии с задачами коммуникации; овладение логическими действиями анализа, синтеза, классификации, причинно-следственных связей, построения рассуждений, отнесения к известным понятиям; готовность слушать собеседника ,излагать свое мнение и аргументировать свою точку зрения и оценку событий.

Оборудование: учебник «Математика» 3 класс; плакат «Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»; рисунки: елка, шары, снежинки, снежки; плакат со схемами; индивидуальные карточки; компьютер с мультимедийным проектором, компьютеры учеников;

Дидактическое обеспечение: карточки для оценивания, карточки для самостоятельной работы, карточки- помощницы, презентация.

№

Зелёный – знаю, умею, могу помочь другим

Жёлтый — знаю, но допускаю ошибки

Красный – нужна помощь учителя, помощь родителей, товарищей.

-Какие советы мы можем дать ребятам, которые выбрали жёлтый и красный цвет.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Формирование УУД

Мотивация к учебной деятельности

Организационный момент

Цель: создание условий для осознанного вхождения учащихся пространство деятельности на уроке.

Учитель (под музыку) высказывает добрые пожелания детям. Сл 1

— Чтоб урок наш стал светлее,

Мы поделимся добром.

Вы ладони протяните,

В них любовь свою вложите,

Ей с друзьями поделитесь

И друг другу улыбнитесь.

— Займите свои рабочие места.

Включаются в урок, в сотрудничество с одноклассниками и с учителем.

регулятивные: самоконтроль;

личностные: самоопределение; личностная мотивация к обучению.

коммуникативные: умение совместно договариваться о правилах поведения и общения

Устный счёт

Цель: повторение изученного материала, необходимого для закрепления изученного на предыдущих уроках

Математика – интересная наука.

а) Совсем скоро замечательный праздник — Новый год. Символом этого праздника является елка, которую принято украшать. А вот наша елочка пока стоит «грустная», я не успела ее нарядить и в этом вы мне сегодня поможете… В этой (показываю) коробке много новогодних игрушек, но каждая из них со своим заданием. Правильно выполнив его, вы сможете повесить игрушку на елку. Все зависит от вас, насколько елочка станет красивой?! Готовы?

(на шарах) – примеры: 72 : 8 7 *6

3*9 24 : 6

54: 9 5 * 7

б) Не хватает звёздочки на вершине…

Найти её вам поможет правильно выполненное задание.

Что за звездочка такая

На пальто и на платке,

Вся сквозная, вырезная,

А сожмешь – вода в руке?

(на снежинках – числа, раздать ученикам)

— По-порядку становись! (расставить числа по возрастанию, начиная с самого маленького):901,101,119,19,910,919,990.

— Молодцы, ребята, успешно справились с работой!

(Называют ответ, вешают шар на ёлку)

72 : 8 = 9 7 * 6 = 42

3 * 9 = 27 24 : 6 = 4

54 : 9 = 6 5 * 7 = 35

— Снежинка.

— 19; 101; 119; 901; 910; 919; 990.

познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний.

коммуникативные: сотрудничество с учителем и сверстниками.

Актуализация знаний.

Цель: повторение изученного материала, необходимого для закрепления изученного на предыдущих уроках и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого учащегося.

Математика — наука точная. Она требует, чтобы мы точно выполняли ее законы и не нарушали порядка. Как вы понимаете слово порядок с точки зрения математики?

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Сколько мы выполняли действий в наших заданиях?

На доске : 40-5+14=49 Сл 2-1

40-5+14=21

— Чем похожи и чем различаются?

-Какой ответ правильный?

— Почему получился разный результат?

— Объясните.

— Верно. А трудно было найти ошибку?

— Что нарушено???

На доске записи: Сл 2-2

1) 6х2:3=

2) 35-5+7=

3) 70-9х5=

-Что видите на доске?

— Как сосчитать? Сразу скажи.

Последовательность, в определённой последовательности, друг за другом.

-одно

— Потому, что надо обязательно расставить порядок действий.

-порядок

-выражения

— говорят свои варианты

— Сначала выполняем сильные действия, а затем слабые.

Познавательные: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;

познавательные: логические – анализ объектов с целью выделения признаков

Постановка учебной задачи

Обсуждение затруднений:«Почему возникли затруднения?», проговаривание цели урока .

—Сформулируйте тему нашего урока. Сл3

-Попробуем сформулировать цель нашего урока. Сл 4

«Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»

— Будем учиться расставлять порядок действия в выражения без скобок.

-Будем учиться применять правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок.

-Упражняться в нахождении значений выражений без скобок

-Будем закреплять таблицу умножения.

-Будем закреплять таблицу сложения.

регулятивные: целеполагание, постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно;

познавательные:

самостоятельное выделение и формулировка цели;

общеучебные – самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические: формулирование проблемы

Построение проекта выхода из затруднения.

Цель: Решение выражений у доски.

Работа в парах.

Организуется работа учащихся на исследование проблемной ситуации.

— Скажите, а как мы можем решить поставленные на урок задачи? Что нам необходимо для этого сделать?

Записываем число. Классная работа.

Возвращаемся к записям на доске.

На доске записи : Сл 5

1) 6×2:3=

2) 35-5+7=

3) 70- 9×5=

Какие действия встречаются в 1 выражении?

Какие действия встречаются во 2 выражении?

Какие действия встречаются в 3 выражении?

Прежде чем, работать над арифметическими действиями, находить значения выражений, мы с вами вспомним «Названия компонентов при +,-, ×,: »

Поработайте 1 минуту парами. Затем вместе обобщим.

Составляют план достижения цели и определяют средства (алгоритм).

— приготовим рабочее поле

— проговаривают

Дети в тетради записывают число, классная работа.

Работа в парах, называют по очереди компоненты при умножении, сложении, вычитании, делении.

регулятивные: планирование, прогнозирование; познавательные: моделирование.

коммуникативные: формирование умения работать в паре .

познавательные : опорное повторение, умение ориентироваться в своей системе знаний.

Изучение нового материала.

Работа с плакатами «Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»

Разделимся на группы.

1 группа: решает примеры на желтых карточках вида 42:6х3=

8х2:4=

32:4х5=

и знакомят с правилом (работа с учебником)

2 группа: примеры на зелёных карточках вида 80-35+15=

74-34+8=

20+20-17=

и знакомят с правилом ( работа с учебником)

3 группа: примеры на красных карточках вида: 36+27:9=

36:6+81:9=

35+50-21:7=

И правило выводим сообща.

-Работа с учебником.

Учащиеся решают, представитель группы выходит и знакомит с результатами работы. Правило проговаривают вслух.

Если выражение без скобок содержит действия умножения и деления; сложения и вычитания, то принято их выполнять по порядку слева направо.( плакат)

В выражениях без скобок принято выполнять по порядку слева направо сначала умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

( плакат)

коммуникативные: формирование умения работать в группе.

логические – решение проблемы, построение логической цепи рассуждений, доказательство;

Физминутка

Сл 6

Усвоение новых знаний и способов действий по изученному материалу.

Пока класс работает вместе, а индивидуально ученики выполняют задания на компьютерах.

(письменно)

1.Найди ошибки, Сл 7 исправь порядок выполнения действий, найди значения выражений.

35:7×3=

27:9×7=

— Трудно ли найти ошибку?

Исправляем ошибки вместе, решаем по вариантам.

2.Догадайся, Сл 8 какое число пропущено

6 + 4 — …=8

12-9 + …=6

Итак, каким образом принято выполнять действия в выражения такого вида?

Решают с объяснением.

— Надо правильно расставить порядок действий.

Проговаривают правило: если выражение без скобок содержит действия умножения и деления; сложения и вычитания, то принято их выполнять по порядку слева направо.

познавательные :

уметь проговаривать последовательность действий. регулятивные :

формирование умения строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

коммуникативные :

осуществление совместной двигательной

деятельности в группе.

Закрепление.

Решение задач разными способами.

Цель: проговаривание способов решения задачи.

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.” (Д.Пойа) Сл 9

На столах у учащихся лежат карточки с кратким условием задачи. (У сильных детей на другой стороне карточки текст ещё одной задачи, для самостоятельного решения)

ЗАДАЧА 1. — Составьте задачу по рисунку.

Яб. – 4 к. по 9 кг.

М. — 3 к. по 8 кг. ? кг.

— Идёт разбор задачи.

— Запишите решение по своему выбору.

Для сам. работы на карточках. Задача2. В швейной мастерской сшили женские и мужские костюмы. На 5 женских костюмов израсходовали 25 метров ткани, сколько метров ткани ушло на 4 мужских костюма, если на 1 женский и мужской костюм расходовали одинаковое количество ткани. Сколько метров ткани израсходовали всего?

— В детский садик привезли 4 корзины с яблоками по 9 кг в каждой. Мандаринов 3 корзины по 8 кг в каждой. Сколько всего фруктов привезли в детский садик?

Решение:1в.

9 * 4 + 8* 3 = 60 (кг)

Ответ: 60кг. фруктов.

2в. по действиям

— проверить карточки

Регулятивные: контроль, коррекция;

познавательные: общеучебные – умение структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, умение осознанно т произвольно строить речевое высказывание, рефлексия способов и условий действия;

коммуникативные: управление поведением партнёра – : контроль, коррекция, оценка действий партнёра

Первичная проверка полученных знаний.

Тест: система голосования

Сл 10-1 1.Укажи, какое действие в выражении будет выполнено первым.

38-4×7=

а) + б) × в) —

2.Укажи, какое действие в выражении будет выполнено вторым.

98-7+23=

а) : б) — в) +

3. Укажи, какое действие в выражении будет выполнено последним.

56: 7 -1×6+14=

а) + б) : в) — г) ×

4. Укажи, какое действие в выражении будет выполнено первым.

56+25-9=

а) х б) + в) —

5. Укажи, какое действие в выражении будет выполнено последним.

16-4:4=

а) + б) — г) :

Решают, находят правильный ответ.

Познавательные, регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Рефлексия деятельности (итог урока).

Цель: осознании учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов деятельности и всего класса.

Организуется рефлексия. Сл 10-2

— Над какой темой мы работали на уроке?

— Какую задачу ставили на урок?

— Удалось решить поставленную задачу? Каким способом?

— Где можно применить полученные знания?

— А сейчас возьмите вот такую карточку на столе.

Оцениваю себя сам

Выражения, содержащие только умножение и деление

Выражения, содержащие только сложение и вычитание

Выражения, содержащие умножение, деление, сложение и вычитание

Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель, результаты, степень их соответствия.

— Порядок выполнения действий в выражениях без скобок.

— Учиться правильно расставлять порядок действий в выражениях без скобок.

— Да, решали выражения и задачи составлением выражения.

— на уроках математики при решении выражений и задач.

Работают с таблицей.

Дети оценивают себя, проставляют в таблицу «Светофорики»

Дают рекомендации ребятам , которые выбрали жёлтый и красный цвет.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

познавательные: рефлексия;

личностные: смыслообразование

Регулятивные: уметь оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.

Личностные: формирование способности к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Домашнее задание, выставление оценок учащимся.

Учитель записывает на доске домашнее задание, озвучивает оценки. Сл 11

Учащиеся записывают домашнее задание в дневник.

Внимание! Математическое Действие Начинается Только с…

Если вас попросят решить что-то вроде « 4 + 2 × 3 », то естественно возникает вопрос: «Как мне это сделать? Потому что есть два варианта!» Я мог бы добавить сначала:

4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18

… или я мог бы умножить сначала:

4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10

Какой ответ правильный?

Разберем аналогичные примеры:

Для того чтобы решить пример с примерами чисел,нужно прежде всего знать правила

Если в выражении скобок нет, то:
сначала выполняем слева направо все действия умножения и деления;
а потом слева направо все действия сложения и вычитания.

Пример:

( 10+6) – 38=

Порядок выполнения действий:
1) в скобках: 10 + 6 = 16;
2) вычитание: 38 – 16 = 22.

Если в выражение без скобок входит только сложение и вычитание, или только умножение и деление, то действия выполняются по порядку слева направо.

10 ÷ 2 × 4 = 20;

Порядок выполнения действий:
1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5;
2) умножение: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, т. е.:

1) 10 + 4 = 14;
2) 14 – 3 = 11.

Если в выражении без скобок есть не только сложение и вычитание, но и умножение или деление, то действия выполняются по порядку слева направо, но преимущество имеет умножение и деление, их выполняют в первую очередь, а за ними и сложение с вычитанием.

Рассмотрим порядок действийв следующем примере.

Напоминаем вам, что порядок действий в математикерасставляется слева направо (от начала к концу примера).

При вычислении значения выражения можно вести запись двумя способами.

Первый способ

Каждое действие записывается отдельно со своим номером под примером.
После выполнения последнего действия ответ обязательно записывается в исходный пример.

Запомните! При расчёте результатов действий с двузначными и/или трёхзначными числами обязательно приводите свои расчёты в столбик.

Второй способ

Второй способ называется запись “цепочкой”. Все вычисления проводятся в точно таком же порядке действий, но результаты записываются сразу после знака равно.

Запомните!Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют действия в скобках.

Внутри самих скобок действует правило порядка действий как в выражениях без скобок.

Если внутри скобок находятся ещё одни скобки, то сначала выполняются действия внутри вложенных (внутренних) скобок.

Порядок действий и возведение в степень

Если в примере содержится числовое или буквенное выражение в скобках, которое надо возвести в степень, то:

Сначала выполняем все действия внутри скобок
Затем возводим в степень все скобки и числа, стоящие в степени, слева направо (от начала к концу примера).
Выполняем оставшиеся действия в обычном порядке

Теперь решаете вы:

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 =

Проверяем как вы решали…

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9;
2) 2 × 3 = 6;
3) 12 ÷ 3 = 4;
4) 9 – 6 = 3;

т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7;

т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняются выражения в скобках, затем умножение и деление, а уж потом сложение с вычитанием.

30 + 6 × (13 – 9) = 54, т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4;
2) умножение: 6 × 4 = 24;
3) сложение: 30 + 24 = 54;

Итак, подведем итоги. Прежде чем приступить к вычислению, надо проанализировать выражение: есть ли в нем скобки и какие действия в нем имеются. После этого приступать к вычислениям в следующем порядке:

1) действия, заключенные в скобках;
2) умножение и деление;
3) сложение и вычитание.

Урок «Порядок действий в примерах без скобок»

Урок математики в 4 классе

Тема. Порядок действий в примерах без скобок.

Цель. Формирование умения соблюдать порядок действий в примерах без скобок.

Задачи:

— закреплять знания таблицы умножения и деления,

— закреплять умения соблюдать порядок действий при решении примеров первой и второй ступени без скобок;

— развитие памяти, мышления, зрительного восприятия;

— воспитание активности на уроке математики.

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку.

— Ребята, скажите, какой по счету урок?

— Как называется урок?

— Чему мы учимся на уроках математики?

II. Актуализация опорных знаний.

— Начнем нашу работу с устного счета.

1.Устный счет.

Какая геометрическая фигура лишняя?

— Посчитать по 2 до 30.

— Посчитать по 5 до 50

— Увеличить 33 на 7. (40)

— Уменьши 42 на 6 (36)

— К какому числу нужно прибавить 10, чтобы получилось 18?(8)

— На сколько нужно разделить 27, чтобы получилось 3? (9)

— Найти произведение чисел 5 и 7 (35)

— У Риты 12 шариков, а у Вовы 7 шариков. На сколько у Риты больше шариков? (на 5 шариков)

2. Сообщение темы урока

-В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

-А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

-Давайте проверим

-Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

-Посмотрите. Что необычного в этих примерах?

— Давайте выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. (Числами можно проставить порядок выполнения действий.)

-В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

8-3+4=9

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

8-3+4=1

-Есть какие-то отличия теперь?

-А почему получились разные ответы? (в разном порядке выполняли действия)

— Как вы думаете, как называется тема нашего урока?

— Тема нашего урока «порядок действий в выражениях без скобок».

Запись в тетради числа, темы урока.

III. Работа по теме урока.

— Ребята, скажите, а что помогает нам определить правильный порядок действий в примерах? (скобки).

— Что же делать, если скобок нет?

Давайте рассмотрим выражения

38-10+6 3х4:2

— Какие два действия вы видите в первом примере? Во втором?

— Скажите, к какой ступени относятся действия в первом примере? (к 1) Во втором? (ко 2)

— Как решаются выражения, где встречаются действия одной ступени? (по порядку)

-Рассмотрим такое выражение 18+2х2=

— Как будем действовать? (сначала х :, затем + и -)

Запишем эти выражения в тетрадь и решим их.

IV. Физкультминутка.

V. Закрепление

1. Работа по учебнику с. 55 №31 1 ст. – Карина 2 ст. — Витя

2.Работа на карточках.

72-8:2= 84-12:2=

81-9:3= 73-14:2=

VI. Итог урока. Оценивание

VII. Рефлексия

— Ребята, вы прекрасно работали на уроке, молодцы.

-Что нового узнали на уроке?

-Чем занимались?

Что сначала сложение или вычитание без скобок. Конспект урока ««Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».»

Октябрь 24th, 2017 admin

Лопатко Ирина Георгиевна

Цель: формирование знаний о порядке выполнения арифметических действий в числовых выражениях без скобок и со скобками, состоящих из 2-3 действий.

Задачи:

Образовательная: формировать у учащихся умение пользоваться правилами порядка выполнения действий при вычислении конкретных выражений, умение применять алгоритм действий.

Развивающая: развивать навыки работы в паре, мыслительную деятельность учащихся, умение рассуждать, сопоставлять и сравнивать, навыки вычисления и математическую речь.

Воспитательная: воспитывать интерес к предмету, толерантное отношение друг к другу, взаимное сотрудничество.

Типа: изучение нового материала

Оборудование: презентация, наглядности, раздаточный материал, карточки, учебник.

Методы: словесный, наглядно- образный.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Приветствие.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

Маркушевич сказал великие слова: “Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели

.” Добро пожаловать на урок математики!

Актуализация знаний

Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

Предлагаю выполнить логические задания. Вы готовы?

Какие два числа, если их перемножить, дают такой же результат, что и при их сложении? (2 и 2)

Из-под забора видно 6 пар лошадиных ног. Сколько этих животных во дворе? (3)

Петух, стоя на одной ноге весит 5кг. Сколько он будет весить, стоя на двух ногах? (5кг)

На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 6 руках? (30)

У родителей 6 сыновей. Каждый имеет сестру. Сколько всего детей в семье? (7)

Сколько хвостов у семи котов?

Сколько носов у двух псов?

Сколько ушей у 5 малышей?

Ребята, именно такой работы я и ждала от вас: вы были активны, внимательны, сообразительны.

Оценивание: словесное.

Устный счет

КОРОБКА ЗНАНИЙ

Произведение чисел 2 * 3, 4 * 2;

Частные чисел 15: 3, 10:2;

Сумма чисел 100 + 20, 130 + 6, 650 + 4;

Разность чисел 180 – 10, 90 – 5, 340 – 30.

Компоненты умножения, деления, сложения, вычитания.

Оценивание: ученики самостоятельно оценивают друг друга

Сообщение темы и цели урока

“Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.” (А.Франц)

Вы готовы поглощать знания с аппетитом?

Ребята, Маше и Мише была предложена такая цепочка

24 + 40: 8 – 4=

Маша её решила так:

24 + 40: 8 – 4= 25 правильно? Ответы детей.

А Миша решил вот так:

24 + 40: 8 – 4= 4 правильно? Ответы детей.

Что вас удивило? Вроде и Маша и Миша решили правильно. Тогда почему ответы у них разные?

Они считали в разном порядке, не договорились, в каком порядке будут считать.

От чего зависит результат вычисления? От порядка.

Что вы видите в этих выражениях? Числа, знаки.

Как в математике называют знаки? Действия.

О каком порядке не договорились ребята? О порядке действий.

Что мы будем изучать на уроке? Какая тема урока?

Мы будем изучать порядок арифметических действий в выражениях.

Для чего нам нужно знать порядок действий? Правильно выполнять вычисления в длинных выражениях

«Корзина знаний» . (Корзина висит на доске)

Ученики называют ассоциации связанные с темой.

Изучение нового материала

Ребята, послушайте, пожалуйста, что говорил французский математик Д.Пойя: “Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому”. Вы готовы к открытиям?

180 – (9 + 2) =

Прочитайте выражения. Сравните их.

Чем похожи? 2 действия, числа одинаковые

Чем отличаются? Скобки, разные действия

Правило 1.

Прочитайте правило на слайде. Дети читают вслух правило.

В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

О каких действиях здесь говорится? +, — или : , ·

Из данных выражений найдите только те, которые соответствуют правилу 1. Запишите их в тетрадь.

Вычислите значения выражений.

Проверка.

180 – 9 + 2 = 173

Правило 2.

Прочитайте правило на слайде.

Дети читают вслух правило.

В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

:, · и +, — (вместе)

Есть скобки? Нет.

Какие действия будем выполнять сначала? ·, : слева направо

Какие действия будем выполнять потом? +, — слева, направо

Найдите их значения.

Проверка.

180 – 9 * 2 = 162

Правило 3

В выражениях со скобками, сначала вычисляют значение выражений в скобках, затем выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

А здесь какие арифметические действия указаны?

:, · и +, — (вместе)

Есть скобки? Да.

Какие действия будем выполнять сначала? В скобках

Какие действия будем выполнять потом? ·, : слева направо

А затем? +, — слева, направо

Выпишите выражения, которые относятся ко второму правилу.

Найдите их значения.

Проверка.

180: (9 * 2) = 10

180 – (9 + 2) = 169

Еще раз все вместе проговариваем правило.

ФИЗМИНУТКА

Закрепление

“Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.” , говорил М.В. Остроградский. Вот и мы сейчас вспомним, что мы только что изучили и применим новые знания на практике.

Страница 52 №2

(52 – 48) * 4 =

Страница 52 №6 (1)

Учащиеся собрали в теплице 700 кг овощей: 340 кг огурцов, 150 кг помидоров, а остальные – перец. Сколько килограммов перца собрали учащиеся?

О чем говорится? Что известно? Что нужно найти?

Давайте попробуем решить эту задачу выражением!

700 – (340 + 150) = 210 (кг)

Ответ: 210 кг перца собрали учащиеся.

Работа в парах.

Даны карточки с заданием.

5 + 5 + 5 5 = 35

(5+5) : 5 5 = 10

Оценивание:

быстрота – 1 б
правильность — 2 б
логичность – 2 б

Домашнее задание

Страница 52 № 6 (2) решить задачу, записать решение в виде выражения.

Итог, рефлексия

Кубик Блума

Назови тему нашего урока?

Объясни порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

Почему важно изучать эту тему?

Продолжи первое правило.

Придумай алгоритм выполнения действий в выражениях со скобками.

“Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.” (М.И. Калинин)

Спасибо за работу на уроке!!!

ПОДЕЛИТЬСЯ Вы можете

И деление чисел — действиями второй ступени.
Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется следующими правилами:

1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо.
2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом — действия первой ступени.
3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Пример 1. Найдем значение выражения

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а — 37 = 20;
г) 20 — m = 37;
д) 37 — с = 20;
е) 20 + k = 0.

636. При вычитании каких натуральных чисел может получиться 12? Сколько пар таких чисел? Ответьте на те же вопросы для умножения и для деления.

637. Даны три числа: первое — трехзначное, второе — значение частного от деления шестизначного числа на десять, а третье — 5921. Можно ли указать наибольшее и наименьшее из этих чисел?

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 1а + 324;
б) 12у + 29у + 781 + 219;

639. Решите уравнение:

а) 8х — 7х + 10 = 12;
б) 13у + 15у- 24 = 60;
в) Зz — 2z + 15 = 32;
г) 6t + 5t — 33 = 0;
д) (х + 59) : 42 = 86;
е) 528: k — 24 = 64;
ж) р: 38 — 76 = 38;
з) 43m- 215 = 473;
и) 89n + 68 = 9057;
к) 5905 — 21 v = 316;
л) 34s — 68 = 68;
м) 54b — 28 = 26.

640. Животноводческая ферма обеспечивает привес 750 г на одно животное в сутки. Какой привес получает комплекс за 30 дней на 800 животных?

641. В двух больших и пяти маленьких бидонах 130 л молока. Сколько молока входит в маленький бидон, если его вместимость в четыре раза меньше вместимости большего?

642. Собака увидела хозяина, когда была от него на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4 с; через 10 с; через t с?

643. Решите с помощью уравнения задачу:

1) У Михаила в 2 раза больше орехов, чем у Николая, а у Пети в 3 раза больше, чем у Николая. Сколько орехов у каждого, если у всех вместе 72 ореха?

2) Три девочки собрали на берегу моря 35 ракушек. Галя нашла в 4 раза больше, чем Маша, а Лена — в 2 раза больше, чем Маша. Сколько ракушек нашла каждая девочка?

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 (6906 — 6841) : 5 — 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

1. Умножить 271 на 49.
2. Разделить 1001 на 13.
3. Результат выполнения команды 2 умножить на 24.
4. Сложить результаты выполнения команд 1 и 3.

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

647. Решите уравнение:

а) Зх + bх + 96 = 1568;
б) 357z — 1492 — 1843 — 11 469;
в) 2у + 7у + 78 = 1581;
г) 256m — 147m — 1871 — 63 747;
д) 88 880: 110 + х = 809;
е) 6871 + р: 121 = 7000;
ж) 3810 + 1206: у = 3877;
з) к + 12 705: 121 = 105.

648. Найдите частное:

а) 1 989 680: 187; в) 9 018 009: 1001;
б) 572 163: 709; г) 533 368 000: 83 600.

649. Теплоход 3 ч шел по озеру со скоростью 23 км/ч, а потом 4 ч по реке. Сколько километров прошел теплоход за эти 7 ч, если по реке он шел на 3 км/ч быстрее, чем по озеру?

650. Сейчас расстояние между собакой и кошкой 30 м. Через сколько секунд собака догонит кошку, если скорость собаки 10 м/с, а кошки — 7 м/с?

651. Найдите в таблице (рис. 61) все числа по порядку от 2 до 50. Это упражнение полезно выполнить несколько раз; можно соревноваться с товарищем: кто быстрее отыщет все числа?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Планы конспектов уроков по математике 5 класса скачать , учебники и книги бесплатно, разработки уроков по математике онлайн

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

На данном уроке подробно рассмотрен порядок выполнения арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками. Учащимся предоставляется возможность в ходе выполнения заданий определить, зависит ли значение выражений от порядка выполнения арифметических действий, узнать отличается ли порядок арифметических действий в выражениях без скобок и со скобками, потренироваться в применении изученного правила, найти и исправить ошибки, допущенные при определении порядка действий.

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Давайте проверим

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя .

Узнаем правило выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.

Если в выражение без скобок входят только сложение и вычитание или только умножение и деление, то действия выполняют в том порядке, в каком они написаны.

Потренируемся.

Рассмотрим выражение

В этом выражении имеются только действия сложения и вычитания. Эти действия называют действиями первой ступени .

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 2).

Рис. 2. Порядок действий

Рассмотрим второе выражение

В этом выражении имеются только действия умножения и деления — это действия второй ступени.

Выполняем действия слева направо по порядку (рис. 3).

Рис. 3. Порядок действий

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления?

Если в выражение без скобок входят не только действия сложения и вычитания, но и умножения и деления, или оба этих действия, то сначала выполняют по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Рассмотрим выражение.

Рассуждаем так. В этом выражении имеются действия сложения и вычитания, умножения и деления. Действуем по правилу. Сначала выполняем по порядку (слева направо) умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Рассмотрим выражение.

30 + 6 * (13 — 9)

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

30 + 6 * (13 — 9)

Вычислим значение выражения.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как нужно рассуждать, чтобы правильно установить порядок арифметических действий в числовом выражении?

Прежде чем приступить к вычислениям, надо рассмотреть выражение (выяснить, есть ли в нём скобки, какие действия в нём имеются) и только после этого выполнять действия в следующем порядке:

1. действия, записанные в скобках;

2. умножение и деление;

3. сложение и вычитание.

Схема поможет запомнить это несложное правило (рис. 4).

Рис. 4. Порядок действий

Потренируемся.

Рассмотрим выражения, установим порядок действий и выполним вычисления.

43 — (20 — 7) +15

32 + 9 * (19 — 16)

Будем действовать по правилу. В выражении 43 — (20 — 7) +15 имеются действия в скобках, а также действия сложения и вычитания. Установим порядок действий. Первым действием выполним действие в скобках, а затем по порядку слева направо вычитание и сложение.

43 — (20 — 7) +15 =43 — 13 +15 = 30 + 15 = 45

В выражении 32 + 9 * (19 — 16) имеются действия в скобках, а также действия умножения и сложения. По правилу первым выполним действие в скобках, затем умножение (число 9 умножаем на результат, полученный при вычитании) и сложение.

32 + 9 * (19 — 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В выражении 2*9-18:3 отсутствуют скобки, зато имеются действия умножения, деления и вычитания. Действуем по правилу. Сначала выполним слева направо умножение и деление, а затем от результата, полученного при умножении, вычтем результат, полученный при делении. То есть первое действие — умножение, второе — деление, третье — вычитание.

2*9-18:3=18-6=12

Узнаем, правильно ли определен порядок действий в следующих выражениях.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

18: (11 — 5) + 47=

7 * 3 — (16 + 4)=

Рассуждаем так.

37 + 9 — 6: 2 * 3 =

В этом выражении скобки отсутствуют, значит, сначала выполняем слева направо умножение или деление, затем сложение или вычитание. В данном выражении первое действие — деление, второе — умножение. Третье действие должно быть сложение, четвертое — вычитание. Вывод: порядок действий определен верно.

Найдем значение данного выражения.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продолжаем рассуждать.

Во втором выражении имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — деление, третье — сложение. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

В этом выражении также имеются скобки, значит, сначала выполняем действие в скобках, затем слева направо умножение или деление, сложение или вычитание. Проверяем: первое действие — в скобках, второе — умножение, третье — вычитание. Вывод: порядок действий определен неверно. Исправим ошибки, найдем значение выражения.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Выполним задание.

Расставим порядок действий в выражении, используя изученное правило (рис. 5).

Рис. 5. Порядок действий

Мы не видим числовых значений, поэтому не сможем найти значение выражений, однако потренируемся применять изученное правило.

Действуем по алгоритму.

В первом выражении имеются скобки, значит, первое действие в скобках. Затем слева направо умножение и деление, потом слева направо вычитание и сложение.

Во втором выражении также имеются скобки, значит, первое действие выполняем в скобках. После этого слева направо умножение и деление, после этого — вычитание.

Проверим себя (рис. 6).

Рис. 6. Порядок действий

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками.

Список литературы

М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
«Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.

Festival.1september.ru ().
Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
Openclass.ru ().

Домашнее задание

1. Определи порядок действий в данных выражениях. Найди значение выражений.

2. Определи, в каком выражении такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. деление;. 3. сложение; 4. вычитание; 5. сложение. Найди значение данного выражения.

3. Составь три выражения, в которых такой порядок выполнения действий:

1. умножение; 2. сложение; 3. вычитание

1. сложение; 2. вычитание; 3. сложение

1. умножение; 2. деление; 3. сложение

Найди значение этих выражений.

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 — 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
— Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Табличка на двери

Калькулятор со скобками

Порядок действий в выражениях без скобок
1. Умножение, деление
2. Сложение вычитание
Например:
25 – 15 ∙ 2 + 8 : 2 = -1
1) 15 ∙ 2 = 30
2) 8 : 2 = 4
3) 25 — 30 = -5
4) -5 + 4 = -1

Порядок действий в выражениях со скобками
1. Действия в скобках
1. Умножение, деление
2. Сложение вычитание
Например:
(14 + 7) : 7 + 3 ∙ 2 = 9
1) 14 + 7 = 21
2) 21 : 7 = 3
3) 3 ∙ 2 = 6
4) 3 + 6 = 9

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер сложения

Тренажёр вычитания

Тренажёр умножения

Тренажёр деления

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Порядок выполнения действий в сложных числовых выражениях. Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Пример 1. Найдем значение выражения

а) х + 20 = 37;
б) у + 37 = 20;
в) а — 37 = 20;
г) 20 — m = 37;
д) 37 — с = 20;
е) 20 + k = 0.

638. Упростите выражение:

а) 2а + 612 + 1а + 324;
б) 12у + 29у + 781 + 219;

639. Решите уравнение:

643. Решите с помощью уравнения задачу:

644. Составьте программу вычисления выражения

8217 + 2138 (6906 — 6841) : 5 — 7064.

Запишите эту программу в виде схемы. Найдите значение выражения.

645. Напишите выражение по следующей программе вычисления:

Найдите значение этого выражения.

646. Напишите выражение по схеме (рис. 60). Составьте программу его вычисления и найдите его значение.

647. Решите уравнение:

648. Найдите частное:

а) 1 989 680: 187; в) 9 018 009: 1001;
б) 572 163: 709; г) 533 368 000: 83 600.

Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

3 · 16 — 8: 2 + 20

Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

48 — 4 + 20 = 44 + 20 = 64

Действия первой и второй ступени

Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени , умножение и деление — действиями второй ступени .

Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

Пример 1.

15 + 17 — 20 + 8 — 12

Решение. Данное выражение содержит действия только одной ступени — первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

Ответ: 42.

Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

Пример. Вычислить значение выражения:

24: 3 + 5 · 2 — 17

Решение. Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым — умножение, третьим — сложение, а четвёртым — вычитание.

Теперь приступим к вычислению.

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий . Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Итак, вспомним о том, что сначала вычисляются выражения в скобках

38 – (10 + 6) = 22 ;

1) в скобках: 10 + 6 = 16 ;

2) вычитание: 38 – 16 = 22 .

10 ÷ 2 × 4 = 20 ;

Порядок выполнения действий :

1) слева направо, сначала деление: 10 ÷ 2 = 5 ;

2) умножение: 5 × 4 = 20 ;

10 + 4 – 3 = 11 , т.е.:

1) 10 + 4 = 14 ;

2) 14 – 3 = 11 .

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

Порядок выполнения действий:

1) 18 ÷ 2 = 9 ;

2) 2 × 3 = 6 ;

3) 12 ÷ 3 = 4 ;

4) 9 – 6 = 3 ; т.е. слева направо – результат первого действия минус результат второго;

5) 3 + 4 = 7 ; т.е. результат четвертого действия плюс результат третьего;

30 + 6 × (13 – 9) = 54 , т.е.:

1) выражение в скобках: 13 – 9 = 4 ;

2) умножение: 6 × 4 = 24 ;

3) сложение: 30 + 24 = 54 ;

1) действия, заключенные в скобках;

2) умножение и деление;

3) сложение и вычитание.

Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “ “.

И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

Навигация по странице.

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

действия выполняются по порядку слева направо,
причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

Пример.

Выполните действия 7−3+6 .

Решение.

Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

Ответ:

7−3+6=10 .

Пример.

Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

Ответ:

Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

Пример.

Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 — значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Ответ:

17−5·6:3−2+4:2=7 .

На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание — следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

Определение.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

Пример.

Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Решение.

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

Ответ:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

Пример.

Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

Ответ:

4+(3+1+4·(2+3))=28 .

Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

Объяснение

PEMDAS — Magoosh Math

Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли или PEMDAS — это способ запомнить порядок операций в математике. Поскольку так много математики зависит от правильного порядка операций, важно понимать правила PEMDAS как внутри, так и снаружи!

Но что такое PEMDAS? И что сделала тетя Салли, что все равно нужно извинить?

Салли знает свой порядок действий. Ей не нужны твои глупые отговорки!

_{Изображение LadyBB}

Правила PEMDAS

Давайте поговорим о том, что означают эти шесть букв.

P соответствует скобкам (или скобкам, или любому другому символу группировки).
E для показателей степени (или таких вещей, как корни и радикальные выражения, которые эквивалентны показателям степени).
MD (умножение и деление слева направо за один шаг).
- M для умножения .
- D для подразделения .
AS (на одном шаге выполняйте сложение и вычитание слева направо).
- — это добавление .
- S для вычитания .

Правила PEMDAS определяют, какие операции имеют приоритет.

_{Изображение Aha-Soft}

Например, давайте поработаем 7 + 4 × 5 ².

Скобок нет ( P ), поэтому сначала определите показатель степени ( E ).

7 + 4 × 25

Далее вам нужно умножить ( M ).

7 + 100

Наконец, остается только добавить ( A ).

107

Та-Да !!! Неплохо, правда? Что ж, все может быть сложно, поэтому давайте подробно рассмотрим некоторые из сложных случаев.

Правила чтения слева направо

Правила не так просты, как может показаться на первый взгляд. Видите ли, аббревиатуру PEMDAS действительно следует писать примерно так: P-E-MD-AS .

Умножение ( M ) и деление ( D ) имеют одинаковый приоритет.Вы должны делать все умножения и деления слева направо.
Сложение ( A ) и вычитание ( S ) также имеют одинаковый приоритет. Все сложения и вычитания выполняйте в выражении слева направо.

Например, чтобы вычислить 8 — 5 + 4, сначала вычтите (потому что это крайняя левая операция), а затем сложите.

8 — 5 + 4 = 3 + 4 = 7

Если вы не следовали правильному порядку операций, вместо этого вы можете получить 8 — 9 = -1! Так что, если вы ошибочно думали, что сложение должно всегда предшествовать вычитанию, потому что A предшествует S в PEMDAS, к сожалению, вы ошиблись с множеством проблем.

Неоднозначность при умножении и делении

Правило слева направо работает точно так же для умножения и деления. Однако из-за того, что существует так много разных способов записи умножения и деления, это может сильно запутать. Еще хуже становится, когда вводятся переменные.

Произведение a и b может быть записано любым из следующих способов:

a × b = a × b = ab = ( a ) b = a ( b ) = ( a ) ( b )

Аналогично, деление может быть записано в строке, то есть не в виде дроби по вертикали, двумя способами:

a ÷ b = a / b

Независимо от того, какие обозначения отображаются, правила PEMDAS должны работать одинаково.

Например, 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8 ( MD слева направо, подразумевает, что в этой задаче сначала нужно выполнить деление). Хороший способ убедиться, что вы все делаете правильно, — заключить дополнительные скобки, чтобы явно указать на группировку.

12 ÷ 3 × 2 = (12 ÷ 3) × 2 = 4 × 2 = 8

Теперь давайте попробуем этот трюк с группировкой, чтобы показать, как каждое из следующих эквивалентных выражений работает одинаково. Помните, что каждый раз мы должны сначала делать деление, потому что оно происходит слева от умножения!

12/3 × 2 = (12/3) × 2 = 4 × 2 = 8
12 ÷ (3) (2) = [12 ÷ (3)] (2) = 4 (2) = 8
12/3 x , где x = 2, (12/3) x = 4 x = 4 (2) = 8

Обратите внимание: , если вы собираетесь напишите неприятный комментарий ниже, объясняя, насколько я ошибаюсь насчет 12/3 x , пожалуйста, потерпите меня! Эти правила основаны на текущей принятой практике.Я не придумывал это. И я гарантирую, что если вы видите что-то подобное в тестах SAT или ACT, то вам лучше поверить, что они поступают так, как я объяснил выше!

Проблема с дробными полосами

Внимание: Существует огромная разница между 12 / (3 x ) и 12/3 x . У студентов, которые смешивают эти вещи, может возникнуть бесконечное разочарование.

Без скобок правила PEMDAS подразумевают, что вы должны сначала выполнить деление.

С скобками 3 x теперь становится группой. Технически умножение должно происходить до деления (но вы все равно можете выполнять алгебраические упрощения, например, отменить общий множитель).

Круглые скобки и группировка

Правило P больше похоже на правило , изменяющее правила, . Круглые скобки могут изменить порядок операций выражения, потому что они заставляют выполнять одни действия раньше других.

Например, рассмотрим 5 × (18-2 ³).

Найдите скобки перед умножением на 5, потому что P предшествует M в PEMDAS.
Теперь внутри скобок перед вычитанием нужно указать показатель степени ( E до S ). Это приводит нас к: 5 × (18-8).
Далее (все еще в скобках) вычтите: 5 × (10).
Наконец, завершите задачу, умножив, чтобы получить 50.

Если вы просто перечислите операции, которые мы выполнили в этой задаче, вы получите: P -> E -> S -> M . Хотя может показаться, что мы нарушили правило ( не должно предшествовать M перед S ?? ), мы просто следовали тому, что требовалось правилу P .

Всегда воспринимайте круглые скобки (), квадратные скобки [], фигурные скобки {} и выражения, сгруппированные внутри корня или вверху или внизу дробной черты, как единую группу.Затем каждая отдельная группа должна быть проработана с использованием PEMDAS только внутри этой группы.

Давайте посмотрим, как это работает, на более сложном примере.

Непростой пример

Упростить:

При наличии нескольких групп всегда работайте от внутренней к внешней стороне. Найдите самую внутреннюю группу, используйте правила PEMDAS внутри этой группы, а затем повторно оцените выражение.

Прежде всего, столбик с большой дробью (называемый vinculum ; вот, это то, что вы теперь знаете) на самом деле служит для группировки числителя и знаменателя в их собственные отдельные выражения.

Более того, радикальное выражение действует как большой набор круглых скобок для содержимого внутри него.

Таким образом, мы должны подумать о правиле P , даже несмотря на то, что круглые скобки вообще отсутствуют (кроме 4, но в данном случае это просто умножение)!

Начнем с радикала. 33-2 (4) = 33-8 = 25 ( M до S ).

Затем упростим знаменатель: 2 + 9 ⁰ = 2 + 1 = 3 ( E до A ).

Теперь ваше выражение должно выглядеть так:

Теперь нам все еще нужно рассматривать числитель как отдельное выражение. Есть показатель степени, умножение и радикал. Сначала вы должны указать показатель степени и радикал ( E до M ).

Не забудьте упростить дробь в качестве последнего шага!

Порядок операций и алгебраические тождества

Я хочу закончить эту статью одной из моих любимых тем, алгебраических тождеств ! Нет, правда !! Мне нравятся алгебраические тождества, потому что они, казалось бы, позволяют нам изменять правила порядка операций.

Например, рассмотрим распределительную идентичность (или собственность, или закон):

a ( b + c ) = ab + ac

Это правило позволяет изменить продукт ( из a и ( b + c )) в сумму более простых продуктов, которая оценивается в ту же сумму.

Предположим, вам нужно упростить 6 ( x + 7). Что ж, согласно правилам PEMDAS, мы должны сначала выяснить, что указано в скобках.Но я не знаю, что такое x , и я никак не могу прибавить 7 к неизвестной сумме, верно?

Однако, используя Distributive Identity, я могу написать:

6 ( x + 7) = 6 x + 6 (7)

Теперь порядок операций подразумевает, что я должен умножить перед сложением. Я до сих пор не знаю x , поэтому для термина 6 x делать нечего. С другой стороны, я знаю 6 (7) = 42. Таким образом, мы получаем следующее эквивалентное выражение.

6 x + 42

На данный момент это может показаться бесполезным «трюком», но вы обнаружите, что большая часть алгебры зависит от изменения порядка операций с использованием алгебраических тождеств.

Заключение

Напомним, что правила PEMDAS определяют правильный порядок операций для упрощения математических выражений.

P обозначает любые виды группировки, включая круглые, квадратные и фигурные скобки, а также группы, подразумеваемые радикальными и дробными выражениями.Проработайте все группировки изнутри наружу.
E обозначает экспоненты и радикалы.
MD означает, что умножение и деление должно выполняться слева направо. Будьте особенно осторожны, когда есть переменные и альтернативные обозначения продуктов и частных.
AS означает, что сложение и вычитание должны выполняться в последнюю очередь слева направо.

Итак, в следующий раз, когда вы столкнетесь с одним из тех знаменитых мемов «99% не могут решить эту проблему», связанных с порядком операций в Интернете, вы можете произвести впечатление (или рассердить) своих друзей, объяснив, почему они все неправильный.

Кстати, вот действительно информативная статья, которая помогает объяснить, почему существует такая путаница с кажущимися простыми математическими операциями. Фактически, правила PEMDAS — это всего лишь текущих соглашений для разработки сложных многооперационных выражений. Несколько лет назад правила были немного другими. Кто знает, могут ли правила измениться снова через сто лет?

Говоря об Интернете, просмотрите 8 лучших видеороликов YouTube по математике для обзора, чтобы получить обширную информацию о математике!

, если скобок нет, выражение выглядит следующим образом 4 + 3 * 2, что означает, каким будет ответ

Порядок операций , , также называемый Правилами приоритета , определяет способ вычисления выражения.

Чтобы помочь запомнить их, было создано сокращение P lease E xcuse M y D ear A unt S ally и другие сокращения. Слова означают:

P arentheses — выражения внутри «вложенных» круглых скобок оцениваются перед внешними скобками

E xponentiation

M ultiplication и D ivision, слева направо

A ddition и S ubtraction, слева направо

Примечания:

— эти правила изменились за последние несколько десятилетий

— все еще есть некоторая путаница с 1 / 3x

— компьютерное программное обеспечение выполняет последовательность операций несколькими способами

— калькуляторы выполняют порядок операций несколькими способами

— даже символы могут быть разными — например: *, **, ^, /, ÷

Выполните следующую процедуру:

Просканируйте слева направо для операции с наивысшим уровнем приоритета.Если найдено, оцените его (примечание: внутри скобок могут быть другие операции).

Просканируйте слева направо для операции со следующим наивысшим уровнем приоритета. Если обнаружено, оцените его (примечание: M & D, а также A & S находятся на одном уровне).

Продолжайте, пока не кончатся операторы

Для 4 + 3 * 2:

скобок нет (примечание: если выражение сбивает с толку, PLZ добавьте их, чтобы прояснить)

нет возведения в степень

есть умножение; сделайте это и замените выражение результатом умножения

4 + 6

есть дополнение; сделайте это и замените выражение результатом сложения

операторов больше нет

Попробуйте это (посмотрите, получится ли 13):

9-5 ÷ (8-3) x 2 + 6

Лабиринт порядка операций (без экспонентов и скобок / скобок) БЕСПЛАТНО

Лабиринт порядка операций — уровень 1b (включены 11 лабиринтов с различным порядком операций)

Этот рабочий лист порядка операций, но я люблю называть их «лабиринтами», имеет Без экспонентов и скобок / скобок, просто умножение / деление и сложение / вычитание, если вы хотите, чтобы они были включены в лабиринты / рабочий лист, пожалуйста, посмотрите варианты ниже.

Эти рабочие листы порядка операций идеально подходят для учителей, учеников на дому, мам, пап и детей, которые хотят попрактиковаться в математике с порядком выполнения операций. Используйте эти таблицы, чтобы просмотреть порядок действий.

Рабочие листы, представленные ниже, можно использовать для отработки порядка операций в математике. Загрузите этот БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист порядка работы, чтобы узнать, нравится ли вам формат лабиринта, или просмотрите предварительный просмотр любого из лабиринтов ниже.

Получите полный набор Лабиринтов Порядка операций
МИНИ-НАБОР: Уровень 1 — БЕЗ скобок / скобок и экспонентов
— Уровень 1a — БЕЗ скобок / скобок и показателей
— Уровень 1b — БЕЗ скобок / скобок и экспонентов (бесплатно)
— Уровень 1c — БЕЗ круглых скобок / скобок и экспонентов
— Уровень 1d — БЕЗ скобок / скобок и экспонентов
МИНИ-НАБОР: Уровень 2 — С круглыми скобками / скобками, но БЕЗ экспонентов
— Уровень 2a — С круглыми скобками / скобками но БЕЗ экспонентов
— уровень 2b — со скобками / скобками, но БЕЗ экспонентов
— уровень 2c — со скобками / скобками, но БЕЗ показателей
— уровень 2d — со скобками / скобками, но БЕЗ показателей
— уровень 2e — со скобками / скобками, но БЕЗ Экспоненты
— Уровень 2f — С круглыми скобками / скобками, но БЕЗ экспонентов
— Уровень 2g — СО скобками / скобками, но БЕЗ экспонентов
МИНИ-НАБОР: L Уровень 3 — С круглыми скобками / квадратными скобками И показателями
— Уровень 3a — С круглыми скобками / квадратными скобками И показателями
— Уровень 3b — С круглыми скобками / скобками И показателями
— Уровень 3c — С круглыми скобками / скобками И показателями
— Уровень 3d — С круглыми скобками / Скобки И экспоненты
— Уровень 3e — С круглыми скобками / Скобки И экспоненты
— Уровень 3f — С круглыми скобками / Скобки И экспоненты
— Уровень 3g — С круглыми скобками / Скобки и экспоненты

Получите БОЛЬШОЙ ПАКЕТ лабиринтов ЗДЕСЬ и СОХРАНИТЕ 50 %!

(Без экспонентов и скобок / скобок, только умножение / деление и сложение / вычитание)

Эти лабиринты с порядком операций дают учащимся веселую и дифференцированную деятельность, позволяя быстро и безболезненно оценивать! Это отличное занятие, которое студенты могут выполнить в качестве практического или домашнего задания.Это поможет им практиковать свой Порядок действий, а также получать удовольствие от прохождения лабиринта!

У учащихся будет несколько вариантов для каждого ответа, поэтому они должны правильно упростить выражение, чтобы найти решение.

Учитель легко может быстро проверить лабиринт, так что ученики смогут сразу исправить свои ошибки.

В этот продукт включены 11 страниц лабиринта с порядком действий и ключ ответа для каждого лабиринта.

Еще раз мне нравится, как клавиша ответа позволяет быстро проверить лабиринт на наличие ошибок.

Получите БОЛЬШОЙ ПАКЕТ лабиринтов ЗДЕСЬ и СЭКОНОМЬТЕ 50%!

Общие основные стандарты:
5.OA.1 Используйте круглые скобки, квадратные скобки или фигурные скобки в числовых выражениях и оценивайте выражения с этими символами.
5.OA.2 Напишите и интерпретируйте числовые выражения.

рабочие листы порядка операций, рабочие листы свободного порядка операций, простые рабочие листы порядка операций, математические рабочие листы порядка операций, рабочий лист порядка операций, рабочие листы PEMDAS

Получите БОЛЬШОЙ ПАКЕТ лабиринтов ЗДЕСЬ и СЭКОНОМЬТЕ 50%!

Математическое уравнение, которое попыталось поставить в тупик Интернет

Прочтите статью Стивена Строгаца о математике в The Times

Чтобы помочь учащимся в США запомнить этот порядок операций, учителя встраивают в них аббревиатуру PEMDAS: круглые скобки, показатели, умножение, деление, сложение, вычитание.Другие учителя используют эквивалентную аббревиатуру BODMAS: скобки, порядки, деление и умножение, а также сложение и вычитание. Третьи советуют своим ученикам запомнить маленькую частушку: «Прошу прощения, моя дорогая тетя Салли».

[ Эта математическая задача — не первый раз, когда Интернет раскололся. Помните Янни и Лорел? Как насчет цвета этого платья ? ]

А теперь поймите, что следование за тетей Салли — это чисто условный вопрос.В этом смысле PEMDAS произвольна. Более того, по моему опыту математика, выражения вроде 8 ÷ 2 × 4 выглядят абсурдно надуманными. Ни один профессиональный математик никогда не написал бы что-то столь явно неоднозначное. Мы бы вставили круглые скобки, чтобы обозначить наш смысл и указать, следует ли сначала выполнить деление или умножение.

В последний раз, когда это появилось в Твиттере, я отреагировал возмущением: казалось смешным, что мы тратим так много времени в нашей школьной программе на такую софизму.Но теперь, будучи просветленным некоторыми из моих компьютерных друзей в Твиттере, я пришел к пониманию того, что условности важны и от них могут зависеть жизни. Мы знаем это всякий раз, когда выезжаем на шоссе. Если все остальные едут по правой стороне дороги (как в США), вам будет разумно последовать их примеру. То же самое, если все остальные едут слева, как в Соединенном Королевстве. Неважно, какая конвенция принята, если все ее соблюдают.

Точно так же важно, чтобы каждый, кто пишет программное обеспечение для компьютеров, электронных таблиц и калькуляторов, знал правила порядка операций и следовал им.Для остальных из нас сложности PEMDAS менее важны, чем более крупный урок о том, что условности имеют свое место. Это двойная желтая линия по центру дороги — бесконечный знак равенства — и общее соглашение о понимании друг друга, совместной работе и избежании лобовых столкновений. В конечном счете, 8 ÷ 2 (2 + 2) — это не столько утверждение, сколько кирпичная кладка; это все равно, что написать фразу «ест побеги и листья» и прийти к выводу, что язык капризен. Ну да, при отсутствии знаков препинания это так; вот почему мы изобрели этот материал.

Итак, от имени всех учителей математики, пожалуйста, извините нас за то, что вы натренируете себя в юности на этой скуке. Мои дочери тратили на это несколько недель каждый учебный год в течение нескольких лет обучения, как будто готовились стать автоматами. Неудивительно, что так много студентов начинают рассматривать математику как бесчеловечный и бессмысленный набор произвольных правил и процедур. Очевидно, что если этот последний приступ беспорядка в Интернете является каким-либо признаком, многие студенты не могут усвоить более глубокий и важный урок. Возможно, пора перестать извинять дорогую тетю Салли и вместо этого обнять ее.

Порядок операций и невидимые скобки

1.4 — Порядок операций и невидимые скобки

1.4 — Порядок действий и невидимые скобки

Порядок работы

Выражение — это набор чисел, которые объединяются с помощью таких операций, как как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д. Пример выражения:

4 + 5 · 2 ³.

В этом выражении числа 4, 5, 2 и 3, и они объединены операциями сложение, умножение и возведение в степень.

В выражениях часто используются квадратные скобки () как символы группировки. Скобки содержат свои собственные подвыражения (таким образом создавая выражения внутри выражений). Пример:

3 (4 + 5) + 2.

Здесь подвыражение 4 + 5. Более сложный пример:

10 (3 (4 + 5) + 2)

Это предыдущее выражение, умноженное на 10. Это выражение содержит подвыражение который сам содержит подвыражение! Тогда возникает вопрос: в каком порядке мы выполняем эти операции? Ответ представлен в этой таблице:

Порядок действий:

Операция в скобках (скобки) выполняются в первую очередь.Если есть вложенные скобки (скобки в скобках), то сначала выполняются самые внутренние скобки.
Затем возведение в степень .
Затем умножение и деление слева направо.
Затем сложение и вычитание слева направо.

Таким образом, приведенные выше примеры можно упростить следующим образом:

Пример: 4 + 5 · 2 ³ → 4 + 5 · 8 → 4 + 40 → 44

Пример: 3 (4 + 5) + 2 → 3 · 9 + 2 → 27 + 2 → 29

Пример: 10 (3 (4 + 5) + 2) → 10 (3 · 9 + 2) → 10 (27 + 2) → 10 · 29 → 290

Есть пара сокращений, которые люди используют, чтобы помочь им запомнить таблица порядка операций.Один — BEDMAS , который обозначает заказ: Скобки, Возведение в степень, Деление и умножение, Сложение и вычитание.

Еще один — PEMDAS , который обозначает заказ: Круглые скобки, возведение в степень, Умножение и деление, Сложение и вычитание. Используйте любую аббревиатуру, которая вам больше нравится.

Кронштейны невидимые

Есть три места, где скобки обычно не отображаются, но вы должны представить, что они там есть.Одно место — это показатель степени в экспоненте. Два других — числитель выше горизонтальная линия деления и знаменатель под горизонтальной линией деления. Вот два примера, показывающих выражения, сначала с невидимыми скобками, а затем с видимыми скобками (показаны красным). Мы также показываем, что оценивают выражения.

Пример 1:

Вы знаете, что в этой экспоненте «+2» находится в экспоненте вместе с «3». потому что он написан меньше и выше основания и прямо рядом с цифрой «3».Это означает, что показатель степени должен быть «3 + 2» и должен храниться вместе, как если бы он был скобки вокруг него.

Пример 2:

В этой дроби вы знаете, что «+5» стоит в числителе вместе с «7». потому что он написан прямо рядом с цифрой 7, а разделительная линия проходит прямо через под обоими. То же самое и со знаком «+4» в знаменателе. Это означает, что числитель равен «7 + 5», а знаменатель — «2 + 4», и оба они должны быть вместе, как если бы они были окружены скобками.

Примечание:

Сравните следующие два примера с двумя примерами выше. Единственная разница в том, что некоторые числа были немного сдвинуты или увеличены:
Вывод: аккуратность и точность в счет!
В приведенных выше примерах мы могли сказать, что число было в экспоненте или знаменателе, по насколько он был велик или где было написано. Однако при вводе одного из этих выражений в Algebra Coach (или любую другую программу по алгебре) вы не можете делать числа меньше или больше.Все должно быть напечатано в одной строке, поэтому необходимо использовать скобки. В Следующие упражнения показывают, как квадратные скобки меняют значение похожих на внешний вид выражений. Попробуйте их!

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Упрощение выражений с помощью порядка операций

Результаты обучения

Используйте порядок операций для упрощения математических выражений
Упростите математические выражения, включающие сложение, вычитание, умножение, деление и экспоненты

Упростите выражения, используя порядок операций

Мы ввели большинство символов и обозначений, используемых в алгебре, но теперь нам нужно уточнить порядок операций.В противном случае выражения могут иметь разное значение и давать разные значения.

Например, рассмотрим выражение:

[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {cccc} \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 49.} \ Hfill & & & & \ hfill \ text {Некоторые студенты говорят, что это упрощается до 25.} \ hfill \\ \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Поскольку} 4 + 3 \ text {дает 7.} \ hfill & & \ hfill 7 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {And} 7 \ cdot 7 \ text {равно 49.} \ hfill & & \ hfill 49 \ hfill \ end {array} & & & \ begin {array} {ccc} & & \ hfill 4 + 3 \ cdot 7 \ hfill \\ \ text {Since} 3 \ cdot 7 \ text {равно 21.} \ hfill & & \ hfill 4 + 21 \ hfill \\ \ text {And} 21 + 4 \ text {составляет 25.} \ hfill & & \ hfill 25 \ hfill \ end {array} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Представьте себе путаницу, которая могла бы возникнуть, если бы для каждой проблемы было несколько разных правильных ответов. Одно и то же выражение должно дать такой же результат. Таким образом, математики установили некоторые правила, называемые порядком операций, которые определяют порядок, в котором части выражения должны быть упрощены.

Порядок действий

При упрощении математических выражений выполняйте операции в следующем порядке:
1. P арентезов и других символов группировки

Упростите все выражения внутри скобок или других символов группировки, работая в первую очередь с самыми внутренними скобками.

2. E xponents

Упростите все выражения показателями.

3. M ultiplication и D ivision

Выполните все операции умножения и деления слева направо.Эти операции имеют равный приоритет.

4. A ddition и S ubtraction

Выполняйте все операции сложения и вычитания слева направо. Эти операции имеют равный приоритет.

Студенты часто спрашивают: «Как мне запомнить заказ?» Вот способ помочь вам запомнить: возьмите первую букву каждого ключевого слова и замените глупую фразу. P аренда E xcuse M y D ear A unt S союзник.

Порядок работы
P аренда	P аренцев
E xcuse	E компоненты
M y D ухо	M ultiplication и D ivision
A Unt S союзник	A ddition и S ubtraction

Хорошо, что « M y D ear» идут вместе, поскольку это напоминает нам, что m ultiplication и d ivision имеют равный приоритет.Мы не всегда выполняем умножение перед делением или всегда делаем деление перед умножением. Делаем их слева направо.
Аналогичным образом, « A unt S ally» идет вместе и напоминает нам, что a ddition и s ubtraction также имеют равный приоритет, и мы выполняем их в порядке слева направо.

пример

Упростите выражения:

[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
[латекс] \ влево (4 + 3 \ вправо) \ cdot 7 [/ латекс]

Решение:

1.
	[латекс] 4 + 3 \ cdot 7 [/ латекс]
Есть ли p арентезов? №
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Сначала умножить.	[латекс] 4+ \ color {красный} {3 \ cdot 7} [/ латекс]
Доп.	[латекс] 4 + 21 [/ латекс]
	[латекс] 25 [/ латекс]

2.
	[латекс] (4 + 3) \ cdot 7 [/ латекс]
Есть ли p арентезов? Да.	[латекс] \ color {красный} {(4 + 3)} \ cdot 7 [/ латекс]
Упростите в скобках.	[латекс] (7) 7 [/ латекс]
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножить.	[латекс] 49 [/ латекс]

пример

Упростить:

[латекс] \ text {18} \ div \ text {9} \ cdot \ text {2} [/ latex]
[латекс] \ text {18} \ cdot \ text {9} \ div \ text {2} [/ latex]

Показать решение

Решение:

1.
	[латекс] 18 \ div 9 \ cdot 2 [/ латекс]
Есть ли p арентезов? Нет.
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножайте и делите слева направо. Делить.	[латекс] \ color {красный} {2} \ cdot 2 [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 4 [/ латекс]

2.
	[латекс] 18 \ cdot 9 \ div 2 [/ латекс]
Есть ли p арентезов? Нет.
Есть ли компоненты e ? №
Есть ли ультипликация m или d ivision? Да.
Умножайте и делите слева направо.
Умножить.	[латекс] \ color {красный} {162} \ div 2 [/ латекс]
Разделить.	[латекс] 81 [/ латекс]

пример

Упростить: [латекс] 18 \ div 6 + 4 \ left (5-2 \ right) [/ latex].

Показать решение

Решение:

	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (5-2) [/ латекс]
Круглые скобки? Да, сначала вычтите.	[латекс] 18 \ div 6 + 4 (\ color {красный} {3}) [/ латекс]
Показатели? №
Умножение или деление? Да.
Сначала разделите, потому что мы умножаем и делим слева направо.	[латекс] \ color {красный} {3} +4 (3) [/ латекс]
Любое другое умножение или деление? Да.
Умножить.	[латекс] 3+ \ color {red} {12} [/ latex]
Любое другое умножение или деление? №
Любое сложение или вычитание? Да.	[латекс] 15 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения математического выражения.

Когда имеется несколько символов группировки, мы сначала упрощаем самые внутренние круглые скобки и работаем наружу.{3}} + 3 [0] [/ latex] Есть ли умножение или деление? Да. Умножить. [латекс] 5 + 8 + \ color {красный} {3 [0]} [/ латекс] Есть ли сложение или вычитание? Да. Доп. [латекс] \ color {красный} {5 + 8} +0 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {13 + 0} [/ латекс] [латекс] 13 [/ латекс]

В видео ниже мы показываем еще один пример того, как использовать порядок операций для упрощения выражения, содержащего экспоненты и символы группировки.{2}} [/ латекс] Разделить. [латекс] 8+ \ color {красный} {82 \ div 3} -25 [/ латекс] Доп. [латекс] \ color {красный} {8 + 27} -25 [/ латекс] Вычесть. [латекс] \ color {красный} {35-25} [/ латекс] [латекс] 10 [/ латекс]

Почему учителям математики пора убирать BODMAS

Что означает BODMAS?

Акроним BODMAS означает скобки, порядки, деление, умножение, сложение, вычитание.

Иногда его называют BIDMAS (с «индексами» вместо «заказов») или правилом PEMDAS в Америке (с «круглыми скобками» и «экспонентами»).

BODMAS правило

Это математическое правило диктует правильный порядок операций, которым нужно следовать, когда вы завершаете вопрос с математическим числовым предложением с различными операциями.

Первый шаг — сделать что-нибудь в скобках, затем заказать следующие (например, квадратный корень или индексы). Деление и умножение находятся на одном уровне, что означает, что им дается равный приоритет, и они должны выполняться слева направо, а не все деление, а затем все умножение.Точно так же сложение и вычитание находятся на одном уровне и должны выполняться слева направо.

Я начал свою педагогическую карьеру в средней школе. Молодой, нетренированный и еще не лысеющий, я оказался на самом крутом этапе обучения в моей жизни.

Еженедельные встречи с моим руководителем отдела были жизненно важны для обсуждения педагогики, и я строго придерживался его инструкций: «Никогда не сокращайте совокупную частоту», «Мы всегда подбрасываем монеты и получаем решку, мы никогда не подбрасываем монеты и не получаем орла», и это самое важное. , «Мы никогда, никогда не используем БОДМЫ».

Отказаться от использования BODMAS было труднее, чем вы думаете. Приехали студенты, хорошо разбирающиеся в его применении.

Нам пришлось и обучать этому. Нам приходилось убеждать комнаты, заполненные подростками, в том, что они должны изменить основные принципы своей арифметической системы убеждений. Это было сложно, потому что подростки ненавидят перемены и ненавидят прозелитизм взрослых.

Так зачем нам вообще беспокоиться? Что убедило весь отдел в том, что нужно приложить столько усилий для решения такого, казалось бы, тривиального вопроса?

BODMAS ошибочен.Это то что.

Неправильный ответ

Буквы обозначают скобки, порядок (что означает степень), деление, умножение, сложение, вычитание. Таким образом, предполагается, что в этой последовательности происходит упрощение любого данного математического выражения.

Например, чтобы оценить 3 + (3 + 3) ³ ÷ 3 — 3 x 3 , мы действуем в указанном выше порядке:

Это был бы действительно полезный алгоритм, если бы он работал в любой ситуации, но рассмотрим гораздо более простое выражение, 1-2 + 4 .Он не содержит скобок, степеней, деления или умножения, поэтому мы будем следовать BODMAS и выполнять сложение с последующим вычитанием:

Это ошибочно. Правильное значение — 3. BODMAS нас подвел. Позор БОДМАС!

Математические задачи

У нас не может быть волшебной мнемоники, которая не работает все время; Предположим, он решил не работать в важный момент. Представьте, что вы пытаетесь объяснить своему ученику, что причина, по которой он потерял оценку на экзамене, заключалась в том, что то, что вы сказали ему, всегда работает, на самом деле не срабатывало во всех случаях, и, фактически, один из таких случаев произошел в тот документ GCSE.

Это не новая проблема. Я не первый, кто об этом пишет. Даже Википедия решает эту проблему и предлагает несколько альтернатив. Студенты любят Википедию! Так почему же BODMAS все еще актуален?

В Хайгейте вокруг него было такое клеймо, что некоторые партии высмеивали меня более десяти лет после того, как мой коллега пережил обмен в классе, который проходил примерно так:

Учитель: Как нам упростить это выражение?
Студент: БОДМАС, сэр.
Учитель: Мы здесь не используем БОДМЫ.
Студент: Но вот чему мистер Элтон научил нас в прошлом году, сэр.

После этого мне несправедливо присвоили прозвище «БОДМАС», которое преследовало меня повсюду. У меня не было защиты; Заявление подал платный студент, так что оно должно быть правдой. По крайней мере, один человек (он знает, кто он) все еще называет меня БОДМАСом чаще, чем он использует мое настоящее имя.

Несмотря на то, что я абсолютно не виновен в том, что запятнал умы невинных студентов, я чувствую себя обязанным исправить положение, поэтому я использую эту платформу именно так.Считайте это общественными работами.

Правильный ответ

Однако нет смысла бить БОДМАС, не предлагая альтернативы. Проиллюстрированная выше ошибка вызвана тем фактом, что сложение и вычитание не обязательно должны происходить в таком порядке. Если у нас есть строка этих двух операций, она называется суммой, и мы должны работать слева направо:

Точно так же деление не более важно, чем умножение. Если у нас есть строка из этих двух операций, она называется продуктом, и мы снова будем работать слева направо:

Теперь у нас такой порядок: скобки, порядок, продукты, суммы.

Это дает нам BOPS, который на целый слог короче, чем BODMAS, и имеет значительное преимущество в том, что он надежен.

Я уверен, что если бы кто-то предложил BOPS до BODMAS, то последний был бы предан безвестности. Даже сейчас еще не поздно избавиться от двусложных арифметических сокращений.

Я призываю своих коллег по всему миру запретить BIDMAS и очистить PEMDAS. Не оставляйте от них никаких следов. Позвольте BOPS нанести победный удар молодым математикам во всем мире.

Оуэн Элтон — учитель математики, автор / исполнитель глупых песен и автор математических минут. Вы можете следить за ним в Твиттере по адресу @owenelton.

Порядок арифметических действий (операций) Арифметика

Первый способ

Второй способ

Порядок действий и возведение в степень

Конспект урока для 3 класса «Порядок выполнения действий в выражениях без скобок»

Внимание! Математическое Действие Начинается Только с…

Первый способ

Второй способ

Порядок действий и возведение в степень

Урок «Порядок действий в примерах без скобок»

Что сначала сложение или вычитание без скобок. Конспект урока ««Порядок выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками».»

Что такое действия первой и второй ступени

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

среда, 4 июля 2018 г.

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Калькулятор со скобками

Действия первой и второй ступени

Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

Действия первой и второй ступени

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

PEMDAS — Magoosh Math

Правила PEMDAS

Правила чтения слева направо

Неоднозначность при умножении и делении

Проблема с дробными полосами

Круглые скобки и группировка

Непростой пример

Порядок операций и алгебраические тождества

Заключение

, если скобок нет, выражение выглядит следующим образом 4 + 3 * 2, что означает, каким будет ответ

Лабиринт порядка операций (без экспонентов и скобок / скобок) БЕСПЛАТНО

Математическое уравнение, которое попыталось поставить в тупик Интернет

Порядок операций и невидимые скобки

1.4 — Порядок действий и невидимые скобки

Порядок работы

Кронштейны невидимые

Упрощение выражений с помощью порядка операций

Результаты обучения

Упростите выражения, используя порядок операций

Порядок действий

пример

пример

пример

Почему учителям математики пора убирать BODMAS

Что означает BODMAS?

BODMAS правило

Неправильный ответ

Математические задачи

Правильный ответ

Добавить комментарий Отменить ответ