Порядок умножения: 01Математика — 5 класс. Математика — Порядок действий

Порядок изучения таблицы умножения и табличного деления.

При изучении таблицы умножения во II классе, как показывает опыт, целесообразно пользоваться следующими основными положениями. Таблица умножения изучается в порядке натурального ряда чисел: умножение числа 2, числа 3, числа 4 и т.д. Таблица умножения каждого числа располагается по постоянному множимому, это обеспечивает понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых.

Наизусть и твердо усваивается только таблица умножения. Таблица деления специально не изучается и не заучивается. Результаты табличного деления ученик находит по таблице умножения. Например, 36 разделить на 4, будет 9, потому что, если9умножить на четыре, то получится 36.

С самого начала изучения таблицы умножения широко и последовательно используется переместительный закон умножения. Каждый пример из таблицы, допустим 3 x 8 = 24, может быть прочитан двояко: 3 умножить на 8, получится 24 и 8 умножить на 3, получится 24. Так ученики читают один и тот же пример на основании переместительного закона умножения. В каждом табличном примере первое число можно рассматривать как множимое и как множитель.

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3

Табличное умножение и деление изучаются совместно: из каждого случая умножения вытекают два случая деления. Например:

а) 3 x 9 = 27. Отсюда 27 : 3 = 9; 27 : 9 = 3.

б) 4 x 8 = 32. Отсюда 32 : 4 = 8; 32 : 8 = 4.

Читая эти примеры, ученик рассуждает так: 3 раза взять по, 9, будет 27. Следовательно, если 27 разделить на 3, получится 9. Тот же пример можно прочитать так: 9 раз взять по 3, будет 27, Следовательно, 27 разделить на 9, получится 3.

Таким образом, результаты табличного деления всегда берутся из таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и табличного деления все время сопровождается решением задач, в которых эти действия находят практическое применение, что способствует твердому усвоению таблицы умножения и быстрому нахождению по этой таблице результатов, деления.

В примерах с отвлеченными числами виды деления не различают. Любой пример на деление вроде 56 : 7 = 8 читают так: 56 разделить на 7, получим 8.

Но при решении задач в зависимости от их смысла, ученики должны различать виды деления, что находит свое выражение в рассуждениях, которыми сопровождается решение задачи.

Покажем практическое применение этих положений на примере, изучения таблицы умножения числа 4, которое может занять, примерно, 3—4 урока.

На первом уроке таблица умножения составляется, и проводятся первоначальные упражнения в ее усвоении. Примерный план этого урока.

1. Счет четверками в пределах 40. Этот счет идет сначала на наглядном пособии, например на классных счетах, а потом отвлеченно. Очень важно, чтобы ученики запомнили результаты этого счета, составляющие числовой ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 — и могли бы по памяти быстро и правильно воспроизвести числа этого ряда в прямом и обратном порядке.

Полезно поработать над этим числовым рядом, ставя перед учениками следующие вопросы:

1. Какое число составят 6 четверок? 7 четверок? 8 четверок? 9 четверок?
2. Сколько четверок надо взять, чтобы получить 20? 24? 28? 32? 36? 40?
3. Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 28? 36? 24? 32?

2. Запись счета четверками в виде таблицы умножения:

4 x 1=4      4 x 5 = 20    4 x 8 = 32
4 x 2 = 8    4 x 6 = 24    4 x 9 = 36
4 x 3 = 12  4 x 7 = 28    4 x 10 = 40
4 x 4= 16

Первая половина этой таблицы ученикам уже известна, и они записывают ее совершенно самостоятельно. К составлению и записи второй части таблицы можно подвести, учеников через сложение четверок:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, или 4 х 6 = 24 и т. д.

3. Чтение таблицы, упражнения в ее запоминании. Составленная таблица читается хором и отдельными учениками, подряд и вразбивку, с открытыми результатами и закрытыми. Детям сразу дается установка на запоминание таблицы: «Таблицу нужно знать наизусть, твердо. Читая, старайтесь ее запомнить». При этом обращается внимание детей на способ набора четверок: четверки можно набирать по одной и группами. Например, чтобы набрать 6 четверок, можно взять 3 четверки и еще 3, или 5 четверок и еще одну четверку.

Ученики скорее и лучше запомнят таблицу, если усвоение ее будет опираться на различные восприятия и анализаторы: зрительные, слуховые, кинестезические (проговаривание), моторные.

4. Применение знания таблицы умножения при решении задач. Детям предлагают преимущественно простые задачи на умножение: 1. В одном литре 4 стакана молока. Сколько стаканов молока в 6, 7, 8, 9, 10 литрах? 2. Для одной автомашины требуется 4 колеса. Сколько колес требуется для 5, 6, 7, 8, 9, 10 автомашин?

5. Задание на дом:

1. Усвоить таблицу умножения числа 4 наизусть.
2. Решить несколько примеров и задач, в которых применяется знание таблицы умножения 4 и ранее изученных таблиц.

На втором уроке продолжаются упражнения в закреплении знания таблицы умножения числа 4 путем решения примеров и.задач на умножение. Кроме того, на этом уроке учитель знакомит детей с табличным делением, показывая им, как можно получить результат деления на 4, зная таблицу умножения четырех.

Для этого рассматривают каждый случай таблицы умножения и вытекающие из него два случая деления, например:

4 х 6 = 24  24 : 4 = 6   24 : 6 = 4
4 х 7 = 28  28 : 4 = 7   28 : 7 = 4

Каждый случай деления обосновывается следующим образом. Возьмем пример: 4 х 7 = 28. Читаем этот пример так: по 7 взять 4 раза, получится 28. Значит, если 28 разделить на 4, получится 7.

Читаем этот же пример так, как он записан: по 4 взять 7 раз, получится 28. Значит, если 28 разделить на 7, получится 4.

Таким образом, из таблицы умножения числа 4 получаются две таблицы деления. Ни, одна из них не заучивается. Читая каждый пример этих таблиц, ученик поясняет, почему получается тот или иной результат. Например, 32 разделить на 4, будет 8, потому что 8 раз по 4 будет 32

Полезны такие вопросы:

1. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить 36, 28, 20, 24?
2. Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 36, 24, 16, 28, 40?
3. Какое число надо разделить на 4, чтобы получить 6, 8, 5, 7?
4. Какие числа надо перемножить, чтобы получить 24, 28, 32, 36?

На третьем уроке решаются задачи на умножение и обратные им задачи на деление. К каждой простой задаче на умножение составляются две обратные, задачи на деление:

1) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множителю находится множимое (деление на равные части): 2) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множимому находится множитель (деление по содержанию).

Приведем примеры таких задач:

1. На одно платье идет 4 м материи. Сколько метров материи пойдет на 6 таких платьев?
Решение: 4 м х 6 = 24 м.

2. Первая обратная задача: На 6 платьев пошло 24 м материи. Сколько метров материи пошло на одно платье?
Решение: 24 м : 6 = 4 м.

3. Вторая обратная задача: Из 24 м материи сшили несколько платьев, причем на каждое израсходовали по 4 м. Сколько сшили платьев?
Решение: 24 м : 4 м = 6. Ответ: 6 платьев.

На таких задачах углубляется понимание взаимосвязи умножения и деления, а также закрепляется знание табличного умножения и деления на 4.

Наряду с этим необходимо решать и составные задачи, требующие использования двух видов деления. Например:

1. Доярка подоила трех коров и от каждой надоила по 8 литров молока. Все это молоко она разлила в 4 одинаковых кувшина. Сколько литров молока вошло в каждый кувшин?

2. Ученик записал примеры в 2 столбика, по 6 примеров в каждый. Сколько получилось бы столбиков, если бы он записал по 4 примера в столбик?

В первой задаче применяется деление на равные части, во второй — деление по содержанию.

Когда все случаи табличного умножения и деления будут пройдены, полезно в целях повторения выписать все табличные результаты, большие 20, и поупражнять детей в подборе к каждому из них сомножителей и делителей:

21; 24; 25; 27; 28; 30;
32; 35; 36; 40; 42; 45; 48; 49; 50;
54; 56; 60; 64; 70; 72; 80; 81; 90.

При такой системе изучения табличного умножения и деления сокращаются сроки изучения этого раздела и устраняются многие трудности.

определение, свойства и примеры решения задач

Содержание:

• Определение
• Свойства произведения матриц

Определение

Произведением матрицы $A_{m \times n}$ на матрицу $B_{n \times k}$ называется матрица $C_{m \times k}$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $c_{ij}$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Замечание

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример

Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right) $ , $ B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right) $

Решение.

Так как $ A=A_{3 \times 2} $ , а $ B=B_{2 \times 2} $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_{3 \times 2} $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin{array}{ll}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right) $ .

Вычислим элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{32}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$ C=A B=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right)_{3 \times 2} \cdot \left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)_{2 \times 2}= $

$ =\left( \begin{array}{ccc}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $

Найдем теперь произведение $ D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2} $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

1. Ассоциативность $ (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) $
2. Ассоциативность по умножению $ (\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B) $
3. Дистрибутивность $ A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$, $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C $,
4. Умножение на единичную матрицу $ E_{m} \cdot A_{m \times n}=A_{m \times n} \cdot E_{n}=A_{m \times n} $
5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $ A B \neq B A $
6. $ E A=A $

Читать дальше: транспонирование матрицы.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Помощь в оформлении заказа | Multiplication.com. Как мне это получить?

• Вскоре после завершения заказа вы получите электронное письмо со ссылкой на файлы для загрузки.
• Если вы не видите письмо в папке «Входящие», возможно, оно попало в папку «Нежелательная почта» или «Спам».
• Вам также будут высланы имя пользователя и пароль по электронной почте. Если вам нужно загрузить элементы снова, вы можете перейти на страницу входа пользователя . Введите свое имя пользователя и пароль, чтобы получить доступ к загрузкам и информации о вашем заказе.

Меня беспокоит ввод информации о моей банковской карте на веб-сайте.

• Наши страницы оформления корзины покупок используют безопасное 256-битное шифрование SSL. Вводимые данные шифруются и отправляются непосредственно в банк. Мы никогда не видим номер вашей банковской карты (только последние 4 цифры).

Сколько времени потребуется, чтобы получить мой заказ?

• Загруженные товары — вы сможете загрузить купленные товары сразу после оформления заказа. Вы также получите ссылку на элементы, чтобы вы могли загрузить их позже. (Если у вас возникнут какие-либо проблемы, напишите нам по электронной почте.)
• Отправляемые товары — мы отправляем приоритетной почтой США, и товары обычно отправляются в день вашего заказа или на следующий рабочий день. Доставка по США обычно занимает от 2 до 4 рабочих дней. (Другую информацию о доставке см. ниже)

У меня проблемы! К кому мне обратиться?

• Электронная почта: [email protected] .

 

• Доставка и сроки
  • Заказы отправляются приоритетной почтой США либо в день получения заказа, либо на следующий рабочий день. Ниже указано ожидаемое время транзита. Время транзита варьируется в разное время года и не гарантируется.
    • Заказы в США — от 2 до 4 рабочих дней
    • Международные заказы — от 1 до 6 недель. Транзитное время доставки сильно зависит от таможни и местоположения. Мы обнаружили, что US Priority Mail является наиболее экономичной и надежной. Ниже приведены типичные сроки доставки:
      • Канада и Мексика — от 1 до 2 недель
      • Великобритания — от 1 до 4 недель
      • Австралия — от 2 до 5 недель
      • Азия — от 2 до 8 недель
      • Европа — от 1 до 5 недель
        
• Задержки доставки
  • Иногда суровые погодные условия или сезонные скопления почты могут вызвать неожиданную задержку доставки.
     
•  Отслеживание вашего отправления
  • Мы отправляем Priority Mail по фиксированной ставке (надежный сервис по экономичным тарифам). К сожалению, онлайн-отслеживание недоступно для международных конвертов с фиксированной ставкой Priority Mail.
  • К счастью, мы обнаружили, что служба Priority Mail чрезвычайно надежна.
     
• Ошибки ввода заказа
  • Если вы допустили ошибку в своем заказе, НЕМЕДЛЕННО свяжитесь с нами. Электронное письмо [email protected] с исправлениями.
     
• Отмена заказа
  • Пожалуйста, напишите  [email protected]   немедленно, если вы хотите отменить свой заказ. Если ваш заказ отправлен, его нельзя отменить, но можно вернуть.
     
• Отмена онлайн-подписки
  • Повторяющиеся онлайн-подписки можно легко отменить, войдя в свою учетную запись и выбрав «Настройки», а затем «Управление подписками». Чтобы отменить подписку, нажмите «Отменить». Ваша подписка будет прекращена в конце платежного цикла.
  • Если подписка не указана, ваша подписка НЕ ​​является повторяющейся, и вам не будет автоматически выставляться счет в конце подписки.

  

• Возврат заказа
  • В течение первых 30 дней, если вы обнаружите, что Multiplication.com не соответствует вашим потребностям, вы можете отменить заказ и получить полный возврат средств. Чтобы начать возврат, свяжитесь с нами через нашу форму поддержки или по адресу [email protected].
• Недоставленные заказы
  • Иногда заказы возвращаются к нам как недоставленные. Мы выдаем полный кредит, когда заказ возвращается как недоставленный. Мы не можем повторно отправить заказы, которые возвращены как недоставленные. Пожалуйста, разместите новый заказ с исправленным или измененным адресом.

 

6.2 — Операции с матрицами

6.2 — Операции с матрицами

Равенство

Две матрицы равны тогда и только тогда, когда

• Порядок матриц тот же
• Соответствующие элементы матриц совпадают

Дополнение

• Порядок матриц должен быть одинаковым
• Сложить соответствующие элементы вместе
• Сложение матриц коммутативно
• Сложение матриц ассоциативно

Вычитание

• Порядок матриц должен быть одинаковым
• Вычесть соответствующие элементы
• Вычитание матриц не является коммутативным (как и вычитание действительных чисел)
• Вычитание матриц не является ассоциативным (как и вычитание действительных чисел)

Скалярное умножение

Скаляр — это число, а не матрица.

• Матрица может быть любого порядка
• Умножить все элементы матрицы на скаляр
• Скалярное умножение коммутативно
• Скалярное умножение ассоциативно

Нулевая матрица

• Матрица любого порядка
• Состоит из всех нулей
• Обозначается заглавной буквой O
• Аддитивная идентичность для матриц
• Любая матрица плюс нулевая матрица является исходной матрицей

Умножение матриц

А _m×n × B _n×p = C _m×p

• Количество столбцов в первой матрице должно быть равно количество строк во второй матрице. То есть внутренние размеры должны быть одинаковыми.
• Порядок произведения равен количеству строк в первой матрице на количество столбцов в вторая матрица. То есть размеры изделия – это наружные габариты.
• Так как количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрица, вы можете спаривать записи.
• Каждый элемент в строке i из первой матрицы соединяется с элементом в столбце j из вторая матрица.
• Элемент в строке и , столбце и произведения образован путем умножения этих парных элементов и их суммирование.
• Каждый элемент произведения представляет собой сумму произведений элементов из строка i первой матрицы и столбец j второй матрицы.
• Будет n произведений, которые суммируются для каждого элемента произведения.

См. полный пример умножения матриц.

Умножение матриц не является коммутативным

• Умножение действительных чисел.
• Внутренние размеры могут не совпадать при изменении порядка матриц.

Не перемножайте соответствующие элементы вместе

• Поскольку порядок (размеры) матриц может не совпадать, соответствующие элементы, чтобы умножить вместе.
• Умножить строки первого на столбцы второго и сложить.

Нет деления матрицы

• Не существует определенного процесса деления матрицы на другую матрицу.
• Матрица может быть разделена на скаляр.

Идентификационная матрица

• Квадратная матрица
• Единицы по главной диагонали
• Нули везде
• Обозначается I. Если индекс включен, это порядок единичной матрицы.
• I — мультипликативная идентичность для матриц
• Любая матрица, умноженная на единичную матрицу, является исходной матрицей.
• Умножение на единичную матрицу является коммутативным, хотя порядок изменить

Идентификационная матрица размера 2

I 2 =		1	0
		0	1

Идентификационная матрица размера 3

I 3 =		1	0	0
		0	1	0
		0	0	1

Свойства матриц

Собственность	Пример
Коммутативность сложения	А + В = В + А
Ассоциативность сложения	А + (В + С) = (А + В) + С
Ассоциативность скалярного умножения	(кд) А = с (дА)
Скалярная идентичность	1А = А(1) = А
Распределительный	с (А + В) = сА + сВ
Распределительный	(с + г) А = сА + дА
Дополнительный идентификатор	А + О = О + А = А
Ассоциативность умножения	А (ВС) = (АВ) С
Распределительный левый	А (В + С) = АВ + АС
Правый распределитель	( А + В ) С = АС + ВС
Скалярная ассоциативность/коммутативность	с (АВ) = (сА) В = А (сВ) = (АВ) с
Мультипликативная идентичность	ИА = АИ = А

Свойства действительных чисел, которые не являются свойствами матриц

Коммутативность умножения

• Вы не можете изменить порядок задачи на умножение и ожидать чтобы получить то же самое товар. АБ≠БА
• Вы должны быть осторожны при факторизации общих факторов, чтобы убедиться, что они находятся на тем же боковая сторона. AX+BX = (A+B)X и XA+XB = X(A+B), но AX+XB не учитывается.

Свойство нулевого продукта

• Тот факт, что произведение двух матриц является нулевой матрицей, не означает, что одна из им была нулевая матрица.

Мультипликативное свойство равенства

• Если A=B, то AC = BC. Это свойство остается верным, но обратное не обязательно верно. Тот факт, что AC = BC, не означает, что A = B.
• Поскольку умножение матриц не является коммутативным, вы должны предварительно умножить или постумножить на обеих сторонах уравнения. То есть, если A=B, тогда AC = BC или CA = CB, но AC≠CB.

Нет деления матрицы

• Вы должны умножить на обратную матрицу

Вычисление функции с использованием матрицы

Рассмотрим функцию f(x) = x ² — 4x + 3 и матрицу A

А =		1	2
		3	4

Первоначальная попытка вычислить f(A) состояла бы в замене каждого x с A, чтобы получить f(A) = A ² — 4А+3. Есть одно небольшое проблема однако. Константа 3 не матрица, и сложить нельзя матрицы и скаляры вместе. Итак, мы умножаем постоянная по матрице идентичности.

f(A) = A ² — 4A + 3I.

Вычислите каждый член функции, а затем сложите их вместе.

А 2 =		1	2		*		1	2		=		7	10
		3	4				3	4				15	22

-4 А = -4		1	2		=		-4	-8
		3	4				-12	-16

3И = 3		1	0		=		3	0
		0	1				0	3

ф(А) =		7	10		+		-4	-8		+		3	0		=		6	2
		15	22				-12	-16				0	3				3	9

Факторинг выражений

Показаны некоторые примеры факторинга. Упрощайте и решайте как обычно, но помните эта матрица умножение не коммутативно и нет матричного деления.

2Х + 3Х = 5Х

АХ + ВХ = (А+В)Х

ХА + ХВ = Х(А+В)

АХ + 5Х = (А+5I)Х

AX+XB не учитывает

Решение уравнений

Систему линейных уравнений можно записать в виде AX=B, где A — коэффициент матрица, X — вектор-столбец, содержащий переменные, а B — правая часть боковая сторона. В следующем разделе мы научимся решать это уравнение.

Если существует более одной системы линейных уравнений с одинаковым коэффициентом матрицу, то вы можете расширить матрицу B, чтобы иметь более одного столбца. Помещать каждую правую часть в свой столбец.

Умножение матриц

Умножение матриц включает суммирование произведения. Уместно там, где вы нужно умножить вещи вместе, а затем Добавлять. Например, умножение количества единиц на стоимость единицы будет дать общее Стоимость.

Найдены единицы товара путем проведения модульного анализа на матрицы.